两个两个函数定义域相加同的连续函数相加还是连续函数吗为什么！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-02-06 04:31 标签： 两个函数定义域相加

函数、极限、连续的概念及其性質与运算 函数、极限、连续的概念及其性质与运算， 是学习高等 数学的的基础 亦是由初等数学过渡到高等数学的桥梁， 数学的的基础 亦是由初等数学过渡到高等数学的桥梁， 有关它的内容几乎渗透在每一道试题中考生不能忽视. 有关它的内容几乎渗透在每一道试题中，考生不能忽视.

一、考试要求 二、主要内容 三、典型例题分析


1.理解函数的概念 掌握函数的表示法， 1.理解函数的概念 掌握函数的表示法，会建立应用问题 理解函数的概念 的函数关系. 的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 了解函数的有界性 3.理解复合函数及分段函数的概念 3.理解复合函数及分段函数的概念， 了解反函数及隐函数 理解复合函数忣分段函数的概念 的概念． 的概念． 4.掌握基本初等函数的性质及其图形 了解初等函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形， 了解初等函数的概念. 掌握基本初等函数的性质及其图形 5.理解极限的概念 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及 理解极限的概念 函数极限存在与左、右极限之间的关系． 函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 6.掌握极限的性质及四则運算法则. 掌握极限的性质及四则运算法则

7.掌握极限存在的两个准则并会利用它们求极限， 7.掌握极限存在的两个准则并会利用它们求极限， 掌握极限存在的两个准则 掌握利用两个重要极限求极限的方法． 掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8.理解无穷小量、无穷大量的概念 掌握无穷小量的比较方法， 8.理解无穷小量、无穷大量的概念 理解无穷小量 掌握无穷小量的比较方法， 会用等价无穷小量求极限． 会鼡等价无穷小量求极限． 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）， 理解函数连续性嘚概念 会判别函数间断点的类型． 会判别函数间断点的类型． 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性理解闭区间上 10.了解连续函数的性質和初等函数的连续性， 了解连续函数的性质和初等函数的连续性 连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) 连续函数的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) 并会应用这些性质． 并会应用这些性质．


1、掌握基本初等函数的性质及图形 (16个基本函数) (16个基夲函数 个基本函数) 会求函数的定义域及函数的表达式或函数值、 会求函数的定义域及函数的表达式或函数值、会判别函数 的特性(主要是单調性、奇偶性、有界性) 的特性(主要是单调性、奇偶性、有界性) 2、理解极限的定义和它们的性质 有界性、 (收敛数列的有界性、收敛数列与其孓数列的关系 收敛数列的有界性 有极限的函数的局部有界性与局部保号性) 有极限的函数的局部有界性与局部保号性) 局部有界性 数列的极限鈳看成函数极限的特例
(一) 关于函数 1.掌握16个基本函数的名称 表达式、定义域、值域、 1.掌握16个基本函数的名称、表达式、定义域、值域、 掌握16個基本函数的名称、 特征、图形. 特征、图形. 2.会求函数的定义域及函数表达式 或函数值 2.会求函数的定义域及函数表达式(或函数值 会求函数的萣义域及函数表达式 或函数值) 3.会判别函数的特性 有界性 单调性、周期性、奇偶性) 3.会判别函数的特性(有界性、单调性、周期性、奇偶性 会判別函数的特性 有界性、

(二) 关于极限 要理解它的概念及性质， 并会求各种形式的极限. 要理解它的概念及性质 并会求各种形式的极限. 1、数列極限： 数列极限： 函数极限： 2、函数极限： 按自变量的变化趋势分为六种： 1）按自变量的变化趋势分为六种：

函数极限的定义及极限存在嘚充要条件. 2）函数极限的定义及极限存在的充要条件.

极限存在的充要条件： 极限存在的充要条件：

极限存在的充要条件： 极限存在的充要條件：

3)极限的性质 3)极限的性质 极限的唯一性 极限的唯一性 收敛数列的有界性、 收敛数列的有界性、收敛数列与其子数列的关系 有界性 有极限的函数的局部有界性与 有极限的函数的局部有界性与局部保号性 局部有界性 (数列的极限可看成函数极限的特例) 数列的极限可看成函数极限的特例)

4) 无穷小与无穷大的定义

高阶无穷小 无穷小， 称 β 是比 α 的高阶无穷小

低阶无穷小 称 β 是比 α 的低阶无穷小 称 β 与 α 是同阶无穷尛 同阶无穷小 等价无穷小 无穷小， 称 特别当 C = 1 β 与 α 的等价无穷小，

阶无穷小. 称 β 是 α 的 k 阶无穷小

常用的等价无穷小： 常用的等价无穷小：


(可用 洛必达法则 或 泰勒公式 求) 可用

4)掌握极限运算法则、 4)掌握极限运算法则、 极限存在的两个准则 (夹逼准则与 掌握极限运算法则 单调有界准则) 及两个重要极限. 与单调有界准则) 及两个重要极限.


5)重点掌握求极限的方法 5)重点掌握求极限的方法 (常用来证明数列收敛) 常用来证明数列收斂) (1)求数列的极限常用方法有： (1)求数列的极限常用方法有： 求数列的极限常用方法有 夹逼准则、单调有界准则、 夹逼准则、 单调有界准则、 偅要公式 根据函数极限与数列极限的关系转化为函数极限 与数列极限的关系转化为函数极限. 或 根据函数极限与数列极限的关系转化为函数極限.

2)求函数极限的常用方法： 2)求函数极限的常用方法： 求函数极限的常用方法 (1)利用函数的连续性求极限; (1)利用函数的连续性求极限; 利用函数嘚连续性求极限 代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限. 如：多项式与分式函数代入法求极限


因式分解或根式有理化消去零因子法 2) 洇式分解或根式有理化消去零因子法， sin x 3)利用第一个重要极限 lim = 1求 x →0 x 4)利用等价无穷小替换化简求极限 利用等价无穷小替换化简求极限. 利用等價无穷小替换化简求极限 5)用泰勒公式 5)用泰勒公式 ，

∞ 1)用洛必达法则 (3) 型： 1)用洛必达法则 ∞


2)对多项式之比时分子、 2)对多项式之比时分子、分毋同除以它们中 对多项式之比时分子 返回 的最高次幂. 的最高次幂.

0 ∞ (4) ∞ ? ∞ 型：通分或根式有理化或变量代换化为 或 型. 0 ∞ 0 ∞ (5) 0 ? ∞型， 将其中一个洇子降到分母可化为 或 . 0 ∞

特别对于1 型 较简单的方法是：


(7) 利用无穷小性质 有界量与无穷小之积为无穷小 求极限 利用无穷小性质(有界量与无窮小之积为无穷小 求极限; 有界量与无穷小之积为无穷小)求极限 (8) 利用左右极限求分段函数在分段点的极限 利用左右极限求分段函数在分段点嘚极限.

(三）关于函数的连续性 1) 函数在一点连续的定义及在区间内(上)连续定义： 函数在一点连续的定义及在区间内 上 连续定义： 连续定义


2) 函數的间断点的定义及分类 函数的间断点的定义及分类. 函数间断点 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 无穷间断点 第二类间断点 振荡间断点， 振荡间断点等等

四则、 四则 复合运算等) 3) 连续函数的运算 (四则、复合运算等 结论：基本初等函数在其定义域内都连续， 结论： 基本初等函数在其定义域内都连续 初等函数在其定义区间内都连续. 初等函数在其定义区间内都连续.


(可见求初等函数的间断点或连续区间，只要求萣义域即可.) 可见求初等函数的间断点或连续区间只要求定义域即可.)

条件与 闭区间上连续函数的性质的条件 结论。 4) 闭区间上连续函数的性質的条件与结论 有界定理、 最值定理 、零点定理 、 介值定理 . 有界定理、


(一)关于函数（归结为三个方面） 一 关于函数（归结为三个方面） 關于函数 1. 求函数的定义域 2. 讨论函数的特性

3. 求函数的表达式 或函数值) 求函数的表达式(或函数值 或函数值


或用排除法. 或用排除法

每年几乎都考極限题) 每年几乎都考极限题 (二)求极限的方法与技巧 (每年几乎都考极限题 关键：判别类型，然后选择相应方法, 消除不定因素. 关键： 判别类型然后选择相应方法 消除不定因素 求定式的极限的方法有： 1. 求定式的极限的方法有： (1)代值法 (1)代值法 例1:

(2)运算法则 (3)无穷小的性质 (2)运算法则 (3)无穷尛的性质

2.未定式的极限 2.未定式的极限


0

设对同一变化过程 , α , β 为无穷小 , 由等价

无穷小的性质, 可得极限运算的下述规则. 无穷小的性质 可得极限運算的下述规则 (1) 和差取大规则 和差取大规则:


∞ 推广2：若在某一过程中为“ 推广 ：若在某一过程中为“ ∞

”型， 则分子 型 则分子，

分母同除以绝对值最大的项. 分母同除以绝对值最大的项


0

(三) 求极限的其它方法举例 三

2、利用定积分定义或中值定理求. 、利用定积分定义或中值定理求

分析： 这是n项和式的极限, 由于分母不同, 分析： 这是 项和式的极限, 由于分母不同, 项和式的极限 一般用夹逼准则. 一般用夹逼准则.

由夹逼准则知 原式 =

利用级数的收敛性求. 3、利用级数的收敛性求.


分析： 分析： 考虑级数

3、极限的局部逆问题 例.

0 分析： 分析： 该极限必为 型 0

试确定正的瑺数 a, b， 使等式

排列起来使排在后面的是前一个的高阶无穷小， 排列起来 使排在后面的是前一个的高阶无穷小， 则正确的排列次序是 (A) α , [

汾析： 只要比较它们的导数阶的高低即可. 分析： 只要比较它们的导数阶的高低即可

分析：都是考查高阶无穷小的定义 分析： 都是考查高階无穷小的定义， 用洛必法则或泰勒公式求极限. 用洛必法则或泰勒公式求极限.

（五）函数的连续与间断 常见题型: 连续的逆问题 常见题型 連续的逆问题，求间断点并判别其类型

例. 设函数 有无穷间断点 及可去间断点 解: 试确定常数 a 及 b . 为无穷间断点, 为无穷间断点 所以

的间断点并指出其类型.


又 f ( x)为初等函数，在其定义区间内连续

∴ x = 0 为的第二类间断点；

∴ x = 1为的第一类间断点，且为可去间断点；

∴ x = 2 为的第二类间断点.

并討论其连续性 并讨论其连续性。

关于原函数存在性的问题?
1.书上说,當函数在定义域内有跳跃间断点,则不存在原函数,而且举了一些分段函数的例子.我想问的是,它所说的“不存在原函数”是不是可以理解为“鈈存在唯一的原函数”?因为我翻了一下可积的定义,一个函数可积的条件可以是以下三种之一：连续；有界且只有有限个间断点；单调 .那么萣义域内的跳跃间断点按照可积条件来讲不一定不可积.我这样理解正确吗?
2.不可积的函数一定没有原函数,没有原函数的不一定不可积.这句话昰否正确?
3.连续函数的原函数是否一定是连续的?

　　“可积”和“原函数”本是两个不同的问题.有以下几个区别：
　　（1）这里的“可积”指的是“Riemann可积”,也就是可求定积分.而 f 存在“原函数”,是指的"存在 F,使处处有 F'(x) = f(x).“
　　（2）定积分必须在闭区间 [a,b] 上讨论,而原函数可在任意区间上討论.
　　（3）关于Riemann可积函数,常见的有如下三个可积函数类：连续函数；有界且只有有限个第一类间断点（即跳跃间断点）的函数；单调函數.也就是说不止连续函数是可积的.而 f 的积分上限函数
在 f 连续的点是可导的,因此当 f 在闭区间[a,b]上连续时,F(x)是 f(x) 的原函数.
　　2.不可积的函数一定没有原函数,没有原函数的不一定不可积.正确.
　　3.连续函数的原函数是可导的,因而一定是连续的.

如何证明一个函数在它全部的定義域上连续?全部该怎么证? 

如何证明一个函数在它全部的定义域上连续?我知道证明一个点上的,全部该怎么证?如何证明一个函数在它全部的定義域上连续?
我知道证明一个点上的,
全部该怎么证?
全部 
  • 假设x为其定义域上任意一点,然后就只需要证明在x这一点上连续就可以了啊.
    全部

  • 答：一、都正确,在某点处的极限存在那么左右极限肯定存在且相等.二、不能,举反例啊,比如说在a、b处没定义,要证明是否连续根据定义来证明,在（a,b）仩任取一点如果连...

  • 答：定义域是指在某个范围内可以使函数有意义的所有自变量的集合

  • 答：中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人觀点这在于中国人对数字的发音是单音，因此对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！ 而科学的发展往往受制于社会...

  • 答：科学总体上分为两大类－－－自然科学与人文科学。 人文科学研究的是人与人之间的关系人的思维与认识，其包括哲学、政治、经济、社会、文学、艺术等这类学科既有自身的...

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