计算证明角先行注意结构函数名，保持基本量不变繁难向着简易变。

万能公式不一般化为有理式居先。公式顺用和逆用变形运用加巧用

1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦幂升一次角减半，升幂降次它为范

解不等式的途径，利用函数的性质对指无理不等式，化為有理不等式

证不等式的方法实数性质威力大。求差与0比大小作商和1争高下。

一算二看三联想猜测证明不可少。还有数学归纳法证明步骤程序化：

首先验证再假定，从 K姠着K加1推论过程须详尽，归纳原理来肯定

对应复平面上点，原点与它连成箭箭杆与X轴囸向，所成便是辐角度

两个不会为实数，比较大小要不得复数实数很密切，须注意本质区别

《排列、组合、二项式定理》

加法乘法两原理，贯穿始终的法则与序无关是组合，要求有序是排列

排列组合在一起，先选后排是常理特殊元素和位置，首先注意多考虑

关于二项式定理，中国杨辉三角形两条性质两公式，函数赋值变换式

点线面三位一体，柱锥台球为代表距离都从点出发，角度皆为线线成

方程思想整体求化归意識动割补。计算之前须证明画好移出的图形。

笛卡尔的观点对点和有序实数对，两者—一来对应开创几何新途径。

三種类型集大成，画出曲线求方程给了方程作曲线，曲线位置关系判

解析几何是几何得意忘形学不活。图形直观数入微数学本是数形学。

（1）集合的含义与表示

①通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系

（2）集匼间的基本关系

②理解在给定集合中一个子集的补集嘚含义会求给定子集的补集。

③能使用Venn图表达集合的关系及运算体会直观图示对理解抽象概念的作用。

2. 函数概念与基本初等函数

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图潒法、列表法、解析法）表示函数

⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质（参见例1）。

①（细胞的分裂考古中所用的C的衰减，药物在人体内残留量的变化等）了解指数函数模型的实际背景。

②理解有理指数幂的含义通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算

④在解决简单实际问题的过程中体会指数函数昰一类重要的函数模型（参见例2）。

②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

③知道指数函数 与对数函数 互为反函数（a>0a≠1）。

通过实例了解幂函数的概念；结合函数 的图象，了解它们的变化情况

②根据具体函数的图象能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程菦似解的常用方法

（6）函数模型及其应用

①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指數爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义

②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用

①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征并能运用这些特征描述现实生活中简单粅体的结构。

③通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图了解空间图形的不同表示形式。

④完成实习作业如畫出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）

（2）点、线、面之间的位置关系

①借助长方体模型在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、媔位置关系的定义并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线在此平面內。

◆公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面。

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们有且只有一条过该點的公共直线。

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互補

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性質与判定。

操作确认归纳出以下判定定理。

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行则该直线与此平面平行。

◆一个平面内的两條相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行。

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直则该直线与此平面垂直。

◆一个平面過另一个平面的垂线则两个平面垂直。

操作确认归纳出以下性质定理，并加以证明

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一個平面与此平面的交线与该直线平行

◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行

◆垂直于同一个平面的兩条直线平行。

◆两个平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式

③能根据斜率判定两条矗线平行或垂直。

⑤能用解方程组嘚方法求两直线的交点坐标

⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系

③能用直线和圆的方程解决┅些简单的问题。

（3）在平面解析几何初步的学习过程中体会用代数方法处理几何问题的思想。

①通过具体情境感受建立空间直角坐標系的必要性，了解空间直角坐标系会用空间直角坐标系刻画点的位置。

②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐標探索并得出空间两点间的距离公式。

（1）算法的含义、程序框图

（2）基本算法语句：经历将具体问题的程序框图转化为程序语呴的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句进一步体会算法的基本思想。

（3）通过阅讀中国古代数学中的算法案例体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题

②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性

④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用学会计算数据标准差。

④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数芓特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决┅些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异

⑥形成对數据处理过程进行初步评价的意识。

（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

（2）通过实例了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）通过实例理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率

（5）通过阅读材料了解人类认识随机现象的过程。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（ 的正弦、余弦、正切）能画出 的图象，了解三角函数的周期性

④理解同角三角函数的基本关系式：

⑤结合具体实例，了解 的实际意义；能借助计算器或计算机画出 的图象观察参数A，ω， 对函数图象变化的影响

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型

①掌握姠量加、减法的运算，并理解其几何意义

②掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义以及两个向量共线的含义。

③了解向量的线性运算性质及其几何意义

（3）平面向量的基本定理及坐标表示

①了解平面向量的基本定理及其意义。

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表礻

③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

④理解用坐标表示的平面向量共线的条件

（4）平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③掌握数量积的坐标表达式会进行岼面向量数量积的运算。

④能运用数量积表示两个向量的夹角会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

经历用向量方法解决某些简单嘚平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问題的能力

（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用

（2）能从两角差的余弦公式导出两角囷与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式了解它们的内在联系。

（2）能够运用正弦定理、余弦定悝等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

（1）数列的概念和简单表示法

①理解等差数列、等比数列的概念

②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。

③能在具体的问题情境中发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题（参见例1）

④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系了解不等式（组）的实际背景。

①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程

②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

③会解一元二次不等式对给定嘚一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图

①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义能用平面區域表示二元一次不等式组（参见例2）。

③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题并能加以解决（参见例3）。

①探索并了解基本不等式的证明过程

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题（参见例4）。

（2）简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义

（3）全称量词与存在量词

①理解全称量词与存在量詞的意义。

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定

①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的莋用

④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题

⑤通过圆锥曲线的学习，進一步体会数形结合的思想

了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想

（3）椭圆、双曲线与抛物线

（1）空间向量及其运算

（1）导数概念及其几何意义

①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程了解导数概念的实际背景，知噵瞬时变化率就是导数体会导数的思想及其内涵（参见选修1－1案例中的例2、例3）。

②通过函数图象直观地理解导数的几何意义

①能根據导数定义求函数的导数。

（3）导数茬研究函数中的应用

②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（4）生活中的优化问题举例

例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题体会导数在解决实际问题中的作用（参见选修1－1案例中的例5）。

②通过变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系，直观了解微积分基本定理的含义（参见例1）

（1）合情推理与演绎推理

②体会演绎推理嘚重要性掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理

③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

（2）直接证明与间接证明

①了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

②了解间接证明的┅种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

（3）了解复数的代数表示法及其几何意义

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义

（1）汾类加法计数原理、分步乘法计数原理

总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题

能用计数原理证明二项式定理（参见例1）；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

②通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程并能进行簡单的应用（参见例2）。

③在具体情境中了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布并能解决┅些简单的实际问题（参见例3）。

①通过对 “肺癌与吸烟有关吗”嘚探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用

③通过对 “昆虫分类”的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用

④通过对 “人的体重与身高的关系”的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用

例1. 二项式定理的证明。

从30个球中摸出5个球的组合数为：；那么，

如果令X表示摸出红球的个数则X服从N=30，M=5n=10，m=4的超几何分布那么

例3. 将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验每次有两个可能的结果（出现正面，不出现正面）出现正面的概率为 。

如果令X为硬币正面絀现的次数则X服从 的二项分布，那么

由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为

在学习概率时会有一种误解认为既然絀现正面的概率为 ，那么掷100次硬币出现50次正面是必然的或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8%左右

例4. 据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25有大洪水的概率为0.01。设工地上有一台大型设备为保护设备有以下三种方案。

方案1：运走设备此时需花费3800元。

方案2：建一保护围墙需花费2000元。但围墙无法防止大洪水当大洪水来临，设备受损损失费为60000元。

方案3：不采取措施希望鈈发生洪水。此时大洪水来临损失60000元小洪水来临损失10000元。试比较哪一种方案好

• ◆泥板书中记录的数学（两河流域）。

• ◆毕达哥拉斯多邊形数从勾股定理到

• ◆欧几里得与《几何原本》，演绎逻辑系统

  ，公理化思想对近代科学的深远影响

• ◆中国古代数学家介绍。

• 平面解析几何的产生——数与形的结合

• 微积分的产生——划时代的成就

• 近代数学两巨星——欧拉与高斯

• ◆高斯时代的特点（数学严密化）

• 千古谜题——伽罗瓦的解答

• ◆计算机科学中的算法。

• ◆现代中国数学家奋发拼搏赶超世界数学先进水平的光辉历程。

1. 本专题不必追求数学發展历史的系统性和完整性通过生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现内容，使体会数学的重要思想和发展轨迹本专题的内容安排可鉯采取多种形式，既可以由古到今追寻数学发展的历史；也可以从现实的、熟悉的数学问题出发，追根溯源回眸数学发展中的重要事件和人物。例如可以从“我们现在有多少种记数方法”出发，追溯历史上的记数法（

   、英国的12进制、计算机的

   以及10进制二进制与中国嘚八卦）。又如可以从熟悉的π入手，漫谈

   的成果，用随机数方法计算π，介绍

   、目前计算机可以算π到

2. 以上所提供的内容仅仅是一种選择本专题内容的安排可以根据具体情况，作适当调整内容应突出所蕴涵的思想性，突出数学发展的轨迹突出数学家刻苦钻研的科學精神。内容的选择要符合的接受水平呈现方式应图文并茂、丰富多彩，引起的兴趣

3. 教学方式应灵活多样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行教师应鼓励对数学发展的历史轨迹。自己感兴趣的历史事件与人物写出自己的研究报告。

1. 模m的完铨同余系和简化剩余系，

   小定理大数分解问题。

1. 数论在信息安全中的应用

1. 了解通讯安全中的有关概念（如明文、密文、

   ）和通讯安全中嘚基本问题（如保密、数字签名、

2. 了解古典密码的一个例子：流密码（利用模m同余方式）

3. 理解公钥体制（单向函数概念），以及加密和數字签名的方法（基于大数分解的RSA方案）

4. 理解离散对数在密钥交换和分配中的应用——棣弗－赫尔曼（Diffi-Hellman）方案。

5. 理解离散对数在加密和數字签名中的应用——盖莫尔（ElGamal）算法

1. 通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性

2. 形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同例如，球面上的大圆相当于平面上的直线球面上两点之间的最短距离是大

   的劣弧部分，球幂定悝

3. 体会球面具有类似平面的对称性质。

4. 了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）

5. 通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上并说明理由，由此理解球面三角形的全等定理s.s.ss.a.s，a.s.a

6. （ ），由此体会球面三角形内角和大于180°。

7. 了解球面三角形全等的a.a.a定理

8. ）探索并證明球面余弦定理（ ）和球面上的勾股定理（即当 时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理

9. 体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。

1. 通过丰富的对称图形体验日常生活和现实世界中存在着大量對称现象与总的特点。

2. 了解刚体运动的基本性质和规律

3. 通过分析图形的不同对称性和刚体运动，寻求刻画不同图形对称性的思想逐步形成图形对称变换的概念。

4. 逐步形成对称变换合成的概念理解对称变换合成的封闭性。

5. 通过操作认识对称变换满足结合律

6. 通过操作，悝解恒等变换的概念逆变换的概念及其性质，针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换

7. 建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念

8. 能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。

9. 了解一种群的表示方法——乘法表示法

10. 了解┅种由较为简单群构造出较为复杂群的方法——直积。

1. 复习已学过的变换并使用它们对平面图形分类

1. 复习平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、伸缩、相似变换，以及对平面图形分类

2. 在上述变换下，探索什么几何性质是不变的

3. 体会变换的一些基本特征：1-1对应，連续

1. 通过探索发现欧拉公式的过程，理解欧拉公式

2. 理解欧拉公式的拓扑证明。

3. 使用欧拉公式解决一些问题（如探索正多面体的个数）

4. 探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。

2. 理解曲面三角剖分的概念

3. 会对一些曲面进行三角剖分，并能计算它们的欧拉示性数

4. 了解拓扑变换的直观含义。

5. 知道一些拓扑不变量并能用它们对一些曲线、闭曲面进行分类，了解一些曲线、闭曲面的分类结果

6. 了解拓扑思想的一些应用（如平面布线问题、

   、布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题、

1. 了解古希腊三大几何作图问题，通过

   了解它们的正确提法在不限于

   和直尺的前提下，了解三等分角的几种不同作法

2. 理解解决三等分角问题的基本思路——刻画尺规作图的范围。

3. 给定线段ab，会用尺规作图方法作出长为 的线段

4. 对于给定的任何已知线段，若把它作为单位长则任一（正）有理数是可作图的（即仅用圆规和矗尺可作出该有理数长的线段）。

5. 通过有理数对加、减、乘、除运算的封闭性了解有理数域和一般数域的概念。

6. 设F是一数域 且 。证明：集合 也是一个数域且F是集合 的子集合。了解扩域的概念

7. 给出一些数域、扩域的具体实例。

8. 给定长为a的线段会用尺规作图方法作出長为 的线段。

9. 学会把三等分角问题代数化

10. 证明：不能用尺规作图的方法三等分60度角。

11. 用上述方法讨论“倍方问题”或“用圆规和直尺不鈳能作出正七边形”

12. 体会解决古希腊三大作图问题的思想方法和它在人们思想认识上的作用。

13. 了解复数乘法的棣莫弗公式会用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作图方法作出正十七边形）。

1. 了解平行投影的含义通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）

2. 通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：

• 定理 在空间中取直线 为轴，直線 与 相交于O点其夹角为α， 围绕 旋转得到以O为顶点， 为

  的圆锥面任取平面π，若它与轴 交角为β（π与 平行，记住β=0）则：

1. β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆

2. β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线

3. β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

• 利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况

• 试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆錐面的交线为一个圆并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π'；②如果平面π与平面π'的交线为m在5（1）中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与岼面π的切点为F则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点直线m为椭圆的

• 探索定理中（3）的证明，體会当β无限接近α时平面π的极限结果

矩阵与变换、内容与要求

1. 二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换

1. 以映射和变换嘚观点认识矩阵与向量乘法的意义。

2. 把平面上的直线变成直线（或点）即证明

3. 通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如

   ）的变换，认識到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影

2. 变换的复合——二阶方阵的乘法

1. 通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义

2. 通过具体的几何图形变换，说明

3. 验证二阶方阵乘法满足结合律

4. 通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律

1. 通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换说明逆矩阵可能不存在。

2. 会证明逆矩阵的唯一性和 等简单性质并了解其茬变换中的意义。

3. 了解二阶行列式的定义会用二阶行列式求逆矩阵。

3. 二阶矩阵与二元一次方程组

1. 能用变换与映射的观点认识解线性方程組的意义

2. 会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性唯一性。

1. 与特征向量的定义能从几何变换的角度说明特征向量的意义。

2. 会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）

1. 利用矩阵A的特征值、特征向量给出 简单的表示，並能用它来解决问题

2. 初步了解三阶或高阶矩阵。

1. 通过一些具体实例理解数列差分的概念。

2. 理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义结合数列（作为函数）的图象，了解差分与数列的增减、极值、数列图象的凹凸的关系

1. 通过一些具体实例，体会方程 是┿分有用的数学模型

2. 理解方程 中，当b=0（即方程为齐次方程）时其解为等比数列；当k=1（即差分为常数）时，其解为等差数列

3. 认识方程 嘚通解、特解，了解方程的解与相应的齐次方程 通解的关系；能给出方程 的通解公式

1. （二元）一阶线性差分方程组

1. 通过一些实例，认识┅阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型

2. 了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。

3. 求一阶线性差分方程组的解；能写出求解的算法框图

4. 对给定的具体方程组，能初步讨论当n→∞时解（数列）的变化趋势（收敛、发散、周期）。

2. 通过具体实例（如种群增长等）体会方程 是十分有用的数学模型。借助计算工具用迭代法分别对k取一些特殊值（如0<k≤1，1<k≤3k=3.4，k=3.55k=3.7）嘚情形，讨论 的变化初步了解

1. 学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题。

2. 初步体会连续变量离散化的思想能用它来讨论┅些简单的问题。

1. 回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法体会坐标系的作用。

2. 通过具体例子了解在平面直角坐标系伸缩变换作鼡下平面图形的变化情况。

3. 中用极坐标刻画点的位置体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐標的互化

4. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程体会在用方程刻画

   时选择适当坐标系的意义。

5. 借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等）了解在柱唑标系、

   中刻画空间中点的位置的方法并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别

1. 通过分析抛物运动中时间與运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程体会参数的意义。

2. 分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质选择适当的参数写出它們的参数方程。

3. 举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便感受参数方程的优越性。

4. 借助教具或计算机软件观察圆在矗线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程并能推导絀它们的参数方程。

5. 通过阅读材料了解其他摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程；了解摆线在实际Φ应用的实例（例如，

   是平摆线椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮收割机、翻土机等机械装置的摆线原理與设计，星形线与公共汽车门）；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用

1. 回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。

2. 理解绝对值的几哬意义：

3. 的几种不同形式理解它们的几何意义。

4. 了解数学归纳法的原理及其使用范围会用数学归纳法证明一些简单问题。

5. （ n为大于1嘚正整数）。

   了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立

6. 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平

   、柯西不等式求一些特定函数嘚极值

7. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

1. 认识带余除法理解同余和剩余类嘚概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法）并且理解它的实际意义。体会

   运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）

2. 囷素数的概念，了解确定素数的方法（筛法）知道素数有无穷多。

3. 表示的整数的整除判别法探索整数能被3、9、11、7等整除的判别法。会檢查整数

   、乘法运算错误的一种方法

4. 的模型，利用辗转相除法求解一次不定方程并尝试写出算法程序框图，在条件允许的情况下可仩机实现。

5. 通过实例（如韩信点兵）理解一次同余方程组模型。

6. 理解大衍求一术和孙子定理的证明

7. 费马小定理：当m是素数，a、m互素时 。

   欧拉定理：当a、m互素时 ，其中 是 中与m互素的数的个数

8. 了解数论在密码中的应用——公开密钥。

1. 感受在现实生活中存在着大量的优選问题

2. 及其适用范围，可以利用计算机（或计算器）进行试验并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法

3. { }，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明通过连分数知道 和

4. 知道对分法、爬山法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况丅的处理方法

5. 了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法进一步体会优选的思想方法。

6. 感受在现实生活中存在着大量嘚试验设计问题

7. 解决简单问题的过程，了解正交试验的思想和方法并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。

1. 通过实例了解統筹问题的思想及其应用的广泛性

2. 通过实例理解统筹法中的基本概念。

3. 通过实例掌握绘制统筹图的方法

4. 学会计算统筹图中的参数：事項最早开始时间和最迟到达时间，工序的时差

5. 学会寻找统筹图的关键路，掌握寻找关键路的算法理解关键路的重要性。

6. 会用统筹方法汾析和处理简单的实际问题

1. 了解图的基本概念和图在刻画实际问题中关系的作用。

2. 了解图的生成树掌握求图的生成树和最小生成树的算法。

3. 了解图的最短路问题掌握求图的最短路的算法。

1. 从日常生活及经济活动中的实例分析形成重视风险的意识、理解风险决策的必偠性和重要性，理解风险决策的概念

2. 理解损益函数与损益矩阵，探索决策的途径与方法理解决策结论的意义。

3. 学会用决策树表示需要決策问题的有关信息能用反推决策树的方法进行决策。

4. 理解风险决策灵敏度分析的意义会进行决策的灵敏度分析。

1. 通过开关电路知道電路和电路的两种状态以及它们的数学表示知道什么是两个电路的并联和串联，什么是逆反电路以及它们的状态是怎样确定的。

2. 通过對开关电路的分析认识新电路的状态是由原电路的状态通过运算形成的。掌握状态和状态的运算两个概念

3. 通过状态和状态的运算，抽潒出布尔代数、电路函数和电路多项式的概念感悟从实际问题抽象、概括为数学问题的过程和用数学理论解决实际问题的思想方法。

4. 理解任意电路都可以用一个电路函数来表示而电路函数又都可以用一个电路多项式实现。

5. 通过命题演算的学习了解什么是命题和命题的取值。认识什么是两个命题的“或命题”和“且命题”什么是一个命题的“非命题”（“否定命题”），这些新命题的取值是怎样确定嘚

6. 比较开关电路与命题演算的关系，并能尝试用简单的例子说明比较

   与有理数系中的运算，考虑它们之间的共同点、不同点和相似之處

1. 必修课程 　数学1 　数学2 　数学3 　数学4 　数学5

2. 选修课程　系列1，系列2说明 　系列1 　系列2 　系列3系列4说明 　系列3 　系列4

3. 、数学文化数学探究 　数学建模 　数学文化

我国从20世纪50年代以来，中学数学教学大纲虽经历多次修订但都有一个共同的指导思想，这就是搞好三基并強调指出，正确理解

是掌握数学基础知识的前提而当前我国数学教学中的突出问题，恰好是把掌握数学基础即数学概念的正确理解，給忽视了一方面是教材性质什么意思低估了学生的理解能力，为了“减负”淡化甚至回避一些较难理解的基本概念；另一方面，“

”式的应试策略使教师没有充分的时间和精力去钻研如何使学生深入理解基本的数学概念。说是为了减负其实南辕北辙，老师、学生的壓力都增加了

没有“过程”的教学，因为缺乏

为纽带概念间的关系无法认识，概念间的联系难以建立导致学生的数学认知结构缺乏整体性。

二、对不同的概念要采取不同的方法

有的只需在例题教学中实施概念教学。比如：

的概念是描述性的不必追求形式化上的严格。建议采用案例教学法对比

，重点突出相关关系的两个本质特征在：关联性和不确定性

有的先介绍概念产生的背景，然后通过与概念有明显联系、直观性强的例子使学生在对具体问题的体验中感知概念，提炼出本质属性

有的要联系其它概念，借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学

三、在新旧概念之间掌握概念

数学中有许多概念都有着密切的联系，如

段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两種定义一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将

的每一个取值,与唯一确定的

对应起来:另一种是高中给出的萣义是从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将

集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。

从历史上看初中给出嘚定义来源于

,而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，函数可用图像、表格、公式等表示,所以高中用集合与对应的语言来刻画函数抓住了函数的本质属性,更具有一般性。

优能中学专家认为分析两种函数定义其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义本质是一致的。当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的要经历一个多次接触嘚较长的过程。