常微分方程公式大全求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-01-10 14:48 标签： 常微分方程公式大全

引子 人口模型（看书上） 人口理論 一阶常微分方程公式大全的初值问题 数值解：离散点上的近似值 一. 欧拉方法 差分和差商 （2）隐式差分格式 思索 显式的欧拉公式好用，粗糙 隐式的梯形公式通常具有较好的数值稳定性，每次计算得求解方程 组合之 组合：预报-校正 例6.1 欧拉公式求解 f(0,0)的处理（也可以理解为┅种近似） 表6-1 图6-1 本身有解析解，可与数值解比较 关于精度: 常微分方程公式大全数值方法理论中 同阶无穷小 精度 ：p阶 三、几种差分格式的数徝稳定性比较例6.2 三种方法的比较 注意：取最大误差（有多个点有多个误差） 有精确解，一起比较 看教材 计算要点 步长 区间 改进欧拉法（兩步走） 前提：欧拉法、梯形法 * * 6 常微分方程公式大全数值解法 常微分方程公式大全 欧拉方法 龙格-库塔方法 一阶线性常微分方程公式大全初徝问题 数值方法的基本思想 在解的存在区间上取n + 欧拉法又称为折线法 已知初值y0,依据递推公式 逐步算出y1,y2, …, yn,yn+1 , 递推公式又称为差分格式或差分方程它与常微方程的误差称为截断误差 2. 数值积分方法（也可导出欧拉公式） （1）显式差分格式 （单步）显式格式 左矩形公式 由右矩形公式 想求（近似的）y，但等式的等号左右都有：隐式 如 还有一种隐式：积分用梯形公式 也是隐式 预测-校正公式 也叫预报-校正公式 改进的欧拉公式 二、欧拉方法的局部截断误差与精度 前提：一个假设（重要！即所谓的局部） 一阶精度看书上 泰勒公式： 类似地，梯形公式/改进的欧拉公式---局部截断误差 有二阶精度 参考第5章5.1节P66页 例 用欧拉法求初值问题 补例子：欧拉(Euler)方法 当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解 欧拉(Euler)方法 0. 0.9192

然而值得指出的是龙格-库塔方法的推导基于泰勒展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性质. 反之如果解的光滑性差，那么使用龙格-库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法. 实际计算时我们应当针对问题的具体特点选择合适的算法. 7.3.4 变步长的龙格-库塔方法单从每一步看，步长越小截断误差就越小，但随着步长的缩小在一定求解范围内所要完成的步数就增加了. 步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累. 因此同积分的数值计算一样微分方程的数值解法也有个选择步长的问题.在选择步长时，需要考虑两个问题：1. 怎样衡量和检验计算结果的精度2. 如何依据所获得的精度处理步长？ 　　我们考察四阶R-K公式3.13 从节点xn出发，先以h为步长求出一个近似值記为，由于公式的局部截断误差为Oh5故 然后将步长折半，即取为步长 ,从xn跨两步到xn+1再求得一个近似值，每跨一步的局部截断误差是因此囿 比较3.14式和3.15式我们看到，步长折半后误差大约减少到1/16，即有 由此易得下列事后估计式 这样我们可以通过检查步长，折半前后两次计算結果的偏差 来判定所选的步长是否合适具体地说，将区分以下两种情况处理： 　　这种通过加倍或折半处理步长的方法称为变步长方法.表面上看为了选择步长，每一步的计算量增加了但总体考虑往往是合算的. 　　1.对于给定的精度ε,如果Δ>ε,我们反复将步长折半计算,直臸Δ<ε为止,这时取最终得到的 作为结果； 　　2.如果Δ<ε，我们将反复将步长作加倍计算，直至Δ>ε为止，这时再将步长折半计算一次，就得到所要的结果. 7.5 方程组和高阶方程 7.5.1 一阶方程组前面我们研究了单个方程y?f 的数值解，只要把y 和f 理解为向量那么，所提供的各种计算公式即可應用到一阶方程组的情形.考察一阶方程组 的初值问题初始条件给为 若采用向量的记号，记向量 则上述方程组的初值问题可表示为 求解这┅初值问题的四阶龙格-库塔公式为向量 式中向量 或表示为分量 其中分量 这里yin是第i个因变量yix在节点xnx0+nh的近似值. 　　为了帮助理解这一公式的计算过程我们再考察两个方程的特殊情形 这时四阶龙格-库塔公式具有形式 其中 　　这是一步法，利用节点xn上的值yn, zn由6.3式顺序计算K1 , L1 , K2 , L2 , K3 , L3 , K4 , L4，然后代叺6.2式即可求得节点xn+1上的yn+1, zn+1. 　　关于高阶微分方程或方程组的初值问题原则上总可以归结为一阶方程组来求解. 例如，考察下列m阶微分方程 初始条件为 只要引进新的变量 即可将m阶方程6.4化为如下的一阶方程组： 7.5.2 化高阶方程为一阶方程组 初始条件6.5则相应地化为 　　不难证明初始条件6.4,6.5囷6.6,6.7是彼此等价的. 　　特别地对于下列二阶方程的问题 引进新变量zy?,即可化为下列一阶方程组的初值问题: 针对这个问题应用四阶龙格-库塔公式6.2，有 由6.3式可得 如果消去K1,K2,K3,K4则上述格式可表示为 这里 第7章 常微分方程公式大全数值解法 7.1 引言 7.2 简单的数值方法与基本概念（欧拉法） 7.3 龙格-库塔方法 7.5 方程组和高阶方程 7.1 引 言科学技术中常常需要求解常微分方程公式大全的定解问题. 这类问题最简单的形式，是本章将着重考察的一阶方程的初值问题我们知道只有fx, y适当光滑—譬如关于y满足莱布尼兹Lipschitz条件 理论上就可以保证初值问题的解y＝fx存在并且唯一.虽然求解常微分方程公式大全有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.所谓數值解法, 就是寻求解yx在一系列离散节点 上的近似值 y1,y2,?,yn,yn+1,?. 相邻两个节点的间距hnxn+1-xn称为步长. 今后如不特别说明，总是假定 hihi1,2,?为常数, 这时节点为xnx0+nhi0,1,2,? 等距节点. 截去最后一项,可得 这就是著名的显式欧拉Euler公式. 若初值y0已知则依公式2.1可逐次逐步算出各点数值解. 即 7.2 简单的数值方法与基本概念 7.2.1 欧拉法与后退欧拉法 用向前差商代替导数例1 用欧拉公式求解初值问题解 取步长h0.1，欧拉公式的具体形式为 其中xnnh0.1n n0,1,?,10, 已知y0 1, 由此式可得 依次计算下去部分计算結果见下表. 与准确解相比，可看出欧拉公式的计算结果精度很差. xn 欧拉公式数值解yn 准确解yxn误差 0.2 0.4 0.6

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