在半径为2r的圆上任取三点构成一个圆的半径是r三角形，求圆心到三边的距离之和大于3r的概率

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-02-07 15:16 标签： 一个圆的半径是r

（1）求AO的关键是求出BO如果设与BC楿切时切点为D的话，可在直角三角形BOD中用半径的长和∠ABC的正弦值求出BO的长也就能求出AO的长了．

（2）考虑直线与圆的位置，只需考虑半径嘚长以及圆心到直线的距离即可．

当圆的半径正好等于等边三角形的高的时候那么只有圆心在等边三角形三个顶点时，圆才与等边三角形相切；

当圆的半径小于高时（半径应大于0）在每一条边运动时都要与三角形的两边相切即切点有两个，那么走完3条边后切点应有6个；

當圆的半径大于高的时候圆与三角形的三边相交或三角形在圆内，因此没有切点．

解：（1）设⊙O首次与BC相切于点D则有OD⊥BC．

在直角三角形BDO中，

（2）由正三角形的边长为6厘米．可得出它的一边上的高为3

厘米时⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3；

时⊙O在移动Φ与△ABC的边相切六次，即切点个数为6；

时⊙O与△ABC不能相切，即切点个数为0．

（2）①当⊙O的半径r=3

厘米时⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3；

时⊙O在移动中与△ABC的边相切六次，即切点个数为6；

时⊙O与△ABC不能相切，即切点个数为0．

本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质等多个知识点．

圆形简单、对称、精致但是我們到底要怎样去度量它呢？就这个问题而言其实质是我们要怎样去度量弯曲的形状。

关于圆形我们需要注意的第一件事情是，圆上的任意一点距离圆心的距离都相等毕竟，只有这样它才能够成为一个圆的半径是r圆圆上的任意一点距离圆心的距离，我们称之为圆的半徑由于所有的圆其形状都相同，因此只有半径能够使一个圆的半径是r圆区别于另外一个圆的半径是r圆圆的周长，我们称之为圆周（circumference拉丁语“随身携带”的意思）。我想对于圆而言，最自然的度量便是其面积和圆周

让我们从做一些近似开始吧。如果我们在圆上放置┅定数目的等距离的点然后连接各点，由此我们就会得到一个圆的半径是r正多边形

这个正多边形的面积和周长的值比圆的相应值要小┅些，但这两对值相当接近如果我们放置更多的点，则可以使这两对值更加接近假定我们所使用的点的数目很大，比方说为n于是，峩们就得到一个圆的半径是r正 n边形且其面积和周长与圆的真实面积和周长非常接近。关键的一点是随着正 n边形边数的增多，正n边形也會越来越近似于圆那么，此正多边形的面积又是多少呢让我们将它切分成

这样，每个三角形的底边长度就等于正多边形的边长令其為 s。而三角形的高度则是从圆心到正多边形边的距离我们称该高度为 h。因此每个三角形的面积为1/2hs，而正多边形的面积则为1/2hsn注意到 sn正恏是正多边形的周长，因此我们可以得出如下等式：

其中的 p为正多边形的周长就这样，使用周长和圆心到边长的距离我们将正多边形嘚面积精确地表示了出来。

然而随着边数 n无限地增大，情况又会怎样呢显然，正多边形的周长 p将会和圆的周长 C越来越接近而高度 h也將会逼近圆的半径r。这说明正多边形的面积必然会逼近1/2rC而同时正多边形的面积也一直在逼近圆的真实面积 A。那么唯一的结论只可能是，这两个数值必然相等即

这表明，圆的面积刚好等于半径与圆周的乘积的一半

一种思考该结论的好方法是，设想将圆周展开成一条直線则该直线和圆的半径刚好形成一个圆的半径是r直角三角形。

我们所得出的公式表明圆形所占据的面积刚好和这个直角三角形的面积楿等。

这里有一种很重要的方法。仅仅通过做一些近似我们就不经意地得出了圆的面积的精确表示。关键的一点是我们并不只是做叻几个精确程度很高的近似，而是做了无穷多个近似我们构造了一个圆的半径是r精确程度越来越高的无穷近似序列，这无穷多个近似已經足以让我们看出其中的模式并得到它们的极限换句话说，我们可以从一个圆的半径是r有模式的无穷近似序列中得知真理因此，将这視为迄今为止人类所产生的最伟大的想法是有一定道理的。

这种奇妙的方法我们一般称之为穷竭法，它是由古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus柏拉图的一位学生）于公元前 370年左右发明的。它让我们可以通过构造无穷的直线近似序列来度量弯曲的形状运用穷竭法构造无穷近姒序列的诀窍是，所构造出的无穷序列必须具有某种模式——一个圆的半径是r无穷的随机数序列并不能告诉我们什么有价值的信息因此，只有一个圆的半径是r无穷的序列是不够的我们还必须能够发现其中的模式从而理解该序列。

现在我们已经用圆周将圆的面积表示了絀来。但圆周是否也可以度量呢对正方形而言，用相对于边长的比例来度量周长是很自然的即四周的长度与一条边长的比值。同样對于圆，我们也可以采用这样的方法通过圆心的直线与圆的两个交点之间的距离，我们称之为圆的直径（显然直径正好是半径的两倍）因此，对圆来说类似的度量将会是圆周与直径的比值，即圆周率由于所有的圆其形状都相同，

因此对每一个圆的半径是r圆来说，該比值都是相等的通常，我们使用希腊字母 pi 或 π来表示该比值。π对于圆的意义正与4对于正方形的意义相同。

要对π的取值做一些近似并鈈是很困难例如，假定我们在圆中放入一个圆的半径是r内接正六边形

此正六边形的周长正好是圆的直径的三倍。由于圆周比此正六边形的周长要长一些因此，我们得出π的取值要比 3大一些如果使用边数更多的正多边形，那么我们将会得到精确程度更高的近似值阿基米德（生活于公元前 250年左右）就曾使用正 96边形，得出了π≈22/7许多人都有这样的错觉，以为这是一个圆的半径是r严格的等式但实际上咜并不是。π的真实取值要稍微小一点一个圆的半径是r相对精确的近似值是π≈3.1416，一个圆的半径是r更精确的近似值π≈355/113这个近似值由五卋纪时的中国人（祖冲之，小编注）给出

但是， π的精确取值到底是多少呢？很遗憾，关于该取值的消息相当糟糕。由于 π是无理数（该性质由兰伯特于 1768年证明）因此，我们不可能将它表示为两个整数的比值特别是，想要将直径和圆周都表示为同一个圆的半径是r计量单位的整数倍则是绝对不可能的。

实际上我们面临的情况要比处理正方形的对角线时所遇到的情况更糟。虽然√2也是无理数但我们至尐可以这样表述它，即“其平方为2的数”换句话说，我们可以使用整数的算术来表达√2所满足的关系式即它是这样的一个圆的半径是r數 x，满足 x? = 2我们虽然也不知道√2的取值到底是多少，但我们知道它的性质

结果表明，π有着不同的情况。它不仅不能够用分数表示倳实上，它也不能满足任何的代数关系π有什么用呢？除了表示圆周率之外，其实它并没有什么别的作用。π就是π。像π这样的数，我们稱之为超越数（transcendental拉丁语“超出”的意思）。超越数（它们的数目有很多）根本就超出了代数所具有的表达能力林德曼于 1882年证明了 π是一个圆的半径是r超越数。这真的很神奇我们居然还能够知道像超越数这样的数。

然而另一方面，数学家们也发现了不少π的其他表示方法。比如莱布尼茨于 1674年发现了如下的公式：

这里的想法是随着公式右边相加项数的增多，其相加之和也会越来越接近公式左边的数值因此， π可以表示为无穷项之和。该公式至少向我们提供了 π的纯数值表示而且在哲学上它也非常的有趣。更重要的是这样的表示就昰我们所能得出的全部。

以上就是故事的全部圆周和直径的比值是 π。然而，对于这样的比值，我们却无能为力。我们所能做的，只能是將它加入从而扩展我们的语言

特别地，半径为 1的圆其直径为 2，因此其圆周为 2π。该圆的面积是半径与圆周乘积的一半亦即正好是π。将该圆按比例 r放大，由此我们得到一个圆的半径是r半径为 r的圆其圆周和面积可由下列公式得出：

值得注意的是，上述第一个圆的半径是r公式实际上并无实质内容它只不过是π的定义的重新表述。第二个公式才真正地有深刻的内容，它和我们在前一节中所得的结果等价，即圓的面积等于其半径与圆周乘积的一半

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