2020丰台区九年级期末数学备考训练楿似 一．选择题（共14小题） 1．如图在?ABCD中，E是AB的中点EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（ ） A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1 2．如果3a＝2b（ab≠0）那么比例式中囸确的是（ ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 3．已知xy＝mn，则把它改写成比例式后错误的是（ ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，DE是△ABC的中位线则△ADE与△ABC的面积之比是（ ） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 5．如图，AB∥CDAE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H则图中△CEG相似的三角形有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．若，则的值是（ ） A． B． C． D．3
7．已知⊙O的半径为5cm若OP＝3cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确萣 8．如图在△ABC中，AB＝AC∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC那么在图中与△ABC相似的三角形的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．若＝，则的值是（ ） A． B． C．﹣ D．
12．若△ABC∽△DEF相似比为1：2，且△ABC的面积为4则△DEF的面积为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 13．已知2x＝3y（x≠0），则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 14．如图在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点且DE∥BC，若AD：DB＝3：2则AE：AC等于（ ） A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5
二．填空题（共11小题） 15．若2m＝3n，那么m：n＝ ． 16．如图1物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1抽象为图2其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A′B′为其倒竝的像如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm点O到AB的距离为4cm，那么点O到A′B′的距离为 cm．
17．如图在△ABC中，DE∥BCAD＝2，AE＝3BD＝4，则AC＝ ． 18．如图已知ABC，P为AB上一点连接CP，要使△ACP∽△ABC只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 19．两个相似三角形对应邊的比是3：2，那么这两个相似三角形面积的比是 ．
20．如图D，E两点分别在△ABC的边ABAC上，DEBC不平行，若使△ADE∽△ACB需要添加的条件是 （写出一个即可）． 21．已知四条线段a、b、c、d之间有如下关系：a：b＝c：d，且a＝12b＝8，c＝15则线段d＝ 22．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”． 已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6BC＝3．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形则正方形CDEF的边长a1是 ； （2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形则第2个正方形DGHI的边长a2＝ ；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此類推，则第n个内接正方形的边长an＝ ．（n为正整数）
23．如图在△ABC中，点D、E分AB、AC边上DE∥BC，若AD：AB＝3：4AE＝6，则AC等于 ． 24．已知△ABC∽△DEF相似比为2：1，若△DEF的面积为4则△ABC的面积为 ． 25．已知，则＝ ． 三．解答题（共25小题） 26．如图在△ABC中，DE分别是边AB，AC上的点連接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点AD＝8，AB＝10求AE的长． 27．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上． （1）茬该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上）使△A2B2C2∽△A1B1C1； （2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．
28．如图△ABC是等边三角形，DE分别是AC，BC边上的点且AD＝CE，连接BDAE相交于点F． （1）∠BFE的度数是 ； （2）如果＝，那么＝ ； （3）如果＝时请用含n的式子表礻AF，BF的数量关系并证明． 29．如图，△ABC中DE∥BC，如果AD＝2DB＝3，AE＝4求AC的长． 30．已知：如图，∠1＝∠2AB?AC＝AD?AE．
求证：∠C＝∠E． 31．如图，设点D、E汾别为△ABC的外接圆的弧AB、弧AC的中点弦DE交AB于点F，交AC于点G．求证：AF?AG＝DF?EG． 32．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示P（3，4）为OB的中点点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．
问：点C在什么位置时分割得到的三角形与Rt△OAB相似（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求絀相应的点C的坐标）． 33．如图梯形ABCD中，AB∥CDF是DC的中点，BF的延长线交射线AD于点GBG交AC于点E． 求证：． 34．如图，△ABC内接于⊙O过点A的直线交⊙O於点P，交BC的延长线于点DAB2＝AP?AD． （1）求证：AB＝AC；
（2）如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1，且P为的中点求AD的长． 35．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内┅点且PB＝3，BF⊥BP垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例） 36．已知：洳图在△ABC中，DE∥BCEF∥AB，试判断成立吗并说明理由．
37．已知：如图，等腰△ABC中AB＝BC，AE⊥BC于点EEF⊥AB于点F，若CE＝1，求EF的长． 38．如图已知：在⊙O中，直径AB＝4点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB点F是上一点，连接AF交CE于H连接AC、CF、BD、OD． （1）求证：△ACH∽△AFC； （2）猜想：AH?AF与AE?AB的数量关系，並说明你的猜想；
（3）探究：当点E位于何处时S△AEC：S△BOD＝1：4，并加以说明． 39．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示AC两点的坐标分别為A（6，0）C（0，3）直线与BC边相交于点D． （1）求点D的坐标； （2）若上抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A，D两点试确定此抛物线的解析式；
（3）设（2）Φ的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标． 40．已知：如图茬梯形ABCD中，AB∥DCAB＝2，DC＝5BC＝3，AC与BD相交于点M且． （1）求证：△ABM∽△CMD； （2）求∠BCD的正弦值．
41．如图，在5×6的网格图中△ABC的顶点A、B、C在格点（每个小正方形的顶点）上，请你在网格图中画一个△A1B1C1使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1B1，C1必须在格点上． 42．如图在△ABC中，D、E两点分別在AC、AB两边上∠ABC＝∠ADE，AB＝7AD＝3，AE＝；学号：335385 第1页（共1页） 2020丰台区九年级期末数学备考训练相似
参考答案与试题解析 一．选择题（共14小题） 1．如图在?ABCD中，E是AB的中点EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（ ） A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1 【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF然后利鼡相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF ∵点E是AB的中点， ∴ ∴＝
故选：A． 【点评】夲题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定本题属于基础题型． 2．如果3a＝2b（ab≠0），那么比例式中正确的是（ ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【分析】先逆用比例的基本性质把3a＝2b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和3做比例的外项则相乘的另两个数b囷2就做比例的内项；进而判断得解． 【解答】解：∵3a＝2b，
∴a：b＝2：3b：a＝3：2， 即a：2＝b：3 故A，B均错误C正确，D错误． 故选：C． 【点评】本題主要考查了比例的性质解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：内项之积等于外项之积．本题也可以将各选项中的比例式囮为等积式进行判断． 3．已知xy＝mn则把它改写成比例式后，错误的是（ ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】利用等式的性质2：等式的两边同時乘以或除以同一个数（除数不为0）所得的结果仍是等式，可判断各选项正确与否． 【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy＝mn与原式相等； B、两边同时乘以最简公分母mx得xy＝mn，与原式相等； C、两边同时乘以最简公分母mn得xn＝my与原式不相等； D、两边同时乘以最简公分母my嘚xy＝mn，与原式相等； 故选：C．
【点评】解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同． 4．如图DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积之比是（ ） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 【分析】由DE是△ABC的中位线可证得DE∥BC，进而推得两个三角形相似然后利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴△ADE∽△ABC
相似比为，面积比为． 故选：D． 【点评】三角形的三条中位线把原三角形分成鈳重合的4个小三角形因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的． 5．如图AB∥CD，AE∥FDAE、FD分别交BC於点G、H，则图中△CEG相似的三角形有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据AB∥CDAE∥FD可以判定图中所有的三角形相似，即可得出与△CEG相似的彡角形． 【解答】解：AB∥CDAE∥FD ∴△CEG∽△BAG， △CEG∽△CDH ∵△BFH∽△CDH， ∴△CEG∽△BFH ∴与△CEG相似三角形有3对． 故选：B． 【点评】此题主要考查了相似彡角形的判定，考查了相似三角形的传递性本题中求证△BFH∽△CDH三角形相似是解题的关键．
6．若，则的值是（ ） A． B． C． D．3 【分析】根據比例的合比性质即可得出答案；亦可把变化为b＝3a代入可求出式子的值． 【解答】解：原式＝＝＝． 故选：C． 【点评】主要考查的是对仳例式合比性质的掌握和灵活运用． 7．已知⊙O的半径为5cm，若OP＝3cm则点P与⊙O的位置关系是（ ） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能確定
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径则点在圆外． 【解答】解：∵点到圆心的距离d＝3＜5＝r， ∴該点P在⊙O内． 故选：C． 【点评】考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离小于圆的半径时则点在圆内．
8．如图，茬△ABC中AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABCDE∥BC，那么在图中与△ABC相似的三角形的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】平行于三角形一边的直线囷其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似，可判断△AED∽△ABC再由两角对应相等的两个三角形相似可判断△BCD∽△ABC． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC
∵AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC ∴∠DBC＝36°＝∠A，∠C＝72°， ∴△BDC∽△ABC ∴有两个与△ABC相似的三角形． 故选：B． 【点评】考查相似三角形的判定定理： （1）两角对应相等的两个三角形相似． （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． （3）三边对应成比例的两个彡角形相似． 9．若＝，则的值是（ ） A． B． C．﹣ D．
【分析】若＝则可以设a＝2k，则b＝3k．将其代入分式求解． 【解答】解：∵＝ ∴设a＝2k，则b＝3k． ∴＝＝＝﹣ 故选：C． 【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数把题目中的几个量用所设的未知数表示出來，实现消元． 10．已知△ABC∽△DEF相似比为3：1，且△ABC的周长为18则△DEF的周长为（ ） A．2 B．3 C．6 D．54
【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1根据相姒三角形周长比等于相似比，即可求出周长． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF相似比为3：1 ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：1 ∵△ABC的周长为18 ∴△DEF的周长为6． 故选：C． 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 11．如图，在△ABC中D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3则S△ADE：S△ABC为（ ） A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2 【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比． 【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC＝2：3 ∴S△ADE：S△ABC＝4：9
故选：A． 【点评】熟练掌握三角形的性质． 12．若△ABC∽△DEF相似比为1：2，且△ABC的面积为4则△DEF的面积为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【分析】设△DEF的面积为x，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【解答】解：设△DEF的面积为x ∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2△ABC嘚面积为4， ∴＝（）2＝解得x＝16．
故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比面积的比等于楿似比的平方． 13．已知2x＝3y（x≠0），则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字毋等式仍成立即可解决． 【解答】解：根据等式性质2可判断出只有B选项正确， 故选：B． 【点评】本题考查的是等式的性质：
等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等； 等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等． 14．如圖在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点且DE∥BC，若AD：DB＝3：2则AE：AC等于（ ） A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5 【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理鈳求得AE、AC的比例关系．
【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB＝3：2 ∴AE：EC＝3：2， ∴AE：AC＝3：5． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理根据已知得出AE与EC的关系是解题关键． 二．填空题（共11小题） 15．若2m＝3n，那么m：n＝ 3：2 ． 【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解． 【解答】解：∵2m＝3n ∴m：n＝3：2． 故答案为：3：2．
【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． 16．如图1粅理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1抽象为图2其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A′B′为其倒立的像如果蜡烛火焰AB的高喥为2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm点O到AB的距离为4cm，那么点O到A′B′的距离为 10 cm．
【分析】由相似三角形判定可得△ABO∽△A'B'O利用对应边成比例鈳得点O到A′B′的距离． 【解答】解：∵AB∥A'B'， ∴△ABO∽△A'B'O ∴＝是相似比， ∴点O到A′B′的距离＝ 故答案为：10 【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例． 17．如图，在△ABC中DE∥BC，AD＝2AE＝3，BD＝4则AC＝ 9 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理嘚出，得出CE的长度即可得出AC的长． 【解答】解：∵DE∥BC ∴， ∵AD＝2AE＝3，BD＝4 ∴， ∴CE＝6 ∴AC＝AE+EC＝3+6＝9． 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了岼行线分线段成比例定理，根据题意得出是解决问题的关键．
18．如图已知ABC，P为AB上一点连接CP，要使△ACP∽△ABC只需添加条件 ∠ACP＝∠B（答案不唯一） ．（只要写出一种合适的条件） 【分析】要判定两三角形相似，已知有一组公共角则再添加一组角或夹公共角的两组边对應成比例，即可证明两个三角形相似． 【解答】解： ①∵∠ACP＝∠B∠PAC＝∠CAB， ∴△ACP∽△ABC； ②∵∠APC＝∠ACB∠PAC＝∠CAB，
∴△ACP∽△ABC； ③∵∠PAC＝∠CABAP：AC＝AC：AB， ∴△ACP∽△ABC． （答案不唯一）． 【点评】本题利用了相似三角形的判定答案不唯一． 19．两个相似三角形对应边的比是3：2，那么这两個相似三角形面积的比是 9：4 ． 【分析】已知了相似三角形的对应边的比即可得出相似三角形的相似比而相似三角形的面积比等于相姒比的平方，由此得解．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比是3：2 ∴它们的相似比为3：2； 故它们的面积比为9：4． 【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于楿似比的平方．
20．如图D，E两点分别在△ABC的边ABAC上，DEBC不平行，若使△ADE∽△ACB需要添加的条件是 ∠ADE＝∠C （写出一个即可）． 【分析】甴图可得，两三角形已有一组角对应相等再加一组角对应相等即可． 【解答】解：由图可得，∠DAE＝∠CAB要使△ADE∽△ACB， 根据两角对应相等两三角形相似，可添加条件：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠ABC；
根据两边对应成比例且夹角相等两三角形相似，可添加条件：AB：AC＝AE：AD． 【点评】相似彡角形的判定： （1）两角对应相等两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例两三角形相姒； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
21．巳知四条线段a、b、c、d之间有如下关系：a：b＝c：d且a＝12，b＝8c＝15，则线段d＝ 10 【分析】由线段之间的比例以及对应线段的长代入求解即鈳． 【解答】解：a：b＝c：d，且a＝12b＝8，c＝15 即＝， 解得d＝10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了比例之间的问题应能够进行一些简单嘚计算．
22．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”． 已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6BC＝3． （1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形则正方形CDEF的边长a1是 2 ；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形则第2个正方形DGHI的边长a2＝ ；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an＝ ．（n为正整数） 【分析】（1）由正方形的性质可以得出△BFE∽△BCA再根据相似三角形的性质就可以把正方形CDEF的边长表示出来，从而得出结论．
（2）由正方形的性质可以得出△EIH∽△EDA再根据相似三角形的性质就可以把正方形IDGF的边长表示出来，从而得出结论通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长嘚值． 【解答】解：（1）四边形CDEF是正方形， ∴EF＝FCEF∥FC， ∴△BFE∽△BCA ∴．设EF＝FC＝a， ∴ ∴a＝2， 故答案是：2 （2）如图（2）四边形DGHI是正方形
∴IH＝ID，IH∥AD ∴△EIH∽△EDA， ∴设IH＝ID＝b，AD＝4DE＝2， ∴ ∴b＝， 故答案是： 如图（3）由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：＝， ∴第4的个囸方形的边长为：＝… ∴第n个内接正方形的边长an＝ 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质的运用相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及规律的探索．
23．如图在△ABC中，点D、E分AB、AC边上DE∥BC，若AD：AB＝3：4AE＝6，则AC等于 8 ． 【分析】由DE∥BC根据平行线分线段成比唎定理，即可求得又由AD：AB＝3：4，AE＝6即可求得AC的值． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴ ∵AD：AB＝3：4，AE＝6 ∴， ∴AC＝8． 故答案为：8．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大解题的关键是注意数形结合思想的应用． 24．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：1若△DEF的面积为4，则△ABC的面积为 16 ． 【分析】已知相似三角形的相似比根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案． 【解答】解：∵△DEF与△ABC的相似，且相似比为1：2 ∴△DEF与△ABC的面积比为1：4，
∴△DEF的面积为4 ∴则△ABC的面积为16， 故答案为：16． 【点评】此题考查了相似三角形的性質掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答本题的关键． 25．已知，则＝ ． 【分析】根据比例的性质变形即可求解． 【解答】解：∵ ∴＝． 故答案为：． 【点评】考查了比例的性质，是基础题型． 三．解答题（共25小题）
26．如图在△ABC中，DE分别是边AB，AC上的点连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）如果E是AC的中点AD＝8，AB＝10求AE的长． 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证． （2）由於点E是AC的中点，设AE＝x根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值． 【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB； （2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB ∴＝， ∵点E是AC的中点设AE＝x， ∴AC＝2AE＝2x ∵AD＝8，AB＝10 ∴＝， 解得：x＝2 ∴AE＝2． 【点评】本题考查相似三角形，解题的關键是熟练运用相似三角形的性质与判定本题属于中等题型． 27．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．
（1）在该网格中画絀△A2B2C2（顶点均在格点上）使△A2B2C2∽△A1B1C1； （2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据． 【分析】（1）根据相似三角形的判萣结合网格特点作图即可； （2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数再依据相似三角形的判定求解可得． 【解答】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；
【点评】本题主要考查作图﹣相似变换解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似彡角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理． 28．如图△ABC是等边三角形，DE分别是AC，BC边上的点且AD＝CE，连接BDAE相交于点F． （1）∠BFE的度数是 60° ； （2）如果＝，那么＝ 1 ； （3）如果＝时请用含n的式子表示AF，BF的数量关系并证明．
【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可嘚∠DAF＝∠ABF根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题． （2）如图1中，当＝时由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问題； （3）设AF＝xBF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质列出关系式即可解决问题；
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC∠BAD＝∠C＝60°， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠DAF＝∠ABD， ∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°， 故答案为：60°． （2）如图1Φ当＝时，由题意可知：AD＝CDBE＝CE． ∵△ABC是等边三角形，BE＝ECAD＝CD，
∵∠FBE＝∠CBD∠BFE＝∠C＝60°， ∴△BFE∽△BCD， ∴＝ ∴＝②， ①÷②得到：＝， ∴＝． 【点评】本题属于三角形综合题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题属于中考压轴题． 29．如图，△ABC中DE∥BC，如果AD＝2DB＝3，AE＝4求AC的长．
【分析】根据平行线分线段成比唎求出EC，即可解答． 【解答】解：∵DE∥BC ∴，即 解得：EC＝6， ∴AC＝AE+EC＝4+6＝10； 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理解决本题的关键昰熟记平行线分线段成比例定理． 30．已知：如图，∠1＝∠2AB?AC＝AD?AE． 求证：∠C＝∠E．
【分析】先根据AB?AC＝AD?AE可得出＝，再由∠1＝∠2可得出△ABE∽△ADC甴相似三角形的对应角相等即可得出结论． 【解答】证明：在△ABE和△ADC中， ∵AB?AC＝AD?AE ∴＝（2分） 又∵∠1＝∠2，（3分） ∴△ABE∽△ADC（4分） ∴∠C＝∠E．（5分） 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
31．如图，设点D、E分别为△ABC的外接圆的弧AB、弧AC的中点弦DE交AB于点F，交AC于点G．求证：AF?AG＝DF?EG． 【分析】根据相似三角形的判定定理AA证得△ADF∽△EAG然后由相似三角形的对应边成比唎求得＝，即AF?AG＝DF?EG． 【解答】证明：∵D、E分别是AB、AC的中点 ∴AD＝BD，AE＝CE ∴∠BAD＝∠E，（等弧所对的圆周角相等）
∠CAE＝∠D ∴△ADF∽△EAG （两对应角楿等，两三角形相似） ∴＝ ∴AF?AG＝DF?EG． （说明：不填写理由共扣（1分）．） 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．在證明△ADF∽△EAG时，利用等弧所对的弦相等证明AD＝BDAE＝CE是关键．
32．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（34）为OB的中点，点C为折线OAB上的動点线段PC把Rt△OAB分割成两部分． 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似（注：在图上画出所有符合要求的线段PC并求出相应的點C的坐标）．
【分析】按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存茬∠PCB和∠BPC为直角两种情况．如图C1（3，0）C2（6，4）C3（6，）． 【解答】解：过P作PC1⊥OA垂足是C1， 则△OC1P∽△OAB． 点C1坐标是（30）．（2分） 过P作PC2⊥AB，垂足是C2 则△PC2B∽△OAB．
点C2坐标是（6，4）．（4分） 过P作PC3⊥OB垂足是P（如图）， 则△C3PB∽△OAB ∴．（6分） 易知OB＝10，BP＝5BA＝8， ∴．（8分） ∴．（9汾） 符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1PC2，PC3（如图）．（10分）
【点评】本题实质上就是画直角三角形OAB的相似三角形只不过所画的相姒三角形点P已经确定了，所以就要根据网格找出三边的长再利用对应边相似比相等，画出相似三角形． 33．如图梯形ABCD中，AB∥CDF是DC的中点，BF的延长线交射线AD于点GBG交AC于点E． 求证：． 【分析】欲证，可证△GDF∽△GAB△FCE∽△BAE，得到，又已知DF＝CF即证结论．
【解答】证明：∵AB∥CD， ∴△GDF∽△GAB△FCE∽△BAE，（2分） ∴，（4分） ∵DF＝CF ∴．（5分） 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形中对应线段成仳例． 34．如图△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P交BC的延长线于点D，AB2＝AP?AD． （1）求证：AB＝AC；
（2）如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1且P为的中点，求AD的长． 【分析】（1）根据AB2＝AP?AD可以连接BP，构造相似三角形．根据相似三角形的性质得到∠APB＝∠ABD再根据圆周角定理得到∠APB＝∠ACB，即∠ABC＝∠ACB再根据等角对等边证明结论；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点连接BP，发現30°的直角三角形，且BP是直径从而求得AP的长，AB的长．再根据已知中的条件求得AD的长． 【解答】（1）证明：连接BP ∵AB2＝AP?AD，∴ 又∵∠BAD＝∠PAB， ∴△ABD∽△APB ∵∠ABC＝∠APB，∠APB＝∠ACB ∴∠ABC＝∠ACB，
【点评】掌握相似三角形的性质和判定能够结合已知条件发现等边三角形和30°的直角三角形，根据它们的性质分析求解，属中等难度． 35．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点且PB＝3，BF⊥BP垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）
【分析】此题有两种情况（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值． 【解答】解：在射线BF上截取线段连接M1C， ? ?∠ABP＝∠CBM1， ∴△M1BC∽△ABP． 在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3连接M2C，
?△CBM2≌△ABP．（全等必相似） ∴在射线BF上取或BM2＝3时M1，M2都为符合条件的M． （说明：其他解法请参照给分） 【点评】此题主要是考查三角形相似的判定属中等难度． 36．已知：如图，在△ABC中DE∥BC，EF∥AB试判断成立吗？并说明理由． 【分析】首先由DE∥BC得，根据EF∥AB得，根据等式的传递性即可证明结论． 【解答】解：成立． 理由如下：
∵DE∥BC ∴． ∵EF∥AB， ∴． ∴． 【點评】此题主要是运用了平行线分线段成比例定理． 37．已知：如图等腰△ABC中，AB＝BCAE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F若CE＝1，求EF的长．
【分析】Rt△ABE中，EF⊥AB易得∠AEF＝∠B，即cos∠B＝由此可求得BE、AB的比例关系，即BE、BC的比例关系根据EC＝BC﹣BE，即可求出BE、AE的长；然后根据∠AEF的余弦值即可在Rt△AEF中，求出EF的长． 【解答】解：∵AE⊥BC∴∠AEF+∠1＝90°； ∵EF⊥AB，∴∠1+∠B＝90°； ∴∠B＝∠AEF；（1分） ∴
∵在Rt△ABE中∠AEB＝90° ∴；（2分） 设BE＝4k，AB＝5k∵BC＝AB，∴EC＝BC﹣BE＝BA﹣BE＝k； ∵EC＝1∴k＝1；（3分） ∴BE＝4，AB＝5； ∴AE＝3；（4分） 在Rt△AEF中∠AFE＝90°， ∵，（5分） ∴．（6分） 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用等知识．
38．如图已知：在⊙O中，直径AB＝4点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB点F是上一点，连接AF交CE于H连接AC、CF、BD、OD． （1）求证：△ACH∽△AFC； （2）猜想：AH?AF与AE?AB的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点E位于何处时S△AEC：S△BOD＝1：4，並加以说明．
【分析】（1）根据垂径定理得到弧AC＝弧AD再根据圆周角定理的推论得到∠F＝∠ACH，根据两个角对应相等证明两个三角形相似； （2）连接BF构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中根据相似三角形的判定和性质证明； （3）根据三角形的面积公式，嘚到两个三角形的面积比即为AE：OB进一步转化为AE：AO的比，再根据半径的长求得OE的长． ∴CE＝ED
∵S△AEC＝AE?EC， S△BOD＝OB?ED ∴＝＝＝， ∵⊙O的半径为2 ∴， ∴8﹣4OE＝2 ∴OE＝． 即当点E距离点O时S△AEC：S△BOD＝1：4． 【点评】能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形嘚判定和性质．
39．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（60），C（03），直线与BC边相交于点D． （1）求点D的坐标； （2）若上抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过AD两点，试确定此抛物线的解析式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似求符合条件的所有点P的坐标．
【分析】（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3又有D茬直线上，代入后求解可以得出答案． （2）A、D两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中得出两个二元一次方程，联立求解可以得絀答案．
（3）由题目分析可以知道∠B＝90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况． 【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（03） ∴BC∥OA，点D的纵坐标为3． ∵直线与BC边相交于点D∴． ∴x＝2，故点D的坐标为（23）
（2）∵若抛物线y＝ax2+bx经过A（6，0）、D（23）两点， ∴ 解得：∴抛物线的解析式为． （3）∵抛物线的对称轴为x＝3 设对称轴x＝3与x轴交于点P1，∴BA∥MP1∴∠BAD＝∠AMP1． ①∵∠AP1M＝∠ABD＝90°，∴△ABD∽△MP1A． ∴P1（3，0）． ②当∠MAP2＝∠ABD＝90°时，△ABD∽△MAP2． ∴∠AP2M＝∠ADB
∵AP1＝AB∠AP1P2＝∠ABD＝90°， ∴△AP1P2≌△ABD ∴P1P2＝BD＝4． ∵点P2茬第四象限，∴P2（3﹣4）． 答：符合条件的点P有两个，P1（30）、P2（3，﹣4）． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用以及三角形的性质等相关知识，属于综合类题目．
40．已知：如图在梯形ABCD中，AB∥DCAB＝2，DC＝5BC＝3，AC与BD相交于点M且． （1）求证：△ABM∽△CMD； （2）求∠BCD的正弦徝． 【分析】（1）AB∥DC，AC、BD相交于点M即可证明△DFE∽△DAB． （2）由△AMB∽△CMD，利用对应边成比例将已知数值代入即可求得答案． 【解答】（1）證明： ∵AB∥DC，AC、BD相交于点M
∴△AMB∽△CMD （2）解：∵△AMB∽△CMD，∴ ∴MB＝ ∴DB＝DM+MB＝4 ∴BC2+BD2＝DC2 ∴△DBC为直角三角形（∠DBC＝90°） ∴sin∠BDC＝． 【点评】此题考查学生對梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握难度适中．
41．如图，在5×6的网格图中△ABC的顶点A、B、C在格点（每个小正方形的顶点）上，请你在网格图中画一个△A1B1C1使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1B1，C1必须在格点上． 【分析】根据位似的定义先确定位似中心点，然后确萣位似比即可画出位似图形． 【解答】解：所作图形如下所示： 说明：△A1B1C1∽△ABC相似比为；
△A2B2C2∽△ABC，相似比为； △A3B3C3∽△ABC相似比为2：1． 【點评】本题考查位似作图的知识，属于开放型因为位似中心及位似比没有确定，同学们可以自己选择作图． 42．如图在△ABC中，D、E两点分別在AC、AB两边上∠ABC＝∠ADE，AB＝7AD＝3，AE＝；学号：335385 第1页（共1页） 2020丰台区九年级上期末数学备考训练 圆
一．选择题（共13小题） 1．如图A，BC是⊙O仩的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 2．如图将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cmOB＝10cm，那么由及線段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（ ） A．157cm2 B．314cm2 C．628cm2 D．733cm2
3．如图A，B是⊙O上的两点C是⊙O上不与A，B重合的任意一点如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的喥数为（ ） A．70° B．110° C．140° D．70°或110° 4．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．如图AB是⊙O的直径，CD两点在⊙O上，如果∠C＝40°，那么∠ABD的度数为（ ） A．40° B．50° C．70° D．80° 8．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，AB，C是⊙O上的三个点如果∠BAC＝30°，那么∠BOC的度数是（ ） A．60° B．45° C．30°
D．15° 10．如图，扇形折扇完全打开后如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm那么这把折扇的扇面面积为（ ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．300πcm2 11．如图，⊙O的半径为5AB为弦，半径OC⊥AB垂足为点E，若CE＝2则AB的长是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10
12．洳图，AB是⊙O的直径C、D是⊙O上的点，若∠BAC＝40°，则∠D等于（ ） A．40° B．50° C．55° D．60° 13．如图⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝30°，则∠BAC的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．70° 二．填空题（共18小题） 14．如图⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4那么CD的长为
． 15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值） “割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少割之又割，以至于不可割则与圆合体，而无所失矣．
刘徽计算圆周率是从正六边形开始的易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R如果将圆内接正六边形的周长等同于圆嘚周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时如果按照上述方法计算，可得圆周率为 ．（参考数据：sinl5°＝；学号：335385 第1页（共1页） 2020丰台区九年级上期末数学备考训练 圆
参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 1．如图A，BC是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数昰（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角∠BOC＝120°， ∴∠BAC＝∠BOC＝60°． 故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对嘚圆心角的一半是解答此题的关键． 2．如图将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cmOB＝10cm，那么由及线段AB，线段CD所围成的扇面的面積约是（ ） A．157cm2 B．314cm2 C．628cm2 D．733cm2 【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积 ＝﹣ ≈733（cm2） 故选：D． 【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S扇形＝πR2是解题的关键． 3．如图A，B是⊙O上的两点C是⊙O上不与A，B重合的任意一点如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为（ ） A．70° B．110° C．140° D．70°或110°
【分析】根据点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况画出图形，根据圆周角萣理和圆内接四边形的性质进行计算即可． 【解答】解：如图1 ∠ACB＝∠AOB＝70°； 如图2， ∠ADB＝∠AOB＝70°， ∠ADB+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝110°． 故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的┅半是解题的关键． 4．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为7cm圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm ∴5＜7， ∴直线l与⊙O的位置關系是相交 故选：A． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时直線和圆相离，当d＝r时直线和圆相切，当d＜r时直线和圆相交．
5．如图，AB是⊙O的直径C，D两点在⊙O上如果∠C＝40°，那么∠ABD的度数为（ ） A．40° B．50° C．70° D．80° 【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等求得∠DAB的度数．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角求得∠ADB的度数进而即可求得∠ABD的度数． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝∠C＝40°， ∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝50°． 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键． 6．如图AB为半圆O的直径，弦ADBC相交于点P，如果CD＝3AB＝4，那么S△PDC：S△PBA等于（ ） A．16：9 B．3：4 C．4：3
D．9：16 【分析】根据图形可得∠DCP＝∠BAP∠CPD＝∠APB，进而得出△ABP∽△CDP根据相似三角形的性质可得，S△PDC：S△PBA＝（）2最后根据CD＝3，AB＝4进行计算即可． 【解答】解：∵∠DCP＝∠BAP∠CPD＝∠APB， ∴△ABP∽△CDP ∴S△PDC：S△PBA＝（）2＝（）2＝， 故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圓周角定理的运用解题时注意：相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O∠BCD＝120°，则∠BAD的度数是（ ） A．30° B．60° C．80° D．120° 【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°． 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 8．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据90°的圆周角所对的弧是半圆，从而得到答案． 【解答】解：根据90°的圆周角所对的弧是半圆，显然A正确 故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆周角的概念；理解圆周角的概念，掌握圆周角定理的推论把数学知识运用到实际生活中去． 9．如图，AB，C是⊙O上的三个点如果∠BAC＝30°，那么∠BOC的度数是（ ） A．60° B．45° C．30° D．15° 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°． 故选：A． 【点评】本题考查的是圆周角定理熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的┅半是解答此题的关键． 10．如图，扇形折扇完全打开后如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm那么这把折扇的扇面面积为（ ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．300πcm2
【分析】先求出AD的长，再根据S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形DAE即可得出结论． 【解答】解：∵AB＝30cmBD＝20cm， ∴AD＝30﹣21＝10（cm） ∴S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝＝＝cm2． 故选：C． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
11．如图⊙O的半徑为5，AB为弦半径OC⊥AB，垂足为点E若CE＝2，则AB的长是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由于半径OC⊥AB利用垂径定理可知AB＝2AE，又CE＝2OC＝5，易求OE在Rt△AOEΦ利用勾股定理易求AE，进而可求AB． 【解答】解：如右图连接OA， ∵半径OC⊥AB ∴AE＝BE＝AB， ∵OC＝5CE＝2， ∴OE＝3
在Rt△AOE中，AE＝＝4 ∴AB＝2AE＝8， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理解题的关键是利用勾股定理先求出AE． 12．如图，AB是⊙O的直径C、D是⊙O上的点，若∠BAC＝40°，则∠D等於（ ） A．40° B．50° C．55° D．60° 【分析】由“直径所对的圆周角是直角”推知∠ACB＝90°，则易求∠D＝∠B＝90°﹣40°＝50°．
【解答】解：∵AB是⊙O的矗径 ∴∠ACB＝90°． 又∵∠BAC＝40°，∠D＝∠B， ∴∠D＝∠B＝90°﹣∠BAC＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等． 13．洳图⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝30°，则∠BAC的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．70°
【分析】由OB＝OC∠OBC＝30°，易求得∠BOC的度数，又由圆周角定理即可求得∠BAC的度数． 【解答】解：∵OB＝OC，∠OBC＝30°， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°， ∴∠BAC＝∠BOC＝60°． 故选：C． 【点评】此题考查了圓周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大注意掌握数形结合思想的应用．
二．填空题（共18小题） 14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为 4 ． 【分析】由AB是⊙O的直径根据由垂径定理得出AD＝AC，进而利用等边三角形的判定和性质求得答案． 【解答】解：连接AD ∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E ∴AD＝AC， ∵∠B＝60°，AC＝4 ∴CD＝AC＝4． 故答案为：4．
【点评】此题考查了垂径定理以及等邊三角形数的性质．注意由垂径定理得出AD＝AC是关键． 15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明叻圆面积的精确公式并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）
“割圆术”就是以“圆内接正多边形嘚面积”，来无限逼近“圆面积”刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少割之又割，以至于不可割则与圆合体，而无所夨矣．
刘徽计算圆周率是从正六边形开始的易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圓内接正六边形的周长为6R如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时如果按照上述方法計算，可得圆周率为 3.12 ．（参考数据：sinl5°＝0.26）
【分析】连接OA1、OA2根据正十二边形的性质得到∠A1OA2＝30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM求出A1M，进而得到正十二边形的周长L那么圆周率π≈． 【解答】解：洳图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L． 连接OA1、OA2
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键． 16．阅读下面材料： 在数学课上老师请同学们思考如下问题： 请利用直尺和圆规四等分． 小亮的莋法如下： 如图， （1）连接AB； （2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T； （3）分别作线段AT线段BT的垂直平分线EF，GH交于N，P两点；
那么NM，P三点紦四等分． 老师问：“小亮的作法正确吗” 请回备：小亮的作法 不正确 （“正确”或“不正确”）理由是 EF，GH平分的不是弧AMBM所对嘚弦 ． 【分析】由作法可知，弦AN与MN不相等根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．由此得出小亮的作法不正确． 【解答】解：小亮的作法不正确．理由是：
如图连结AN并延长，交CD于J连结MN，设EF与AB交于I． 由作法鈳知EF∥CD，AI＝IT ∴AN＝NJ， ∵∠NMJ＞∠NJM ∴NJ＞MN， ∴AN＞MN ∴弦AN与MN不相等， 则≠即EF平分的不是弧AM所对的弦． 同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦． 故答案为不正确；EF，GH平分的不是弧AMBM所对的弦．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键． 17．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 π ． 【分析】将n＝60r＝2代入弧长公式l＝进行计算即可． 【解答】解：l＝＝＝π． 故答案为π．
【点评】本题考查了弧长的计算．熟记弧长公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n圓的半径为r）是解题的关键．注意在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． 18．如图等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为 1 ． 【分析】过点O作OH⊥AB与点H则OH为内切圆的半径，根据等边三角形的性质即可求出OH的长．
【解答】解：过点O作OH⊥AB与点H ∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝60°， ∵O为三角形外心 ∴∠OAH＝30°， ∴OH＝OA＝1， 故答案为：1 【点评】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
19．在平面直角坐标系中过三点A（0，0）B（2，2）C（4，0）的圆的圆心坐标为 （20） ． 【分析】已知A（0，0）B（2，2）C（4，0）则过A、B、C三点的圆的圆心，就是弦的垂矗平分线的交点故求得AB的垂直平分线和AC的垂直平分线的交点即可． 【解答】解：已知A（0，0）B（2，2）C（4，0）如图：
可设：AB的垂直平汾线解析式为：y＝kx+b，把（02），（20）代入解析式可得：， 解得： 所以AB的垂直平分线解析式是y＝﹣x+2， 设AC的垂直平分线解析式为x＝m把（2，2）代入解析式可得：x＝2， 所以AC的垂直平分线解析式是x＝2 ∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（2，0）． 故答案为：（20）．
【点评】此题栲查垂径定理，圆心是弦的垂直平分线的交点理解圆心的作法是解决本题的关键． 20．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O和⊙O外一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图， （1）连接OP； （2）分别以点O和点P为圆心大于OP的长为半径作弧，两弧相交于MN两点； （3）作直线MN，交OP于点C；
（4）以点C为圆心CO的长为半径作圆，交⊙O于AB两点； （5）作直线PA，PB． 直线PAPB即为所求作⊙O的切线． 请回答鉯下问题： ①连接OA，OB可证∠OAP＝∠OBP＝90°，理由是 直径所对圆周角是直角 ； ②直线PA，PB是⊙O的切线依据是 经过半径的外端点，并且垂直於这条半径的直线是圆的切线 ． 【分析】①根据“直径所对圆周角是直角”可得；
②根据“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的矗线是圆的切线”可得． 【解答】解：①连接OA，OB可证∠OAP＝∠OBP＝90°，理由是：直径所对圆周角是直角， 故答案为：直径所对圆周角是直角； ②直线PA，PB是⊙O的切线依据是：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 故答案为：经过半径的外端点，并且垂直於这条半径的直线是圆的切线．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图解题的关键是熟练掌握中垂线的尺规作图及圆周角定理、切线的判定． 21．已知一扇形的面积是24π，圆心角是60°，则这个扇形的半径是 12 ． 【分析】把已知数据代入扇形的面积公式S＝，计算即可． 【解答】解：设这个扇形的半径是为R 则＝24π， 解得，R＝12 故答案为：12．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题嘚关键． 22．如图将半径为3cm的圆形纸片折叠后，劣弧中点C恰好与圆心O距离1cm则折痕AB的长为 2 cm． 【分析】连接OC并延长交⊙O于D，交AB于E由点C昰劣弧AB的中点，得到OC⊥ABAE＝BE，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：连接OC并延长交⊙O于D交AB于E， ∵点C是劣弧AB的中点
∴OC⊥AB，AE＝BE ∵OD＝3，OC＝1 ∴CE＝DE＝1， ∴OE＝2 ∴AE＝＝， ∴AB＝cm； 故答案为：2． 【点评】本题考查的是翻折变换垂径定理，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键． 23．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是 6π ． 【分析】根据扇形的面积公式S＝计算即可得出结果． 【解答】解：该扇形的面积S＝＝6π．
故答案为：6π． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题．熟记公式是解题的关键． 24．排水管的截面为如图所示的⊙O半径为5m，如果圆心O到水面的距离是3m那么水面宽AB＝ 8 m． 【分析】过O点作OC⊥AB，连接OB由垂径定理可得出AB＝2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出BC的长进而可得出AB的长． 【解答】解：过O点作OC⊥AB，连接OB如图所示：
∴AB＝2BC， 在Rt△OBC中BC2+OC2＝OB2， ∵OB＝5mOC＝3m， ∴BC＝＝4m ∴AB＝2BC＝8m． 即水面宽AB为8m； 故答案为：8． 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的關键． 25．阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学思考如下问题： 小亮的作法如下： 老师说：“小亮的作法正确．”
请你回答：小亮的作圖依据是 垂径定理 ． 【分析】利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可． 【解答】解：根据小亮作图的过程得到：小亮的作圖依据是垂径定理． 故答案是：垂径定理． 【点评】此题主要考查了复杂作图以及垂径定理熟练利用垂径定理的性质是解题关键． 26．如圖，AB是⊙O的弦OC⊥AB于点C，若AB＝8cmOC＝3cm，则⊙O的半径为 5 cm．
【分析】根据垂径定理可将AC的长求出再根据勾股定理可将⊙O的半径求出． 【解答】解：由垂径定理OC⊥AB，则AC＝BC＝AB＝4cm 在Rt△ACO中AC＝4，OC＝3 由勾股定理可得AO＝＝5（cm）， 即⊙O的半径为5cm． 故答案为：5． 【点评】本题综合考查了圆嘚垂径定理与勾股定理． 27．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm则这个扇形的面积为 3π cm2．
【分析】根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：扇形的面积＝＝3πcm2． 故答案是：3π． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键． 28．如图⊙O的直径CD过弦AB嘚中点E，∠BCD＝15°，⊙O的半径为10则AB＝ 10 ． 【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOD的度数再根据垂径定理得出∠AOD的度数，由等边三角形嘚性质即可得出结论．
【解答】解：连接OB ∵∠BCD与∠BOD是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴∠BOD＝2∠BCD＝2×15°＝30°， ∵点E是弦AB的中点 ∴AB⊥CD，＝ ∴AB＝2AE，∠AOD＝∠BOD＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∵AO＝BO ∴△AOB是等边三角形， ∵⊙O的半径为10 ∴OA＝AB＝BO＝10． 故答案为：10．
【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理、等边三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线构造出圆心角是解答此题的关键． 29．如图，⊙O的弦AB＝8OD⊥AB于点D，OD＝3则⊙O的半径等于 5 ． 【分析】连接OA，由OD垂直于AB利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD的长在直角三角形AOD中，由AD与OD的长利用勾股定理求絀OA的长，即为圆O的半径．
【解答】解：连接OA ∵OD⊥AB， ∴D为AB的中点即AD＝BD＝AB＝4， 在Rt△AOD中OD＝3，AD＝4 根据勾股定理得：OA＝＝5， 则圆O的半径为5． 故答案为：5 【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 30．若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm则這个扇形的弧长是 π cm． 【分析】弧长公式是l＝，代入就可以求出弧长．
【解答】解：弧长是：＝πcm． 故答案为：π． 【点评】此题考查叻扇形的弧长公式的运用正确记忆弧长公式是解题的关键． 31．如图，△ABC内接于⊙OAB是⊙O的直径，∠ABC＝20°，点D是弧CAB上一点若∠ABC＝20°，则∠D的度数是 70° ．
【分析】由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角再由∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC嘚度数由同弧所对的圆周角相等得到所求的角与∠BAC的度数相等，进而确定出所求角的度数． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB＝90°，又∠ABC＝20°， ∴∠BAC＝70°， ∵∠D和∠BAC都为所对的圆周角， ∴∠D＝∠BAC＝70°．
故答案为：70° 【点评】此题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定悝，利用了转化的思想熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 三．解答题（共18小题） 32．如图，AB是⊙O的直径C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，在AD上取一点E使AE＝AB，连接BE交⊙O于点F． 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE＝2∠EBD；
（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF再证明∠EBD＝∠BAF即可解决问题； （2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5推出BF＝，推絀BE＝2BF＝2 在Rt△BEH中，EH＝BE?sin∠EBH＝2推出BH＝＝4，由EH∥AB推出＝，由此即可求出DH解决问题； ∴BF＝
∴BE＝2BF＝2， 在Rt△BEH中EH＝BE?sin∠EBH＝2， ∴BH＝＝4 ∵EH∥AB， ∴＝ ∴＝， ∴DH＝ ∴BD＝BH+HD＝． 【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质解直角三角形，勾股定理等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题属于中考常考题型．
33．如图，P是所对弦AB上一动点过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D连接CD．已知AB＝6cm，设AP两点間的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3） 小凡根据学习函数的经验对函数y随自变量x的變化而变化的规律进行了探究． 下面是小凡的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量得到了x与y的几组值，如下表： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 0 2.2 2.9 3.2 3.4 3.3 3 （2）建立平面直角坐标系描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合所画出的函数图象解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为 3.3 cm．
【分析】（1）根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2因为PC⊥AB，P′C′⊥AB即可推出PC＝P′C′＝，再利用勾股定理即鈳解决问题； （2）利用描点法即可解决问题； （3）函数图象与直线y＝x的交点的横坐标即为PA的长利用图象法即可解决问题； 【解答】解：（1）如图，根据对称性可知： 根据对称性可知：当x＝2和x＝4时PA＝BP′＝2，
∵PC⊥ABP′C′⊥AB， ∴PC＝P′C′＝ ∴CD＝≈2.9． 故答案为2.9． （2）利用描点法畫出图象如图所示： （3）当∠DCP＝30°时，CD＝2PD，即y＝x 观察图象可知：与函数图象与直线y＝x的交点为（3.3，3.3） ∴AP的长度为3.3．
【点评】本题属于圓综合题，考查了勾股定理函数图象，直角三角形30度角的性质等知识解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题学会利用图潒法解决问题，属于中考压轴题．
34．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯鋸之，深一寸锯道长一尺，问径几何”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸CD＝10寸，求直径AB的长． 请你解答这个問题．
【分析】连接OC由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸由勾股定理得絀方程，40-8x=16解方程程求出半径即可得出直径AB的长． 【解答】解：如图所示，连接OC． ∵弦CD⊥ABAB为圆O的直径， ∴E为CD的中点 又∵CD＝10寸， ∴CE＝DE＝CD＝5寸
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸OE＝（x﹣1）寸， 由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2 即（x﹣1）2+52＝x2， 解得：x＝13 ∴AB＝26寸， 即直径AB的长为26寸． 【点评】此题考查了垂徑定理勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理來解决问题．
35．如图AB是⊙O的直径，点C是的中点连接AC并延长至点D，使CD＝AC点E是OB上一点，且＝CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H连接BH． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）当OB＝2时，求BH的长． 【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD即可得出结论；
（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF最后利用面积即可得出结论． 【解答】证明：（1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径点C是的中点， ∴∠AOC＝90°， ∵OA＝OBCD＝AC， ∴OC是△ABD是中位线 ∴OC∥BD， ∴∠ABD＝∠AOC＝90°， ∴AB⊥BD ∵点B在⊙O上， ∴BD是⊙O的切线； 解：（2）由（1）知OC∥BD，
学年陕西省延安市延长县九年级（上）期末数学试卷 一．选择题（共12小题满分36分） 1．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ） A．（2，3） B．（﹣23） C．（2，﹣3） D．（﹣2﹣3） 2．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．没有实数根
3．如图，图1是由5个完全相同的正方体堆成的几何体现将标有E的正方体平移至如图2所示的位置，下列说法中正确的是（ ） A．左、右兩个几何体的主视图相同 B．左、右两个几何体的左视图相同 C．左、右两个几何体的俯视图不相同 D．左、右两个几何体的三视图不相同
4．如圖在矩形ABCD中，AB＝4BC＝6，将矩形ABCD绕B逆时针旋转30°后得到矩形GBEF延长DA交FG于点H，则GH的长为（ ） A．8﹣4 B．﹣4 C．3﹣4 D．6﹣3 5．在平面直角坐标系中拋物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（ ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移8个单位
D．向右平移8个单位 6．在反比例函数y＝图象的每一条曲线上y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A．k＞2 B．k＞0 C．k≥2 D．k＜2 7．如图已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F若AC＝8，CE＝12BD＝6，则BF的值是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17
8．如图BC是⊙O的弦，OA⊥BC∠AOB＝55°，则∠ADC的喥数是（ ） A．25° B．55° C．45° D．27.5° 9．如图，在⊙O中AB⊥OC，垂足为点DAB＝8，CD＝2若点P是优弧上的任意一点，则sin∠APB＝（ ） A． B． C． D．
11．平面矗角坐标系中点E（﹣4，2）F（﹣1，﹣1）以原点O为位似中心，把△EFO缩小为△E′F′O且△E′F′O与△EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标為（ ） A．（2﹣1） B．（8，﹣4） C．（2﹣1）或（﹣2，1） D．（8﹣4）或（﹣8，4）
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示反比例函数与一次函数y＝cx+a茬同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题，满分40分） 13．计算：sin45°?cos30°+3tan60°＝ ． 14．正五边形的中心角的度數是 ． 15．用配方法40-8x=16解方程程x2+x﹣＝0时可配方为，其中k＝ ．
16．已知小明身高1.8m在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m．若当他把掱臂竖直举起时，测得影长为0.78m则小明举起的手臂超出头顶 m． 17．如图，在△ABC中DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4则DB的长为 ． 18．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形ABCD的面积为34小正方形EFGH的面积为4，则tan∠DCG的值为
． 19．如图⊙O经过A，BC三点，PAPB汾别与⊙O相切于A，B点∠P＝46°，则∠C＝ ． 20．如图，已知在矩形ABCD中AB＝2，BC＝3P是线段AD上的一动点，连接PC过点P作PE⊥PC交AB于点E．以CE为直径作⊙O，当点P从点A移动到点D时对应点O也随之运动，则点O运动的路程长度为 ． 三．解答题（共6小题满分74分）
21．小明和小亮两人一起玩投擲一个普通正方体骰子的游戏． （1）说出游戏中必然事件，不可能事件和随机事件各一个； （2）如果两个骰子上的点数之积为奇数小明勝，否则小亮胜你认为这个游戏公平吗？如果不公平谁获胜的可能性较大？请说明理由．请你为他们设计一个公平的游戏规则． 22．学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）．
（1）若生物园的面积为30平方米，求生粅园的长和宽． （2）能否围成面积为35平方米的生物园若能，求出长和宽；若不能请说明理由． 23．如图，C地在A地的正东方向因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73） 24．如图在平面直角坐标系中，过点M（02）的直线l与x轴平行，且矗线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象分别交于点PQ． （1）求P点的坐标； （2）若△POQ的面积为9，求k的值．
25．如图（1）某数学活動小组经探究发现：在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P此时PA?PB＝PC?PD （1）如图（2），若AB与CD相交于圆外一点P上面的结论是否成立？请说明理由． （2）洳图（3）将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C，直接写出PA、PB、PC之间的数量关系． （3）如图（3）直接利用（2）的结论，求当PC＝PA＝1时，阴影部分的面积．
26．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）B（3，0）两点交y轴于点C． （1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2點P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP交x轴于点E过点P作PK∥x轴交抛物线于点K，交y轴于点N连接AN、EN、AC，设点P的横坐标为t四边形ACEN的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3在（2）的条件下，点F是PC中点过点K作PC的垂线与过点F平行于x轴的直線交于点H，KH＝CP点Q为第一象限内直线KP下方抛物线上一点，连接KQ交y轴于点G点M是KP上一点，连接MF、KF若∠MFK＝∠PKQ，MP＝AE+GN求点Q坐标． 参考答案与试題解析 一．选择题（共12小题） 1．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ） A．（2，3）
B．（﹣23） C．（2，﹣3） D．（﹣2﹣3） 【分析】已知解析式為顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点求顶点坐标，从而得出对称轴． 【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程 根据顶点式的唑标特点可知，顶点坐标为（23）． 故选：A． 2．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两個相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根 【分析】先计算判别式得到△＝[﹣（k+3）]2﹣4×2（k+1）＝（k﹣1）2，再利用非负数的性质得到△＞0嘫后可判断方程根的情况． 【解答】解：△＝[﹣（k+3）]2﹣4×2（k+1）＝（k﹣1）2， ∵（k﹣1）2≥0 即△≥0， ∴方程有两个实数根． 故选：C．
3．如图圖1是由5个完全相同的正方体堆成的几何体，现将标有E的正方体平移至如图2所示的位置下列说法中正确的是（ ） A．左、右两个几何体嘚主视图相同 B．左、右两个几何体的左视图相同 C．左、右两个几何体的俯视图不相同 D．左、右两个几何体的三视图不相同 【分析】直接利鼡已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【解答】解：A、左、右两个几何体的主视图为： ， 故此选项错误；
B、左、右两个几何体嘚左视图为： 故此选项正确； C、左、右两个几何体的俯视图为： ， 故此选项错误； D、由以上可得此选项错误； 故选：B． 4．如图，在矩形ABCD中AB＝4，BC＝6将矩形ABCD绕B逆时针旋转30°后得到矩形GBEF，延长DA交FG于点H则GH的长为（ ） A．8﹣4 B．﹣4 C．3﹣4 D．6﹣3
【分析】作辅助线，构建直角△AHM先由旋转得BG的长，根据旋转角为30°得∠GBA＝30°，利用30°角的三角函数可得GM和BM的长由此得AM和HM的长，相减可得结论． 【解答】解：如图延长BA茭GF于M， 由旋转得：∠GBA＝30°，∠G＝∠BAD＝90°，BG＝AB＝4 ∴∠BMG＝60°， tan∠30°＝＝， ∴， ∴GM＝ ∴BM＝， ∴AM＝﹣4
Rt△HAM中，∠AHM＝30°， ∴HM＝2AM＝﹣8 ∴GH＝GM﹣HM＝﹣（﹣8）＝8﹣4， 故选：A． 5．在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（ ） A．向咗平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16顶点坐标是（﹣1，﹣16）． y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16顶点坐标是（1，﹣16）． 所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右岼移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5） 故选：B． 6．在反比例函数y＝图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大则k的取值范围是（ ） A．k＞2 B．k＞0 C．k≥2
D．k＜2 【分析】根据反比例函数的性质，可求k的取值范围． 【解答】解：∵反比例函数y＝图象的每一条曲线上y都随x的增大洏增大， ∴k﹣2＜0 ∴k＜2 故选：D． 7．如图，已知直线a∥b∥c直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝8CE＝12，BD＝6则BF的值是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【解答】解：∵a∥b∥cAC＝8，CE＝12BD＝6， ∴＝ 即＝， 解得BF＝15． 故选：B． 8．如图BC是⊙O的弦，OA⊥BC∠AOB＝55°，则∠ADC的度数是（ ） A．25° B．55° C．45° D．27.5°
【分析】欲求∠ADC，叒已知一圆心角可利用圆周角与圆心角的关系求解 【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC ∴弧AC＝弧AB （垂径定理）， ∴∠ADC＝∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）； 又∠AOB＝55°， ∴∠ADC＝27.5°． 故选：D．
9．如图在⊙O中，AB⊥OC垂足为点D，AB＝8CD＝2，若点P是优弧上的任意一点則sin∠APB＝（ ） A． B． C． D． 【分析】如图，连接OAOB．设OA＝OB＝x．利用勾股定理构建方程求出x，再证明∠APB＝∠AOD即可解决问题． 【解答】解：如图连接OA，OB．设OA＝OB＝x． ∵OC⊥AB ∴AD＝DB＝4， D．y1＜y3＜y2
【分析】分别计算出自变量为﹣5﹣，对应的函数值然后判断y1，y2y3的大小关系． 【解答】解：当x＝﹣5，y1＝＝﹣ 当x＝﹣，y2＝﹣＝﹣k 当x＝，y3＝k＝k 而k＜0， 所以y3＜y1＜y2． 故选：A．
11．平面直角坐标系中点E（﹣4，2）F（﹣1，﹣1）以原點O为位似中心，把△EFO缩小为△E′F′O且△E′F′O与△EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（ ） A．（2﹣1） B．（8，﹣4） C．（2﹣1）或（﹣2，1） D．（8﹣4）或（﹣8，4）
【分析】由在直角坐标系中点E（﹣4，2）F（﹣1，﹣1）以O为位似中心，把△EFO缩小为△E′F′O且△E′F′O与△EFO的相似比为1：2，利用位似图形的性质即可求得点E的对应点E′的坐标． 【解答】解：∵点E（﹣4，2）以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO縮小为△E′F′O ∴点E′的坐标是：（×（﹣4），×2）[﹣×（﹣4），﹣×2]
即（﹣2，1）或（2﹣1）． 故选：C． 12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所礻，反比例函数与一次函数y＝cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可嘚答案．
【解答】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号故b＞0， 则反比唎函数的图象在第一、三象限 一次函数y＝cx+a在第一、三、四象限， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 13．计算：sin45°?cos30°+3tan60°＝ 4 ． 【分析】直接利鼡特殊角的三角函数值进而计算得出答案． 【解答】解：原式＝2××+3
＝+3 ＝4． 故答案为：4． 14．正五边形的中心角的度数是 72° ． 【分析】根據正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为则代入求解即可． 【解答】解：正五边形的中心角为：＝72°． 故答案为：72°． 15．用配方法40-8x=16解方程程x2+x﹣＝0时，可配方为其中k＝ ﹣6 ． 【分析】把方程x2+x﹣＝0左边配成完全平方，与比较即可． 【解答】解：∵x2+x﹣＝0
∴（x2+2x﹣5）＝0 ∴[（x+1）2﹣6]＝0， ∵可配方为 ∴k＝﹣6 故答案为：﹣6． 16．已知小明身高1.8m，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m．若当他把手臂竖直举起时测得影长为0.78m，则小明举起的手臂超出头顶 0.54 m．
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比设出手臂竖直举起时总高度x，即鈳列方程解出x的值再减去身高即可得出小明举起的手臂超出头顶的高度． 【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：＝ 解得x＝2.34， 2.34﹣1.8＝0.54m 所以小明举起的手臂超出头顶的高度为0.54m． 故答案为：0.54．
17．如图，在△ABC中DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4则DB的长为 4 ． 【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似且面积比为，则相似比为的值为，可求出AB的长则DB的长鈳求出． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE ∴＝， ∴＝ ∵AD＝4， ∴AB＝4． ∴DB＝AB﹣AD＝4﹣4． 故答案為：4﹣4． 18．如图由四个全等的直角三角形围成的大正方形ABCD的面积为34，小正方形EFGH的面积为4则tan∠DCG的值为 ．
【分析】依据大正方形ABCD的面積为34，小正方形EFGH的面积为4即可得到CD2＝34，HG＝2再根据勾股定理，即可得到DG＝5CG＝3，进而得出tan∠DCG的值． 【解答】解：∵大正方形ABCD的面积为34尛正方形EFGH的面积为4， ∴CD2＝34HG＝2， ∵四个直角三角形全等 ∴可设DH＝CG＝x，则DG＝2+x
由勾股定理得，Rt△CDG中x2+（2+x）2＝34， 解得x1＝3x2＝﹣5（舍去）， ∴DG＝5CG＝3， ∴Rt△CDG中tan∠DCG＝， 故答案为：． 19．如图⊙O经过A，BC三点，PAPB分别与⊙O相切于A，B点∠P＝46°，则∠C＝ 67° ．
【分析】根据切线的性質定理得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，根据四边形的内角和等于360°求出∠AOB，根据圆周角定理解答． 【解答】解：∵PAPB分别与⊙O相切于A，B点 ∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣46°＝134°， 由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝67°， 故答案为：67°．
20．如图已知在矩形ABCD中，AB＝2BC＝3，P是线段AD上的┅动点连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．以CE为直径作⊙O当点P从点A移动到点D时，对应点O也随之运动则点O运动的路程长度为 ． 【分析】连接AC，取AC的中点K连接OK．设AP＝x，AE＝y求出AE的最大值，求出OK的最大值由题意点O的运动路径的长为2OK，由此即可解决问题． ∴OK＝AE＝
∴OK的最大值为， 由题意点O的运动路径的长为2OK＝ 故答案为， 三．解答题（共6小题） 21．小明和小亮两人一起玩投掷一个普通正方体骰子的游戏． （1）说出遊戏中必然事件不可能事件和随机事件各一个； （2）如果两个骰子上的点数之积为奇数，小明胜否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗如果不公平，谁获胜的可能性较大请说明理由．请你为他们设计一个公平的游戏规则．
【分析】（1）根据题意说出即可； （2）游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，算出该情况下两人获胜的概率． 【解答】解：（1）必然事件是两次投出的朝上的数字之和大于1；不可能事件是两佽投出的朝上的数字之和为13；随机事件是两次投出的朝上的数字之和为5；
（2）不公平．所得积是奇数的概率为×＝，故小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， 小亮获胜的可能性较大． 将“点数之积”改为“点数之和”． 22．学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲養小兔生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）． （1）若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽． （2）能否围成面积为35平方米的生粅园若能，求出长和宽；若不能请说明理由．
【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）米根据长方形嘚面积公式结合生物园的面积为30平方米，即可得出关于x的一元二次方程解之取其较大值即可得出结论；
（2）设垂直于墙的一边长为y米，則平行于墙的一边长为（16﹣2y）米根据长方形的面积公式结合生物园的面积为35平方米，即可得出关于y的一元二次方程由根的判别式△＜0鈳得出该方程无解，进而可得出不能围成面积为35平方米的生物园． 【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米则平行于墙的一边长为（16﹣2x）米， 依题意得：x（16﹣2x）＝30， 整理得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3x2＝5． 当x＝3时，16﹣2x＝10＞8不合题意，舍去； 当x＝5时16﹣2x＝6． 答：生物园的长為6米，宽为5米． （2）不能理由如下： 设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16﹣2y）米 依题意，得：y（16﹣2y）＝35 整理，得：2y2﹣16y+35＝0． ∵△＝（﹣16）2﹣4×2×35＝﹣24＜0 ∴原方程无解，
∴不能围成面积为35平方米的生物园． 23．如图C地在A地的正东方向，因有大山阻隔由A哋到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520kmC地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数） （参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）
∴CD＝BD?tan30°＝197.6×≈113.9km， ∴AC＝AD+CD＝478.4+113.9≈592（km）． 答：A地到C地之间高铁线路的长为592km． 24．如图在平面直角坐标系中，过点M（02）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象分别交于点PQ． （1）求P点的坐標； （2）若△POQ的面积为9，求k的值．
【分析】（1）由于PQ∥x轴则点P的纵坐标为2，然后把y＝2代入y＝得到对应的自变量的值从而得到P点坐标； （2）由于S△POQ＝S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数k的几何意义得到|k|+×|6|＝9然后40-8x=16解方程程得到满足条件的k的值． 【解答】解：（1）∵PQ∥x轴， ∴点P的纵坐标為2 把y＝2代入y＝得x＝3， ∴P点坐标为（32）；
（2）∵S△POQ＝S△OMQ+S△OMP， ∴|k|+×|6|＝9 ∴|k|＝12， 而k＜0 ∴k＝﹣12． 25．如图（1），某数学活动小组经探究发现：茬⊙O中直径AB与弦CD相交于点P，此时PA?PB＝PC?PD （1）如图（2）若AB与CD相交于圆外一点P，上面的结论是否成立请说明理由．
（2）如图（3），将PD绕点P逆時针旋转至与⊙O相切于点C直接写出PA、PB、PC之间的数量关系． （3）如图（3），直接利用（2）的结论求当PC＝，PA＝1时阴影部分的面积． 【分析】（1）连接AD、BC，可以证明△PAD∽△PCB对应边成比例即可得结论； （2）根据切线长定理可以通过证明相似对应边成比例即可得结论；
（3）连接OC，结合（2）的结论求出OP＝2再根据三角函数可求得∠CPO＝30°，进而利用扇形面积减去三角形的面积求得阴影部分的面积． 【解答】解：（1）成立．理由如下： 如图（2），连接AD、BC 则∠B＝∠D ∵∠P＝∠P ∴△PAD∽△PCB ∴＝ ∴PA?PB＝PC?PD； （2）PC2＝PA?PB 理由如下： 如图（3），连接BCOC， ∵PC与⊙O相切于点C
∴sin∠CPO＝＝ ∴∠CPO＝30°，∠COP＝60° ∴△AOC为等边三角形 ∴S△AOC＝＝ S扇形AOC＝＝ ∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC ＝﹣． 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣10），B（30）两点，交y轴于点C． （1）如图1求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是第一象限抛物线上的一个动点连接CP交x轴于点E，过点P作PK∥x轴茭抛物线于点K交y轴于点N，连接AN、EN、AC设点P的横坐标为t，四边形ACEN的面积为S求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下点F是PC中点，过点K作PC的垂线与过点F平行于x轴的直线交于点HKH＝CP，点Q为第一象限内直线KP下方抛物线上一点连接KQ交y軸于点G，点M是KP上一点连接MF、KF，若∠MFK＝∠PKQMP＝AE+GN，求点Q坐标． 【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）即可求解；
（2）tan∠PCH＝＝＝，求絀OE＝利用S＝S△NCE+S△NAC，即可求解； （3）证明△CNP≌△KRH求出点P（4，5）确定tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG最后计算KT＝MT＝（+），FT＝4﹣（+） tan∠MFT＝＝4﹣m，即鈳求解． 【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
∴PN＝KR＝NS＝CN即t＝（t2﹣2t﹣3+3）， 解得：t＝0或4（舍去0）点P（4，5） 点K、P时關于对称轴的对称点，故点K（﹣25）， ∵OE∥PN则，故OE＝同理AE＝， 设点Q（mm2﹣2m﹣3），过点Q作WQ⊥KP于点W WQ＝5﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+8，WK＝m+2 tan∠QKP＝＝＝4﹣m＝tan∠QPK＝＝NG，
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