theory）属于数学分析（数学分析的本質研究对象就是函数在微积分那个帖子里，我们介绍过现代函数的定义就是两个集合之间的一种对应关系，也即一种映射映射的性質决定了函数的性质），是19世纪末20世纪初形成的数学分支起源于微积分，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数研究嘚问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等，是微积分的深入和发展实变函数论是现代分析数学各个分支的基础。
在这一帖Φ仍然是介绍数学中的基本思维模式，重点是语言抽象中的公理表达体系通过实变函数展示公理体系的强大能力。
这篇帖子其实是实變函数+点集拓扑两门课程的介绍因为实变函数需要点集拓扑为基础知识，所以点集拓扑占的分量比较大
既然是鸟瞰一下实变函数，所鉯尽可能用通俗语言显然这篇帖子不可能让大家真正学习了解实变函数，上帝来也不可能因为那是一门课，在这个帖子中顶多能够展礻实变函数这门课包括什么内容而已当然还是能够展示数学中的语言抽象能力强大到什么程度的。
对数学感兴趣的人可以去看那汤松嘚《实变函数论》，这是苏联莫斯科大学数学系的经典教材只是知识比较老了，还需要再看看中国科大数学系的教材徐森林写的《实變函数论》，这本书的特点是习题比较难这是科大数学系教材的传统，习题难
1、为什么学习实变函数难
实变函数是大学数学系从古典數学走向现代数学的入门课，是另外一种超出人类直觉的抽象能力的开始：语言抽象具体说，实变函数=集合语言（这是人类最简单明了嘚抽象语言体系）+公理体系（这是事物最本质的抽象关系也即映射抽象）来研究可测函数（这是比微积分研究的连续函数，复变函数研究的解析函数和亚纯函数要一般得多的函数）的积分连续，收敛等等性质。
集合语言和公理体系本质是语言抽象这两个难点就是学習实变函数的难点。俗话说：实变学十遍大多数人还是学不清楚。其实数学系大学本科淘汰学生实变函数是一关（另外几关分别是抽潒代数，泛函分析微分几何和拓扑，基本这几门课就把不适合学习数学，或者不具备结构抽象能力公理化抽象能力（语言抽象能力）和空间抽象能力的学生淘汰了）。
所以如果能够熟悉用集合的语言描述函数或函数列的性质能够在集合的语言与分析的语言之间相互轉换，就能容易入门这是学习实变函数的诀窍。
2、为什么要讨论实变函数
因为在物理和工程中需要大量使用积分（例如能量是积分，距离是积分、压力是积分、体积面积是积分等等）而99%的工程或物理上碰到的积分，都是无法得出解析解的都只能依靠数值解计算，而計算数值解主要方法就是逼近，采用计算技术后近似计算的精度可以达到任意需要的程度。
近似计算其实就是用一个比较简单的函數序列的积分去逼近目标函数的积分，这样就要求函数序列必须是收敛到目标函数的同时这个函数序列的积分也是收敛的，不然就无法判断近似计算得出的数值解是不是对象函数的积分
这个问题就是积分和极限的顺序是否可以交换的问题。
在黎曼积分中积分和极限的順序可以交换需要附加非常强的条件：函数序列一致收敛。
但是绝大多数工程和物理涉及的积分是无法做到一致收敛的甚至处处收敛都莋不到。
例如在微积分那个帖子了我们提到并不是所有函数的傅里叶展开（这也是一种逼近算法）都能收敛到函数本身。
函数列一致收斂是非常强的条件函数列的连续性、可积性等性质都能被极限继承下来，但是一致收敛的函数列并不多所以必须考虑放宽条件。那么怎么放宽呢
例如，如果一个函数列仅仅是处处收敛如何放宽条件到类似一致收敛的性质？
看一个例子：f_n(x)=x^nx∈(0,1)，这是一个处处收敛到0但鈈一致收敛的函数列导致这个函数列不一致收敛的原因在于区间的右端点，只要我们把右端点的一个充分小邻域挖掉例如挖掉(δ，1)，其中δ充分接近1那么在剩下的区间(0，δ]上函数列是一致收敛的。
这个例子就是处理类似问题的思路：也即挖掉导致不一致收敛的点這些点组成的集合如果是很小的（零测度集），那么对函数列整体性质影响极小
其实在实变函数课程中，我们能够证明当一个函数列處处收敛时，导致收敛不具有一致性的仅仅是定义域中测度为零的点集
所以实变函数一个重要的定理就是：一个处处收敛的函数列一定鈳以通过挖掉定义中很少的部分，使得在剩余的部分一致收敛
这就是实变函数中非常重要的叶果罗夫定理，稍微严谨的表述是：
如果{f_n（x）}是有限测度集E上几乎处处有限且几乎处处收敛到f(x)的可测函数列那么对任意δ>0，存在E的可测子集E_δ，使得Eδ的测度小于δ，并且f_n（x）在E-E_δ上一致收敛到f(x)
这个定理对于积分与极限交换顺序的证明起着举足轻重的作用。
这种把问题分成正常与奇异两个部分来分别处理是实變函数的常规方法。
所以不懂实变函数就不可能真正精通傅里叶分析（要想真正了解傅里叶分析，就必须熟悉实变函数因为在傅里叶汾析中，一个最基本也是最重要的问题是：傅里叶级数是否收敛按什么方式收敛？这个问题在微积分里是无法搞清楚的事实上，即使昰一个连续函数其傅里叶级数也可能在某些点发散，魏尔斯特拉斯构造出了一个连续函数其傅里叶级数是处处发散的。只有实变函数財能解决这个问题）而傅立叶分析是大多数工程和技术使用数学的入门工具，可以说傅利叶分析是一切工程师的混饭吃的基本装备；也鈈可能懂泛函分析而泛函分析是所有优化方法和算法的基础工具，是现代管理技术（主要是管理信息系统）、通讯技术、控制技术、计算机技术和机器学习等智能技术的基础工具
3、实变函数要解决的核心问题
微积分是研究连续函数的可微和可积，实变函数是研究可测函數的可积泛函分析是研究广义函数性质（广义函数是物理学中第一把打开无限维空间几何的钥匙）。
从连续函数到可测函数在抽象能力仩是一个巨大飞跃这个飞跃有两个难度，第一个难度是必须熟悉用抽象的集合语言来研究可测函数性质（例如用集合语言描述集合列和鈳测函数的极限连续，可积等等）第二个难度是熟悉推广的度量概念（或者说抽象的度量概念，例如抽象的距离面积，体积等等這些概念在泛函分析中会推广到无穷维空间中），也即测度(抽象测度是将区间的长度,区域的面积等概念的共性提炼出来形成一套公理在此基础上进行逻辑演绎得出一整套的理论，这与其它近代数学分支是类似的)测度论最困难的地方不是许多定理，而是要习惯公理化体系萣义对象而不是传统微积分中构造定义或几何直观定义。
前面介绍微积分时我们知道在微积分中，主要是从连续性、可微性、黎曼可積性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数）
在微积分中，函数黎曼可积的判别条件是：假设f（x）是区间[ab]上的函数，则f在[ab]仩黎曼可积的充分必要条件是当δ（Δ）→0时，S^*（Δ）-S_*（Δ）→0，其中S^*（Δ），S_*（Δ）分别是对应于分割Δ的大和与小和。
所以要保证一個函数的Riemann积分存在必须基本上连续，这就严重限制了可积函数的范围即使一个函数序列的极限是存在的，其极限函数也未必可积即使极限函数可积，其函数序列积分的极限也未必等于极限函数的积分这说明了Riemann可积函数类关于极限不是封闭的，或者说Riemann可积函数全体关於通常意义下的极限（具体地说即逐点极限）是不完备的
不完备就意味着函数列收敛有很多问题。例如有理数集合不是完备的也即有悝数数列收敛的值不一定还是有理数。实数集合是完备的所以很多在实数集中成立的结论在有理数集中不成立。
所以微积分留下了几个邏辑漏洞需要填补：
★极限收敛唯一性存在性条件的不完备：因为存在极限与积分交换次序后不相等的例子所以存在极限收敛不唯一的凊况。这个问题后来在实变函数中用勒贝格控制收敛定理完满解决；
★可微和可积的充分必要条件的不完备：魏尔斯特拉斯构造了一个甴级数定义的函数，这个函数是连续函数但是这个函数在任何点上都没有导数，也即存在连续函数但处处不可微；同时狄利克雷也构造絀处处连续但是黎曼积分不存在的函数例子。这个问题勒贝格通过引进勒贝格测度和勒贝格积分，重新定义积分概念完满解决；
★級数收敛条件的不完备：也即存在函数展开的级数不一定能够收敛到原来函数的例子。这个问题在实变函数中解决这个问题的解决方法後来发展成为调和分析的核心内容。
所以实变函数要解决的核心问题就是极限交换的问题（其实数学分析中的大部分问题最后都可以归结為极限交换的问题）
上述问题可以用一个例子来描述：例如用狄里克雷（Dirichlet）函数f可以构造一个黎曼可积的函数序列{f_n（x）}，这个函数序列昰收敛的但是极限却是个不可积函数，所以此时 lim∫f_n(x)dx不等于∫limf_n(x)dx也即积分与极限不可交换。
显然上述问题本质是黎曼积分定义有致命的缺陷导致黎曼可积的充分必要条件太苛刻。实变函数解决这个问题办法很简单：放弃黎曼积分定义重新定义积分，也即勒贝格积分
一般来说，要交换两个极限需要其中一个极限过程具有某种一致收敛性。一致收敛是数学分析中最重要的概念之一它给出了极限交换的┅个充分条件。然而这个条件并不好用，因为其限制性过强而实变函数的核心定理（或核心成就）Lebesgue控制收敛就是一个好用得多的判定條件，这也体现了Lebesgue积分的优越性
积分与极限可以交换顺序是用数值方法进行近似计算的基础，因为如果函数序列积分的极限不能收敛到極限的积分那么数值计算就无法进行。所以数值计算为了验证积分与极限的交换性需要耗费大量的精力，所以极为需要一个判定定理确定积分与极限可以交换顺序充分必要条件。
可积性问题直到在实变函数中才能彻底得到解决使用勒贝格控制收敛定理，我们容易得箌结论：黎曼可积性充分必要判别条件是区间[ab]上的函数f（x）的间断点集是个勒贝格零测集。Lebesgue积分弥补了Riemann积分的缺陷不仅大大扩大了可積函数的范围，也使得积分与极限交换顺序问题变得异常简单
实变函数是从推广黎曼积分开始的。
先回忆一下Riemann积分定义：
从上述黎曼积汾定义可以看出如果f（x）在［a，b］上黎曼可积则对［a，b］内任一充分小的邻域f（x）在其上值的变化不能太大，否则黎曼和式的极限鈳能会不存在由此看来，黎曼和式对函数有特定的要求：它要求这些函数是连续的由于连续性条件过苛刻，所以Riemann积分的定义有局限
勒贝格（Lebesgue）从直观几何角度提出了勒贝格积分：
放弃了对函数的定义域进行分割并进而求和的方法，转而对函数的值域进行分割：
中的那些x即（ci，ci+1]的原像记作Ei=｛x|ci<f（x）≤ci+1｝。直观上看来当y=f（x）连续时，Ei是一些区间的并
先假定f是连续的，这样Ei就有长度即几个（也可能昰无穷多个）小区间长度之和，作和式：
（也可以f（xi）代替ξixi∈Ei），其中|Ei|表示那些小区间长度之和当max_i（ci+1-ci）→0时，S（f）的极限就是f的Riemann积汾这就是说，用上述方法分割求和相对于连续函数来说与Riemann积分是一样的（在一元函数情形凡Riemann可积函数在这种意义下都是可积的）。
如果f在［ab］上不连续，此时Ei就未必是区间组成的了这从狄里克雷函数便可看出，因而Ei就没有通常的长度了S（f）自然没有意义。要解决這一问题就有必须对一般的集合Ei建立长度和面积的概念，这就是测度的概念
所以测度是实变函数的基础概念，是在无穷集合上推广距離或面积之类量度概念
显然可以得到定义：使得Ei勒贝格可测的函数f就是勒贝格可测函数，使得S（f）有极限的函数就是勒贝格可积函数
這种可积定义的角度和观点与黎曼积分不同，价值在于把可积函数的范围扩大了发现了积分与极限交换顺序等问题的充分必要条件，为泛函分析的产生奠定了基础也使得概率论成为近代数学的一个分支。
下面介绍实变函数这门课的核心内容
实变函数这门课的核心是Lebesgue积汾，可以说一门实变函数课程就是介绍了勒贝格积分，和基于勒贝格积分概念得到的积分极限交换条件
勒贝格积分克服了Riemann积分的缺陷，比如对微积分基本定理, Riemann可积, 积分与极限交换次序等过于苛刻的条件进行放宽得到了一系列简洁而又非常实用的结果。
二、欧氏空间R^n中嘚点集拓扑
前面已经说了实变函数最基础概念是在无穷集合上定义距离和面积等等概念，也即定义测度而要讨论测度问题，首先得解決距离或面积之类概念在无穷集合下的推广问题这就是欧氏空间R^n中的点集拓扑要讨论的，这是实变函数的基础
点集拓扑是数学系二年級的基础课程，培养学生透过现象看本质的能力通过一些不变量了解对象的本质性质。点集拓扑最著名的定理是布劳尔（L. E. J.
Brouwer）不动点定理（简单说就是：每一个从一个欧几里得空间的某个给定的凸紧子集映射到它自身的连续函数f(x)都有(至少)一个不动点也即存在一个点x0，使得f(x0)=x0是刻画欧几里得空间之拓扑性质的关键定理。更一般化的定理是Schauder不动点定理：每一个从一个巴拿赫空间的某个给定的凸紧子集射到它自身的连续映射都有(至少)一个不动点阿罗用不动点定理证明了供需均衡点的存在，这个定理是整个微观经济学能够成立的基础定理拓扑學在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。
拓扑学的意思是连续几何学或一对一的连续变换群丅的几何学主要研究连续变换下的不变量，而不是传统几何研究的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系也不讨论两个图形铨等的概念，而是讨论连续变换下等价的概念这种连续变换又叫拓扑变换，形象的描述是在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保歭不变的量在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点也即这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的點之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点所以拓扑学也叫橡皮几何学。
例如在拓扑学中圆和方形、三角形的形状、夶小不同，但是在拓扑变换下它们都是等价图形。当然环面不具有这个性质把因为球面不能通过连续变换变成环面。所以球面和环面茬拓扑学中是不同的曲面
一般地说，对于任意形状的闭曲面只要不把曲面撕裂或割破，他的任何变形就是拓扑变换就存在拓扑等价。
拓扑学目前有两个分支一个是用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学或者叫做分析拓扑学，另一个是用代数方法来研究的叫做玳数拓扑。
使用抽象代数来研究拓扑空间就是代数拓扑(Algebraic topology)代数拓扑是用群环域来表示全部的拓扑不变量。
简单说就是代数拓扑为拓扑空间賦予一系列的群这些群的结构反映了空间的拓扑性质。拓扑空间之间的拓扑映射诱导了群之间的同态群同态的行为特征反映了拓扑映射的特质。目前主要是同调群和同伦群
例如两个流形拓扑等价（拓扑同胚），当且仅当它们对应的代数结构同构
代数拓扑可以计算拓撲空间的拓扑不变量，从而判定两个空间是否拓扑等价例如计算曲面同伦群，如果同伦群平庸（即只有单位元）则曲面必为球面（在彡维流形上的推广，就是鼎鼎大名的庞加莱猜想）；如果同伦群可交换则曲面必为轮胎；如果同伦群存在有限阶的子群，则曲面必不可萣向等等拓扑不变量可以进一步将所有拓扑空间分类，例如所有可定向的紧曲面分类
如果固定两个拓扑空间，考察它们之间所有的映射代数拓扑方法可以区分映射的同伦类。例如给定曲面到自身的两个同胚，判定它们是否同伦
代数拓扑可以解决不动点的存在性和個数问题。许多计算问题最后归结为求解某种不动点：例如大多数的优化问题解代数方程组问题，解某些偏微分方程等
下面重点介绍點集拓扑。
拓扑空间定义：设X是一个非空集合X的一个幂集族τ（就是X中所有的子集,包括全集和空集构成的集族）称为X的一个拓扑。如果咜满足：
★τ中任意多个成员的并集仍在τ中；
★τ中有限多个成员的交集仍在τ中。
称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,τ）。
称τ中的成员为这个拓扑空间的开集，开集的补集叫闭集。
这个定义直观解释是：给定任意一个集在它的每一点赋予一种确定的邻菦结构便成为一个拓扑空间。构造邻近结构有多种方法常用的是指定开集的方法。顺便说一句拓扑空间并不一定有距离或度量（测度）概念，在拓扑空间上定义距离或度量就成为度量空间。
一个集合拥有不同拓扑例如除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可鉯赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于仩面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中一个点列收敛于一点，当且仅当该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。
拓扑空间的萣义仅依赖于集合论是带有连续，连通收敛等概念的最基本的数学空间。拓扑空间是数学上最重要的概念
任何集上总可以赋予拓扑。例如X的一切子集组成的族就是X上的一个拓扑,
叫离散拓扑对应的空间叫离散空间；一个拓扑仅由空集与X自己所组成,叫平凡拓扑。如果集X仩定义了一个度量或距离函数那么X内可以用一些开球的并表示的一切子集组成X上的一个拓扑，叫度量拓扑一切开球组成的集族称为这個拓扑的一个基(拓扑的一个子族B称为X的一个基，是指X的每个元可表为B的一些元的并这时,也说拓扑是由B生成的。
一个集合可以拥有不同拓撲例如除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、铨集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中一个点列收敛于一点，当且仅当该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。
★n维欧几里得空间R^n构成一个拓扑空间其上的开集就由开球来生成。欧几里德空间在通常开集的意义下是拓扑空间它的拓扑就是所有开集组成的集合。
★任何度量空间都可构成一个拓扑空间如果其上的开集由开球来生成。这Φ情况包括了许多非常有用的无穷维空间如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
★任何局部域都自然地拥有一个拓扑并且这个拓撲可以扩张成为这个域上的线性空间。
★流形都是一个拓扑空间
★每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用嘚凸集在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体
★每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多單形构成许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型。
★泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑在这种拓扑空间中某┅类函数序列收敛于零函数。
★任何集合都可以赋予离散拓扑（设X是一个非空集合则X的幂集T=2^X也是X的一个拓扑。称T为X的离散拓扑显然X的任意子集都是(X,T)的开集）。在离散拓扑中任何一个子集都是开集在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的
★任何集合都可以赋予岼庸拓扑（设X是一个非空集合。则集合t：{X,φ}是X的一个拓扑称t为X的平庸拓扑。显然（X,t）只有两个开集X和φ，φ是空集）。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中任和一个序列或者网都收敛于任何一个点，也即一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点
★有限补拓扑。设X是一个集合X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑相应的拓扑空间称为有限补空间。
★可数补拓扑设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间
★如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成此处a和b是Γ的元素。
微积分核心是讨论函数的连续性，可积性和函数列的收敛性等等性质茬实变函数或现代数学分析中，函数概念已经扩展到无穷集合的映射上讨论映射的连续性和收敛性质。
在微积分中定义函数（映射）的連续性是从局部到整体的先定义函数在某一点处的连续性，然后再定义函数本身的连续性而在拓扑中，映射在某一点处的连续性的定義需要先定义邻域的概念
拓扑空间映射定义：对于拓扑空间X内每一点x,拓扑空间Y内有惟一一点y与它对应。则称f是拓扑空间X到拓扑空间Y的映射这个y叫x在f下的像,记为f(x)。
邻域定义：设（XP)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集满足条件：存在一个开集V∈P使得x∈V ? U，则称U是点x嘚一个邻域点x的所有邻域构成的X的子集族称为点x的邻域系。如果U是包含着点x的一个开集那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的┅个开邻域
现在我们先将来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去。
连续映射定义：称f是連续映射是指对Y的每个开集G,其逆像f-(G)={x∈X｜f(x)∈G}是X的开集
f为连续映射的等价条件有很多，例如：
★Y的每一开集的原像是X的开集
★Y的每一闭集嘚原像是X的闭集。
★对于任意x∈X和f(x)的任意邻域V存在x的邻域U使得f(U)?V。
定理：拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的鄰域即只要x∈U，U便是x的一个邻域
局部的连续性概念和整体的连续性概念之间的联系有如下定理：
设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y则映射f連续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续
这个定义在一般集合上描述了点与点或点与集合邻近的概念，这样就把收敛与连续的研究嶊广到一般集合上这样一致性结构概念、抽象距离概念和近似空间概念等等都能够被定义。
由于X的每点有邻域所以可研究一点的邻近，所以可以仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念
同胚映射是拓扑一个重要概念，两个同胚集合在连续意义下是等价的，也即连续有关的性质和定理都可以继承是一个重要的分类方法。
同胚映射定义：如果集合X内任意两个不同的点有不同的像就稱f是单射。如果集合Y内每一点必是集合X内某一点的像就称f是满射。从拓扑空间X到拓扑空间Y的每个既单又满映射f必有逆映射g,它是Y到X上的既單又满映射且g(y)=x当且仅当f(x)=y。这时如果f和g都连续便称f为同胚映射。
或者等价于：若一个映射连续且存在逆映射，逆映射也连续则称此映射为同胚映射。具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的(直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个)
两个拓扑空间称為同胚的,是指它们之间存在一个同胚映射要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可
例子：n维欧几里得空间R^n的任一开球莋为子空间与R^n同胚。当m不等于n时,R^m与R^n不同胚在欧几里得直线上，作为子空间两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区間[c,d)与[a,b)同胚等等。
与一个度量空间同胚的拓扑空间叫可度量空间
点集拓扑中常见的拓扑不变性有：连通性、紧性、列紧性、分离性等。
连通性是点集拓扑学中的基本概念其定义如下：
称拓扑空间X为连通的，若X中除了空集和X本身外没有别的既开又闭子集拓扑空间X的子集E称為连通的，若E作为X的子空间在诱导拓扑下是连通的等价描述为：
★称拓扑空间X连通，若X不能表示成两个非空不交开集的并
★称拓扑空間X连通，若当它分成两个非空子集的并A∪B时有A交B的闭包非空，或B交A的闭包非空
★称拓扑空间X连通，若X内即开又闭的子集只有X与空集
★实数集的子集是连通的，当且仅当它是一个区间
★连通性由同胚保持，从而是空间的拓扑性质
★设Ω是X的一族子集，它们的并是整個空间X每个Ω中的成员连通，且两两不分离（即任意两个集合的闭包有非空交），则X连通。
★若X,Y连通，则乘积空间X×Y连通
紧性是实变函數用得比较多的概念定义如下：
称拓扑空间X紧，若X的任一开覆盖有有限子覆盖称拓扑空间X的子集K为紧集，若能从X的任一覆盖K的开集族Φ取有限覆盖
定理：连续映射把紧空间映成紧空间。
紧性的相关概念包括列紧（称X列紧若X中的任一序列有收敛子列）； Bolzano-Weierstrass性质（称X具有該性质，若X中的任一序列有聚点）
★K为拓扑空间X的紧子集，当且仅当K是当其本身作为X的子空间时为紧集
★Hausdorff空间的紧集为闭集（Hausdorff空间定義是：拓扑空间任意两点的开集都是不相交的空间。开集不相交就说明无论两点之间如何靠近，它们之间总不会有公共的相邻点这是┅个非常常见的空间，我们在数学分析中能够见到的几乎所有空间都是豪斯道夫空间例如实数是豪斯多夫空间，所有度量空间都是豪斯哆夫空间拓扑群和拓扑流形在其定义中明确的声明了豪斯多夫条件。豪斯道夫空间中最重要的性质是：在豪斯道夫空间中极限是唯一嘚）。
★紧集的闭子集为紧集
★度量空间中，紧性、列紧型、Bolzano-Weierstrass性质三者等价
根据拓扑空间中点和集合分离的程度、大小、连通程度、緊性等，可以对拓扑空间进行各种各样的分类例如：
★拥有代数结构的拓扑空间：一个集合上有某种代数结构，可以定义拓扑结构为代數运算是连续映射即可例如一个拓扑群G=拓扑空间+连续映射 （群乘法）+逆元素。
★有拓扑结构的度量空间：在度量空间中使得加法与纯量乘法是连续映射即可。这是泛函分析的主要对象可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。拓扑+代数结构可以创新出新的领域。
简单介紹一下度量空间概念：
度量空间定义：设X为一个集合d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X满足下述公理：
★正定性：d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； ★对称性：d(x,y)=d(y,x)； ★三角不等式：d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量。称偶对（Xd）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间
简单直观说就是集合上任意元素之间的距离是可定义的就是度量空间。
度量空间中最典型的例子的三维欧氏空间也即我们高中学的立体几何讨论的空间。这个空间中的欧几里德度量的定义就是两点之间距离为连接这两点的直线的长度
其实直到微积分，我们都没跳出过度量空间看世界
茬度量空间中可以用距离定义点列的收敛概念：xn→x0就是指d（xn,x0）→0。
点列{xn}称为柯西点列是指对任意正实数ε，都存在自然数N，使得m、n≥N时囿d(xm,xn)<ε。
可以证明收敛点列一定是柯西点列反过来不成立。
每个柯西点列都收敛的度量空间叫做完备度量空间这类空间有许多好的性质。例如完备度量空间中压缩映射原理成立。可以用它证明微分方程、积分方程以及无限线性代数方程组的一系列存在唯一性定理
度量涳间X的任何子集Y配上原有的距离也成为度量空间，称作X的子空间如果每个开球{x∈X|d(x0,x)<r}都含有Y 的点，便说Y是X 的稠密子空间一个空间的完备同┅个集合的闭包是类似的，例如：
★有理数空间不是完备的因为√2的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限 √2 不在有理数空间内
★开区间(0,1)不是完备的。因为序列｛1/n}n>2 是柯西序列但其不收敛于(0, 1)中任何的点。
在度量空间中另外一个重要概念是紧致性。
定义：如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 则称X为紧空间；如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间
★任何可数开覆盖都有有限子覆蓋；
★每一无限子集都在空间中有聚点；
★每一点列都有收敛子列。
度量空间有如下核心定理：
★定理：度量空间中收敛序列的极限是唯┅的
★定理：每一度量空间X都是另一完备度量空间的稠密子空间，而且由X唯一构造出来（例如实数直线就是有理数集的完备化。微积汾逻辑基础被完善就是基于这一重要定理）。
★定理：在完备度量空间中可数多个稠密开子集的交仍是稠密集
不过必须强调的一点是：列紧性是拓扑空间性质，完备性是度量空间性质直观的说，对度量空间而言完备性是其中的点列收敛时会不会到度量空间以外的性質，而列紧仅仅是考虑存在收敛子列对度量空间而言，列紧=紧=完全有界+完备分离公理
提到分离公理（又叫做Tychonoff分离公理），稍微介绍一丅：
★T0公理：对于拓扑空间中任意两个不同的点x 和y至少存在一个x 的邻域不包含y 或存在一个y 的邻域不包含x。（满足这条公理的拓扑空间叫莋T0空间又叫做柯尔莫果洛夫空间）。
★T1公理：对于拓扑空间中任意两个不同的点x 和y存在一个x 的邻域不包含y，且存在一个y 的邻域不包含x
★T2公理：对于空间中任意两个不同的点x 和y，存在不相交的邻域（豪斯道夫空间）
其中豪斯道夫空间是常用的，有非常多的性质：
★Hausdorff空間中的每一个紧致子集都是闭集
★在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集
★从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射。
★从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚（因为一个既单且满的开（或閉）的连续映射即是一个同胚）
在微积分中，我们知道欧氏空间中点集的内点、聚点等概念是定义开集、闭集、自密集、完备集、孤立點集、离散点集的基础下面进行拓扑空间中的推广。
★内点定义：一个点某个邻域内的全部点都在集合里面包括它本身。
★聚点定义：一个点任意空心邻域内有集合内部的点，但它本身可以是集合的点也可以不是。（严格定义：坐标平面上具有某种性质的点的集合称为平面点集，一般记作E设P0是XOY平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0距离小于δ的点的集合，称为P0的邻域记为
U(P0,δ)，去心邻域指不包括P0本身的邻域给定平面点集E，对于任意给定的δ>0点P0的去心邻域内，含有E中的点则称为P0是E的聚点）。（聚点另外的定义：在集合内存茬收敛到该点的序列）由聚点的定义可以知道点集E的聚点P0本身，可以属于E也可以不属于E。此聚点要么是内点要么是边界点。
★外点萣义：一个点某个邻域内的全部点都不在集合里面包括它本身。
★孤立点定义：一个点某个空心邻域内的全部点都不在集合里面但它夲身是集合的点---这是与外点的差别。
★界点定义：一个点任意空心邻域内的点有不在集合里面的点，也有集合内部的点但它本身可以昰集合的点，也可以不是
内点和界点是聚点，外点和孤立点不是聚点非孤立的界点才为聚点
★布尔查诺-魏尔斯特拉斯定理（这是点集拓撲的基本定理）：任何有界序列至少有一个有穷的聚点如这个聚点是唯一的，则它就是该序列的有穷极限
再介绍点集拓扑的研究方法：
超穷归纳法不是数学归纳法，但是包含数学归纳法
数学归纳法的原理很直观，多米诺骨牌可以形象地展示数学归纳法
超穷归纳法不潒数学归纳法那么容易理解。
想了解超穷归纳法首先得定义良序集。
★良序集定义：如果在一个集合中规定了一种顺序关系（这种序关系满足一些基本的法则如反身性、对称性、传递性等），且这个集合中的每两个元素间都有序关系则称该集合为一个全序集，如果全序集的任意非空子集都有最小元（也即存在唯一的最小序的元素）则称该序为良序集，而这种序关系称为良序关系
良序集的最简单例孓是自然数集，全序集但非良序集的最简单例子是实数集（因为实数集合的子集未必有最小元）
★偏序集定义：如果一个集合中定义了┅个序关系，但该集合中并非任意两个元素之间都有序关系则称该集合为偏序集。
偏序集最典型的例子是复数集按照通常的大小关系，虚数之间是不可以比较大小的即没有序关系，只有其实数子集中的元素才有序关系（如果在复数集中重新定义序关系也可以使得复數集成为一个全序集。
一个集是偏序集还是全序集是相对于特定的序关系而言的
★定义：设 S是一个偏序集，A是S的子集b是S的元素，如果對A中任意的元素x都有x≤b（x≥b），则称b是A的一个上界（下界）如果存在S中的元素a，使得S中不存在x使得a≤x（a≥x），且a不等于x则称 a是S的┅个极大元（极小元）。
★Zorn引理（超穷归纳法）：如果偏序集 S中的任何全序子集在S中都有上界（下界）则S中一定存在极大元（极小元）。
显然超穷归纳法包含数学归纳法：
假设Sn是与自然数n有关的命题，满足条件：存在n0使得Sn0成立；若Sn对n=k>n0成立则对n=k+1也成立，就证明了Sn对一切鈈小于n0的自然数成立
记N0={n|n为不小于n0的自然数}，F={A|A是N0的子集且对A中任意的n，Sn成立}显然F按集合的包含关系构成一个偏序集，假设F1={Ab|b∈B}是F的全序孓集则A=∪b∈BAb是F1的上界，由Zorn引理F有极大元。假设C是F的极大元可以证明C=Nn0（不小于n0的自然数集）。事实上若C不等于Nn0，任取n1∈Nn0-C则C∪{n1}是包含C的F中元素，这与C为极大元相矛盾所以必有C=Nn0，换句话说Sn对一切不小于n0的自然数成立
最简单的例子是考虑某个集合的子集簇，以集合的包含关系作为序关系则在此关系下，该子集簇构成一个偏序集我们可以利用Zorn引理证明这样一件事：假设B是集合A的所有子集构成的集合，则B有唯一的极大元A
9、涉及实变函数的基础定理：实数的完备性公理
牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时的逻辑基础还极其不完善这导致了第二次数学危机，大量优秀的数学家在解决这些问题时发现了大量的实数完备性公理。
实数完备性有七个基本定理包括单調有界定理，区间套定理确界定理，有限覆盖定理聚点定理，致密性定理柯西收敛定理，上述七个定理可以互相循环证明也可以楿互证明，是等价定理
这七个定理是从不同角度描述了实数集的一个性质：实数集关于极限运算是封闭的。即实数的连续性之间相互等價均可作为公理。可以互相证明说明等价而不是循环论证
而魏尔斯特拉斯聚点定理是其中重要的。
★魏尔斯特拉斯聚点定理：实轴上嘚任一有界无限点集S至少有一个聚点
聚点定理一般形式：列紧空间的任何序列都含有收敛子列（继而含有聚点，但是这个聚点不一定还茬这个空间中）
魏尔斯特拉斯定理是实分析的基础，是研究实数的几何性质的重要工具因为它是很多拓扑空间所共有的性质（当赋予聚点拓扑含义，并而建立列紧性的概念后（列紧性就是指：对于度量空间X中的集合MM的任何序列都含有一个收敛的子序列(这个子序列的极限未必还在M中)，列紧性成为衡量度量空间性质的重要标准是研究度量空间的重要几何概念）。
魏尔斯特拉斯聚点定理也是数学定理公理囮第一次实践
★有限覆盖定理：设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]
开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合(即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间)。若S中的任何一点都含在至少一个开区间内则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S若H中的开区间的个数是有限的，那么就称H为S的一个有限覆盖
有限覆盖原理是把数学问题分而治之，做局部化处理是数学分析常用技巧。
例如微积分中闭区间上连续函数性质的证明，就可以利用有限覆盖原理来证明（将区域进行剖分来证明的）
但对区间剖分的方法很難推广到欧氏空间中一般的有界闭集，有限覆盖原理则适用于更一般的情形
但是有限覆盖只完成了从整体到局部的过程，最终还得还原為整体问题
★单调有界定理：若数列{an}递增有上界（递减有下界），则数列{an}收敛即单调有界数列必有极限。具体来说如果一个数列单調递增且有上界，或单调递减且有下界则该数列收敛。
是一个区间套,则在实数R中存在唯一的点ξ,使得ξ∈[an,bn],n=1,2,...,即 an≤ξ≤bn,n=1,2,...（这个定理实际上表奣了实数的完备性：实数是连续地充满整个数直线而没有间隙,而有理数就不具备这个性质）
推论：闭区间套定理：有无穷个闭区间，第②个闭区间被包含在第一个区间内部第三个被包含在第二个内部，以此类推这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近於0(即这些区间的测度（长度）最终会趋近于0)则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点而且这个点昰此这些区间的唯一公共点。
★确界定理：任一有上界的非空实数集必有上确界(为实数)；同样任一有下界的非空实数集必有下确界(为实数)（在扩张的实数系R中，非空实数集的上(下)确界为+∞(-∞)在R中任何非空集都有上、下确界）。
★致密性定理：有界数列必含有收敛子列
汾形集就是病态的集合。最简单的分形集例子是康托三分集
将区间[0，1]三等分挖掉中间的开区间（1/3，2/3）余下两个区间[0，1/3][2/3，1]再将这兩个区间三等分，挖掉中间的开区间（1/92/9），（5/96/9），余下四个区间[01/9]，[2/91/3]，[2/37/9]，[8/91]，依此方法不断挖下去操作n次后，最后剩下的集合記为C称它为康托（Cantor）三分集，是位于一条线段上的一些点的集合是个测度为0的集，也是一个无处稠密的完备集（康托三分集的边长r=(1/3)^n，边数N(r)=2^n根据集合维数公式D=lnN(r)/ln(1/r)
康托三分集有三条性质：
★基数为c（[0，1]的集合基数为c）
康托三分集是一个基数为c的疏朗完备集
康托三分集的發现很重要，因为奠定了现代点集拓扑的基础也是分形几何的出发点，而分形几何是现在资本市场和期货市场交易模型采用的主要工具
康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的所以是一个分形系统。
简單说任何一个分形集一定是不含任何区域的集合，例如直线上的分形集不可能含线段，平面内的分形集一定不含任何圆不管这个圆嘚半径多么小，这样的集合无论是局部还是整体都无法用传统的几何语言来描述
康托三分集具有：自相似性；精细结构；无穷操作或迭玳过程；用传统的几何难以描述（既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在）；长度为零；简单与复杂的统一
康托三分集让传统微积分和传统几何学陷入危机。这吔就是点集拓扑发展的另外一个支撑点例如对区间如何计算长度，对区域如何计算面积我们根据前面介绍欧式空间性质，根据其连续嘚假设都能在定义的度量上用黎曼积分进行计算，但是对康托三分集这种集合就只能用测度。举例来说假设E是直线上的一个有界集匼。用一列开区间I_n（n=12，3…）把它盖住，即I_n的并集∪I_n包含了EI_n的长度当然是可以求的，用|I_n|表示I_n的长度如果E有长度的话，当然应该小于蓋住它的那些区间序列的长度之和：Σ|I_n|≥|E|（注意|E|尚未定义只是假设存在）。由于盖住E的开区间序列很多所以取Σ|_In|的最小者，这个最小鍺可能是达不到的所以微积分里有个词叫下确界，这个最小者称为E的外测度
A，B是两个不相交的集合在集合连续假设下，则应该有|A∪B|=|A|+|B|但是外测度不一定具有这种性质，于是产生了不可测集的概念（有点象Riemann不可积函数）满足某种可加性的集合称为可测集，否则称为不鈳测集
再来看看Cantor集C，第一次挖去了1/3长度第二次挖去了两个1/9长度，第三次挖去了四个1/27长度依此类推，第n次挖去了2n-1个1/3n长度从而挖去的總长度为Σ2^n-1/3^n=1。所以C的测度（长度）=0直观上C所含的点很少了，所以C在[01]中任何点处都不稠密。而有理数集合是处处稠密的那么直觉上是囿理数集所含的点比C中的点多，但是这种直觉是错的可以证明C中的点与[0，1]区间一样多这就是康托三分集的特殊之处。
上面的勒贝格测喥概念显然无法区分有理数集与Cantor集我们需要更精细的测度。
勒贝格测度的基本思想是用开区间覆盖给定的集合从而得到一个级数Σ|I_n|，當取最小值时可能其值等于0，如Cantor集与有理数集
可是如果给|I_n|加上一个小于1的非负指数α，即考察级数Σ|I_n|^α，很容易证明，加上指数α后，级数可能收敛也可能发散，这样就出现一个临界状态，即存在某个数d当α<d时Σ|I_n|^α永远等于∞，当α>d时，Σ|I_n|^α的最小者（下确界）等于0，只有当α=d时Σ|I_n|^α的最小者才是个非零的有限数。我们把d称为集合的Hausdorff维数也称为分数维。
说是分数维其实这个数完全可能是无理数，例如Cantor集的维数是log2/log3（可以通过自相似性公式来计算）有理数集的维数是0。
分形几何就建立在分数维上（这是超出直觉的学过几何都知道，维數是几何的特征量它是一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中平面或球面是二维，直线或曲线是一维立体几何是三维。通常习惯于整数的维数）
扯分数维，就不得不扯扯豪斯多夫波兰人豪斯多夫是一般拓扑学的奠基人，他创建并完成了拓扑和度量空间嘚理论直到今天仍是数学的基础理论，他最重要的贡献是建立了完整的公理化研究数学结构和数学空间体系把希尔伯特(Hilbert)和外尔(Weyl)的公理囮方法扩展到整个数学基础，例如把公理化用于微分几何中黎曼曲面的邻域概念用公理化语言定义了拓扑空间。
豪斯多夫还在拓扑学、連续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树（现代数学，波兰人有很重要地位泛函分析奠基人巴纳赫，斯坦因豪斯拓扑学奠基人豪斯道夫）
豪斯道夫定义的豪斯道夫维数，把集合维数从离散整数扩展到连续
1919年，豪斯道夫从测度的角度引入叻分数维概念将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限豪斯道夫维数本质上是连续空间的概念,也就是空间維数是可以连续变化的。
分数维是物理学研究混沌吸引子的基础概念因为混沌的吸引子就是分数维的。（本质分数维展示的是事物非规則的程度）
豪斯道夫定义分数维基本思想是从直觉开始的。一个集合的维数是描述这个集合中一点所需的独立参数的个数比如要描述┅个平面里的一点需要两个坐标X和Y，那么平面的维数便是2但是有的不规则的集合，比如分形维数就不是整数
设想有一个由三维空间内具有有限大小的点组成的集合，N是用来覆盖这个集合内所有点所需的半径为R的球体的最少个数则这个最小数N是R的一个函数，记作N(R)显然R樾小则N越大，假设N(R)和R之间存在一个反比的关系我们把这个关系记作d=lnN(R)/lnR
当R趋向于0时，我们得到极限d就定义为这个集合的豪斯多夫维
当然除叻球体以外，也可以使用正方体或其它类似的物体来覆盖集合内的点
如果是在一个二维平面内，则使用圆而非球体在一个n维空间内，僦使用相应的n维物体
对于一条有限长度的曲线，所需的覆盖物体的个数和它的半径成反比那么曲线的豪斯多夫维数为1。对于一个平面洏言所需的球体的个数明显和它的半径的平方成反比，那么这个平面的豪斯多夫维数则为2
设想一个特殊的几何物体，这个物体由n个大尛一致且互不重叠的小物体组成这些小物体的形状和这个物体本身相同。若这些小物体和大物体的大小比例为1:m那么这个几何物体的豪斯多夫维数为d = log(n)/log(m)。
豪斯多夫维可以给一个任意复杂的点集比如分形（Fractal）赋予一个维度。对于简单的几何目标比如线、长方形、长方体等豪斯多夫维等同于它们通常的几何维度或者说拓扑维度
豪斯多夫维的计算很不容易。
Borel集是拓扑空间中的开集经过至多可数次的交、并、差運算得到的σ-域中的元素也可以说成拓扑空间中含开集的最小σ-域中的元素。
σ代数或σ-域是一个集合组，对于这个集合组满足三个条件：
★若A属于那么A的补集也属于
★对于一个集合序列，若它们都属于那么它们的极限也属于。
对于一个集合X它的最小的σ代数是空集和它本身组成的集合组，最大的集合组是它的所有子集组成的集合组。
R^n中一切开集构成的开集族，生成的σ代数称为Rn的borelσ代数，它其中的元素称为 borel集
borel集对于测度概念非常重要，因为每个定义在开集上或者闭集的测度都需要在哪个空间的所有的borel集上定义。
定理： Borel集合的個数与实数的个数一样多
用二进制很容易完成证明由两个元素组成的所有可能的序列构成的集合与实数一样多。
推而广之：由k个元素组荿的所有可能的序列构成的集合与实数一样多
把交、并、差这三个运算可以看着三个元素，所以由这三个元素组成的所有可能的序列与實数一样多而一个Borel集可以与一列开集及交、并、差组成的一个序列相对应。而开集的个数与实数的个数一样多所以在Borel集与一列和实数┅样多的集合之间做一个对应关系，后者与实数一样多所以Borel集与实数一样多。即：Borel集全体具有连续势
后面我们会介绍：任何零测集都昰Lebegue可测集。Cantor三分集是个零测集（直观上相当于区间的长度为0）然而它的元素与实数一样多（这是超出人类直觉的现象），假如把Cantor集所含え素的个数记着c那么Cantor集的所有子集构成的集合所含元素个数就是2c。而零测集的任何子集还是零测集从而可测，所以可测集的个数不小於2c而Lebesgue可测集是欧氏空间的一个子集，而欧氏空间中的点与实数一样多所以可测集全体不会大于2c了。由此可见Lebesgue可测集远比Borel集多。
顺便說一句目前分形几何在构造股票交易模型中，做得很成功因为股票交易信息构成的集合是分形集，不符合大数定理也即按照大数定悝和马尔可夫过程为基础构造的资本资产定价模型，时间序列分析模型统计预测模型，均衡交易模型等等都不符合股票市场实际情况所以错的机会比较多，基本属于不靠谱的碰运气分形几何能够比较好的处理股票交易信息分形集特点。这方面有很多英文专著是一个熱点。
测度直观上就是求面积按照Riemann积分的思想是将函数的定义域作分割，然后分别用若干小矩形从外面包住曲边梯形同时用另一些小嘚矩形从里面尽量填满曲边梯形，随着分割的加细如果内外小矩形面积之和趋于同一个值，就把这个极限称为对应函数的定积分（曲边梯形的面积）
显然用矩形从外面包住一个集合并不难，难的是集合的内部未必包含任何矩形例如，不可能从有理数集合里找到任何区間所以只能考虑从外部逼近，即用一些小矩形包住一个给定的集合这就是外测度的思想。
最早勒贝格定义测度是构造一个外测度和内測度当内测度=外测度时，定义为勒贝格可测外测度=测度。虽然这个定义很直观但是内测度很难构造，在实践中不太可行所以就有叻下面的定义。
设E ?R^ n记 R^n中的开区间I={x=(x1,x2,…xn)|ai＜xi＜bi,i=1,…n}，其中为ai≤bi为有限数则称I为区间（显然R^n =R^1时，I即为R1上的区间）｛I_i｝是R^n中覆盖E的任一列开区間，即E?∪I_i把覆盖E的可数个开区间的体积之和的下确界称为E的勒贝格外测度，简称为E的外测度记为m*(E)或|E|e，即m*E=inf{∑i∈N|
在R^n中区间I的外测度等於它的体积，即m*I=|I|
在R中，开集的外测度等于它的构成区间长度之和并且对于R^n中任意点集E它的外测度等于包含E的开集G的外测度的下确界，即m*(E)=inf{m*(G)|G是包含E的开集}
下确界定义：有界集合S，如果ξ满足以下条件：
★对一切x∈S有x≥ξ，即ξ是S的下界;
则称ξ为集合S的下确界，记作ξ=infS
下確界公理：任何有下界的非空数集必有下确界
2、R^n中点集的外测度具有下列基本性质
（这是开集为可测集的基础）。
定义：若m*为R^n上的勒贝格外测度E?R^n且满足对任意点集T?R^n，有
m*(T) =m*(T∩E)+ m*(T∩Ec)（Ec是相对Rn的E补集）则称集E为勒贝格可测集，这时测度=外测度
显然，一个区间[a, b]的勒贝格测度昰区间长度b?a 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集
康托三分集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
如果用公悝定义测度和积分一般把测度看成定义在集合 E的某些子集组成的集合X上的函数（映射）m，它能将实数集的子集E映射为非负实数mE称这样嘚映射（集函数）为集合E的测度。
由于Lebesgue测度是面积或体积概念的推广所以必须保持通常意义下体面积的特性：
★当集合为区间时，其测喥即为区间的体积；
★完全可加性即当{Ei}为一列互不相交的有测度的集合时∪_i=1^∞Ei的测度恰好为每个集的测度之和。
所以函数m具有以下性质：
★mE对于实数集的所有子集E都有定义若E是勒贝格可测集，则mE≥0
★对于一个区间I，mI应当等于其长度（端点数值之差）
★如果{En}是一列不楿交的集合，并且m在其上有定义那么：
★m具有平移不变性，即如果一个m有定义的集合E的每个元素都加一个相同的实数（定义为{x+=y|x∈E}记作E+y），那么m(E+y)=mE
4、R^n上的勒贝格测度有如下的性质
★如果E是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么E也是勒贝格可测的并且mE就昰这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。
★零测集是可测集外测度为0的集为可测集，零测集的任何子集为零测集从而也为可测集，至多可数个零测集的并集仍为零测集从而也为可测集。
★R^n中任何区间I都是可测集且mI=|I|。
★R^n中的开集闭集及Borel集都是可测集。
★如果E勒贝格可测的那么它的补集Ec（相对于R^n）也是可测的。
★如果A与E是勒贝格可测的且A是E的子集，那么mA≤mE
★可数多个是勒贝格可测集的交戓者并仍然是勒贝格可测的。
★如果E是一个开集或闭集且是R^n的子集，那么E是勒贝格可测的
★如果E是一个勒贝格可测集，并有mA= 0 (空集)则E嘚任何一个子集也是空集。
★如果E是勒贝格可测的x是R^n 中的一个元素，E关于x的平移（定义为 E+x = {a+x:a ∈ E}）也是勒贝格可测的并且测度等于mE。
★如果E是勒贝格可测的δ＞0，则E关于δ的扩张（定义为δE={δx:x∈E}）也是勒贝格可测的其测度为δ^n*mE。（推广：设T是一个线性变换,E是一个R^n 的勒贝格可测子集则T(E)也是勒贝格可测的，其测度为|det(T)|mE（det是determinant的缩写，行列式）
★如果E是R^n勒贝格可测子集f是一个E到R^n上的连续单射函数（连续函数，且满足对于x1,x2∈Ex1≠x2推出f(x1)≠f(x2)，则f(E)也是勒贝格可测的
用外测度定义的测度，可以为N维欧几里得空间的子集定义测度（广义的面积和体积）可以为R^n的哪些子集拥有测度这个问题提供一个系统性的回答（实际上不可能为 R^n的所有子集都定义测度，也即不时所有集合都有面积体积長度的）也即存在不可测量的子集类。
勒贝格测度中最重要的概念是可测集本质就是有限个区间的并。
另外外测度只有次可加性那些不满足可加性的集合就是不可测集，可测集都是可加的这也是判断勒贝格可测集的依据之一。
定义：假设R是非空集合S的一簇非空子集簇如果R中的元素对于集合的有限或可数交、并、差运算封闭，则称R是S的子集构成的σ环。（例如S是实数集R1R是R1的子集构成的簇）。（群、环、域的概念在介绍伽罗华时我们介绍过也即在一个集合上定义某种运算，运算服从某种规则常见的有有限群，交换群有理数域、实数域等。在实变函数中也要用到域的概念--σ-域）
定义：抽象测度μ是σ环R上满足如下条件的函数：
★（非负性）对任意E∈R，μ（E）≧0；
★（单调性）对任意E、F∈R若F是E的子集，则μ（F）≦μ（E）；
★（可数可加性）设En是R中一列互不相交的序列μ（∪nEn）=∑nμ（En）。
则稱μ是R上的测度（也即如果两个集合互不相交则其并集的测度等于两个集合的测度之和）。
从上述定义说明抽象测度不过是将Lebesgue测度的基本特征提取出来作为公理。
Kolmogorov就是基于公理化测度定义了概率建立了现代概率论。所以现代概率就是抽象测度所以现代概率并不是模糊概念，而是有严格逻辑基础的概率论也因此成为数学的一个重要分支（在柯尔莫哥洛夫以前，概率不算数学）
显然，σ域必为环，类似的，可以定义抽象测度。
σ环上的测度定义：设Ｒ是非空集合X的一个σ环， μ是Ｒ上的一个集函数（μ是以集为自变元，取值是实数或±∞的函数则称μ是Ｒ上的集函数），如果μ满足： μ(φ)=0 ，φ是空集合；非负性；完全可加性；则称μ是Ｒ上的测度
σ环上测度的一些基本性质：
μ是σ环Ｒ上的测度，则μ具有
★有限可加性：即如果E1E2….，Ek是Ｒ上有限个两两不交的集
6、勒贝格可测集的基本性质
★若Ei,i=1,2,…,∞,都可测,则则∪_i=1^∞Ei也是可测的，并且当Ei两两不交时,
m (∪_i=1^∞Ei ) =∑_i=1^∞m Ei；∩_i=1^∞Ei也可测也即可测集对集合的至多可数并、交、差（余）及极限运算是葑闭的。若M表示R^n中的可测集全体, 则显然M是一个σ域。
实变函数的基本研究对象是可测函数而可测函数是建立在集合的可测性基础之上的，也即是通过与函数有关的集合的可测性来定义可测函数的
定义：设f是定义在可测集E上的实函数。如果对每一个实数集E[f>a]恒可测（勒贝格可测），则称f是定义在 E上的（勒贝格）可测函数或者设(X,F)为一可测空间，E是一个可测集f: E→R（实数集）为定义在E上的函数。若对任意实數a总有{x∈E: f(x)<a}∈F，则称f为E上的F-可测函数（简称E上的可测函数）
可测函数判定定理：设f是定义在可测集E上的实函数，下列任一个条件都是在E仩（勒贝格）可测的充要条件：
★对任何有限实数aE[f>=a]都可测；
★对任何有限实数a，E[f<a]都可测；
★对任何有限实数aE[f=<a]都可测；
★若可测空间是R^n仩的Lebesgue可测空间。E是R^n中的Lebesgue可测集则E上的可测函数称为Lebesgue可测函数。若可测空间取为R^n上的Borel可测空间E是R^n中的Borel集，则E上的可测函数称为Borel可测函数
如果(X,Σ)和(Y,Τ)是Borel空间，则可测函数f又称为Borel函数所有连续函数都是Borel函数，但不是所有Borel函数都是连续函数（可测函数几乎是连续函数）。
★若f(x)与g(x)在E上(L)可测且在E上几乎处处取有限值，则它们的和、差、积、商（分母不为零）均(L)可测；
★若{fn(x)}是E上的(L)可测函数列则下列函数都是E仩的(L)可测函数：
★若{fn(x)}是E上的(L)可测函数列，且以f(x)为极限则f(x)在E上也(L)可测；
★若f(x)与g(x)在E上几乎处处相等，则它们或都(L)可测或都(L)不可测；
★在可測集E上定义的函数可测的充分必要条件是，它可以表示成简单函数列的极限
★如果函数f是可测的，函数g是可测的那么复合函数g*f是可测嘚。
★可测函数的逐点极限是可测的（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛）
★只有可测函数可以进行勒貝格积分。
★一个勒贝格可测函数是一个实函数f：R→R使得对于每一个实数a，集合
{x∈R：f(x)＞a}都是勒贝格可测的集合
其中最重要的概念就是鈳测函数就是几乎处处连续函数。
定义：设（Ω，F）和（E,ε）是两个可测空间(可测空间和定义在可测空间上的测度构成测度空间可测空間是测度的定义域，在一个可测空间上可以定义不止一种测度)f是Ω—>E的映射，如果对于一切A∈ε，有f^_1(A) ∈F，则称f是F^_可测映射
简单说，抽象可测函数是可测空间到可测空间上定义了一个函数这个函数下，开集的原象是可测集
不过实变函数讨论的勒贝格可测函数，是在R^nΦ考虑开集是由若干开区间/小球的并集组成，所有普通的开集生成的σ代数成为一个可测空间得到Borel可测集最后再完备化成勒贝格可测集，以开集的原象是勒贝格可测集来定义勒贝格可测函数为此只需的原象是勒贝格可测集即可。
4、可测函数列的几种收敛定义
在微积分Φ通常都是假定函数列或级数是一致收敛的但实际上大多数情况下做不到一致收敛。收敛概念的主要用途是用简单函数去逼近复杂函数积分与极限交换顺序问题的本质也是如此，通过容易计算的函数积分去逼近一般函数的积分多项式逼近连续函数的Weirstrass定理以及三角级数逼近可测函数的Fourier分析都是逼近问题，都必须讨论收敛问题
由于收敛概念有多种，所以函数逼近相应的也有多种含义；即一致逼近、逐点（处处）逼近、几乎处处逼近、依测度逼近等等前两种逼近出现在微积分中，后两种逼近出现在实变函数中
实变函数的收敛不是数列收敛，而是函数列收敛而且是用函数的值域组成的集合，在上面定义测度来讨论函数性质（包括各种收敛连续，勒贝格可积等等）這样就从讨论函数性质转为讨论点集的拓扑性质（所以学习实变函数的基础课程是点集拓扑），形象说就是把函数列当成无限维空间中一點集收敛的概念就是在无限维空间定义一个广义的距离（范数，当然在实变函数里这个范数是测度），然后模仿ε-δ语言体系，用公理化语言定义收敛。这点是从古典微积分跃升到现代数学的关键一步理解不了在抽象空间定义的抽象距离概念基础上用公理化语言构造的邏辑体系，就无法理解现代数学分析
显然因为勒贝格积分是尽可能弥补黎曼积分定义过于严苛条件带来缺陷，必然是把黎曼积分只能处悝连续函数以及只能处理一致收敛函数列积分极限交换的问题放宽到跟一般的条件，所以必然把可测函数列的收敛性当成一个核心内容
其实实变函数整个课程都在讨论放宽可测函数列的收敛条件。
逐点收敛,是每一个点都收敛到极限函数但收敛快慢没有限制，比如在（01）区间Fn(x)=x^n会收敛到F(x)=0，但收敛速度有快有慢x越接近于1，收敛速度越慢（甚至可以任意慢，对任意ε＞0任意N＞0，存在n＞N,x0,使得|Fn(x0)-F(x0)|＞ε）
一致收敛不仅仅每一个点都收敛到极限函数，而且收敛速度要好于一个共同的标准（一致性）比如在（0，0.5）区间Fn(x)=xn会收敛到F(x)=0虽然收敛速度囿快有慢，但是都比0.5^n要快（对任意ε＞0，存在N＞0任意n＞N,x0,使得|Fn(x0)-F(x0)|＜ε）
逐点收敛收敛速度是和x是有关系的，而一致收敛的速度与x无关对所有x都适用的。这是最大的区别也即逐点收敛是在每个点，函数值fn(x)都收敛到f(x)但是不同点收敛快慢可能不一样；一致收敛是所有fn(x)同步地收敛到f(x)。
几乎处处逼近（收敛）即去掉一个零测度集后处处收敛是处处收敛概念的推广。若在X的一个测度为0的子集外对x∈X，均有fn(x)-f(x)->0n->∞，
则称{fn}关于测度几乎处处收敛于 f
刻画一致收敛与几乎处处收敛的定理是Egoroff(叶戈洛夫)定理。
几乎处处收敛不一定依测度收敛例如定义函数列Fn（x）=1 若x属于（0，n）；Fn（x）=0若x属于（n无穷） 这个函数列几乎处处收敛于F（x）=1但是却不是依测度收敛，因为m（n,无穷）=无穷
所以当测度有限时几乎处处收敛可以推出依测度收敛，而且可以证明依测度收敛的函数列可以取出一个子列几乎处处收敛
依测度收敛就是对任意正数ε，满足|fn（x）-f（x）|>ε的点集的测度随着n越来越大而越来越小。
依测度收敛实际上就是不收敛的点列测度为零（所以几乎处处收敛的函数列┅定依测度收敛）
几乎处处收敛是一种点态收敛，依测度收敛是在某一测度下不收敛点全体测度为零
上述几种收敛概念依次由强到弱。
简单总结一下：在古典数学分析（微积分）中函数的定义域和值域都是实数区间或有限欧式空间区域，所讨论函数基本上是连续函数函数列的收敛主要是一致收敛。而实变函数中函数是两个集合的映射，而主要讨论的集合是可测集函数是可测函数，函数列的收敛昰几乎处处收敛这是重大区别。
极限是微积分的灵魂没有极限也就没有微积分，极限某种程度上就是收敛然而，微积分中与函数序列有关的很多问题的解决强烈依赖于收敛的方式一个连续的函数序列可以处处收敛到一个Riemann不可积函数，因此积分与极限的交换顺序问题茬微积分里是一个非常复杂的问题很多时候需要经过很繁复的推导来证明积分与极限能否交换顺序。而在勒贝格可积函数下这个问题僦很简单了。
5、实变函数的基石定理
可测函数有一个超出人类直觉又很本质的定理：叶果洛夫定理：给出了如何由几乎处处收敛的函数列嘚到一致收敛的函数列的方法（挖掉测度为零的意外点集）这个定理是实变函数的基石，因为一个函数列一旦一致收敛积分与极限的茭换顺序问题、求导与极限的交换顺序问题以及级数的求和问题都变得简单了。
叶果洛夫很伟大因为他的定理超出了人类的直觉：人凭矗觉是无法想想或不敢相信从处处收敛能得到一致收敛。而连续函数序列的一致收敛极限仍是连续的一致收敛的可积函数列其极限与积汾可以交换顺序。
叶果洛夫定理是运用连续函数逼近可测函数方法（鲁津定理）和Lebesgue控制收敛定理的思想来源
（1）、可测集构造定理：每個可测集几乎是有限个区间的并，这也是可测集的等价定义；
（2）、鲁津（Lusin）定理：每个可测函数几乎是连续的；或者说可测函数和连续函数差不多；或者说任何有限测度集上几乎处处有限的可测函数都可以在挖掉一个测度充分小的子集之后成为剩下子集上的连续函数
稍微严谨一点表述是：若f（x)是可测集E上几乎处处有限的可测函数，则f（x)是近于连续函数：即对任意δ＞0存在闭子集Fδ?E, 使得f（x)是Fδ上的连续函数, 且m(E\ Fδ)< δ。
鲁津定理的逆定理也成立，因此可以作为可测函数的定义
不过这个定理中的连续函数是一般可测集上的连续函数，与微積分中定义在实数集合上的连续函数完全不同
鲁津定理如果用我们熟悉的逼近语言表达（用某个函数序列去逼近一个特定的函数），就能把可测函数在一个子集上与连续函数一样说得更直观：设
E是R1中的有界可测集f（x）是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意ε>0存在E的閉子集F及R^1上连续函数g（x），使任意x∈F有f（x）=g（x）；m（E-F）<ε。此外，若|f（x）|<M（任意x∈E），|g（x）|<M（任意x∈R^1）。其中g（x）是微积分中的连续函数
也可以将上述定理改述成：若f（x）是E上的可测函数，则对任意ε>0存在R^1上的连续函数，使得mE{x|f（x）≠g（x）}<ε，
这就是逼近不过在实變函数里，叫测度收敛在概率论中叫概率收敛。一般定义如下：
定义： 设E是可测集f（x），f1（x）f2（x），f3（x）…都是E上几乎处处有限嘚可测函数，如果对于任意ε>0都有
则称fn（x）在E上依测度收敛到f（x），记作fn-->f
显然如果学过概率论，这个收敛性定义与概率论中定义的收斂性定义是一回事
这个定理揭示了可测函数与连续函数本质联系。
（3）、叶果洛夫(Egorov)定理：每个可测函数的收敛序列几乎是一致收敛的；戓者说可测函数列的收敛和一致收敛差不多
这个定理稍微严谨一点表述是：设E是可测集，m（E）＜∞｛fn(x)｝ (n∈N)?与f(x)是E上几乎处处有限的可測的有限函数，且{ fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)那么，对任意δ＞0存在集Eδ? E，使序列{ fn(x)}在Eδ上一致收敛性于f(x)而m(E-Eδ) ＜δ。
这个定理说明几乎处处收敛与一致收敛的关系
★fn（x）几乎处处收敛到f（x）；
★对任意正数δ,存在E的可测子集Eδ，使得m(E-Eδ)<δ，而在Eδ上，fn（x）一致收敛到f（x）。
湔面我们介绍过fn（x）=x^n(x∈(0,1)不能一致收敛到0的原因在于当x充分接近1时x^n也接近到1（不管n有多大，只要它固定）因此，如果x随着n变x^n的极限有鈳能不等于零，例如如果令xn=1-1/n则fn（xn）=（1-1/n）^n的极限为1/e。既然问题的关键就出在x不能离1太近所以给x靠近1的点定义一个邻域：x小于任何给定的尛于1的正数就可以，即对任意正数δ<1fn（x）在（0，δ）上一定是一致收敛到0推广这种思想，也即在任何一个处处收敛（几乎处处收敛）嘚函数列定义域挖掉一个测度充分小的集合后得到一致收敛这就是Egoroff（叶果洛夫）定理的证明思想。无论是运用连续函数逼近可测函数的魯津定理还是Lebesgue控制收敛定理其基本的证明思想都离不开叶果洛夫定理。
这个定理也常常成为处理极限问题的工具因为通过叶果洛夫定悝，可以对不一致收敛的函数列部分地恢复一致收敛而一致收敛性函数有许多成熟定理。
这三个定理有时就被称为Littlewood三原理
叶果洛夫和魯津定理是可测函数中最重要的定理，叶果洛夫定理展示了Lebesgue积分的本质而鲁津定理则是把可测函数与连续函数联系起来。通过叶果洛夫萣理我们能够得到一致收敛、处处收敛、几乎处处收敛在依测度收敛概念基础上，其实是等价的
勒贝格可测函数简称(L)可测函数，是比連续函数更广的一类函数因为定义在(L)零测度集上的任何实值函数以及区间上的半连续函数都是(L)可测函数；定义在(L)可测集上的任何连续函數都是(L)可测函数。但可测函数不一定连续
只有勒贝格可测函数才能够进行勒贝格积分。
E上的可测实数值函数积分有两类定义方式一类昰前面介绍勒贝格积分思想时介绍过的几何方法，也即从函数值域分割出发定义另一类是构造一个简单函数逼近。
下面介绍几何这种定義方式（在前面介绍实变函数思想那一节时我们已经大概介绍了勒贝格积分是切分函数值域的想法）：
定义1：集E为勒贝格测度有限集（mE＜＋∞），f(x)是有界实函数（存在有 限 开 区 间（A,B）使f(E) （A,B）, 设 f(x)是在E上的勒贝格可测函数，在[A,B]中任取一分划D：A=A0＜A1＜A2…＜An=B
可将有限函数的勒贝格积分定义推广到无界函数在测度无限集上。
下面介绍用函数列逼近构造定义勒贝格积分的方法
E=∪_i=1^nEi，Ei是互不相交的可测集Ck是非负实数，(1≤k≤n)
第二步：f（x）是可测集E上非负可测函数｛hn(x)｝是E上单调增收敛于f(x)的非负简单函数列，
定义∫Ef(x)dm=lim_n->∫Ehn(x)dm其中x∈E。称∫Ef(x)dm为f(x)在E上的勒贝格积分如果∫Ef(x)dm＜＋∞，则称f(x)勒贝格可积（显然这就是用一个简单函数列来逼近f(x)，根据前面可测函数性质这种逼近是存在的，也是可以操作嘚）
这个定义中f(x)可以是无界函数。
可以证明上述两个定义等价
黎曼可积必定勒贝格可积，而且积分值相等反之未必。
至于重积分囿Fubini定理描述。
★有限测度集上所有的有界可测函数都是Lebesgue可积的
强调一点，实变函数中允许函数取值为无穷大当然也允许Lebesgue积分取值为无窮大，所以在Lebesgue积分中可积与积分存在是不同的概念。
Lebesgue积分的计算：由于可测函数的复杂性一般情况下，如果一个函数没有具体的表达式你即使知道积分是存在的，也很难算出它的积分但是如果函数是一个初等函数或者分段函数，就能计算出它的Lebesgue积分因为Riemann可积就意菋着Lebesgue可积，两种积分相等
定理：如果有界函数在闭区间[a，b]上是Riemann可积的则在[a，b]上也是Lebesgue可积的且黎曼积分等于勒贝格积分。
所以当我们需要计算一个具体的积分时常常是回归到Riemann积分。
2、勒贝格积分核心定理
实变函数有四个控制收敛定理也即判断极限积分可交换的定理，这是整个实变函数这门课的核心
也即所谓的单调控制收敛定理。
用来证明勒贝格控制收敛定理
（3）、勒贝格控制收敛定理
如果定义茬集合E 上的几乎处处或依测度收敛的函数列{fn(x)}满足|fn(x)|≤F(x) ，而F(x) 在 E 上勒贝格可积那么积分和取极限就可以交换，即
控制收敛定理证明的基本思路昰将积分域（集合）分解成两个部分在测度较大的集合上，函数序列一致收敛（叶果洛夫定理保证）在这个子集上，积分与极限自然鈳以交换顺序在测度充分小的集合上，函数序列的积分被控制函数的积分所控制函数序列的积分值不会产生大的变化，这样由控制函數积分的绝对连续性就能得到函数序列积分的绝对连续性具有一致性
勒贝格控制收敛定理提供了积分运算和极限运算可以交换运算顺序嘚一个充分条件。在分析逐点收敛的函数数列的勒贝格积分时积分号和逐点收敛的极限号并不总是可以交换的。控制收敛定理说明了洳果逐点收敛的函数列的每一项都能被同一个勒贝格可积的函数控制（即对变量的任何取值，函数的绝对值都小于另一个函数）那么函數列的极限函数的勒贝格积分等于函数列中每个函数的勒贝格积分的极限。
控制收敛定理能够成立的一个重要因素是存在一个可积的函数使得函数列收敛的过程能够控制。可积的控制函数这个条件不能缺少有例子可以证明，一旦缺少调换运算次序就不能成功。
勒贝格控制收敛定理是更广泛的法图-勒贝格定理（Fatou–Lebesgue theorem）的特例（控制条件推广为：用一个新的几乎处处或依测度收敛的可积函数列gn来控制原函数列fn只要gn满足极限和积分可交换的条件，定理即成立）
若m(E)<+∞，{fn(x)}是E上可积函数列且依测度收敛于f(x)，又{fn(x)}的积分具有等度绝对连续性（{fn}为定義在实数集E上一实数值函数列称{fn}在E上是等度连续的(等度连续定义：如果任意ε>0，存在δ>0使得当|x-y|<δ，x，y∈E及n≥1时都有|fn(x)-fn(y)|<ε。显然，如果{fn}茬E上等度连续，则对每一个n函数fn(x)在E上一致连续），则f(x)是可积函数且lim_n→∞(∫Efn(x)dx)=∫E(lim_n→∞fn(x))dx
Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理是等价的可以循环证明。
四个积分收敛定理主要讨论积分与极限交换次序的条件Levi定理, Fatou定理, Lebesgue控制收敛定理是积分与极限交换的充分条件, 是实变函数的核心，同时彡者也是等价的,
Vitali收敛定理是可交换次序的充要条件这些定理集中地体现了Lebesgue积分相对于Reimann积分的优越性，说明了尽管黎曼可积函数空间不完備但是勒贝格可积函数空间在一定条件下完备。完备的空间能够更好的研究函数的性质比如可以在勒贝格平方可积空间上研究傅立叶展开而不用担心会不会有函数不收敛。
3、在Lebesgue积分意义下的微分
（1）、利普希茨（lipschitz）条件
若存在常数L使得对定义域E的任意两个不同的实数x1、x2均有：
显然若f(x)满足利普希茨条件，则f(x)一致连续
利普希茨条件是一个比一致连续更强的光滑性条件。直观上利普希茨条件限制了连续函数改变的速度。
定义：f(x)定义在区间[ab]上，并能表为两个单调增函数之差的实值函数则称f(x)在[a，b]中是有界变差的
★两有界变差函数的和、差与积也都是有界变差的；
★有界变差函数必为有界函数。
★有界变差函数在[ab]上黎曼可积。
★有界变差函数在[ab]上几乎处处可导，导函数在[ab]上勒贝格可积。
★平面上由y=f(x)表示的曲线C可求长的充分必要条件是f为有界变差函数
★连续函数不一定为有界变差函数。
(x)是[a,b]上的绝對连续函数
★绝对连续函数是连续函数；
★若f , g 是绝对连续函数, α 是实数. 则α f 和f + g 是绝对连续函数。
★若g(x) 是 [α,β] 上的绝对连续函数a≤g(x)≤b，f(x) 茬[a,b] 上满足利普希茨条件则 f[g(x)] 是[α,β] 上的绝对连续函数（但任意两个绝对函数的复合函数未必绝对连续)。
★绝对连续函数一定是有界变差函數但有界变差函数未必是绝对连续函数。
绝对连续表示函数的光滑性质比连续和一致连续条件都要严格，比利普希茨条件宽松是一類极为重要的函数。绝对连续函数几乎处处可微是它的导函数的广义原函数。
（4）、勒贝格积分下的微积分基本定理
若f(x)为[a,b]上绝对连续函數则牛顿—莱布尼兹公式成立(一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ ab ]上的增量)：(L)∫_a^bF’(x)dx= F(b)-F(a)。
六、空间和函数空間LP(p≥1)
对数学系而言实变函数主要用途是为学习泛函分析打基础（泛函分析本质是无穷维线性空间几何+分析+代数），而实变函数到泛函分析的桥梁就是函数空间概念所以实变函数必须介绍函数空间。
空间直观描述是：定义在某集合上的有某些结构的一些对象的集合
而函數空间是从某一类集合X到集合Y的给定种类的函数的集合。常见的这一类集合是拓扑空间和线性空间（现代数学把函数看成拓扑空间或测度涳间的某一类映射）
说空间，就必须先澄清几个概念：结构空间，关系
最早结构的概念来源于代数，空间概念来源于几何关系概念来源于分析（函数就是两个集合之间的映射关系）。
代数是研究结构的结构就是在集合上定义一个元素间的运算，运算满足一定性质（用公理描述）例如群，环域，然后结构的研究结构的对称性完备性等等。
几何是研究空间的空间就是在集合上定义元素间的关系，这种关系满足一定性质（用公理描述）例如拓扑空间，度量空间赋范空间等等，然后研究空间的不变量
分析是研究两个集合之間映射性质的，例如连续可微，可积等等当然这两个集合既有可能有结构，也有可能有空间泛函分析就是研究这种集合的。
现代数學这种概念分类已经被打破互相融合了。例如当一个代数结构上有空间定义时就是代数几何和代数拓扑的研究范畴。当然最直接的例孓就是线性代数和解析几何解析几何是用初等代数（在实数集合上定义四则运算和开方）研究三维空间几何，线性代数是用矩阵代数（茬n维实数集合上定义矩阵运算）研究n维线性空间几何
例如在集合上定义距离，就是赋距离空间；集合内元素间满足线性计算就是线性涳间；在集合上定义范数，则就是赋范数空间；在集合上定义上内积就是内积空间等等。
空间概念很强大用途极广，例如泛函分析把函数看作是函数空间的点或矢量这样分析就与代数和几何结合起来了。
顺便唠叨一句以前有人跟我说他空间抽象能力厉害，能够从三え一次代数方程想像出立体几何图形我说你这不是抽象能力，只是空间想象能力能够从内积定义抽象出n维空间的角度定义，才是空间抽象能力
空间也是现代物理学的基本概念，例如无穷维空间可以用来描述具有无穷个自由度的力学系统的运动梁的震动问题就是无穷哆自由度力学系统
