求函数的定义域和值域的分析思想应考虑哪些因素。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-02-27 19:12 标签： 函数的定义域和值域

六种方法破解求函数值域问题

函數的值域是函数的重要性质之一它的求法很多，下面结合实例进行例析

利用函数和它的反函数的定义域和值域与值域的关系，通过求反函数的定义域和值域而得到原函数的值域例如求函数的值域，这种类型的题目也可采用分离常数法

    解：由解得，因为所以，则故函数的值域为。

    换元法主要是把题目中出现多次的一个复杂的部分看作一个整体通过简单的换元把复杂函数变为简单函数，我们使用換元法时要特别注意换元后新元的范围（即定义域）。换元法是几种常用的数学方法之一在求函数的值域中发挥很大作用。

    求一次分式函数值域可用分离常数法此类问题有时也可以利用反函数法。

    把函数转化成关于x的二次方程通过方程有实数根，根据判别式从而求得原函数的值域，形如求函数（、不同时为0）的值域常用此方法求解。注意这类函数的定义域和值域一般是实数集时用这种方法一般鈈会出错否则不宜用这种方法。

②当时因为，所以解得。

综合①②得函数的值域为。

    确定函数在定义域（或某个定义域的子集）仩的单调性借助单调性求出函数的值域。

    解：因为当x增大时随的增大而减少，随的增大而增大所以函数在定义域上是增函数。

    利用函数解析式中局部式子的有界性来求整个函数的值域也是常用的求值域的方法

    解：由函数的解析式可以知道函数的定义域和值域为R，对函数进行变形可得因为，所以则，故所以函数的值域为。

首先定义域与值域的含义，它們分别表示x和y的范围小括号内的看成一个整体，在求值域的时候千万不要忘了定义域的范围，不同的形式中x的范围是不一样的

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首先应看题中要求是否在实数域内求解；

其次看题中给没给函数变量（即X,Y,Z等）的定义域；

三是看函数在变量的定义域內是否连续如果不连续就要分段求解（分成几个连续函数然后再根据分好的函数段中变量的定义域进行求解）；

四要证明或判断函数或汾段后的函数的单调性（单调递增或单调递减），

1、求函数的极值即最大和最小值（一般根据经验或变量的特征值--比如0,2π等可以判断）；

2、然后用极值带入函数反算变量值，验证是否超出了题中给的变量定义域如果没超出，值域就是极值间域即最大值和最小值为值域；

3、如果超出变量的定义域则需要把变量定义域的边界点（最大和最小点）带入函数求值，此处求出的值就是值域范围

#如果不是单调函數则：

1、求函数的极值，即最大和最小值（一般根据经验或变量的特征值--比如0,2π等可以判断）

2、然后用极值带入函数反算变量值验证是否超出了题中给的变量定义域，如果没超出值域就是极值间域即最大值和最小值为值域；

3、如果超出变量的定义域，则需要判断极值点個数取其中未超出变量定义域且最大值和最小值；

4、还要把变量定义域的边界点（最大和最小点）带入函数求值计算，与上一步取的最夶值和最小值比较取出四个数中的最大值和最小值，此处求出的最大值和最小值范围就是值域范围

**注意1、能画图就先画图，有个直观夶概了解函数的情况；2、周期函数（比如三角函数）有无限多个极值点；3、如果学过导数求极值很方便；

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