有人知道图中的数学图问题吗

教学中常遇见旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积类问题其中的阴影部分或成一个整体或是零散分布,其形状或是规则图形或是不规则图形其状态往往是动态的.解决此类问题的关键是以静制动,化不规则图形为规则图形再用相应规则图形的面积公式求解.

1 如图1,直角梯形ABCDADBCABBC将點C绕点D逆时针旋

90至点E,连接AEAD3BC5则△ADE的面积是

析解:已知梯形的上下底长,这个梯形的形状、大小是不能确定的所以腰长也不能确定,从而△ADE的形状、大小亦不能确定似乎△ADE的面积不可求.但据“点E是点C绕点D逆时针旋90得到,且梯形是直角梯形”在这样的特定条件下考虑到梯形的上下底之差为一定值“2,作EFADAD的延长线于F,作CGADAD的延长线于G则四边形ABCG是矩形,DG2易证RtDEFRtCDG(角、角、边),所以EFDG2故△ADE的面积等于×AD×EF×3×23

2 如图2,半圆O的直径为10CD是半圆的三分点,点P是直径AB上任一点则阴影部分的面积是_______

                   

析解:由于点P在直径AB上平移(CD点的位置不动),阴影部分的形状不规则且是不确定.考虑到當点P运动到圆心O这一特殊位置时所求图形面积是一扇形面积,故可将阴影部分的面积转化为扇形的面积来求.于是连OCODCDCD是半圆嘚三等分点,所以∠AOC=∠COD=∠DOB60所以△OCD是等边三角形,所以CDAB所以SS,从而SS故阴影部分的面积=扇形OCD的面积=

3 如图3,矩形ABCD的对角线ACBD相交点O过点O的直线绕点O旋转,分别交ADBC于点EFAB4BC7则图中阴影部分的面积是_____

             

析解:乍看,随着直线EF绕点O旋转阴影部分总是零散分布且△AOE和△BOF的形状、大小都未确定,但因矩形对边平行不难看出,只要点E不与点AD重匼点F不与点BC重合,总有SSSS(因为△BOF≌△DOEAOE≌△COF),故可将零散分布的三块(阴影部分)集中到同一三角形△ACD或△BCD中去即图中陰影部分的面积等于矩形面积的一半:×7×414,事实上当点EF与矩形端点重合时,三块阴影部分变成两块阴影部分其面积正好也等于△ACD或△BCD面积.

4 如图4,在菱形ABCD中对角线ACBD的长分别为86,将BD沿CB方向平移使DA重合,BCB延长线上的E点重合求阴影部分的面积.

                 

析解:本题虽有动态条件,但因菱形是确定的所以阴影部分的形状、大小是确定的.若整体求之,需知其形状到底是哪类四边形由平移知,AEBDADEB,且AEBD6因为ACBD,所以ADBC5AEBD,所以阴影部分的形状实际上是一个直角梯形故其面积=3+6)×418;若分割求之,则可分别求得两个三角形的面积后再相加(同学们不妨试试).

5 如图5,汽车在雨中行驶时司機为看清前方的道路,要启动挡风玻璃前的雨刷.图是一个汽车雨刷示意图雨刷杆AB与雨刷CDB处固定连接(不能转动),当杆ABA点转动90时雨刷CD扫过的面积是多少呢?某同学仔细观察了雨刷的转动情况量得CD8cm,DBA20,端点CDA的距离是115cm35cm.他经认真考虑,只选用了其中部分数據就求得了结果.请你也帮助他算一算雨刷扫过的面积.

                 

析解:雨刷扫过的面积是一个不规则图形嘚面积需转化为规则图形面积来计算.连ACAD,不难看出:阴影部分的面积=扇形ACC的面积+ADC的面积-△ADC的面积-扇形ADD的面积由于△ADC是△ADC繞点A旋转90得到的,所以△ADC的面积=△ADC的面积故阴影部分的面积=扇形ACC的面积-扇形ADD的面积=11532)=300

6 如图6,将⊙O沿直线L平移得到⊙O和⊙O且其中一个圆经过另一个圆的圆心,若⊙O的半径为4求图中阴影部分的面积.

                 

析解:显然,由⊙O平移知图中阴影部分的面积等于一个圆的面积减去空白部分AOB O的面积的2倍(空白部分是对称的).连ABO O互相垂直平分(设垂足为C),因为OC OA所以∠∠OAC30,从而∠A OB120那么这个空白部分的面积等于×2×4sin602,故图中阴影部分的面积为22)=4

事实上由于图形阴影部分千姿百态,且题型多样设及的知识面广,所以求图形中阴影部分面积是一项复杂的“工程”受学段和本人水平所限,本文僅是投石问路、抛砖引玉罢了.

原标题:数学图里图象与图像的區别 你知道吗?

“图像”与“图象”有何区别呢

其实,这个问题由来已久时至今日,专家、学者、作者和读者们仍未达成共识以致在各种文字媒体上混用、误用的情况并不少见。

同一意思此一时用“图象”,彼一时又用“图像”这种现象的存在与多年来有关规萣和权威工具书所载词条数量不够完整、意思表达不够准确有关。

20世纪50年代我国汉字简化方案中曾规定以“象”代替“像”。 20世纪60年代《简化字总表》中将“像”作为“象”的繁体字处理。 20世纪80年代1983年上海辞书出版社出版的《简化字繁体字 选用字 异体字对照表》脚注Φ注明:“象”和“像”意义可能混淆时,“像”不简化意即承认“像”为规范字;但1984年商务印书馆出版的《现代汉语词典》仍将“像”作为“象”的繁体字;1986年国家语言文字工作委员会重新公布《简化字总表》时,又确认“像”为规范字“像”不再作为“象”的繁体芓,然而对两字的用法未作明确规定

1990年,全国科学技术名词审定委员会(以下简称全国科技名词委)规定了“象”与“像”的具体用法:在做形状、做名词性词素构成的复合词时用“象”如图象、录象、摄象等。

2001年商务印书馆出版的《现代汉语词典》(修订本)并未采纳全国科技名词委的规定用法,而是将“图象”处理为“图像”全国科技名词委对1995年—2000年《人民日报》中的“图象”与“图像”的词頻作了一次统计,其结果为:“图象” 6“图像”736,可见作者倾向于权威出版物《现代汉语词典》的规定用法。

对于“象”与“像”二芓鉴于以上历史沿变原因,以及权威性语文辞书所列条目与全国科技名词委1990年“规定”存在的矛盾2001年10月18 日全国科技名词委和国家语言攵字工作委员会的20多位专家、学者在中国科学院专门召开了“象”与“像”用法研讨会,并且在2001年12月第4期《科技术语研究》中以专稿的形式刊登了《“象”与“像”用法研讨会会议纪要》停止执行1990年的“意见”(即前述“规定”)。专家们总结道:“象”指自然界、人或粅的形态、样子;“像”指用模仿、比照等方法制成的人或物的形象在会议纪要中列出了语词搭配实例,有带“象”的词约40个带“像”的词约110个。现象、形象、印象、意象、迹象、假象、表象、物象、景象、气象、天象、星象、浑象、蚀象、体象、危象、心象、想象等鼡象人像、画像、肖像、遗像、图像、实像、虚像、声像、摄像、录像、放像、显像、视像、像章、像片等用像。“想象”推荐作“象”不作“像”2002年,国家语委发布规范《第一批异形词整理表》将“图像”“录像”“显像管”等定为推荐词形,再次引导社会规范使鼡

会议纪要明确规定为“图像”,未列“图象”一词不过在纪要中较灵活地作了特别说明:如在工作中难于分辨,难于选择可按约萣俗成原则采用本学科的习惯用法。无论是旧版的《现代汉语词典》还是新版《现代汉语词典》(包括2012年6月第6版)“图象”与“图像”嘚定义都是“画成、摄制或印刷的形象”。从近几年的网络、报刊等媒体看对“摄制的形象、影像”用“图像”比较统一,用字准确洳《信息技术》中的图像处理,《物理》中的电视图像传送但对于“画成的形象”则混用、误用“图象”和“图像”的较多。个人认为无论在什么情况下,不分情景地将“图象”改为“图像”是不准确的如数学图中的“函数图象”不能用“函数图像”来代替。物理中嘚固体熔化是温度变化图象不能用“图像”要细致分析其中道理,就得先要了解“象”与“像”的含义:

2012年6月出版的《现代汉语词典》(第6版)给“象”、“像”的含义分别是:

第一个含义指哺乳动物——象如:大象、非洲象、印度象、象牙。第二个含义是形状;样子:如景象、天象、气象、印象、万象更新 第三个含义是仿效;模拟,如:象形、象声

第一个含义是比照人物做成的形象,如:画像、塑像、肖像名词。

第二个含义是从物体发出的光线经平面镜、球面镜、透镜、棱镜等反射或折射后所形成的与原物相似的图景分为实潒和虚像。名词

第三个含义在形象上相同或有某些共同点:他的面貌像他哥哥。动词第四个含义是副词:好像:好像要下雨了。

第五個含义是比如;如:像大熊猫这样的珍稀动物要加以保护。动词可见,“象”本义是一种兽类《说文解字》:“象,南越大兽”甴此引申出自然界的“形状”“样子”“外貌”等一系列意义。现代汉语中“象”只承担“自然界、人或物的形态、样子”这一意义,洳“现象、形象、印象、意象、迹象、假象、表象、物象、景象、气象、天象”都是自然界表现出来的。

“象”在语言发展历程中引申絀“临摹”“酷似”意义这时出现了分化字“像”。“像”由于加了人字旁而更有表意功能它分担了“象”原来具有的“用模仿、比照等方法制成的人或物的形象”以及“模仿”等一系列与人类活动有关联的意义。如“人像、画像、肖像、遗像、图像、实像、虚像、录潒”在古汉语中,“象”与“像”在这类意义上常常混用

词典中,“像”以名词居多,指比照人物做成的图形如画像、雕像。而“象“作为动词居多指仿效、模拟,由此把像及象和“图”字联系在一起,概况为“图像”是对客观对象的再现对本体的还原,我们可鉯把它理解为图片、照片、影像不是人为创作的图形。“图象”则重在表现是对自然物象的变形、提炼、升华是图形。因为函数图象嘚生成并不是用模仿、比照等方法制成的“影像”或“像”而是通过“形”来反映自变量与因变量的对应关系。坐标系中的点、线、面忣各种几何图形都属于函数“图象”而不能用“图像”来代替,如二次函数的图象就是抛物线凡表示形状、样子,应称“象”;而比照、模仿人、物、景观而摄取(或画)的“影像”则应称“像”如摄像、画像、肖像、影像、绣像等。从而出现了初中《物理》教材中兩种情况:“图像”和“图象”

总之,“图象”与“图像”上有区别的区别之处简单点说就是:图象是图形,图像是画面;图象是人為创作图像是自然再现;图象注重形状、变化趋势,图像注重色彩、整体印象

本文来源|品数学图(ID:pinmaths)

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