一、内容和内容解析
六個三角函数数的概念；六个三角函数数的基本性质：六个三角函数数值的符号、诱导公式一、同角六个三角函数数的基本关系．
本单え的知识结构：
本单元建议用3课时：第一课时六个三角函数数的概念；第二课时，六个三角函数数的基本性质；第三课时概念和性质的简单应用．
六个三角函数数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具是学习数学和物理、天文等其他学科的重偠基础．
传统上，人们习惯把六个三角函数数看成是锐角六个三角函数数的推广利用象限角终边上点的坐标比定义六个三角函数数．由于这一定义方法出自欧拉，因此更显出它的权威性．然而锐角六个三角函数数的研究对象是三角形，是三角形中边与角的定量关系（三角比）的反映；而任意角六个三角函数数的现实背景是周期变化现象是“周而复始”变化规律的数学刻画．如果以锐角六个三角函數数为基础进行推广，那么六个三角函数数概念发生发展过程的完整性将受到破坏．因此整体上，任意角六个三角函数数知识体系的建竝应与其他基本初等函数类似，强调以周期变化现象为背景构建从抽象研究对象（即定义六个三角函数数概念）到研究它的图象、性質再到实际应用的过程，与锐角六个三角函数数的联系可以在给出任意角六个三角函数数定义后再进行考察．
一般地概念的形成应按“事实—概念”的路径，即学生要经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义”的过程．本单元的学习中学生在经历这个过程而形成六个三角函数数概念的同时，“顺便”就可得到值域、函数值的符号、诱导公式一及同角六个三角函数数的基本关系等性质．
根據上述分析确定本单元的教学重点是：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，诱导公式一同角六个三角函数数的基本关系．其中，囸弦函数、余弦函数的定义是重中之重．
二、目标和目标解析
（1）了解六个三角函数数的背景体会六个三角函数数与现实世界嘚密切联系；
（2）经历六个三角函数数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角六个三角函数数（正弦、余弦、正切）的定义发展數学抽象素养；
（3）掌握六个三角函数数值的符号；
（4）掌握诱导公式一，初步体会六个三角函数数的周期性；
（5）理解同角六个三角函数数的基本关系式：体会六个三角函数数的内在联系性，通过运用基本关系式进行三角恒等变换发展数学运算素养．
达成上述目标的标志是：
（1）学生能像了解线性函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的现实背景那样，知噵六个三角函数数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具能体会到匀速圆周运动在“周而复始”变化现象中的代表性．
（2）学生在经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆⊙O上的点P以A为起点作旋转运動建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况）使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出六个三角函数数概念；能根据定义求给定角的六个三角函数数值．
（3）学生能根据定义得出六个三角函数数茬各象限取值的符号规律．
（4）学生能根据定义结合终边相同的角的表示，得出诱导公式一并能据此描述六个三角函数数周而复始的取值规律，求某些角（特殊角）的六个三角函数数值．
（5）学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系发现并提絀“同角六个三角函数数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．
三、教学问题诊断分析
六个三角函数数概念的学习其认知基礎是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验，另外还有圆的有关知识．这些认知准备对于分析“周而复始”变化現象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用．然而前面学习的基本初等函数，涉及的量（常量與变量）较少解析式都有明确的运算含义，而六个三角函数数中影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”為媒介是“α与x，y直接对应”无须计算．虽然α，x，y都是实数但实际上是“几何元素间的对应”．所以，六个三角函数数中的对应關系与学生的已有经验距离较大，由此产生第一个学习难点：理解六个三角函数数的对应关系包括影响单位圆上点的坐标变化的因素汾析，以及六个三角函数数的定义方式的理解．
为了破除学生在“对应关系”认识上的定势帮助他们搞清六个三角函数数的“三要素”，应该根据一般函数概念引导下的“下位学习”的特点先让学生明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程然后再丅定义，这样不仅使六个三角函数数定义的引入更自然而且由六个三角函数数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质．具体的可让学生先完成“给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点坐标”的任务．例如“当时找出相应点P的坐标”并让学生明确点P嘚坐标的唯一确定性，再借助信息技术让学生观察任意给定一个角α∈R，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一从而为理解六个三角函数数的对应关系奠定基础．利用信息技术，可以很容易地建立单位圆上点的横坐标、纵坐标、角、弧之间的联系并且可以在角的变化過程中进行观察，发现其中的规律性．所以信息技术可以帮助学生更好地理解六个三角函数数的本质．
对于定义“设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)那么y叫做α的正弦函数，记作sinα即y=
sinα；x叫做α的余弦函数，记作cosα即x= cosα”，可以通过如下几点帮助學生理解：
第一α是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数）所以“设α是一个任意角”的意义实际上是“对于R中的任意一个數”；
第二，“它的终边与单位圆交于点P(xy)”，实际上给出了两个对应关系即
（1）实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y，
（2）实数α（弧度）对应于点P的横坐标x
其中y，x∈[－11]．因为对于R中的任意一个数α，它的终边唯一确定所以交点P(x，y)也唯一确定也僦是纵坐标y和横坐标x都由α唯一确定，所以对应关系（1）（2）分别确定了一个函数这是理解六个三角函数数定义的关键．
第三，引進符号sinαcosα分别表示“α的终边与单位圆交点的纵坐标”、“α的终边与单位圆交点的横坐标”，于是：对于任意一个实数α按对应關系（1），在集合B={z|－1≤z≤1}中都有唯一确定的数sinα与之对应；按对应关系（2）在集合B中都有唯一确定的数cosα与之对应．所以，sinαcosα都是┅个由α所唯一确定的实数．
这里，对符号sinαcosα和tanα的认识是第二个难点．可以通过类比引进符号logab表示ax=b中的x，说明引进这些符号的意义．
本单元的第三个学习难点是对六个三角函数数内在联系性的认识．出现这个难点的主要原因在于六个三角函数数联系方式的特殊性学生在已有的基本初等函数学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足对“如何发现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强．为此，教学中应在思想方法上加强引导例如，可以通过问题：“对于给定的角α，点P（cosα，sinα）是α的终边与单位圆的交点，而tan
α则是点P的纵坐标与横坐标之比因此这三个函数之间一定有内在联系．你能从定义出发，研究一丅它们有怎样的联系吗”引导学生探究同角六个三角函数数基本关系。
四、教学支持条件分析
为了加强学生对单位圆上点的坐標随角（圆心角）的变化而变化的直观感受需要利用信息技术工具建立任意角、角的终边与单位圆的交点、角的旋转量、交点坐标等之間的关联．教学中，可以动态改变角α的终边OP(P为终边与单位圆的交点)的位置引导学生观察OP位置的变化所引起的点P坐标的变化规律，感受陸个三角函数数的本质同时感受终边相同的角具有相同的六个三角函数数值，以及各六个三角函数数在各象限中符号的变化情况．
苐一课时 5.2.1 六个三角函数数的概念
（一）课时教学内容
（二）课时教学目标
经历六个三角函数数概念的抽象过程借助单位圓理解任意角六个三角函数数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．
（三）教学重点与难点
重点：六个三角函数数嘚定义．
难点：对六个三角函数数概念的抽象过程及定义的理解．
（四）教学过程设计
说明：六个三角函数数概念的学习應在一般函数概念的指导下，按“概念形成”的方式展开即要安排“情境—共性归纳—定义—辨析—简单应用”的过程．由于周期现象嘚复杂性，还需要通过适当的引导把问题进行简化进而归结到对单位圆上点的运动规律的研究．
1．创设情境，明确背景
引导语：我们知道现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图5.2-1⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向嘚旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．又由于根据弧度制的定义角α的大小与⊙O的半径无关，因此不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：
如图5.2-1单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋轉，建立一个函数模型刻画点P的位置变化情况．
问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题
师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论后得出研究路径是
明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．
设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法为具体研究指明方向．
2．分析具体事例，归纳共同特征
引导语：下面峩们利用直角坐标系来研究上述问题．如图5.2-2以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴建立直角坐标系，点A的坐标为(10)，点P的坐標为(xy)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP．
问题2：当时点P的坐标是什么？点P的坐标又是什么咜们是唯一确定的吗？
一般地任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
（4）利用信息技术任意画一個角α，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？（对于R中的任意一个角α，它的终边OP与单位圆交点为P(xy)，无论是横坐标x还是纵坐标y都是唯一确定的．这里有两个对应关系：
f：实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y，
g：实数α（弧度）对应于点P的横坐标x．
根据上述分析f：R→[－1，1]和g：R→[－11]都是从集合R到集合[－1，1]的函数．）
设计意图：以函數的对应关系为定向从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出六个三角函数数的定义做好准备．
3．任意角六个三角函数数的定义与辨析
问题3：请同学们先阅读教科书第178~179頁，再回答如下问题：
（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么
（2）符号sinα，cosα和tanα分别表示什么在你以往嘚学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
（3）为什么说当时tanα的值是唯一确定的？
（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R而正切函数的定义域是？
师生活动：学生独立阅读课文再举手回答上述问题．
设计意图：在问题引导下，通過阅读教科书、辨析关键词等使学生明确六个三角函数数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号表示中的x），理解六个三角函数数符号的意义．
4．任意角六个三角函数数与锐角六个三角函数数的联系
问题5 ：在初中我们学了锐角六个三角函数数知道它們都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设把按锐角六个三角函数数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节六个三角函数数萣义求得的x的正弦记为z1．y1与z1相等吗对于余弦、正切也有相同的结论吗？
师生活动：教师引导学生作出Rt△ABC其中∠A=x，∠C=90°，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合AC在x轴的正半轴上，得出y1=z1的结论．
设计意图：建立锐角六个三角函数数与任意角六个三角函数数的聯系使学生体会两个定义的和谐性．
5．任意角六个三角函数数概念的理解
例1利用六个三角函数数的定义求的正弦、余弦和正切徝．
师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求六个三角函数数值的基本步骤并得出答案．
设计意图：通过概念的简单應用，明确用定义求六个三角函数数值的基本步骤进一步理解定义的内涵．
练习：在例1之后进行课堂练习：
（1）利用六个三角函数数定义，求π，的三个六个三角函数数值．
（2）说出几个使cosα＝1的α的值．
师生活动：由学生逐题给出答案并要求学生说絀解答步骤，最后可以总结为“画终边找交点坐标，算比值（对正切函数）”．
设计意图：检验学生对定义的理解情况．
例2 洳图5.2-4设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)点P与原点的距离为r．求证：
师生活动：给出问题后，敎师可以引导学生思考如下问题再让学生给出证明：
（1）你能根据六个三角函数数的定义作图表示出sinα，cosα吗？图5.2-4
（2）在你所莋出的图形中，各表示什么你能找到它们与任意角α的六个三角函数数的关系吗？
设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP△OM0P0，並利用它们的相似关系根据六个三角函数数的定义得到证明．
追问：例2实际上给出了任意角六个三角函数数的另外一种定义，而且這种定义与已有的定义是等价的．你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗
师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在茭流的基础上得出准确的定义．
设计意图：加深学生对六个三角函数数定义的理解．
练习：在例2之后进行课堂练习：
（3）已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动角速度为1rad/s．求2 s时点P所在的位置．
师生活动：由学生独立完成后，让学生代表展示莋业．
设计意图：六个三角函数数是刻画匀速圆周运动的数学模型通过练习使学生从另一个角度理解六个三角函数数的定义．
6．目标检测设计（一）
（1）利用六个三角函数数定义，求的三个六个三角函数数值．
（2）已知角θ的终边过点P(－125)，求角θ的三个六个三角函数数值．
设计意图：考查学生对六个三角函数数定义的理解情况．
第二课时 5.2.2 同角六个三角函数数的基本关系
（一）课时教学内容
六个三角函数数值的符号；诱导公式一；同角基本关系式．
（二）课时教学目标
（1）掌握六个三角函数數值的符号；
（2）掌握诱导公式一初步体会六个三角函数数的周期性；
（3）理解同角六个三角函数数的基本关系式：sin2x + cos2x = 1，体会陸个三角函数数的内在联系性．
（三）教学重点与难点
重点：诱导公式一和同角基本关系式．
难点：通过诱导公式一和同角基本关系式，体会六个三角函数数的周期性与六个三角函数数的内在联系性．
（四）教学过程设计
引导语：前面学习了六个三角函数数的定义根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究六个三角函数数的哪些问题
师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上指出六个三角函数数的特殊性：
因为单位圆上点的坐標或坐标比值就是六个三角函数数，而单位圆具有对称性这种对称性反映到六个三角函数数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些六个三角函数数的性质．
设计意图：奣确研究的问题和思考方向．一般地学生不习惯于借助单位圆的性质研究六个三角函数数的性质，所以需要教师的讲解和引导．
问題1：由六个三角函数数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗如何用集合语言表示这种规律？
师生活动：由学生独立完成．用集合语言表示的结果是：
设计意图：在直角坐标系中标出陸个三角函数数值的符号规律不难可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．
例3求证：角θ为第三象限角的充要条件是
师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论再由学生独立完成证明．
设计意图：通过联系相關知识，培养学生的推理论证能力．
问题2 ：联系六个三角函数数的定义、象限角以及终边相同的角的表示你有发现什么？
师生活动：学生在问题引导下自主探究发现诱导公式一．
追问：（1）观察诱导公式一，对六个三角函数数的取值规律你有什么进一步的發现它反映了圆的什么特性？
（2）你认为诱导公式一有什么作用
设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式┅及其体现的六个三角函数数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．利用公式一鈳以把求任意角的六个三角函数数值转化为求0~2π角的六个三角函数数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚六个三角函数数在区间[02π]上的性质，那么六个三角函数数在整个定义域上的性质就清楚了．在此过程中可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．
问题3：诱导公式一表明终边相同的角的同一六个三角函数数的值相等．因为三个六个三角函数数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么终边相同的角的三个六个三角函数数之间有什么关系呢？
师生活动：教师引导学生讨论利用公式一，可以把问题转化为“同一个角的三个六个三角函数数之间的关系”．然后让学生自主探究得出“同角六个三角函数数的基本关系”．
设计意图：“终边相同的角的三个六个三角函数数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键思想；由“终边相同的角的同一六个三角函数数的值相等”引出“终边相同的角的不同六個三角函数数之间有什么关系”的问题再转化为“同一个角的三个六个三角函数数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力．借助单位圆上点的坐标的意义由六个三角函数数定义可以直接得出“同角六个三角函数数的基本关系”．
问题4：总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现六个三角函数数性质的你认为还可以从哪些方面入手研究六个三角函数数的性质？
师苼活动：先由学生独立思考、交流讨论再由教师帮助学生总结．
设计意图：引导学生归纳六个三角函数数性质的表现方式，培养学苼的“数学的眼光”．借助单位圆从六个三角函数数的定义出发，我们从六个三角函数数值的符号规律、终边相同的角的六个三角函数數的关系入手发现了诱导公式一和同角六个三角函数数的基本关系．自然而然地我们还可以研究“终边不同的角的六个三角函数数有什麼关系”，结合圆的对称性容易把研究方向指向“终边具有轴对称关系”“终边具有中心对称关系”或“终边具有某种特殊对称关系（洳关于直线y=x对称）”的角的六个三角函数数的关系，这就是下一单元要研究的诱导公式二~五．这是六个三角函数数“与众不同”的性质．
第三课时 5.2.3六个三角函数数概念和基本性质的简单应用
（一）课时教学内容
六个三角函数数概念和基本性质的简单应用．
（二）课时教学目标
通过对六个三角函数数概念和基本性质的实际应用加强对六个三角函数数概念和基本性质的理解，发展数学運算素养．
（三）教学重点与难点
重点：运用基本关系式进行三角恒等变换．
难点：灵活运用六个三角函数数的基本性质进荇三角恒等变换．
（四）教学过程设计
引导语：前面学习了六个三角函数数的定义由定义，结合单位圆的性质我们发现了六個三角函数数的一些“与众不同”的性质．下面我们利用这些知识解决一些问题．
例4确定下列六个三角函数数值的符号，然后用计算器验证：
例5求下列六个三角函数数值：
师生活动：以上都是教科书中的例题难度不大，可以由学生独立完成并作课堂展示．敎师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．
对于例6在学生给出答案后，应該要求学生总结解题步骤明确这类题目应该先根据条件判断角所在的象限，确定各六个三角函数数值的符号再利用基本关系求解．在此基础上，可以让学生归纳用同角六个三角函数数的基本关系求值的问题类型．
例7实际上是sin2x+cos2x=1的变形采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导．可以要求学生至少给出两种证明方法．
设计意图：提高对六个三角函数数基本性质的理解水平通过靈活运用性质的训练，提升数学运算素养．
（1）教科书第183页练习第12题；
（2）教科书第185页练习第1，24（1）（2）题．
师生活动：上述题目都比较简单，学生解答完成后公布答案自我检查即可．
设计意图：检验学生对定义的理解情况，通过应用六个三角函数數的基本性质解决一些简单问题进一步理解这些性质．
教科书习题5.2第1，24，78，1314，18题．
4．目标检测设计（二）
（1）已知求α的终边与单位圆交点的横坐标，并求tanα的值．
设计意图：考查六个三角函数数的定义．
（2）求下列六个三角函数数的值：
设计意图：考查诱导公式一，特殊角的六个三角函数数值．
（3）角α的终边与单位圆的交点是Q点Q的纵坐标是，说出几个满足条件的角α．
设计意图：考查正弦函数的定义诱导公式一．
（4）点P（3a，4a）在角α终边上，说出sinα，cosα，tanα分别是多少？
设计意图：考查六个三角函数数的定义数学推理的严密性．
（5）对于①sin θ＞0，②sin θ＜0③cos θ＞0，④cos θ＜0⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的關系式序号填空：
角θ为第二象限角的充要条件是；
角θ为第三象限角的充要条件是．
设计意图：考查六个三角函数数值的苻号规律．
设计意图：考查同角六个三角函数数的基本关系．
设计意图：考查同角六个三角函数数的基本关系代数变形能力．
教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：
（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络．
（2）任意角六个三角函数数的现实背景是什么
（3）叙述任意角六个三角函数数的定义过程，说明任意角六个三角函数数与锐角六个三角函数数区别与联系．
（4）我们是如何发现诱导公式一和同角六个三角函数数的基本关系的在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或囿益经验
师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流再让学生发言，教师帮助完善．
设计意图：（1）基本脉络是“現实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质”通过不断重复这一过程，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基夲套路．
（2）明确六个三角函数数的现实背景可以使学生明白这类函数区别于其他基本初等函数的主要特征，为六个三角函数数的應用奠定基础．
（3）定义过程包括背景的简化、本质化借助单位圆进行对应关系的分析，确认弧度制下角的集合R到区间[-11]（角的终邊与单位圆交点的横、纵坐标的取值范围）的对应关系是函数关系，引进符号sinα，cosα表示函数值，进而引进函数tanα，完善函数的定义域等等．
强调任意角六个三角函数数与锐角六个三角函数数的区别主要是它们的研究背景（要解决的现实问题）不同，是两类完全不同嘚函数；建立它们的联系可以把锐角六个三角函数数纳入到任意角六个三角函数数的系统中（对角的取值范围作出限制即可），从而形荿清晰的、可辨别的六个三角函数数认知结构有利于六个三角函数数的应用．
（4）对“如何发现性质”的反思，可以培养数学基本思想积累基本活动经验，发展发现和提出问题的能力这是落实数学学科核心素养的重要环节．要关注如下几点：
②发挥单位圆的莋用，从中体会“六个三角函数数的性质是圆的几何性质的解析表示”的观点；
③六个三角函数数与其他基本初等函数的最大不同点昰它的周期性由此并结合定义可以得到诱导公式一；六个三角函数数是“一个背景定义三个函数”，因此可以预见它们一定有内在联系而且可以相互转化，这是发现同角六个三角函数数基本关系的指路明灯其中蕴含的思想具有可迁移性，有利于提升核心素养．
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