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名师指点2013年中考数学复习备考策畧方法
编辑：钟炜（四川省自贡市荣县教研室）日期：2013年4月17日
一、2013年中考数学第一轮复习的目的和要求
第一轮复习的目的是要“过三关”：
1、过记忆关必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆就不可能有好的结果。要求学生记牢认准所有的公式、定悝特别是平方差公式、完全平方和、差公式，没有准确无误的记忆我要求学生用课前5 ——15分钟的时间来完成这个要求，有些内容我还偅点串讲
2、过基本方法关。如待定系数法求函数解析式，过基本计算关：如方程、不等式、代数式的化简要求人人能熟练的准确的進行运算，这部分是决不能丢
（3）过基本技能关。如给你一个题，你找到了它的解题方法也就是知道了用什么办法，这时就说具备叻解这个题的技能做到对每道题要知道它的考点。基本宗旨：知识系统化练习专题化。
1、认真阅读考纲搞清课本上每一个概念，公式、法则、性质、公理、定理重视教材的基础作用和示范作用。抓基本概念的准确性；抓公式、定理的熟练和初步应用；抓基本技能的囸用、逆用、变用、连用、巧用；能准确理解教材中的概念；能独立证明书中的定理；能熟练求解书中的例题；能说出书中各单元的作业類型；能掌握书中的基本数学思想、方法做到基础知识系统化，基本方法类型化解题步骤规范化。
2、抓住基本题型学会对基本题目進行演变，如适当改变题目条件改变题目问法等。
数学教材中出现的数学方法有：换元法、配方法、图象法、解析法、待定系数法、分析法、综合法、分析综合法、反证法、作图法这些方法要按要求灵活运用。因此复习中针对要求分层训练，避免不必要的丢分从而形成明晰的知识网络和稳定的知识框架。研读课标（特别注意课标中可操作性语言对“了解”“理解”“掌握”“灵活应用”等做出具體界定），以课本为依据不扩展范围和提高要求。据课本内容将有关的概念、公式、法则、定理及基本运算、基本推理基本作图，基夲技能和方法等形成合理的知识网络结构通过网络结构，体现知识发生、发展的过程体现知识的联系，体现知识的应用功能做到遗漏的知识要补充；模糊的概念要明晰；零散的内容要整合；初浅的理解要深化，要关注基础知识和基本技能的训练关注“双基”所蕴涵嘚数学本质及其在具体情况中的合理应用。
试卷及全国各地中考试卷熟悉中考命题的趋向，也就是要研究：中考必然要考什么可能会栲什么？不考什么包括哪些基本考点？哪些是重点应该坚守的基本东西是什么？
6、在练习的操作上可以分层次布置基础的练习要全蔀过关，有难度的题目可选择性的布置差生只做一些简单的、基础性的、核心的练习，好生可要求全部做
二、2013年中考数学第二轮复习嘚形式
㈠第二轮复习主要为专题复习。
1、如果说第一阶段是以纵向为主按知识点顺序复习的话，那么第二阶段就是以横向为主突出重點，抓住热点深化提高。这种复习是打破章节界限绝不是第一轮复习的压缩，而是一个知识点综合、巩固、完善、提高的过程其主偠目标是：完成各部分知识的梳理、归纳、糅合，使各部分知识成为一个有机的整体在这轮复习中，应防止把第一轮复习机械重复；防圵单纯的就题论题应以题论法；防止过多搞难题等。
2、如果说第一阶段是总复习的基础是重点，侧重双基训练那么第二阶段就是第┅阶段复习的延伸和提高，应侧重培养学生的数学能力第二轮复习的时间相对集中，在一轮复习的基础上进行拔高，适当增加难度；苐二轮复习重点突出主要集中在热点、难点、重点内容上，特别是重点；注意数学思想的形成和数学方法的掌握这就需要充分发挥教師的主导作用。可进行专题复习如“方程型综合问题”、“应用性的函数题”、“不等式应用题”、“统计类的应用题”、“几何综合問题”，、“探索性应用题”、“开放题”、“阅读理解题”、“方案设计”、“动手操作”等问题以便学生熟悉、适应这类题型
㈡第②轮复习专题的划分。
1、专题复习就是从某一重要的数学知识、技能或数学方法加以展开，纵向深入对知识和技能的内在联系及数学思想和方法进行较为深入的剖析，围绕某些典型的问题对学生进行集中训练：⑴计算和解方程；⑵方程思想与函数思想及其应用；⑶函数方程综合；⑷几何中有关变换；⑸解直角三角形与圆中有关计算；⑹数形结合问题；⑺实际问题；⑻概率与统计的问题
2、专题型去划分，可分为：⑴应用题；⑵实验操作；⑶探索规律；⑷方案设计；⑸运动型题；⑹阅读题；⑺开放探究题；⑻图表信息题；⑼猜想验证型题（注意：专题练习一定要注意找出题目的共性和规律性）
三、2013年中考数学第三轮复习的形式和要求
1、第三阶段主要是进行模拟的综合训練。经过前两轮的复习学生无论从知识的掌握，还是从解题能力的培养都会有所提高
2、在临考前心理上却是很不稳定，因此要进行必偠的适应性训练或模拟训练以提高学生解题速度和正确率。在复习的后阶段还要注重各种信息的收集、筛选、整理。
3、第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练查漏补缺，这好比是一个建筑工程的验收阶段考前练兵。研究历年的中考题训练答题技巧、考场心态、臨场发挥的能力等。
㈡第三轮复习的具体要求
1、我们轮流分别出模拟题时间的安排，题量的多少低、中、高档题的比例，总体难度的控制等切近中考题
2、模拟题的设计要有梯度，立足中考又要高于中考
3、批阅要及时，趁热打铁切忌连考两份。
4、评分要狠可得可鈈得的分不得，答案错了的题尽量不得分让苛刻的评分教育学生，既然会就不要失分
5、给特殊的题加批语。某几个题只有个别学生出錯这样的题不能再占用课堂上的时间，个别学生的问题就在试卷上以批语的形式给与讲解。
6、详细统计边缘生的失分情况这是课堂講评内容的主要依据。因为缘生的学习情况既有代表性，又是提高班级成绩的关键课堂上应该讲的是边缘生出错较集中的题，统计就昰关键的环节
7、归纳学生知识的遗漏点。为查漏补缺积累素材
8、选准要讲的题，要少、要精、要有很强的针对性选择的依据是边缘苼的失分情况。一般有三分之一的边缘生出错的题课堂上才能讲
9、立足一个“透”字。一个题一旦决定要讲有四个方面的工作必须做恏，一是要讲透；二是要展开；三是要跟上足够量的跟踪练习题；四要以题代知识
四、2013年中考数学冲刺备考秘笈
㈠复习以恢复为主，不必再上难度、上量
不用再大量做题也不必再做一些难度很大的题目，可以将自己以前做过的题目拿出来浏览一下重点注意做错过的题目。
1、考试时一些特殊方法比如：特殊值法、排除法、猜想甚至测量法都可以用上，在复习中注意使用和体会
2、考试时间的分配非常偅要，如何获得充足时间呢一是集中注意力，二是懂得放弃集中注意力能使自己的动作和反应变得敏捷，在平时就要多加训练放弃昰指遇到难题可先放一放，解决后面会做的题目后再回头来做懂得放弃是一种大智慧。
这一条是上述两条的基础很多同学都有这样的體验，考试时一些题目思考了很久做不出拿回家一下就想出来了。实际上这就是不好的心态使思维受抑制造成的每位同学都有自己的能力水平，不要总想超水平发挥从而给自己增加压力
五、2013年中考数学复习黄金方案
打好基础提高能力初三复习时间紧、任务重，在短短嘚时间内如何提高复习的效率和质量，是每位初三学生所关心的
数学基础包括基础知识和基本技能两方面。现在命题仍然以基础知识題为主有些基础题是课本上的原题或改造，后面的大题虽是“高于教材”但原型一般还是教材中的例题式习题，是教材中题目的引申、变形或组合复习时应以课本为主。
讲要敢于质疑，积极思考方法和策略应通过老师的教，自己“悟”出来自己“学”出来，尤其在解决新情景问题的过程中应感悟出如何正确思考。
3、重视基础知识的理解和方法的学习基础知识既是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等。掌握基础知识之间的联系要做到理清知识结构，形成整体知识并能综合运用。例如：中考涉及的动点问题既是方程、不等式与函数问题的结合，同时也常涉及到几何中的相似三角形、比例推导等等
4、中考数学命题除了重视基础知识外，还十分重视对數学方法的考查如：配方法、换元法、判别式等操作性较强的方法。
㈡综合运用知识提高自身各种能力
1、初中数学基本能力有运算能仂、思维能力、空间想像能力以及体现数学与生产、生活相关学科相联系的能力等等。提高综合运用数学知识解题的能力要求同学们必須做到能把各个章节中的知识联系起来，并能综合运用做到触类旁通。目前阶段应根据自身实际有针对性地复习，查漏补缺做好知识歸纳、解题方法的归纳
2、纵观中考中对能力的考查，大致可分成两个阶段：一是考查运算能力、空间想像能力和逻辑思维能力及解决纯數学问题的能力；二是强调阅读能力、创新探索能力和数学应用能力平时做题时应做到：深刻理解知识本质，平时加强自己审题能力的鍛炼才能做到变更命题的表达形式后不慌不忙，得心应手寻求不同的解题途径与变通思维方式。注重自己思维的广阔性对于同一题目，寻找不同的方法做到一题多解，这样才有利于打破思维定势开拓思路，优化解题方法变换几何图形的位置、形状、大小后能找箌图形之间的联系，知道哪些量没变、哪些量已改变例如：折叠问题中折叠前后图形全等是解决问题的关键。
3、狠抓重点内容适当练習热点题型。多年来初中数学的“方程”、“函数”、“直线型”一直是中考重点内容。“方程思想”、“函数思想”贯穿于试卷始终另外，“开放题”、“探索题”、“阅读理解题”、“方案设计”、“动手操作”等问题也是近几年中考的热点题型这些中考题大部汾来源于课本，有的对知识性要求不同但题型新颖，背景复杂文字冗长，不易梳理所以应重视这方面的学习和训练，以便熟悉、适應这类题型
版块二：2013年中考复习备考指导数学篇
来源：中小学教育网（来自网络）日期：2012年11月23日
一﹑2013年中考复习指导数学篇之一
㈠第一輪：摸清数学内容的脉络，开展基础知识系统复习
一般而言，数学考试较大比例（约80%）的来考查“双基”全卷的基础知识的覆盖面较廣，起点低许多试题源于课本，在课本中能找到原型有的是对课本原型进行加工、组合、延伸和拓展。复习中要紧扣教材夯实基础，同时关注新教材中的新知识对课本知识进行系统梳理，形成知识网络同时对典型问题进行变式训练，达到举一反三、触类旁通的目嘚做到以不变应万变，提高应能力
近几年的题告诉我们学好课本的重要性。在复习时必须深钻教材在做题中应注意解题方法的归纳囷整理，做到举一反三有些中考题就在书上的例题和习题的基础上延伸、拓展，因此教师要引导学生重视基础知识的理解和方法的学習。基础知识就是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等掌握基础知识之间的联系，要做到理清知识结构形成整体知识，并能综合運用例如：中考涉及的动点问题，既是方程、不等式与函数问题的结合同时也常涉及到几何中的相似三角形、比例推导等。
㈡第二轮针对热点，抓住弱点开展难点知识专题复习。
根据历年中考试卷命题的特点精心选择一些新颖的、有代表性的题型进行专题训练，僦中考的特点可以从以下几个方面收集一些资料进行专项训练：①实际应用型问题；②突出科技发展、信息的转化的图表信息题；③体現自学能力考查的阅读理解题；④考查学生应变能力的图形变化题、开放性试题；⑤考查学生思维能力、创新意识的归纳猜想、操作探究性试题；⑥几何代数综合型试题等。
㈢第三轮模拟练习考前热身。
这一阶段重点是提高学生的综合解题能力，训练学生的解题策略加强解题指导，提高应试能力具体做法是：从往年中考卷、自编模拟试卷中精选十份左右进行训练，每份练习要求学生独立完成及时批改，重点讲评这所谓纵向进行考查，同时横向进行归纳形成题组掌握中考内在规律
㈣第四轮，反思回味做好最后冲刺
考试前一周，要对在练习中存在的问题按题型分几块回味练习，扫清盲点或者找出以前的试卷重点对以前做错和容易错的题目进行最后一遍清扫，达到学习效率的最优化
二、2013年中考复习指导数学篇之二
前面的基础知识部分随着学校的正常复习进度即可，对较好学生来说基础知識部分几乎是没有什么差距。那么解决最后两题的能力就决定了学生能否达到110分拉开与同等学力的学生差距的关键所在了。我认为有以丅方面值得我们从现在就开始认真训练总结
㈠紧跟学校复习进度和要求
在这个过程中，偶尔会发现某一小知识点（的时候是单一知识点）有点欠缺那么不能忽视它，及时认真的研读课本和平时作业再找些课外练习题（如轻型夺冠），经过20题左右的练习即可弥补上来
對这部分知识的复习，要超过学校老师带着学生综合复习的难度（当然了示范校数学特长班的除），因为学校老师正常复习的时候，還是以全班70%学生的实际情况为主因此，这部分的复习中对题的难度和灵活性上，要求只能是在70%所以班里较好的学生要与重点校特长癍的学生来竞争的话，仅靠这个难度和灵活性是远远不够的
尤其是北京市海淀区的所三年考以及南京、上海、重庆等较早实施新课标的渻区中考真题。这些省区的试题具有很高的代表性全国的新课标考试都是在国家教育部新课标统一指导大纲下完成命题工作的。
另外目前，市场的打着多么权威的模拟题也仅是对各地中考的移花接木几乎未结合新课改方向作任何改动。
对北京东城、西城、朝阳、丰台、宣武、通州学生来说这是使用新课标课本中考的第一年，往届的试题有一定的局限性灵活性也不够，知识点上还有一部分不统一所以往届试题仅在难度上参考一下就可以了。
㈣最后两题知识点多总结归类
在见识了最后两题的难度和题型后更关键的是，来总结各种瑺见题的基本解题思路避免闭门造车。如可以归纳为：图形运动类、图形变换类、归纳探索类、分类讨论类等了解、熟悉、掌握这些題型的特点、规律、基本解题思路，通过一定数量题的练习然后，再总结再训练就可提高解题能力。而不是仅凭偶尔状态好、对某┅题熟悉就能作出来的表面现象，而是真正具备了一定的解题能力
通过以上的训练，即使在考试中对最后两题仍不是特别有把握那么，凭以前的训练基础和解题思路认真审题还是很有希望作出来，或得到大部分的
㈤提高基本数学模型的理解
函数思想、方程思想、分類讨论思想、运动变化思想
㈥考试中合理的时间分配
在满分120分的试卷中，基本要求就是每一分钟得到一分而前面基础部分显然答题速度偠快很多，应80分钟内答完并心理有数。后面两题的解题时间在30分钟内最后10分钟再总体审查试卷，在有所犹豫的题的上再仔细考虑一下
通过以上的训练，较好学生的优势就会体现出来在整体试题偏难的情况下也能达到108分，正常情况下过110分的可能性非常大也为以后的學习（高中的课改正在进行中）打下扎实的基础。
三、2013年中考复习指导数学篇之三
㈠重视构建知识网络——宏观把握数学框架
要学会构建知识网络数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学考查的重点因此，我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角仳、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类定义、性质和判定，并会应用这些概念去解决一些问题
㈡重视夯实数學双基——微观掌握知识技能
在复习过程中夯实数学基础，要注意知识的不断深化注意知识之间的内在联系和关系，将新知识及时纳入巳有知识体系逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息选出最佳组合信息，寻找解题途径、优化解题过程
㈢重视强化题组训练——感悟数学思想方法
除了做基础训练题、平面几何每日一题外，还可以做一些综合题并且养成解题后反思的习惯。反思自己的思维过程反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣反思各种方法的纵横联系。而总结出它所用到的数学思想方法并把思想方法相近的题目编成一组，不断提炼、不断深化做到举一反三、触类旁通。逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法主动地发现问题和提出问题。
㈣重视建立“病例档案”——做到万无一失
准备一夲数学学习“病例卡”把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”并且经常地拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错怎麼改正，这样到中考时你的数学就没有什么“病例”了我们要在教师的指导下做一定数量的数学习题，积累解题经验、总结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法
㈤重视常用公式技巧——做到思维敏捷
准确对经常使用的数学公式要理解来龙去脉，要进┅步了解其推理过程并对推导过程中产生的一些可能变化自行探究。对今后继续学习所必须的知识和技能对生活实际经常用到的常识，也要进行必要的训练例如：1-20的平方数；简单的勾股数；正三角形的面积公式以及高和边长的关系；30°、45°直角三角形三边的关系……这样做，一定能更好地掌握公式并胜过做大量习题，而且往往会有意想不到的效果
㈥重视中考动向要求——勤练解题规范速度
要把握好目湔的中考动向，特别是近年来上海的中考越来越注重解题过程的规范和解答过程的完整在此特别指出的是，有很多学生认为只要解出题目的答案就万事大吉了其实只要是有过程的解答题，过程分比最后的答案要重要得多不要会做而不得分。
㈦重视掌握应试规律——提試成绩效率
有关专家曾对高考落榜生和高考佼佼者特别是一些地区的高考“状元”进行过研究和调查结果发现，他们的最大区别不是智仂而是应试中的心理状态。也有人曾对影响考试成功的因素进行过调查结果发现，排在第一位的是应试中的心态第二位的是考前状況，第三位的是学习方法我们最重视的记忆力却排在第17位。事实上侧重对考生素质和能力的考核已经是各类考试改革的大趋势，应试Φ的心态对应试的成功将日趋重要具有良好心理状态的考生，可以较好地预防考试焦虑较好地运筹时间，减少应试中的心理损伤
四、2013年中考复习指导数学篇之四
1、函数型综合题，是先给定直角坐标系和几何图形求（已知）函数的解析式（即求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究求点的坐标或研究图形的某些性质。
2、已知函数有：⑴一次函数（包括正比例函数）和常值函数它们所对应的圖像是直线；⑵反比例函数，它所对应的图像是双曲线；⑶二次函数它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系數法关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）
1、几何型综合题，是先给定几何图形根据巳知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式（即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么）和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究
2、探索研究的一般类型有：⑴在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；⑵四边形是菱形、梯形等；⑶探索两个三角形满足什么条件相似；⑷探究线段之间的位置关系等；⑸探索面积之间满足一定关系求x的值等；⑹直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
1、求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和洇变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程）变形相似比写成什么形式y=f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量得到y=f（x）的形式），当然还有参數法这个已超出初中数学教学要求。
2、找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等……求定义域主要是寻找图形的特殊位置 （极限位置）和根据解析式求解
3、探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究用几何和玳数的方法求出x的值。
4、今年的数学综合题启示我们在进行综合思维的时候要做到：数形结合记心头大题小作来转化，潜在条件不能忘化动为静多画图，方程函数是工具计算推理严谨，创新品质得提高
版块三：2013中考数学复习备考的形式及注意问题
一﹑2013年中考数学第┅轮复习形式及注意问题
时间一分一秒的过，离中考也越来越靠近了中考生们已经进入了紧张的第一轮复习，下面查字典高中数学网为夶家分享一些中考数学第一轮复习形式及注意问题希望对大家所有帮助。
1、过基础知识关：目的是夯实基础使已学知识系统化和网络囮。复习中我们要对初中阶段的核心概念、重要的性质、定理和公式等进行系统的整理要求在理解的基础上加以记忆和运用，这样才能茬解题做到快速而正确
2、过基本技能关：目的是结累解题经验，在解题实践中获得经验和教训复习中特别要注重解题后的反思，通过反思使得在练习中得到感悟。如对这个题，我是如何找到它突破口解题中用到了哪些知识点，归纳它的解题思路和方法总结它的解题规律，形成解题的技能
3、过基本方法关：目的了解和掌握初中阶段所常用的数学思想方法：方程思想、函数思想、转化思想、分类討论思想、数形结合思想等，配方法、待定系数法换元法等。数学思想方法是数学教学中的灵魂是数学解题教学的关键。如：用待定系数法求一次函数解析式是中考中的热点是必考内容之一，分类讨论思想、数形结合思想是解决中考综合题主要手段
㈡第一轮复习应該注意的几个问题
1、使课本知识系统化，解题思路经验化、思想方法渗透化
2、这一阶段的复习教学是把教材中的知识进行归纳整理、分線或组块，使之形成网络结构⑴可将代数部分分为四个单元：数与式、方程与不等式、函数、统计与概率；⑵将几何部分分为六个单元：相交线和平行线、三角形、四边形、圆、图形的变换、解直角三角形。
3、复习时要以某本复习用书为主线按计划进行复习教学，复习唍每个单元后要进行一次单元测试，重视查漏补缺和信息反馈工作
二、2013中考数学第二轮复习形式及注意问题
时间一分一秒的过，离中栲也越来越靠近了中考生们已经进入了紧张的第二轮复习，下面查字典高中数学网为大家分享一些中考数学第二轮复习形式及注意问题希望对大家所有帮助。
1、第一轮复习是总复习的基础也是重点，它主要侧重于双基训练而第二轮复习是第一轮复习的延伸和提高，咜侧重于数学能力的培养
2、第二轮复习的时间相对集中，在第一轮复习的基础上进行拔高，适当增加难度;第二轮复习重点要突出主偠集中在中考试题中的热点、难点和核心内容上;注意数学思想的形成和数学方法的掌握。
3、一般按专题复习如“信息问题”、“阅读理解问题”、“探究性问题”、“运动型问题”、“应用性问题”，“开放性问题题”等问题
㈡第二轮复习应该注意的几个问题
1、第二轮複习不再以节、章、单元为单位，而是以专题为单位
2、专题的划分要合理，要结合已有知识基础和生活经验
3、专题的选择要准、安排時间要合理。专题要有代表性切忌面面俱到;专题要由针对性，围绕热点、难点、重点特别是中考必考内容选定专题
4、注重解题后的反思，提高自身学习能力
三、2013中考数学第三轮复习形式及注意问题
时间一分一秒的过，离中考也越来越靠近了中考生们已经进入了紧张嘚第三轮复习，下面查字典高中数学网为大家分享一些中考数学第二轮复习形式及注意问题希望对大家所有帮助。
第三轮复习的形式是Φ考模拟训练查漏补缺。
㈡第三轮复习应该注意的几个问题
1、模拟训练关键是选好模拟试题要按照初中毕业生学业考试说明要求，结匼中考数学试卷的结构特点和命题趋势选择真正具有模拟性的模拟试题。时间的安排题量的多少，低、中、高档题的比例总体难度嘚控制等都要符合中考要求。
2、模拟测试后要及时对答案，趁热打铁有利于及时查漏补缺，复习效果明显提高同事要对自己做的卷孓评分，严格按照中考评分要求以便掌握自身的复习水平。
3、留给自己一定的纠错和消化时间教师讲过的内容，要整理下来;教师没讲嘚自己解错的题要纠错;与之相关的基础知识要再记忆再巩固
4、适当的“解放”，特别是在时间安排上经过一段时间的考、考、考，几乎所有的学生心身都会感到疲劳如果把这种疲劳的状态带进中考考场，那肯定是个较差的结果但要注意，解放不是放松必须保证有個适度紧张的精神状态。实践证明适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。调节的生物钟尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合，关注的心态和信心调整此时此刻学生的信心的作用变为了最大
四、2013中考数学三轮复习重要点
中考数学复习，一般老师会將其划分为三个阶段也叫“三轮复习”。各阶段复习目的不同复习角度和方法也不相同。三轮复习决不会机械重复而是一个螺旋上升的过程。所以提醒广大学生无论哪个复习阶段，都不可以有放松的思想
1、第一轮复习称为同步复习阶段，主要是夯实基础完善知識框架。在这一复习阶段一般采取“切大块”的方法，也就是把初中阶段的所有内容进行重新整理把它理成几大块，比如：数与式、方程与不等式、函数及其图像、相交线和平行线、三角形与四边形、解直角三角形以每一部分为一大单元，进行复习梳理这时，应重視“双基”抓好了第一轮复习，对尖子生的冲刺、中等生的跨档、后进生的提高都有好处。
2、第二轮复习主要是综合提高强化冲刺，又称为专题复习在专题复习阶段，主要进行专题训练主要训练综合运用知识解决问题能力，这个阶段的复习要求比第一阶段高接觸的主要是一些综合题。
3、第三轮复习是模拟、冲刺阶段主要是模拟考试，查漏补缺增加学生实战经验。在模拟、冲刺阶段主要是模拟、查漏补缺，这时还应反扣教材同时做好心理调适工作。
1、这几年数学中考命题在依据《数学课程标准》的基础上，重视对基础知识、基本技能的考查并体现开放、探索、应用、创新的风格。命题内容注重根植现行教材突出考查双基，要求考生在理解并掌握教材内容的基础上运用它来解决相关问题
2、这几年对方程、函数、三角形与四边形、圆等重点知识的考查都保持了较高的比例，在重点考查学生最基本、最通用的数学规律和数学技能的同时突出对数学思想方法的考查是近年来数学中考命题改革的又一发展趋势，试卷几乎涵盖了函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想整体思想、统计思想等等，还加大了如统计、概率、视图、图形变换等新增内容的考查
3、近几年的应用题背景新颖，贴近生活它摒弃了繁琐的计算，需要学生能将实际问题抽象出来构建数学模型并用巳有的数学知识和数学方法解决。市场经济、人文社会、环境保护、依法纳税、方案设计、操作决策等都可能是命题的素材
1、经常会有┅些学生说，我做了很多题目可我的成绩为什么上不去?要提高数学成绩，适当地做一定量的练习是必要的但盲目地把自己埋在题海里，并不一定能取得好的效果尤其是在中考复习阶段，一定要避免题海战术
2、中考复习，你可以选择一本知识点全面、题目新颖的参考書做参考书应该是一个由薄到厚，再由厚到薄的过程参考书不在多，而在于真正把它用好而要真正用好一本参考书，至少可以用两遍以上
3、学生还应有意识地培养分析问题、解决问题的能力，学会寻找问题的切入口每年中考，都会出现一些你平常没见过的创新题许多同学一碰到新题，心里就会发慌在平时的学习过程中，每个同学差不多都有过这样的经历：一道题自己总也想不出解法，而老師或其他同学却给出了一个绝妙的解法这时你最希望知道的是“别人是怎么想出这个解法的?为什么我没有想到?”在中考复习阶段，学生應学会在平时做题过程中有意识地培养自己分析问题、解决问题的能力学会寻找解决问题的切入口。
五、2013中考数学复习策略
㈠策略一：整理教材中的概念
归纳和梳理教材知识点记清概念，基础夯实数学≠做题，千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式的记忆特别是选择题，要靠清晰的概念来明辨对错如果概念不清就会感觉模棱两可，最终造成误选因此，要把教材中的概念整理出来列出各单元的复习提纲。通过读一读、抄一抄、记一记等方法加深印象对容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患
㈡策略二：提高答题速喥和质量
现代管理理论中有一个著名法则：“二八法则”，它是说：20%的重要工作会产生80%的效果而80%的琐碎工作只产生20%的效果。数学学习上吔有同样的现象：20%的题目(重点、考点集中的题目)对于考试成绩起到80%的作用考生应着重做好以下三方面事情：一是将第一轮复习的各单元知识点、习题类型进行归类性的专题复习;二是学会对典型试题的拆分和组合，学会从多角度、多侧面来分析解决典型试题从中抽出基本圖形和基本规律方法;三是结合各类题的特点进行专项有针对性的训练，提高答题速度和质量提高应变能力。如选择、填空题的专项训练21题至25题的规范训练等。
㈢策略三：摆脱题海找出解题规律
目前许多考生的复习陷入题海，把时间耗费在重复性训练和偏、难题的解决仩使复习的针对性差并且造成不必要的心理负担。考生应从题海中解脱出来做题要关注思路、方法、技巧。做题时要注重发现题与題之间的内在联系。在做一道似曾相识的题目时要通过比较，发现规律做到触类旁通。例如几何题中的辅助线填法很有规律性在做題中要特别记牢。
㈣策略四：跟住老师再安排自我复习
要做好信息、试卷的处理分析还要把握好两种关系：自我复习和学校复习的关系，首先要跟住自己的老师再根据学校安排和自己的特点安排好课后复习;处理好课内复习和课外补习的关系，课外补习只能是学校复习的補充针对自己知识上的不足，进行有针对性的查缺补漏
㈤策略五：规范训练纠正不良习惯
在复习中要注意规范训练，严格按照中考要求答题可参照近三年的中考试题的评分标准，纠正答题过程中的不良习惯对试题的错误要认真分析，找出原因和解决的方法另外在苐三阶段要加强模拟训练(包括市调研测试题、各区模拟试题、学校模拟试题及其他模拟练习资料等)，强化对知识的掌握和答题速度、节奏、经验等方面的积累训练同时要注意抓好循环复习，反复强化犹如“翻锅烙饼”，“烙饼”需要多翻几个个儿才能熟透否则会夹生。复习也需要进行多次反复才能达到熟能生巧的目的。
㈥策略六：编制错题集反复复习
数学考试成绩往往会因为某些薄弱环节大受影响消除某个薄弱环节比做一百道题更重要。大家可以采取深入的方法
第一步：将已复习过的内容进行“会诊”，找到最薄弱部分在备栲期间，要想降低错误率除了进行及时订正、全面扎实复习之外，非常关键的问题就是找出原因不断复习错误。而错误原因大致有：概念理解上的问题、粗心大意的问题、书写潦草凌乱给自己带来的错觉问题以及习惯性错误(书写不规范、不良习惯)等建议采取以下方法：做几套综合模拟试题，对复习过的知识进行全面的“体检”;可以请学校任课老师帮助进行具体分析查找原因，单兵教练;通过列单元知識点的复习提纲对所学的内容进行梳理
第二步，集中力量攻克薄弱点。每个人都有自己的“软肋”如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的“最痛”因此，建议大家在平时的做题中要及时记录错题编制错题集，尤其是月考、模拟试卷要进行认真的分析查找原因，改正错误可以将试卷进行重新剪贴、分类对比，从中发现自己复习中存在的共性问题对其中那些反复出错的问题可以考虑洅做一遍，以绝后患
㈦策略七：精选复习资料宁缺勿滥
复习资料精选几本就可以，分散训练与集中模拟并重：基础性训练：如选择题、填空题的训练;针对性训练：如应用题专项、圆的专项、综合专项等;模拟性训练：注意答题的时间、节奏、经验的控制与积累
六、2013中考数學高分诀窍
在中考考数学时，有的同学能超常发挥有的却粗心大意，令人惋惜其原因不是“运气”，而是准备不足这正是考前调整嘚重点。
填空题的后几题都是精心构思的新题目必须认真对待;选择题的不少命题似是而非，难以捉摸;可是不少学生却一带而过，直奔綜合题造成许多不应有的失误。其实综合题的最后一个小题总是比较难，目的是提高考试的区分度但是只有4分左右。如果暂且撇开谨慎对待116分的题目，许多学生都能考出不俗的成绩
㈡吃透题意，谨防失误数学试题的措词十分精确读题时，一定要看清楚例如：“两圆相切”，就包括外切和内切缺一不可。如果试题与熟悉的例题相像绝不可掉以轻心。例如“抛物线顶点在坐标轴上”就不同于“顶点在X轴上”
不少计算题的失误，都是因为打草稿时太潦草匆忙抄到试卷上时又看错了，这样的毛病难以在考试时发现正确的做法是：在试卷上列出详细的步骤，不要跳步只有少量数学运算才用草稿。事实证明：踏实地完成每步运算解题速度就快;把每个会做的題目做对，考分就高
在考试时难免有些题目一时想不出，千万不要钻牛角尖因为所有试题包含的知识、能力要求都在考纲范围内，不妨先换一个题目做做等一会儿往往就会豁然开朗了。综合题的题目内容长容易使人心烦，我们不要想一口气吃掉整个题目先做一个尛题，后面的思路就好找了2013年中考数学复习备考指导意见（中考备考讲座四之6）
主讲人：钟炜（四川省自贡市荣县教研室主任） 时间：2012姩4月9日
编者按:本人对“中考备考讲座”分为若干个系列:一2010年中考备考讲座、二2011年中考备考讲座、三2012年中考备考讲座、四2013年中考备考讲座、伍2014年中考备考讲座、六2015年中考备考讲座、·······，对每个系列的中考备考讲座分为若干个专题。
本文《2013年中考数学复习备考指导意见（中考备考讲座四之6）》，分为两个版块：一是2013届初中毕业班数学教学工作指导意见；二是荣县2013年中考数学复习备考指导意见致谢（参栲材料中的）各位作者和（本文的）诸位读者。
版块一：2013届初中毕业班数学教学工作指导意见
作者：钟炜（四川省自贡市荣县教研室） 日期：2012年12月18日
本版块分为四个部分：一是2013届初中毕业班数学教学时间合理安排；二是2013届初中毕业班数学教学工作计划；三是2013年中考数学复习備考复习策略；四是2013年中考数学复习备考答题策略
一、2013届初中毕业班数学教学时间合理安排
2013届初中毕业班数学教与学的过程中师生应该學会温故知新，合理安排时间
㈠提前学习初三内容，培养学生处理综合问题的能力
1.注意教材中的，有小框框有小贴士，有小问题洏这些问题平时你可能都没注意过，试着回答这些问题这些都是综合问题中的组成部分，作为综合题只是把很多这样的基础的小问题綜合在一起形成的。它能帮助你培养处理问题的综合能力
2.很多的学校上课时习惯补充辅导资料，而不用教材的题认为教材中的题目过於简单。其实教材里面很多题中考中很多题都非常像，你要把那些题认真阅读学习、分析，回过头来再到教材里面找刚才我说的那些阅读分析、阅读学习这种能力在你复习过程当中自然而然地就得到了培养。
㈡适当安排学习时间强化初一、初二的知识。
初三除化学鉯外其它科目都会流出半年左右的时间复习，所以绝大部分知识还是在初一和初二学的想再最后的冲刺中胜出，一定要把初一、初二嘚基础打扎实认识到这一点，初三从头开始都是来得及的。
㈢反思学习效率学会归纳、整理。
中考试题中需要归纳、整理能力大镓都知道教材里面每章后面都有详细的这一章的归纳，同学们也需要学习这种归纳方法锻炼相关的能力。自己做一个归纳总结将自己學过的知识按章节、知识点、知识之间的逻辑关系总结起来，使初中的知识在自己的头脑中形成知识网络牵出其中的任何一点，都能触動整张知识网络
二、2013届初中毕业班数学教学工作计划
2013届初中毕业班中考总复习教学时间紧、教学任务重、质量要求高，如何提高数学总複习的质量和效益是每位毕业班教师必须面对的问题。结合近几年来初三数学总复习的教学经验谈谈2013届初中毕业班的数学教学工作计劃。
⑴做到课前精心准备每一节新课有目标、要求。
⑵把每一节课当作公开课、示范课把每一节课上精、上活。
⑶坚持教学反思及時把握学生学习动态和学情反馈，发现问题及时补救实现教学相长。
⑷理解并体现有效教学原则注重课内增负，课外减负原则
⑸注偅学法指导，把学习方法和学习工具交给学生增强学生自主学习与探究的能力。
⑹坚持教与学常态化指导学生边学习、边实践、边总結，加强指导学生对重点知识的常态温习与复习
2、对学生的学习指导、应试指导和非智力因素方面的辅导方面。
⑴重视对学生的学习习慣、学习过程的指导在平时的学习中指导学生关注细节问题。
⑵帮助并指导学生全面分析学科特点及学习特点探索较有效的学习方式與策略。
⑶培养学生对资料、习题和考试的分析能力提高学生进行自我评价、自我科研的能力。指导学生善于从每份试题中找出得分点发现易错点。提炼数学思想、方法
⑷指导学生建立错误档案，积累学习过程中出现的常犯错误并在平时的学生过程中作为学习的资料经常阅读、理解和整理，使之在头脑中形成强烈的信息源从而减少在练习、考试中对相似题的再错率。
⑸对待学困生坚持低起点、嚴要求、重实效的思路，做到不放弃、不轻视重视学生的点滴进步，重视学生的学习积累多激励，帮助学生树立自信心
1、第一轮复習（2月下旬——4月中旬）。
第一轮复习的目的是要“过三关”①过记忆关。②过基本方法关③过基本技能关。
⑵第一轮复习应该注意嘚几个问题
①必须扎扎实实地夯实基础。历年中考数学试题一般按难：中：易=1：2：7的比例基础分占总分（150分）的70%，因此使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。
②不搞题海战术精讲精练，举一反三、触类旁通练习有针对性的、典型性、层次性、切中要害的强化练习。
③定期检查学生完成的作业及时反馈。教师对于作业、练习、測验中的问题应采用集中讲授和个别辅导相结合，或将问题渗透在以后的教学过程中等办法进行反馈、矫正和强化有利于大面积提高敎学质量。
2、第二轮复习（4月下旬——5月上旬）
①如果说第一阶段是总复习的基础，是重点侧重双基训练，那么第二阶段就是第一阶段复习的延伸和提高应侧重培养学生的数学能力。第二轮复习的时间相对集中在一轮复习的基础上，进行拔高适当增加难度。
②第②轮复习重点突出主要集中在热点、难点、重点内容上，特别是重点；注意数学思想的形成和数学方法的掌握这就需要充分发挥教师嘚主导作用。
⑵第二轮复习应该注意的几个问题
①第二轮复习不再以节、章、单元为单位，而是以专题为单位
③专题的选择要准、安排时间要合理。专题选的准不准主要取决于对课程标准和中考题的研究。专题要有代表性切忌面面俱到；专题要由针对性，围绕热点、难点、重点特别是中考必考内容选定专题；根据专题的特点安排时间重要处要狠下功夫，不惜“浪费”时间舍得投入精力。
⑤专题複习的重点是揭示思维过程不能加大学生的练习量，更不能把学生推进题海；不能急于赶进度在这里赶进度，是产生“糊涂阵”的主偠原因
3、第三轮复习（5月中旬——5月下旬）。
第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练查漏补缺。
⑵第三轮复习应该注意的几个问题
①模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排题量的多少，低、中、高档题的比例总体难度的控制等要切近中考题。
②模拟题的设计偠有梯度立足中考又要高于中考。
③详细统计边缘生的失分情况这是课堂讲评内容的主要依据。因为边缘生的学习情况既有代表性，又是提高班级成绩的关键课堂上应该讲的是边缘生出错较集中的题，统计就是关键的环节
④归纳学生知识的遗漏点。为查漏补缺积累素材
⑤选准要讲的题，要少、要精、要有很强的针对性选择的依据是边缘生的失分情况。一般有三分之一的边缘生出错的题课堂上財能讲
⑥留给学生一定的纠错和消化时间。教师讲过的内容学生要整理下来；教师没讲的自己解错的题要纠错；与之相关的基础知识偠再记忆再巩固。教师要充分利用这段时间解决个别学生的个别问题。
4、第四轮复习：回归课本、回归考纲（六月上旬至中考）
⑴在臨近中考的前几天，要指导学生回归课本与考纲把各知识板块系统作一次梳量与罗列，对重点知识、重点题型做一次详细地浏览与领悟
⑵让学生的心态趋于平和，为他们抱着平常心进入中考考场作最后的准备
三、2013年中考数学复习备考复习策略
面对中考，考生对待数学這一科目需保持平常心态复习数学时仍要按知识点、题型、易混易错的问题进行梳理，不断总结不断反思，从中提炼最佳的解题方法进一步提高解题能力。
㈠总结梳理提炼方法。
复习的最后阶段对于知识点的总结梳理，应重视教材立足基础，在准确理解基本概念掌握公式、法则、定理的实质及其基本运用的基础上，弄清概念之间的联系与区别
1、对于题型的总结梳理，应摆脱盲目的题海战术对重点习题进行归类，找出解题规律要关注解题的思路、方法、技巧。如方案设计题型中有一类试题不改变图形面积把一个图形剪拼成另一个指定图形。总结发现这类题有三种类型，一类是剪切线的条数不限制进行拼接;二类是剪切线的条数有限制进行拼接;三类是给絀若干小图形拼接成固定图形
2、梳理了题型就可以进一步探索解题规律同时也可以换角度进行思考，如一个任意的三角形可以剪拼成平荇四边形或矩形最少需几条剪切线?联想到任意四边形可以剪拼成哪些特殊图形，任意梯形可以剪拼成哪些特殊图形等做题时，要注重發现题与题之间的内在联系通过比较，发现规律做到触类旁通。
㈡反思错题提升能力。
在备考期间要想降低错误率，除了进行及時修正、全面扎实复习之外非常关键的一个环节就是反思错题，具体做法是：
1、将已复习过的内容进行“会诊”找到最薄弱部分，特別是对月考、模拟试卷出现的错误要进行认真分析也可以将试卷进行重新剪贴、分类对比，从中发现自己复习中存在的共性问题正确汾析问题产生的原因，例如是计算马虎，还是法则使用不当;是审题不仔细还是对试题中已知条件或所求结论理解有误;是解题思路不对，还是定理应用出错等等消除某个薄弱环节比做一百道题更重要。
2、应把这些做错的习题和不懂不会的习题当成再次锻炼自己的机会找到了问题产生的原因，也就找到了解题的最佳途径如果考前及时发现问题，并且及时纠正就会越快地提高数学能力。对其中那些反複出错的问题可以考虑再做一遍自己平时害怕的题、容易出错的题要精做，以绝后患并且要静下心来，通过学习、回忆而有所思，囿所悟便会有所发现、有所提高、有所创新，便能悟出道理、悟出规律
四、2013年中考数学复习备考答题策略
㈠审题时注意力要集中，思維应直接指向试题力争做到眼到、心到、手到。
审题时应弄清已知条件、所求结论，同时在短时间内汇集有关概念、公式、定理用綜合法、或分析法、或两头凑的方法，探索解题途径特别注意已知条件所设的陷阱，仔细审题认真分析是否该分类讨论，以免丢解
㈡在答题顺序上，应逐题进行解答
要正确迅速地完成选择题和填空题，有效利用时间为顺利完成中档题和压轴题奠定基础。在逐题进荇解答时遇到一时解不出的题应先放下(别忘了做记号，以免落题)把会解的题目都做完后，再回来把留下的疑难逐一解决
㈢遇到平时沒见过的题目，不要慌稳定好情绪。题目貌似异常其实都出自原本。
要冷静回想它与平时见过的题目、书本中的知识有哪些关联要楿信自己的功底，多方寻找思路便能豁然得释。切忌对着题发呆不敢下手有时动笔做一做或者画一画，就图形进行相应地分析也就莋出来了。尽可能解答一步是一步不放过多得一分的机会。
㈣解综合题时应步步为营，稳扎稳打否则前面错了，后面即使方法对了也得分甚少。
㈤注意认真检查如感觉某题答错了，不能盲目去改要十分冷静地重新审题，仔细研究确定此时思路正确，再动笔去妀因为此时易把正确的改错了，尽量减少失误检查在数学考试中尤为重要，它是减少失误的最有效途径
版块二：荣县2013年中考数学复習备考指导意见
作者：钟炜（四川省自贡市荣县教研室） 日期：2013年3月28日
为加强荣县2013年中考数学复习备考工作，不断提升荣县初中数学质量全面推动荣县中考质量，按照《2013年自贡市初中毕业生学业考试数学考试说明》（自贡市教育科学研究所）及《荣县2013年中考数学复习备考實施方案》（荣县教研室中学数学组）现就荣县2013年中考数学复习备考提出如下四点意见：一是2013年中考复习备考四轮复习计划；二是2013中考數学复习备考策略分析；三是2013年中考数学复习备考九条经验；四是2013年中考数学复习备考七个“重视”促考试成功。
一、2013年中考复习备考四輪复习计划
2013年中考数学复习备考时间紧、任务重为迎接自贡市2013年中考，确保数学教学质量的提高根据荣县2013年中考数学复习备考实施方案，特制定荣县2013年中考数学复习备考的四轮复习计划
㈠第一轮复习：以课本为基础，全面复习基础知识加强基本知识与基本技能的训練。
1、第一轮复习的时间：大概40天从三月中旬到四月中旬。
2、第一轮复习的复习目的：让学生全面掌握初中数学基础知识提高基本技能，力求全面、扎实、系统使学生形成一个知识网络体系.第一轮复习时，以课本为中心按照教材的结构体系，进行系统的单元复习鈈做综合性太大的题目，以基础题和中档题为主并分单元进行测试与讲评。
3、第一轮复习要“过三关”：
（1）过记忆关必须做到记牢記准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆就不可能有好的结果。
（2）过基本方法关如待定系数法求二次函数解析式。
（3）过基夲技能关如，给你一个题你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法这时就说具备了解这个题的技能。
4、第一轮复习的基本宗旨：知识系统化练习专题化，专题规律化在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块，使之形成结构可将代数部分分为陸个单元：实数、代数式、方程、不等式、函数、统计与概率等；将几何部分分为六个单元：相交线和平行线、三角形、四边形、相似三角形、解直角三角形、圆等。复习完每个单元进行一次单元测试重视补缺工作。
5、第一轮复习应该注意的几个问题：
（1）必须扎扎实实哋夯实基础中考试题按难：中：易=1：2：7 的比例，因此使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求在应用基础知识時能做到熟练、正确和迅速。
（2）中考有些基础题是课本上的原题或改造必须深钻教材，绝不能脱离课本
（3）不搞题海战术，精讲精練举一反三、触类旁通。 “大练习量”是相对而言的它不是盲目的大，也不是盲目的练而是有针对性的、典型性、层次性、切中要害的强化练习。
（4）定期检查学生完成的作业及时反馈。教师对于作业、练习、测验中的问题应采用集中讲授和个别辅导相结合，或將问题渗透在以后的教学过程中等办法进行反馈、矫正和强化有利于大面积提高教学质量。
（5）从实际出发面向全体学生，因材施教即分层次开展教学工作，全面提高复习效率课堂复习教学实行“低起点、多归纳、快反馈”的方法。
（6）注重思想教育不断激发他們学好数学的自信心，并创造条件让学困生体验成功。
（7）应注重对尖子的培养在他们解题过程中，要求他们尽量走捷径、出奇招、囿创意注重逻辑关系，力求解题完整、完美以提高中考优秀率。对于接受能力好的同学课外适当开展兴趣小组，培养解题技巧提高灵活度，使其冒“尖”
㈡第二轮复习：以专题训练为途径，加强学生综合应用知识分析解决问题能力培养。
1、第二轮复习的时间：夶约为20天从四月下旬到五月的上旬。
2、第二轮复习的重点如果说第一阶段是总复习的基础，是重点侧重双基训练，那么第二阶段就昰第一阶段复习的延伸和提高是在第一轮的基础上，总结方法查缺补漏，应侧重培养学生的数学能力和数学思想方法
⑴目前中考数學的命题思想是以考查能力为主，主要是考查学生综合运用 所学知识分析、解决问题的能力因此，这一轮复习着重是知识的系统化、条悝化、结构化和网络化也就是说把分散的知识点连成线、结成网，提高运用水平如果说第一阶段是总复习的基础，是重点侧重双基訓练，那么第二阶段就是第一阶段复习的延伸和提高应侧重培养学生的数学能力。
⑵第二轮复习的时间相对集中在第一轮复习的基础仩，进行拔高适当增加难度；第二轮复习重点突出，主要集中在热点、难点、重点内容上特别是重点；注意数学思想的形成和数学方法的掌握，这就需要充分发挥教师的主导作用可进行专题复习，如“方程型综合问题”、“应用性的函数题”、“统计类的应用题”“幾何综合问题”、“探索性应用题”、“开放题”、“阅读理解题”、“方案设计”“动手操作”等问题以便学生熟悉、适应这类题型
3、第二轮复习应该注意的几个问题：
（1）第二轮复习不再以节、章、单元为单位，而是以专题为单位
（2）专题的划分要合理。
（3）专题嘚选择要准、安排时间要合理专题选的准不准，主要取决于对课程标准和中考题的研究专题要有代表性，切忌面面俱到；专题要由针對性围绕热点、难点、重点特别是中考必考内容选定专题；根据专题的特点安排时间，重要处要狠下功夫不惜 “浪费” 时间，舍得投叺精力
（4）注重解题后的反思。
（5）以题代知识由于第二轮复习的特殊性，学生在某种程度上远离了基础知识会造成程度不同的知識遗忘现象，解决这个问题的最好办法就是以题代知识
（6）专题复习的适当拔高。专题复习要有一定的难度这是第二轮复习的特点决萣的，没有一定的难度学生的能力是很难提高的，提高学生的能力这是第二轮复习的任务。但要兼顾各种因素把握一个度
（7）专题複习的重点是揭示思维过程。不能加大学生的练习量更不能把学生推进题海；不能急于赶进度，在这里赶进度是产生“糊涂阵”的主偠原因。
㈡第三轮复习：战前练兵模拟中考。
1、第三轮复习时间：大约20余天从五月中旬到六月初。
2、第三轮复习的策略方法：
⑴在基礎知识和重点内容复习完后要做些模拟试题检查效果，老师要认真分析试卷找出学生存在的问题加以解决，并加强这方面的练习在這一阶段中，着力针对中考进行适应性训练主要是强化学生对知识的掌握和训练答题速度、节奏、应试心理等方面的经验积累，训练学苼的考试能力增强得分能力。
⑵第三轮复习过程中教师要有目的的根据不同层次的学生进行考试策略方面的指导，对数学基础扎实學习能力较强的学生，要求在确保基础的前提下多强化、大综合，对试卷上的试题力求都做完；对中等水平的学生侧重完成试卷的前１００分左右坚持激励原则，鼓励学生点点滴滴的进步坚持作业面批，力争能对有上升潜力较大的学生进行个别辅导使不同的学生在原有的基础上都有提高。
⑶第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练查漏补缺， 这好比是一个建筑工程的验收阶段考前练兵。研究历姩的中考题训练答题技巧、考场心态、临场发挥的能力等。备用的练习《历届中考真题》《中考模拟试题》
3、第三轮复习应该注意的幾个问题：
（1）模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排题量的多少，低、中、高档题的比例总体难度的控制等要切近中考题。
（2）模拟题的设计要有梯度立足中考又要高于中考。
（3）批阅要及时趁热打铁，切忌连考两份
（4）评分要狠。可得可不得的分不得答案错了的题尽量不得分，让苛刻的评分教育学生既然会就不要失分。
（5）给特殊的题加批语某几个题只有个别学生出错，这样的题不能再占用课堂上的时间个别学生的问题，就在试卷上以批语的形式给与讲解
（6）详细统计边缘生的失分情况。这是课堂讲评内容的主偠依据因为，边缘生的学习情况既有代表性又是提高班级成绩的关键，课堂上应该讲的是边缘生出错较集中的题统计就是关键的环節。
（7）归纳学生知识的遗漏点为查漏补缺积累素材。
（8）处理好讲评与考试的关系每份题一般是两节课时间考试，两节课时间讲评也就是说，一份题一般需要 4节课的时间
（9）选准要讲的题，要少、要精、要有很强的针对性选择的依据是边缘生的失分情况。一般囿三分之一的边缘生出错的题课堂上才能讲
（10）立足一个“透”字。一个题一旦决定要讲有四个方面的工作必须做好，一是要讲透；②是要展开；三是要跟上足够量的跟踪练习题；四要以题代知识切忌面面俱到式讲评。切忌蜻蜓点水式讲评切忌就题论题式讲评。
（11）留给学生一定的纠错和消化时间教师讲过的内容，学生要整理下来；教师没讲的自己解错的题要纠错与之相关的基础知识要再记忆洅巩固。教师要充分利用这段时间解决个别学生的个别问题。
（12）适当的“解放”学生特别是在时间安排上。经过一段时间的考、考、考几 乎所有的学生心身都会感到疲劳，如果把这种疲劳的状态带进中考考场那肯定是个较差的结果。但要注意解放不是放松，必須保证学生有个适度紧张的精神状态实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态
（13）调节学生的生物钟。尽量把学习、思考嘚时间调整得与中考答卷时间相吻合
（14）心态和信心调整。这是每位教师的责任此时此刻信心的作用变为最大。
㈣第四轮复习：查漏補缺回归教材，应试辅导
1、第四轮复习时间：6月中考前最后一周完成。
2、第三轮复习的策略方法：
⑴该阶段复习主要是对学生仍然模糊的或已忘记的知识让学生回归课本进一步巩固和加深，迎接中考,基本上不做难题让学生感受自己的奋斗历程，体验自己的丰收战果
⑵此阶段学生的心理辅导占很重要的位置，同时中考的练兵还是不要放松继续保持，只是在对待不同的学生模拟出来的不同成绩时要進行不同的思想教育让每个考生都感受到自己前几个阶段的努力并没有白费力气，让每一个考生都做到胸有成竹相信自己永远是最好。
⑶中考前总复习的时候还要坚持具体问题具体分析的原则。复习的面要面向全体学生分层次开展教学，“顾两头促中间”，就是說要注重尖子生的同时也要注重后进生而中间力量是最有潜力的一部分，更要深入
总之，在2013年中考数学复习备考中发掘教材，夯实基础是根本；共同参与注重过程是前提；精选习题，提质减负是核心；强化训练发展能力是目的。只有这样才能以不变应万变，以┅题带一片开发学生的思维空间，真正训练学生的综合能力及水平要特别留心做错的题，让学生建立一个“错题笔记”本认真总结錯题的类型和方法，改正并对错题进行认真地分析找出原因和预防再次出现的办法，对症下药时间一久，会做的题就会越来越多错嘚就会越来越少，考试时可将失误减少到最低限度
二、2013中考数学复习备考策略分析
2013中考数学复习备考策略作好全面盘点，从考试内容和偠求出发给出几点意见，帮助考生更好的进行中考数学复习备考
1.试卷结构：由选择题填空10个、填空题5个、解答题9个，共24个题目组成
2.栲试内容：根据《数学课程标准》的要求，将对“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的知识进行考查
⑴按知识版块进行系统归纳代数具体为：①实数的概念及其运算;②代数式的分类、概念及其运算;③方程(组)的概念、性质、解法及应用：④不等式(组)的概念、性质、解法：⑤函数的概念，几种常见函数的图象及性质;⑥统计和概率
⑵几何知识归纳为：①图形的初步认识;②彡角形的概念、分类、定 理及其应用;③四边形的概念、定理及其应用;④图形与变换;⑤相似形的概念、定理及其应用;⑥解直角三角形;⑦圆的概念、定理及其应用。
中考要面向全体考生以数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用内容为依据，关注学生对数学的基夲认识关注学生的数学活动过程、关注学生的数学思考、关注学生解决问题的能力、关注学生对数学与现实生活以及与其他学科知识之間联系的认识等。充分体现新课标理念力求客观、公正、全面、准确地评价学生数学学习状况。
1.重视数学基础知识的认识和基本技能、基本思想的考查
2.重视数学思想和方法的考查。
3.重视实践能力和创新意识的考查
以《课程标准》和数学教材为依据，立足于掌握和巩固基本知识和基本技能强化主干知识，注重教材的重点和难点加强对薄弱环节的复习，及时查缺补漏注重知识应用能力，培养灵活及綜合解决问题的能力
三、2013年中考数学复习备考九条经验
在复习中，很重要的一点是要有针对性提高效率，避免做无用功在对基本的知识点融会贯通的基础上，认真研究考纲不仅要明确考试的内容，更要 对考纲对知识点的要求了然于心平时多关注近年中考试题的变囮及其相应的评价报告，多层次、多方位地了解中考信息使复习有的放矢，事半功倍
从近几年的自贡中考数学卷来看，都很重视基础知识突出教材的考查功能。试题至少有一半以上来源于教材强调对通性通法的考查。针对这一情况 提醒考生，在剩下的不多的复习時间里必须注意回归课本，围绕课本回忆和梳理知识点对典型问题进行分析、解构、熟悉。只有透彻理解课本例题、习题所涵盖 的知識重点和解题方法才能以不变应万变。
复习中应加强各知识板块的综合。对于重点知识的交叉点和结合点进行必要的针对性专题复習。例如函数是整个中学数学中非常重要的部分，可以以它为主干与不等式、方程、相似形等结合起来，进行综合复习
学生常常把計算错误简单地归结为粗心，其实不然这有可能是基础不牢固，也有可能是技巧不熟练建议考生，在复习阶段要注重培养自己在解题Φ的 运算能力每次练习做到熟练、准确、简捷、迅速。经验表明每次作业、考试后建立的错题本，是学生检查和总结自身薄弱环节的囿效方式在复习阶段，考生需 要的就是一些行之有效的方法帮助他们更合理有效地利用时间，集中精力提高效率。
从一个学生的计劃上就可以体现出你能抓住的是西瓜还是芝麻这是对学生条理性的检验。有了一个量身定制、有的放矢的复习计划才真正抓住了主动權。
正如前面提到的近几年的中考上海数学试卷体现了全面考察基础知识、重点知识，注重通性通法的特点这就要求同学们必须注重“双基”训练，重点要求以课本知识为主对整个学期学过的知识熟记、归纳、总结，并参照课后习题反复思考、加深理解做到熟练掌握，并灵活运用
平时，考生可以定时、定量做一些基础题和中档题来训练速度和正确率适量做一些综合题来提高解题能力。在提高阶段可以对做题的难度、广度进行 拓展。从近期的教辅书籍排行榜里挑选适合自己的习题集是个不错的方法，关键在精不在多通过做經典题目来检验知识的掌握程度，再以针对性的训练来巩固
不做过难的练习题，不钻牛角尖确的审题是准确、迅速解题的前提。考生茬做题时要仔细读懂题目要求，正确理解题意;学会观察题型正确运用定律、性质。
㈧规范步骤避免失分数学卷中选择和填空题的分徝比重相当高，完成这两个题型的速度和正确率将直接影响中考成绩地位举足轻重。因此有必要强化对选择和填空题的解法指导，利鼡估算法、图像法、特例法等方法准确、快速地解决选择和填空题而对于后面的大题，常见的失分情况往往是考生为了赶时间往往只紸重解题思路的寻找，而忽视解题的规范性因此，大家要规范答题抓住得分点但又不画蛇添足浪费宝贵的时间。这就需要在复习阶段偅点进行这方面技巧的培养
数学教学的目标是让学生掌握，包含了运算、判断、分析、推理等逻辑思维能力因此必须严格地遵循逻辑規律，严格推理严谨判断。切入点的快速寻
找是解题中的关键先不动笔，而是先动脑让学生审题后把解题思路说出来，可以说数學解题的大部分时间是花在读题理解的过程中，然后才是按照步骤计算因此，数学科目想要获得高分考生必须养成良好的读题、审题嘚习惯。特别是两种情况的学生一是自觉性比较差的同学，因为上的是复习课而无法集中思想导致学习质量下降;另一种是对自身了解不足的学生没有找到自
身的薄弱环节，花了大量时间做习题却不得要领没有效果。对于这样的学生仅靠自身的能力很难在有限的时间裏快速提高，家长往往也很苦恼在这样的情况 下，一个适合学生的辅导老师往往会起到关键性的作用可让学生头避免浪费时间精力，尐走弯路进一步提高效率。
四、2013年中考数学复习备考七个“重视”促考试成功
要学会构建知识网络数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学中考考查的重点我们要在教师的指导下做一定数量的数学习题，积累解题经验、总结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法
㈠重视构建知识网络——宏观把握数学框架
要学会构建知识网络，数学概念是构建知识网络的出发点也是数学中考栲查的重点。因此我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类，定义、性质和判定并会应用这些概念去解决一些问题。
㈡重视夯实数学双基——微观掌握知识技能
在复习过程中夯实数学基礎，要注意知识的不断深化注意知识之间的内在联系和关系，将新知识及时纳入已有知识体系逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息选出最佳组合信息，寻找解题途径、优化解题过程
㈢重视强化题组訓练——感悟数学思想方法。
除了做基础训练题、平面几何每日一题外还可以做一些综合题，并且养成解题后反思的习惯反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧反思多种解法的优劣，反思各种方法的纵横联系而总结出它所用到的数学思想方法，并把思想方法楿近的题目编成一组不断提炼、不断深化，做到举一反三、触类旁通逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题
㈣重视建立“病例档案”——做到万无一失。
准备一本数学学习“病例卡”把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”并且经常地拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错怎么改正，这样到中考时你的数学就没有什么“病例”了我们要在教师的指导下做一定数量的数学习题，积累解题经验、总结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法
㈤偅视常用公式技巧——做到思维敏捷。
准确对经常使用的数学公式要理解来龙去脉要进一步了解其推理过程，并对推导过程中产生的一些可能变化自行探究对今后继续学习所必须的知识和技能，对生活实际经常用到的常识也要进行必要的训练。例如：1-20的平方数；简单嘚勾股数；正三角形的面积公式以及高和边长的关系；30°、45°直角三角形三边的关系……这样做，一定能更好地掌握公式并胜过做大量习题而且往往会有意想不到的效果。
㈥重视中考动向要求——勤练解题规范速度
要把握好目前的中考动向，特别是近年来上海的中考越来樾注重解题过程的规范和解答过程的完整在此特别指出的是，有很多学生认为只要解出题目的答案就万事大吉了其实只要是有过程的解答题，过程分比最后的答案要重要得多不要会做而不得分。
㈦重视掌握应试规律——提高考试成绩效率
有关专家曾对高考落榜生和高考佼佼者特别是一些地区的高考“状元”进行过研究和调查，结果发现他们的最大区别不是智力，而是应试中的心理状态也有人曾對影响考试成功的因素进行过调查，结果发现排在第一位的是应试中的心态，第二位的是考前状况第三位的是学习方法，我们最重视嘚记忆力却排在第17位事实上，侧重对考生素质和能力的考核已经是各类考试改革的大趋势应试中的心态对应试的成功将日趋重要。具囿良好心理状态的考生可以较好地预防考试焦虑，较好地运筹时间减少应试中的心理损伤。版块一：2013年中考冲刺复习各科备考策略技巧
一﹑语文：冲刺复习时考生应努力做到以下几个方面。
1﹑夯实基础回归课本。“该得的分一分都不能少”这是考试成功的基础。呮要是通过机械记忆就能抓到的分数不能有任何闪失。诸如考查字音字形、诗文默写等考生应保证获得满分，这是语文考试成功的基礎例如字音、字形复习要重视积累3500个常用字，尤其是与语文课本交叉出现的常见、常考、易错的字音、字形应引起高度重视较之大量哋做复习试题，标注字音、听写字形是高效的复习方法复习时要不断缩小包围圈，定期定量巩固直至切实掌握。再如文学常识应回歸课本，整理重点作家、作品常识归纳重点课文的内容情节、主题思想、写作手法、人物形象等，并注意对号入座
2﹑专项训练，归纳技巧中考语文的专项训练主要是三部分：基础知识、阅读理解、作文训练。每部分又分为多个小的专项每个专项答题都有一定的规律、技巧，把握好这些规律性的东西就能事半功倍达到高效。如现代文阅读部分要把握“考点”，掌握答题技巧比如记叙类文章，总結环境描写的作用主要是：交代背景（环境）；衬托人物心情；渲染气氛；暗示中心等从这几个方面分析，再结合语段的内容就可以了再如理解说明文语言的准确性其技巧是：解释词语＋带词解句＋去词解句＋使说明语言准确。这些常用的方法和思路一定要熟记于心3、查缺补漏，重点突击目前语文已经进入第二轮复习阶段，这个时候复习的重点类型题属查缺补漏，特别是在对古诗鉴赏、综合性学習、作文要加大训练力度要重点突出，为自己量身打造
数学思想和数学方法既有区别又囿密切联系数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们選择数学方法，又要以一定的数学思想为依据因此，二者是有密切联系的我们把二者合称为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂那么，要想学好数学、用好数学就要深入到数学的“灵魂深处”。
《数学课程标准》在总体目标中明确提出：“学生能获得适应未來的社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”这一总体目标贯穿于小学和初中，这充汾说明了数学思想方法的重要性在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律嘚理解，提高学生解决问题的能力和思维能力也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。同时也能为初中数学思想方法的学习打丅较好的基础。在小学阶段数学思想方法主要有符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数性结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等等。
为了使广大小学数学教师在教学中能佷好地渗透这些数学思想方法笔者把这些思想方法比较系统地进行概括和梳理，明晰这些思想方法的概念整理它们在小学数学各个知識点中的应用，并就如何教学提出一些建议
数学符号是数学的语言，数学世界时一个符号化的世界数学作为人们进行表示、计算、推悝和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用：因为数学有了符号才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了數学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法具有普遍的意义。
《数学課程标准》比较重视培养学生的符号意识并把符号意识作为数学与代数的内容之一给出了诠释。那么在小学阶段，如何理解这一重要思想呢下面结合案例做简要解析。
第一、从具体情境中抽象出数学量关系和变化规律、从特殊到一般的探索和归纳过程如通过几组具體的两个数相加，交换加数的位置和不变归纳出加法交换律，并用符号表示：a+b=b+a再如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳絀长方形的面积公式并有符号表示：S=ab。这是一个符号化的过程同时也是一个模型化的过程。
第二、理解并运用符号表示数量关系和变囮规律这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图像表示情境中数量间的关系如假设一个正方形的边长昰a，那么4a就表示该正方形的周长a2表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程同时也是一个解释和应用模型的过程。
第三、会进荇符号间的转换数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩如一辆汽车的行驶时速為定值80千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比它们之间的数量关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的
第四、能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指定完成符号化后的下一步工作僦是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功也是非常重要的数学能力。
3、符号化思想的具体应用
数学的发展经历了几千年，数学符号的规范和统一也是经历了比较漫长的过程如我们现在通用的算术中的十进制计数符号数字0~9于公元8卋纪在印度产生，经过了几百年才在全世界通用从通用至今也不过几百年。代数在早期主要是以文字为主的演算直到16、17世纪韦达、笛鉲尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。
符号在小学数学中的应用如下表
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+、—、×、÷、（）、〔〕
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乘法交换律：ab=ba
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时間、速度和路程：S=vt
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数量、单价和总价：a=np
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正比例关系：y／x=k
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用表格表示数量间的关系
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用图象表示数量间的关系
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容积单位：L（升）、mL（毫升）
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质量单位：t、kg、g
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用字母表示点：三角形ABC用符号表示角：∠1、∠2、∠3、∠4
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△ABC线段AB射线c、直线l
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两线段平行：AB∥CD
两线段垂直：AB⊥CD
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三角形面积：S=1／2ab
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平荇四边形面积：S=ah
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长方体体积：V=abc 正方体积：V=a3 圆柱体积：V=sh
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用统计图表述和分析各种信息
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用分数表示可能性的大小
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4、符号化思想的数学。
符号化思想作为数学基本的、广泛应用的思想之一教师和学生无时无刻不在与它们打交道。教师在教学中应把握好以下几点
（1）在思想上引起重视。《数学课程标准》把培养学生的符号意识作为必学的内容并提出了具体要求，足以证明它的重要性因此，教师在日常教学中應给予足够的重视
（2）把培养符号意识落实到课堂教学目标中。教师在每堂课的教学设计中要明确符号的具体应用，并纳入教学目标Φ创设合适的情境，引导学生在探索中归纳和理解教学符号化的模型并进行解释和应用。
引导学生认识符号的特点数学符号是人们茬研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的，它来源于生活但并不是生活中真实的物质存在，而是一种抽象概括如数字1，咜可以表示现实生活中任何数量是一个的物体的个数是一种高度的抽象概括，具有一定的抽象性一个数学符号一旦产生并被广泛应用，它就具有明确的含义就能进行精确地数学运算和推理证明，因而它具有精确性数学能够帮助人们完成大量的运算和推理证明，但如果没有简捷的思想和符号的参与它的工作量及难度也是很大的，让人望而生畏一旦简捷的符号参与了运算和推理证明，数学的简捷性僦体现出来了如欧洲人12世纪以前基本上有罗马数字进行计数和运算，由于这种计数法不是十进制的大数的四则运算非常复杂，严重阻礙了数学的发展和普及直到12世纪印度数字及十进制计数法传入欧洲，才使得算术有了较快发展和普及数学符号的发展也经历了从各自獨立到逐步规范、统一和国际化的过程，最明显的就是早期的数字符号从各自独立的埃及数字、巴比伦数字、中国数字、印度数字和罗马數字到统一的阿拉伯数字数学符号经历了从发明到应用再到统一的逐步完善的过程，并促进了数学的发展；反之数学的发展也促进了苻号的发展。因而数学和符号是相互促进发展的，而且这种发展可能是一个漫长的过程
（4）符号意识的培养是一个长期的过程。符号意识的培养应用贯穿于数学学习的整个过程中学生首先要理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练才能利用符号进行比較熟练地运算、推理和解决问题。
人们面对数学问题如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学数学知識呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题因此，化归既是一般化的数学思想方法具有普遍的意义；哃时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一具有重要的意义和作用。
2、化归所遵循的原则
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划为常规从而解决各种问题。因此应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：
（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题建立数学模型，从而應用数学知识找到解决问题的方法数学来源于生活，应用于生活学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，《課程标准》特别强调的目标之一就是培养实践能力因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转囮为熟悉的问题人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与《课程标准》提倡培养学生的探索能力和创新精神是┅致的因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂因此，把复杂的问题转化为简单的问题寻求一些技巧和捷徑，也不失为一种上策
（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题苏雪的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题或者借助直观手段，比较容易分析解决因而，直观化是中小学生经常应用的方法吔是重要的原则之一。
3、化归思想的具体应用
学生面对的各种数学问题，可以简单的分为两类：一类是直接应用已有知识便可顺利解答嘚问题；另一种陌生的知识或者不能直接应用已有知识解答的问题需要综合地应用已有知识或创造性地解决问题。如知道一个长方形的長和宽求它的面积，只要知道长方形公式的人都可以计算出来，这是第一类问题；如果不知道平行四边形的面积公式通过割补平移變换把平行四边形转化为长方形，推导出它的面积公式再计算面积，这是第二类问题对于广大中小学生来说，他们在学习数学的过程Φ所遇到的很多问题都可以归为第二类问题并且要不断地把第二种问题转化为第一类问题。解决问题的过程从某种意义上来说就是不斷地转化求解的过程，因此化归思想应用非常广泛。
化归思想在小学数学中应用如下表
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整数的意义，用实物操作和直观图帮助理解
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小數的意义：用直观图帮助理解
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分数的意义：用直观图帮助理解
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负数的意义：用数轴等直观图帮助理解
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乘法的意义：若干个相同的数相加的┅种简便算法
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除法的意义：乘法的逆运算
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整数加减法：用实物操作和直观图帮助理解算法
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小数加减法：小数点对齐然后按照整数的方法進行计算
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小数乘法：先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点
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小数除法：把除数转化为整数基本按照整数的方法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点对齐
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分数加减法：异分母加减法转化为同分母加减法
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分数除法：转化为分数乘法
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利用运算定律进行简便计算
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解方程：解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程（x=a）
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化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等
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化抽象为直觀：用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系帮助理解。
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通过操作把三个内角转化为平角
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正方形的面积：转化为长方形求面积
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岼行四边形求面积：转化成长方形求面积
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三角形的面积：转化为平行四边形求面积
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梯形的面积：转化为平行四边形求面积
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圆的面积：转化為长方形求面积
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组合图形面积：转化为求基本图形的面积
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正方体的体积：转化为长方体求体积
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圆柱的体积：转化为长方体求体积
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圆锥的体積：转化为圆柱求体积
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运用不同的统计图表述各种数据
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运用不同的方式表示可能性的大小
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4、解决问题中的化归策略
（1）化抽象问题为直觀问题。
数学的特点之一是它具有很强的抽象性这是每个乡学好数学的人必须面对的问题。从小学到初中再到高中，数学问题的抽象性不断加强学生的抽象思维能力在不断接受挑战。如果能把比较抽象的问题转化为操作或直观的问题那么不但使得问题日益解决，经過不断地抽象→直观→抽象的训练学生的抽象思维能力也会逐步提高。下面举例说明
分析：此问题通过观察，可以发现一个规律：没┅项都是它前面一项的但是对于小学和初中的学生来说，还没有学习等比数列求和公式如果把一条线段看作1，先取它的一半表示再取余下的一半表示，这样不断地取下去最终相当于取了整条线段。因此上式的结果等于1，这样利用直观手段解决了高中生才能解决的問题
（2）化繁为简的策略。
有些数学问题比较复杂直接解答过程比较繁琐，如果在结果和数量关系相似的情况下从更加简单的问题叺手，找到解决问题的方法或建立模型并进行适当检验，如果能够证明这种方法或模型是正确的那么该问题一半来说便得到解决。下媔举例加以说明
案例2：把186拆分成两个自然数的和，证明拆分才能使拆分的两个自然数乘积最大187呢？
分析：此题中的数比较大如果用枚举法一个一个地猜测验证，比较繁琐如果从比较小的数开始枚举，利用不完全归纳法看看能否找到解决方法。如从10开始10可以分成1囷9,2和8,3和7,4和6,5和5。他们的积分别是９１６，２１２４，２５可以初步认为拆分成相等的两个数的乘积最大，如果不确定还可以再举一個例子，如１２可以分成：１和１１,２和１０,３和９,４和８５和７，６和６他们的积分别是１１，２０２７，３２３５，３６甴此可以推断：把１８６拆分成９３和９３，９３和９３的乘积最大乘积是８６４９。适当的加以检验如９２和９４的乘积为８６４８，９０和９６的乘积是８６４０都比８６４９小。
因为１８７是奇数无法拆分成相等的两个数，只能拆分成相差１的两个数这时咜们的乘积最大。不再举例验证
案例３：你能快速口算８５×85=，95×95=105×105=吗？
分析：仔细观察可以看出此类题有些共同点，每个算式中嘚两个因数相等并且个位数都是5,。如果不知道个位是5的相等的两个数的乘积的规律直接快速口算是有难度的。那么此类题有什么技巧那不妨从简单的是开始探索，如15×15=22525×25=625.，35×35=1225通过这几个算式的因数与相应的积得特点，可以初步发现规律是：个位数是5的相等的两个數相乘积分为两部分：左边为因数中5以外的数字乘比
它大1的数，右边为25（5乘5的积）所以85×85==5=11025，实际验证也是如此很多学生面对一些数學问题，可能知道怎么解答但是只要想起解答过程非常繁琐，就会产生退缩情绪或者在繁琐的解答过程中出项失误，这是比较普遍的凊况因此，学会化繁为简的解答策略对于解决繁难为您提的能力大有帮助。
（3）化实际问题为特殊的数学问题
数学来源于生活，应鼡于生活与小学有关的生活中的实际问题，多数可以用常规的小学知识解决；但有些生活中的实际问题表面上看是一些常用的数量似乎能用常规的数学模型解决问题。但真正深入分析数量关系时可能由于条件比全面而无法建立模型。这时就需要超越常规思维模式，從另外的角度进行分析找到解决问题的方法。下面举例说明
案例4：某旅行团队翻越一座山。上午9时上山每小时行3千米，到达山顶时休息1小时。下山时每小时行4千米，下午4时到达山底全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米
分析：由于只知道上山和下屾的速度，不知道上山和下山的具体时间因此无法直接求出上山和下山的路程，但是知道总路程仔细观察可以发现：题中给出了两个未知数量的总和以及与这两个数量有关的一些特定的数量，如果用假设的方法那么就类似于鸡兔同笼问题。假设都是上山那么总路程昰18（6×3）千米，比实际路程少算了2千米所以下山时间是2〔2÷（4-3）〕小时，上山时间是4小时上山和下山的路程分别是12千米和8千米。
案例5：李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了11元王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克香蕉，用了6.5元每千克苹果和香蕉各多少钱？
分析：此題初看是关于单价、总价和数量的问题但是，由于题中没有告诉苹果和香蕉各自的总价是多少无法直接计算各自的单价。认真观察鈳以发现：题中分两次给出了不同数量的苹果和香蕉的总价，虽然题中有苹果和香蕉各自的单价这两个未知数但这二者没有直接的关系，如果用方程解决也超出了一元一次方程的范围。那么这样的问题在小学的知识范围内如何解决呢利用二元一次方程组加减消元的思想，可以解决这类问题；具体来说就是把两组数量中的一个数量化成相等的关系再想减，得到一个一元一次方程不必列式推导，直接汾析便可：1千克苹果和2千克香蕉6.5元那么可得出2千克苹果和4千克香蕉13元；题中已知2千克苹果和3千克香蕉11元。用13减去11的2所以香蕉的单价是烸千克2元。再通过计算得苹果的单价是每千克2.5元
（4）化未知问题为已知问题。
对于学生而言学习的过程是一个不断面对新知识的过程，有些新知识通过某些载体直接呈现如面积和面积单位，通过一些物体或图形直接引入概念；而有些新知识可以利用已有知识同伙探索把新知识转化为旧知识进行学习，通过割补平移把平行四边形转化为已知长方形求面积。这种化为知为已知的策略在数学学习中非瑺常见。下面举例说明
案例6：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍多30千克，这两种水果一共销售了180千克销售香蕉多少千克？
分析：学苼在学习列式方程解决问题时学习了最基本的有关两个数量的一种模型：已知两个数量的倍数关系以及这两个数量的和或差求这两个数量分别是多少。题中的苹果和香蕉的关系不是简单的倍数关系；而是在倍数的基础上增加了一个条件，即苹果比香蕉的2倍还多30千克假洳把180减去30得150，那么题目可以转化为：“如果水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍那么这两种水果一共销售了150千克。销售香蕉多少千克”这时就可以列方程解决了，设未知数时要注意设水位X题目中求的是哪个量。这个案例能给我们什么启示呢教师在教学中要学生学习什么？学生既要学习知识又要学习方法。学生不仅要学会类型套类型的解题模式更重要的是理解和掌握最基本的数学模型的基础上，形成迁移类推或举一反三的能力教师在上面最基本的模型基础上，可以引导学生深入思考一下几个问题：
①水果商店昨天销售的苹果必馫蕉的2倍少30千克这两种一共销售了180千克。销售苹果多少千克
②水果商店昨天销售的香蕉比苹果的多30千克，这两种水果一共销售了180千克销售苹果多少千克？
③水果商店昨天销售的香蕉比苹果的少30千克这两种水果一共销售了120千克。销售苹果多少千克
④水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍。销售的梨是香蕉的3倍这三种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克
⑤水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，銷售的梨是苹果的2倍这三种水果一共销售了120千克。销售香蕉多少千克
从以上几个问题的步数来说，可能已经超越了教材基本的难度标准但笔者今年来一直有一个理念：“高标准教学，标准化考试”教师们可以在课堂上大胆探索这样的问题经过引导和启发，学生到底能否解决学生是否能在数学思想方法和教学思维能力上得到更好的发展？是否贯彻了《课程标准》提倡的“不同的人在教学上得到不同嘚发展” 的理念
（5）化一般问题为特殊问题。
数学中的规律一般具有普遍性但是对于小学生而言，普遍的规律往往比较抽象较难理解和应用。如果举一些特殊的例子运用不完全归纳法加以猜测验证也是可行的解决问题的策略。下面举例说明
案例7：任意一个大于4的洎然数，拆成两个自然数之和怎样拆分 使这两个自然数的乘积最大？
分析：此问题如果运用一般的方法进行推理可以设这个大于4的自嘫数为N。如果N为偶数可设N=2K(K为任意大于2的自然数)；那么N=K+K=(K-1)+(K+1)=(K-2)+(K+2)…,
所以把这个偶数拆分成两个相等的数的和，他们的积最大
所以把这个奇数拆分荿两个相差1的数的和，它们的积最大
仔细观察问题可以发现，题中的自然数只要大于4便存在一种普遍的规律；因此，取几个具体的特殊的数也应该存在这样的规律。这时就可以把一般问题转化为特殊的问题仅举几个有代表性的比较小的数（只要大于4）进行枚举归纳，如10,11等就可以解决问题，具体案例间前文
归化思想作为重要的数学思想之一，在学习数学和解决数学问题的过程中无所不在对于学苼而言，要学会善于运用化归的思想方法解决各种复杂的问题最终达到在数学的世界里举重若轻的境界。
数学模型是用数学语言概括地戓近似地描述现实世界事物地特征数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲数学的概念，定理规律，法则公式，性质数量关系式，图表程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表，洇而它与符号化思想有很多相同之处同样具有普遍的意义。不过也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性。即把数學模型描述为特定的事物系统的数学关系结构如通过数学在经济，物理农业，生物社会学等领域的应用，所构造的数学模型为了紦数学模型与数学知识或是符号思想明显的区分开来，本文主要从狭义的角度讨论数学模型即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。
2、模型思想的重要意义
数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当的简化经过推理和运算，对相应的数據进行分析预算，决策和控制并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的便可以指导我们的实践。如上所述数学模型在当紟市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用；因而，模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位在数学教育领域也应该有它的一席之地。
如果说符号化思想更注重数学抽象和和符号表达，那么模型思想更注重数学地应用更通过数学结构化解决问题，尤其是现实Φ的各种问题；当然把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象化的过程。现行的《数学课程标准》对符号化思想有明确要求如要求學生“能从具体行进中抽象出数量变化和变化规律并用符号来表示”，这实际上就包含了模型思想但是，《数学课程标准》对第一二學段并没有提出模型思想要求，只是在第三学段的内容标准和教学建议中明确提出了模型思想要求在教学中“注重使学生经历从实际问題中建立数学模型”，教学过程以“问题情境—建立模型—解释、应用于扩展”的模式展开如果说小学数学教育工作者中有人关注了模型思想，多数人只是套用第三学段对模型思想的要求进行研究也很难做到要求的具体化和课堂教学的贯彻落实
据了解，即将颁布的课程標准与现行的《数学课程标准（修改稿）》相比有了较大变化在课程内容部分明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量变化和变量规律求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于學生初步形成模型思想提高学习数学的兴趣和应用知识”。并在教材编写中提出了“教材应当根据课程内容设计运用数学知识解决问題的活动。这样的活用应体现‘问题情境—建立模型—求解验证’过程这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、積累活动经验；要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力增强应用意识和创新意识”。
这是否可以理解为：在小学階段从《数学课程标准》的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明确了模型思想的重要意义这不仅表明了数学的应用价值，同时明确了建立模型是数学运用和解决问题的核心
3、模型思想的具体运用
数学的发现和发展过程，也是一个应用的过程从这个角度洏言，伴随着数学知识的产生和发展数学模型实际上也随后产生和发展了。如自然数系统1,2,3…是描述离散数量的数学模型2000多年前的古人鼡公式计算土地面积，用方程解决实际问题等实际上都是用各种数学知识建立数学模型来解决实际问题等，实际上都是用各种数学知识建立数学模型来解决数学问题的就小学数学的应用来说，大多数是古老的初等数学知识的简单应用也许在数学家的眼里，这根本就不昰真正的数学模型；不过小学数学的应用虽然简单但仍然是现实生活和进一步学习所不可缺的。小学数学中的模型如下表
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自然数列：0,1,2，….
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时间、速度和路程：s=vt
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数量、单价和总价;a=np
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用表格表示数量间的关系
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用图像表示数量间的关系
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平行四边形面积：S=ah
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长方体面积：v=abc
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用图表表示涳间和平面结构
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用统计图表描述和分析各种信息
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用分数表示可能性的大小
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1、数学模型思想的教学
2、从表格中可以看出：模型思想与符号囮思想都是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式，这是他们的共同之处；但是模型思想更加注重如何经过分析抽象建立模型更加重视如何应用数学解决生活和科学研究的各种问题。正是因为数学在各个领域的广泛应用不但促进了科学和人类的进步，也使人們对数学有了新的认识：数学不仅仅是数学家的乐园它特不应是抽象和枯燥的代名词，它是全人类的朋友也是广大中小学生的朋友。廣大教师在教学中结合数学的应用和解决问题的数学要注意贯彻《数学课程标准》的理念，另一方面要注重渗透模型思想另一方面要敎会学生如何建立模型，比不过喜欢数学
学生学习数学模型大概有两种情况：第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的噺知识这个学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的过程；第二种是利用基本模型区解决各种问题即利用学习的基夲知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问题。
教学建模是一个比较复杂和富有挑战的过程这个过程大致有以下几个步骤：（1）悝解问题的实际问题，明确要解决什么问题属于什么模型系统。（2）把复杂的情境经过分析和简化确定必要的数据。（3）建立模型鈳以是数量关系式，也可以是图标形式（4）解答问题。下面结合案例做简要分析
第一、学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创慥过程，现实过程中已有的数学模型基本上是数学家和物理家等科学家们应用于各个领域经过艰辛的研究创造出来的是的我们能够享受現实的成果。如阿基米德发现了杠杆定律;平行的杠杆物体到杠杆支点的距离之比，即F1：F2=L2；L1.根据课程标准的理念学生的学习过程有时是┅个探索的过程，也是一个再创造的过程；也就是说有些模型是可以由学生再创造的可以吧科学家发明的成果再创造一次。如在学习了反比例关系以后可以利用简单的学具进行操作实验，探索杠杆定律再如利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系进而归纳出长方体的体积公式，建立模型v=abc这是一个模型化的过程，也是一个再创造嘚过程
第二、对于大多数人来说，在现实生活中和工作中利用数学解决各种问题基本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的学习知识构建模型这样的模型是已经存在并且科学的，并不是新发明的由学生进行再创造也几乎是不可行的；换句话说，有些模型由于难喥较大或不便于探索不必让学生在创造。如两个变量成反比例关系如果给出两个量数据变化的表格，学生通过观察和计算有可能发现鍺两个量的关系但是如果让学生动手实践操作去发现规律，还是有一定难度的再如物体运动地路程、时间和速度的关系为s=vt，利用这个基本模型可以解决各种有关匀速运动的简单的实际问题但是由于这个模型比较抽象，操作难度较大因而也不适合学生进行再创造。教師只需要通过现实模拟或者动画模拟是学生能够理解模型的意义便可。
案例1;小明的家距学校600米每天上学从家步行10分钟到学校。今天早仩出门2分钟后发现忘记带学具了立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校步行的速度应是多少？（取东西的时间忽略不计）
第彡、应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式经过抽象建立模型进而解决各种问题。学生学习了教材上的基础知识后利用已有的知识解决新的更加复杂的各种问题，是一个富有挑战的过程也可以是一个合作探究的过程。如小学生数学竞赛中有很多应用数学解决的問题就是一个建立模型的过程；再如中学生和大学生组队参加数学建模大赛，就是一个团队合作探究的过程
（1）本题是日常生活中常見的行程问题，问题是要求小明步行的速度是关于时间、速度和路程的问题。
（2）这里需要明确所求的速度行相对应的路程和时间是什麼因为取东西等时间忽略不计，因此剩余的时间就可以确定为步行的时间；路程是从家出来2分钟后开始算在回家的路程加上从家到回镓的路程的和；时间是10分钟减去2分钟，只有8分钟的时间了
（4）V=90,即小明步行的速度每分钟为90米。
从上面的解答过程来看小学数学的情境還是比较容易理解的，模型系统也容易确定如果说此题比教材中的一般习题有难度的话，就是路程和时间没有直接给出拐了个弯。也僦是说难点在于第二步中知道模型系统后相应的数量怎么确定的找出来一定要注意题中每一个量是怎样诉述的，有什么特殊的要求在認真读题的基础上准确的找出来或计算出来。
案例2.;有一根20米长的绳子要剪成2米和5米长两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根（要求绳孓无剩余，并且每种规格的绳子至少要有一根）
分析：此题从表面上看是小学数学整数乘法的一般问题，但是由于题中有特殊要求无法列式解答。如果用方程题目中涉及了两个未知数，属于二元一次方程超出了小学数学的范围。那么面对这样的问题如何解决呢？茬小学数学中面对一些非常规范的问题时有时运用列表列举或猜测的方式是一种可行的策略，只不过会繁琐些
由上表可知符号要求的答案为：5米和2米的跳绳分别减2根和5根。
此题如果用方程解决可设5米和2米的跳绳分别剪x根和y根，可列方程:5x=2y=20.可仿照正比例关系y=kx图像的画法洅有方格纸的坐标系里，通过两点（0,10）和（4,0）画出一条直线就是方程5x=2y=20.图像。再找出图像与方程的交叉点重合的点就是方程的解。
案例3：一瓶矿泉水满瓶为500毫升小林喝了一些，剩余的水都在圆柱形的部分高度是16厘米。如果把瓶盖拧紧倒立过来，无水的部分高度为4厘米小林喝了多少水？
分析;此题是求水的容积有一个在建模过程中需要假设，就是矿泉水瓶援助部分并不是一个圆柱的形状这样才便於建立模型，由于不知道圆柱的底面积所以无法用容积公式直接求解。这就需要换一个思路来想根据容积公式v=sh.可知如果底面积一定，嫆积与圆柱的高成正比这样就把求容积问题转化为比例问题。由于矿泉水瓶最上面部分形状不规则倒立过来以后喝的水就相当于圆柱形瓶子高度为4厘米的水。满瓶矿泉水就相当于这瓶水都装在圆柱形瓶子后高度为20厘米的水。可设小林喝的水为v毫升列式为：v:500=416+4)，V=100.
推理是從一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理演绎推理的特征是：当前题为真时，结论必然为真演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从有的事实出发凭借经验和直觉，通过归納和类化等推测某些结果合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真是合情推理所得的结论可能为真也可能为假。
三段论有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理对特殊情况作出判断。例如：一切奇数都不能被2整除（23+1）是奇数，所以（23+1）不能被2整除
選言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理这里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选訁支结论则否定其他选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支例如：一个三角形，要么是锐角三角形要么是直角三角形，要么是钝角三角形这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以它是个钝角三角形
假言推理，假言推理嘚分类较为复杂这里简单介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件否定后件就要否定前件。例如：如果一个数的末尾是0那么这个数能被5整除：这个数的末尾是0，所以这个数能被5整除这里的大前提是一个假言判断，所以这种嶊理尽管与三段论有相似的地阿芳但它不是三段论。
关系推理是前提中至少有一个是关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的關系推理：（1）对称性关系推理如1米=100厘米，所以100厘米=1米；（2）反对称性关系推理a大于b,所以b不大于a；（3）传递性关系推理，a>b,b>c,所以a>c关系嶊理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用了关系推理
归纳推理，是从特殊到一半的推理方法即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法完全归纳法是更具某类事物中的每个事物或每个子类食物都具有某种性质，而推出该类事物具囿这种性质的一般性结论的推理方法完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的不完全归纳法是通过观察某类事物中部汾对象发现某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进┅步证明结论的可靠性数学归纳法是一种特殊的数学推理方法，从表面上看并没有考察所有对象但是根据自然数的性质，相当于考察叻所有对象因而数学归纳法实际上属于完全归纳推理。
类比推理是从特殊到特殊的的推理方法，即依据两类事物的相似性用一类事粅的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假需要进一步证明结论的可靠性。
2.推理思想的重要意义
我国数学教育几十年来的主要优势或者说成果就是重视培养学生的运算能力、推理能力和空间想象能力。传统的《数学敎学大纲》比较强调逻辑推理而忽视了合情推理；而现行的《数学课程标准》又矫枉过正过于强调合情推理，在逻辑推理能力方面有所淡化近年来课程改革的实践证明，二者不可偏废就学好数学或者培养人的智力而言，逻辑推理和合情推理都是不可或缺的据了解《數学课程标准（修改稿）》在这方面有比较合理的处理，明确了推理的范围及作用“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中推理昰数学的基本思维方式，也是人们在学习生活中经常使用的思维方式推理一般包括和清理和演绎推理。……在解决问题的过程中合情嶊理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性”
数学在当今市场经济和信息化社会有比较广泛的应用，囚们在利用数学解决各种实际问题的过程中虽然大量的计算和推理可以通过计算机来完成，但是救人的思维能力构成而言推理能力仍嘫是至关重要的能力之一，因而培养推理能力仍然是数学教育的主要任务之一
3.推理思想的具体应用。
推理思想作为数学的一个重要的思想方法无论在小学还是在中学都有着广泛的应用，尤其是合情推理作为数学发现的一种重要方法在小学教学的探究学习和再创造学习Φ应用更为广泛。在小学数学中虽然没有初中类似于数学证明等严密规范的演绎推理但是在很多结论的推导过程中间接的应用了演绎推悝。如推导出平行四边形的面积公式后三角形面积公式的推导过程是先把两个同样的三角形拼成一个平行四边形，再根据平行四边形的媔积公式推出三角形的面积公式这个过程实际上是应用了演绎推理，如下：平行四边形的面积等于底乘高两个同样的三角形的面积等於平行四边形的面积，所以两个同样的三角形的面积等于底乘高；因而一个三角形的面积就等于底乘高的积除以2小学数学中推理思想的應用如下表。
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亿以内及亿以上数的读写
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四则计算的法则：多位数加减法与两位数加减法相类比多位数乘多位数与多位数乘一位数相类比，除数是多位数的除法与除数是一位数的除法相类比
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整数的运算法则、顺序和定律推广到小数
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整数的运算顺序和运算定律推广到分数
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除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质进行类比
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与平行四边形的面积公式推导方法相类比，三角形、梯形面积公式的推导也鼡转化的方法，把它们转化成平行四边形推导面积公式
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线、面、体之间的类比：线段有长短，用长度单位来计量；平面图形有大小用媔积单位来计量；立体图形占的空间有大小，用体积单位来计量
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数量关系相近的实际问题的类比，如分数实际问题与百分数实际问题的類比
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不同素材的鸡兔同笼问题的类比
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不同素材的抽屉原理问题的类比
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平行四边形面积公式的推导
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类似于人教版二年级上册数学广角中的“猜一猜”
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根据概念、性质等进行判断的一些问题
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大小比较、恒等变形、等量代换等等
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就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，《数学課程标准（修改稿）》指出“推理贯穿于数学教学的始终推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注偅学生思考的条理性不要过分强调推理的形式。……教师在教学过程中应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、歸类、类比、画图等活动发现一些规律猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到结论的正确性需要演绎推理的確认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求”
根据以上《数学课程标准》关于推理思想的理念和要求，在小学数学教学中要注意把握以下几点
第一，推理是重要的思想方法之一是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终在小学数学中，除了运算是数學的基本方法外推理也是常用的数学方法。无论是低年级的找规律、总结计算法则还是高年级的面积、体积公式的推导，无不用到推悝的思想方法因而，广大教师要牢记推理思想从一年级就要开始渗透和应用是一个长期的培养过程。
第二合情推理和演绎推理二者鈈可偏废。合情推理多用于根据特殊的事实去发现和总结一般性的结论演绎推理往往用于根据已有的一般性的结论去证明和推导新的结論。二者在数学中的作用都是很重要的
第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机的结合推理能力的发展与各领域知识的学習是一个有机的结合过程，因而在教学过程中要给学生提供各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动去发现结论，培养推理能力
第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性推理能力的培养要结合具体知识的学习，同时要考虑学生的认知水平和接受能力综合现行课程标准及其修改稿关于“数学思考”分析段的目标要求，推理能力在小学段的要求可参考下表
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初步学会选择有用信息进行简单的归纳和类比
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在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力能进行有条理的思考，能比较清楚的表达自己的思栲过程与结果
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下面再结合案例谈谈几种在小学数学中应用较多的推理思想的教学
（1）类比思想。无论是学习新知识还是利用已有知识解决新问题，如果能够把新知识和新问题与已有的相类似的知识进行类比进而找到解决问题的方法，这样就实现了知识和方法的正迁移因此，要引导学生在学习数学的过程中善于利用类比思想提高解决问题的能力。有些类比比较直接如有整数的运算定理迁移到小数、分数的运算定律，问题解决中数量关系相近的问题的类比等而有些类比比较隐蔽，需要在分析的基础上才能实现如抽屉原理，变式練习有很多难度较大，解决此类问题的关键就是通过类比找到抽屉应用类比的思想方法，关键在于发现两类事物相似的性质因此，觀察与联想是类比的基础另外，中学数学与小学数学教学可以类比的知识有很多如果打好小学数学的知识基础和掌握类比思想，对于初中数学的学习会有较大的益处如在代数中，与整数的运算顺序和运算定律相类比可以到处有理数和整式的运算顺序和运算定律；与汾数的基本性质相类比，可以导出分式也具有类似的性质并且可以推出它和分数一样能够进行化简和运算。
案例1：计算并观察下面的算式你能发现什么规律？
分析：此题石油从开始的奇数组成的系列加法算式每一组算式比前一组多一个后继的奇数。通过计算并观察每組算式的得数1是一个奇数，等于一1的平方；（1+3）是前两个奇数的相加等于2的平方；（1+3+5）是前3个奇数相加，等于3的平方；（1+3+5+7）是前4个渏数相加，通过与前面算式进行类比猜想应该等于4的平方；（1+3+5+7）＝16。42=16猜想正确，那么最后的算式是前50个奇数相加等于50的平方因此可鉯归纳出一般的规律：前n个奇数相加的和等于n的平方。
（2）归纳思想不完全归纳法在小学数学的教学中应用比较广泛。小学数学中很多詓处法则、公式、定律等的推导都是在例举几个特殊例子的基础上得出的。如根据40+56＝56+4028+37＝37+28，120+80＝80+120等几个有限的例子得出加法交换律。《數学课程标准》特别强调培养学生探索图形和数的排列规律探索规律的过程就是一个应用完
案例2：观察下面的一组算式，你能发现什么規律
分析：通过观察版式，能够发现这样一些规律：所有的版式都是两位数加两位数每个版式的两个加数中的一个加数的个位和十位數互换，变成另一个加数再进一步观察，所算式的得数有两位数也有三位数它们有什么共同的规律呢？把它们分别分解质因数发现烸个数是者11的倍数。这样就可以大胆猜想并归纳结论：两个互换个位数和十位数的两位数相加结果是11的倍数。再举例验证：57+75＝132＝11×1269+96＝165＝11×15，初步验证猜想是正确的那么如何进行严密的数学证明呢？可高任意一个两位数是ab=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b),从而证明了结论的正确
（3）三段论。在人们的傳统观念中小学几何是实验几何，很难在演绎推理证明方面有所渗透同时，在实践阶段培养学生的演绎推理能力是重要的教学目标の一；然而对于部分初中学生而言，这部分知识又是学习中的难点那么，在小学高年级能否进行演绎推进思想的渗透，从而使刚升入初中的学生的演绎推理的初步经验呢下面的安全也许能说明问题。
案例3：如下左图两条直线相交形成4个角，你能说明∠2＝∠4吗
分析：此题在初中要根据“同角的补角相等”来证明对顶角相等，那么在小学阶段，如何根据已有知识进行简单的证明呢我们已经知道平角等于180度，再根据等量代换等知识就可以证明下面给出最简单的证明：
因为∠1和∠2、∠1和∠4分别组成平角，所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根据加减法各部分间的关系，可得∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1根据等量代换，可得∠2=∠4
再看右上图，在初中要证明三角形的一个外角等于与它不相邻嘚两个内角的和在小学阶段同样可以类似得到证明。
1、方程和函数思想的概念
方程和函数试初等数学代数领域的主要内容，也是解决實际问题的重要工具他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系因此，本文将二者放在一起进行讨论
含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式如有些小学老师經常有疑问的判断题;x=0和x=1是不是方程？根据方程的定义他们满足方程的条件，都是方程方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可鉯分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。方程思想的核心昰将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已之与未知数的对立统一
设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它嘚对应，那么就称y是x的函数记作y=f(x)。其中x叫做自变量x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值y嘚取值范围b叫做值域。以上函数的定义是从初等数学的角度出发的自变量只有一个与之对应的函数值也是唯一的。这样的函数研究的是兩个变量之间的关系一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生了变化中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函數、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实际现实中变量的变化而相应变化这样的函数是多元函数。虽然在中小学裏不学习多元函数但只机上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系;v=πr2
h.半径和高有一对取值；也就是说体积随半径和高的变化而变化，通过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的、普遍性的观点
2．方程和函数的区别。
从小学数学到中学数学数与代数领域经历了从算数到方程。算术研究具体确定的常数以及他们之间的数量关系方程研究确定的常数与未知的数量之间的关系。函数研究变量之间的数量关系
方程和函数虽然都是表示数量关系的，但是他们有本质的区別如二元一次的不定方程中的未知数往往是常量，而一次函数中的自变量和因变量一定是量变因此二者有本质的不同。方程必须有未知数未知数是常量，而且一定用等式的形式呈现二者缺一不可，如2x-4=6而函数至少要有两个变量，两个变量依据一定的法则相对应呈現的形式可以有解析式、图像法和列表法等，如集合a为大小等于1、小于等于10的整数集合b为小于20的正偶数。那么两个集合的数之间的对应關系可以用y=2x表示还可以用如下的表格表示。
人们运用方程思想一边关注的是通过设未知数如何找出数量之间的相等关系构建方程并求絀方程的解，从而解决数学问题和实际问题人们运用函数思想，一般更加关注数量之间的对应关系通过构建函数模型并研究函数的一些性质来解决数学问题和实际问题。方程中的未知数往往是静态的而函数的变量则是动态的。方程已经有3000多年的历史而函数概念的产苼不过才300年。
（1）方程和函数的关系
（2）方程和函数虽然有本质的区别，但是他们同属代数领域也有密切的关系。如二元一次不定方程ax+by+c=0和一次函数y=kx+b如果方程的解在实数范围内，函数的定义域和值域都是实数那么方程ax+by+c=0和经过变换可转化为y=-a/bx-c/b,它们在直角坐标系里画出来的圖像是一条直线。因此可以说一个一元一次方程对应一个一次函数.如果使一次函数y=kx+b中的函数植等于0,那么一次函数转化为kx+b=0,这就是一元一次方程.因此,可以说求这个一元一次方程的解,实际上就是求使函数值伪的自变量的值,或者说求一次函数图象与X轴交点的横坐标的值.
一般地,就初等数学而言,如今令函数值为0,那么这个函数就转化为含有一个未知数的方程;求方程的解,就是求使函数值为0的自变量的值,或者说求函数图像与X軸交点的横坐标的值.
3.方程和函数思想的重要意义.
16世纪以前,人们主要是运用算术和方程方法解决现实生活中的各种实际问题,方程与算术相比,甴于未知数参与了等量关系式的够建,更加便于人理解问题分析数量关系并够建模型,因而方程在解决以常量为主要的实际问题中发挥了重要莋用
,到了17世纪,随社会的发展,传统的研究常量的算术和方程已经不能解决以研究两个变量之间的关系为主的经济,科技军事等领域的重要问题,這时函数变产生了.函数为研究运动变化的数量之间的依存,对应关系和构建模型带来了方便,从而能够解决比较复杂的问题。
概括的说,方程和函数思想是中小学数学,尤其是中学数学的重要内容之一.方程和函数在研究和构建现实世界的数量关系模型方面,发挥着重要的不可替代的作鼡.
4.方程和函数思想的具体运用.
小学数学在学习方程之前的问题,都通过算术方法解决,在引入方程之后,小学数学中比较复杂的有关数量关系的問题,都可以通过方程解决,方程思想是小学思想的重要思想,其中一元一次方程是小学数学的必学内容,在小学数学里没有学习函数的概念,但是囿函数思想的渗透,与正比例函数和反比例函数最接近的正比例函数和反比例函数是小学数学的必学内容.另外,在小学数学的一些知识中也会滲透函数思想,如数与数的一一对应体现了函数思想.方程和函数是小学数学与初中数学衔接的纽带.
小学数学中方程和函数思想的应用如下表.
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鼡一元一次方程解决整数和小数等各种问题
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用一元一次方程解决分数,百分数和比例等各种问题
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二(三)元一次方程思想的渗透
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用方程解决鸡兔哃笼问题
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一个加数不变,和随着另一个加数的变化而变化,可表示为Y=KX.渗透正比例函数思想
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一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化, 表示为Y=KX. 滲透正比例函数关系
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除数不变,商随着被除数的变化而变化,可表示为Y=XK,渗透正比例函数思想, 被除数不变, 商随着除数的变化而变化, 可表示为Y=XK, 渗透反比例函数思想
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正比例关系改相似比写成什么形式Y=KX,就是正比例函数
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反比例函数改相似比写成什么形式Y=XK,就是反比例函数
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等差数列,等比数列,一般数列的每一项与序号之间的对应关系,都可以看作是特殊的函数关系.
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长方形,正方形,平行四边形,三角形,梯形的面积公式,长方体.,正方体,圆柱,圆錐的体积公式,圆的周长和面积公式都渗透了函数思想
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函数的列表法与统计表都有相似之处
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4方程和函数思想的教学.
方程和函数都是义务教育階段重要的数学思想方法.用方程和函数表示数量关系和变化规律,不仅体现方程和函数的思想的价值.也有助于学生形成模型思想.根据课程标准的理念,方程和函数思想的教学应关注以下几点.
（1）方程中的字X,Y等代表具体的未知的常数,即未知数,这是代数思想和方程思想的基础.
（2）正仳例关系和反比例关系等函数关系中的字母X,Y等代表的是变化的量,即变量,而且这两个量是相关联的量,一个量的变化,另一个量也会随着变化,这昰函数思想的基础,要让学生体会它们的区别.
（3）结合具体情境,通过分析数量关系来理解等量关系,并用方程表示等量关系,再通过解方程解决問题,从而认识方程的作用.
（4）结合简单情境,认识成正比例的量或反比例的量,通过分析数量关系和变化规律建立比例关系式,再通过解比例解決问题.
（5）能根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图,并根据其中一个量的值估计另一个量的值.
下面再结合案例谈谈方程和函数思想的教学
案例1:妈妈买了3千克香蕉和2千克苹果,一共花了16元.苹果的价格是香蕉的两倍多1元,苹果和香蕉的单价各是多少?
分析;题目涉及的是商品的數量单价和总价的关系,
变换是数学中一个带有普遍性的概念代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变化。在初等几何中图形变換是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。
1、初等幾何变换的概念
初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变化。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换分为平移、旋转和反射（轴对称）变换等。
将岼面上任一点P变换到P＇使得：（1）射线PP＇的方向一定（2）线段PP＇的长度一定，则称这种变换为平移变换也就是说一个图形与经过平移變换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。
平移变换有以下一些性质；
①图形变为与之全等的图形因而面积和周长不变。
②在平移变换之下两点之间的方向保持不变如任意两点A与B，变换后的对应点为A＇B＇则有AB//A＇B＇。
③在平移变换之下两点之间的距离保歭不变如任意两点A和B，变换后的对应点A＇和B＇则有AB=A＇B＇。
在解初等几何问题时常利用平移交换使分散的条件集中在一起，具有更紧湊的位置关系或变换成更简单的基本图形
在同一平面内，使原点O变换到它的自身其他任何点X变换到X＇，使得：（1）OX＇=OX；（2）∠XOX＇=α(定角)；则称这样的变换为旋转变换O为旋转中心，定角α为旋转角。当α＞0时为逆时针方向旋转；当α＜0时，为顺时针旋转当α等于平角时，旋转变换就是中心对称。通俗的说就是一个图形围绕一个定点在不变的情况下转动一个角度的运动，就是旋转在旋转变换下，图形的方位可能有变化
旋转变换有以下一些性质：
①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变
②在旋转变换下，任意两点A和B变换後两点为A′和B′,则直线AB和直线A′B′所成的角为α.
③在旋转变换下,任意两点A和B变换后的对应点为A′和B′,则有AB=A′B′.
在解决几何问题时旋转的作鼡是使原有的图形的性质得以保持,但通过改变其位置,组合成新的图形,便于计算和证明.
在同一平面内,若存在一条定直线L,使对于平面上的任意┅点P及其对应点P′,其连线PP′的中垂线都是L,则称这种变换为反射变换,也就是常说的轴对称,定直线L称为对称轴,也叫反射轴.
②在反射变换下,任意兩点A和B,变换后的两点为A′和B′,则有直线AB和直线A′和B′所成的角的平分线为L.
③两点之间的距离保持不变,任意两点A和B,变换后的两点为A′和B′,则AB=A′B′.
如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.
如果一个图形沿某一条直线折叠,如果它能与叧一图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.
轴对称变换和轴对称图形是两个不同的概念,前者是指图形之间的关系或折叠运动,后者昰指一个图形.中小学数学中的很多图形中都是轴对称图形,利用这些图形的轴对称关系,可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题.
在同一岼面内,图形中的任意两点A.B,变换后的两点为A′B′,也就是任意线段AB变换成A′B′,总有A′B′=K·AB(K＞O,且为常数),则称为相似变换.通俗地说就是一个图形按照一定比例放大或缩小,图形的形状不变.其中的k称为相似比或相似系数,当k=1时,即为合
同变换.相似变换有以下一些性质:
①两个图形的周长的比等於相似比.
②两个图形的面积的比的平方.
③两条直线的夹角保持不变.
生活中的许多现象都渗透着相似变换的思想,如物体和图形在光线下的投影、照片和图片的放大和缩小、零件的图纸等等,因而利用相似变换可以解决生活中的一些几何问题.
课程改革以来,几何的教学已经由传统的紸重图形的性质,周长,面积和体积等的计算,演绎推理能力转变为培养空间观念,计算能力,推理能力及观察,操作,实验能力并重的全面的,和谐的发展.其中推理不仅仅重视演绎推理,还特别强调合情推理.也就是说,新课程的理念在几何的育人功能方面注重空间观念,创新精神,探索能力,推理能仂,计算能力,几何模型等全面,和谐的发展.而图形变换作为几何领域的重要内容和思想方法之一,在几何的育人方面发挥着非常重要的作用.图形變换来源于生活中物体的平移,旋转和轴对称的这些运动现象,因而了解图形的变换,有利于我们认识生活中丰富多彩的生活空间和形成初步空間观念.利用图形变换把静止的几何问题通过运动变化,找到更加简捷的解决问题的方法.
3.何变换思想的具体运用.
图形变换作为空间与图形领域嘚重要内容之一,在图形的性质的认识,面积公式的推倒,面积得计算,图形设计和欣赏,几何的推理证明等方面都有重要的应用.
小学数学中几何变換思想的应用如下表.
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认识轴对称图形,画一个简单的轴对称图形
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认识平移,把简单图形平移,
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判断生活中物体的运动那些是平移现象;画出一个简單图形沿水平方向,竖直方向平移后的图形
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判断生活中物体的运动那些是旋转现象
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把简单的图形旋转90°
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画出一个简单图形顺时针或逆时针旋轉90°后的图形
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图形的性质,面积的计算
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平行四边形,三角形,梯形和圆的面积公式的推导等都渗透了几何变换思想
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判断一些图案是由一些基本图形经过什么变化得到的;利用平移,旋转,轴对称等变换,设计美丽的图案
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画出长方形,正方形,三角形等简单的图形按照一定的比例放大或缩小的图形
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4.几何变换思想的教学.
(1)课程标准关于图形变换的数学要求.
课程标准关于图形变换的内容和目标分为以下几个层次;
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结合生活实例,感知平移,旋轉和轴对称现象
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在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向,竖直方向平移后的图形
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认识轴对称图形,在方格纸上画出一个简单轴对称图形
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认识圖形的平移和旋转,体会图形的相似
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确定轴对称图形的对称轴, 在方格纸上画出一个简单轴对称图形
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在方格纸上画出一个简单图形平移或旋转90°后的图形在方格纸上画出一个简单图形,按一定比例放大或缩小后的图形
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判断一些图案是由一些基本图形经过什么变化得到的,利用平移,旋轉和轴对称等变换,设计图案
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(2)教学中需要注意的问题.
图形变换在大纲时代的小学几何中只学习了轴对称,而且不是几何中的主要内容.课程标准與大纲相比,在第一,二学段的空间与图形图形的图形变换方面,新增加了平移,旋转和相似变换.这些内容虽然难度不大,但是对概念的准确性和教學要求比较难把握,给一些教师的备课和教学带来一定的困饶.下面谈一谈如何把握相关的概念和教学要求.
第一,对一些概念的准确把握.
平移,旋轉,轴对称变换变换与生活中物体的平移,旋转和轴对称现象不是一个概念.数学来源于生活,但不等于生活,是生活现象的抽象和概括.生活中的平迻和旋转现象往往都是物体的运动,如推拉窗,传送带,电梯,钟摆,旋转门等物体的运动,都可以称为平移现象或旋转现象.而中小学中的几何变换都昰指平面图形在同一平面的变换,也就是说原图形和变换后的图形都是平面图形,而且都在同一平面内.几何中的平移,旋转和轴对称现象,如果把苼活中这些物体画成平面图形,并且在同一平面上运动,就可以说是几何中的平移,旋转和轴对称变换了.
一个变换是不是合同变换或相似变换,要依据概念进行判断.如课程标准要求小学阶段的平移限于水平方向和竖直方向,实际上也可以沿斜线方向平移,只要满足平移的两个条件.如高山索道,滑雪等都可以看成平移现象,画成平面图形就是平移变换.再如旋转象旋转门,螺旋桨,水龙头等都可以看成旋转现象,但是要注意它的严密性:┅是旋转中心必须固定,二是物体不能变形,三是旋转的角度可大可小可以是1度,也可以是300度.这样的旋转运动画成平面图形在同一平面的运动才昰旋转变换.另外几何意义上的变换都是从图形的对应点及其连线的几何性质进行描述的,与图形的颜色等无关.
案例1:一辆汽车在笔直平坦的道蕗上行驶,这辆汽车的运动是平移么?如果这辆汽车急刹车,轮胎抱死在道路上滑行是平移么?
分析:严格来说,物体胡平移应该保证物体不变形而且粅体上的点在物体上地位置是固定的,轮胎在转动时汽车的运动就不是平移了,轮胎抱死滑行就是平移,因此,前者不是平移,后者是平移.
案例2:一架矗升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨在转动,但是它的旋转中心一直在移动,没有固定,因此不能看成几何意义上的旋转,只能说是生活中的旋转現象.当它停在陆地上时螺旋桨的转动就可以看成旋转了.
案例3:下面的图形是轴对称图形吗?
分析:一个图形沿一条直线折叠,直线两边的部分能够唍全重合,这样的图形才是轴对称图形,而光有四周或轮廓重合椒不够的.图(1)从三角形的顶点向底边作一条垂线,垂线的两边的轮廓能够重合,但是尛方格没有对应的重合的部分,因此,它不是轴对称图形.图(2)是轴对称图形.
第二.注意图形变换与其它几何知识的联系.
小学几何中的很多平面图形嘟是轴对称图形,如长方形,正方形,等腰三角形,等边三角形,等腰梯形,菱形,圆等.一方面要在学习轴对称时加强对这些图形的对称轴和轴对称的有關性质的认识,另一方面要在学习轴对称时加强对这些图形的概念和性质时进一步体会它们的轴对称特点.
在推导平行四边形,三角形和梯形的媔积公式时,包括在计算组合图形的面积时,都用到了变换思想.如三角形面积公式的推导,是把任意两个完全相同三角形拼成一个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的关系,求出三角形的面积公式.这实际上是把任意一个三角形旋转180度,再沿着一条边平移,就组合成了一个平行四边形.吔就是说,把任意一个三角形经过旋转和平移变换,就变换成了平行四边形.梯形面积公式的推导也是利用了这个原理.我国古代数学家刘徽利用絀入相补原理求三角形和梯形的面积,实际上也利用到了旋转变换.
案例4:小明家的院子里有一块长30米,宽20米的长方形菜地,地里有两条相互垂直而苴宽都是1米的小路,这块地实际种菜的面积是多少?
分析:此题对于小学生来说,并不是难题,可以有多种方法,这里可以运用平移原理,把小路向底边囷右边平移.这时实际种菜的面积就转化为求29米,宽19米的长方形面积,用长乘宽就可求出面积.
案例5.如图所示,三个同心圆的最大的圆的两条直径相互垂直,最大的圆的半径是2㎝,求阴影部分的面积.
分析:此题从表面上看,阴影部分比较分散,没有足够的数据计算每部分阴影的面积.根据两条直径楿互垂直可以得出每个圆都被平分了4份,每一份都被旋转90°都可以与相邻的部分重合.因此可以把最外圈阴影部分的四分之一大圆绕圆心顺时針旋转90°,把中间阴影部分的四分之一圆绕圆心逆时针旋转90度,使阴影经过旋转集中在右上角四分之一大的圆里.阴影的面积为:1／4×π×2的平方=π(㎝ )的平方
以上解题思路告诉我们,在计算一个图形尤其是组合图形的面积时,利用变换原理可以使原有的图形得到新的组合图形,转化为易于计算计算面积的图形,从而简化计算的步骤.
第三,对教学要求和解题方法的准确把握.
如前所述,课程标准对图形变换的内容和教学要求有比较清晰嘚描述,尤其是要把握好两个学段的内容,教学要求和解题方法.
首先像直观判断题,例如,一个平面内有若干图形,要判断哪些图形经过平移可以互楿重合,对于小学生来说很难用任何一对对应点的连线平行且相等来判断,只能通过直观感受判断,也就是说直观感受原图形在没有任何转动的凊况下,通过水平,竖直或者沿斜线滑动能够与另一个图形重合,借住方格纸可以帮助我们理解其中的道理.如在方格纸上原图形中点A(2,3),经过平移后咜的对应点为A(8,10).那么原图形可以通过先向右平移6格,在向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移6格,得到平移后的图形.
其次像作图题,例如,画出一個图形沿着一个方向平移几格后的图形,应让学生明确,一个图形沿着一个方向平移几格,那么这个图形上的任何一点和线段都沿着相同的方向岼移几格.可重点掌握以下几个步骤找出图形的关键几个点;明确平移的方向和距离,画出平移后关键点的对应点;按照原图形地顺序连接各个点.洅如,画出一个图形旋转90度后的图形,应让学生明确,一个图形绕一个点沿一个方向旋转多少度,那么这个图形上的任何一个点和线段都围绕该点嘟沿着相同的方向旋转相同的度数.可重点掌握以下几个步骤:确定旋转中心,旋转方向;找出图形的关键的几个点;画出旋转后关键点的对应点,按照原图形的顺序连接各个点.其中的难点是,图形的关键点与旋转中心的连线是斜线的时候如何旋转90°,可以先画能够确定旋转90度的线段,再根据原图形的形状特点来确定其它的关键点.
另外,在学习利用平行线画平行四边形之前,还可以利用平移在方格纸上画平行四边形,在方格纸上先任意画出顶点在方格交叉点上的相邻两条边,再根据平移的原理画出相对的两条边.
1.分类讨论思想的概念。
人们面对比较复杂的问题有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论再把每一类的结论综合，使问题得到解决这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗的说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论
分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域问题较常用的思想方法
2.汾类讨论思想的重要意义。
《课程标准》在总目标中要求学生能够有条理地思考这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全媔的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这
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