若函数fx为偶函数（）x为偶函数, 那么一定成立f（0）=0

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-02-17 13:38 标签： 若函数fx为偶函数

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：①根据偶函数定义可得g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x）故①可判断；②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，可得f（x+2）=-f（-x）故②错误；③由对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，可知f（2+x）=-f（x）根据f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x）从而可判断f（x）的图象关于直线x=1对称；④利用函数单调性的定义，结合

可知函数f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．

解答：①∵g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x）∴函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数故①正确；②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，∴f（x）=-f（2-x）∴f（x+2）=-f（-x），f（x）不是以2为周期的周期函数故②错误；③∵对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，∴f（2+x）=-f（x）∵f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x）∴f（2+x）=f（-x）∴f（x）嘚图象关于直线x=1对称；④设任意x1，x2∈R且x1＜x2∴x1-x2＜0，∵∴f（x1）-f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）为（-∞+∞）上的增函数．

点评：本题以函数為载体，主要考查函数的奇偶性周期性，对称性及函数的单调性解题时应一一判断．

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