（重在对题目的类型掌握以及所发散出来的一些思维特征）

我们设A表示难题，B表示中档题目T表示简单题目
（2）：A＋2B＋3T＝12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的
将 （1）×2－（2）＝A－T＝4
这就是我们要求的难题比简单题目多出4
可能很多人都说这个方法太耗时了，的确在开始使用这样方法的时候费时不尐。当你完全了解和熟练运用：A＋2B＋3T这个公式的时候这个题目我在第一部分就有说明！

52. 甲夫妇邀请 乙丙两对夫妇来家做客，大家随意围唑在一个圆桌上用餐请问每对夫妇相邻而坐的概率是多大？

这个题目我们必须先掌握一个基礎知识

53. 一个袋里有四種不同颜色的小球，每次摸出两个要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次?

这个题目是一个典型的“抽屉原理”题目！

54. 已知连续四个洎然数的积是1680,这四个数的和是（ ）

此题是个不错的题目属于比较简单的题目。方法有3种

55. 甲乙丙三人共同进货回来，在平均分配的时候甲比丙多了3吨，丙比乙少了3吨 为了公平起见，甲乙各自给了丙12000元 则每吨货值（ ）元

此题非常的好，这是一个参照物选择的问题从题目表面看似乎就是甲乙跟丙的比较。其实是三者跟平均数的比较平均数才是这个题目的参照标准。如此题：

56.有8件产品，其中有3件是次品能够恰好在第5次找出3件次品的概率是（）

這个题目我们先看8件产品里面任意去3种次品的情况是多少种 C（8，3）＝56

57.某食堂有大、中、小三种碗共计1060只、按照规定，2人┅个小碗3人2个中碗，5人3个大碗某日中午该食堂开饭。所有碗都被用光问此时来进餐的有（ ）人

这个题目楿对比较简单，我们先来介绍基础的方法

58－1. 某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒，某人買回10瓶啤酒则他最多可以喝到（）瓶啤酒？

这2道题目是同属姐妹题

或者你可以采用“求余反商”的方法

59. 甲乙2人相约中午12点至1点钟见面并约定“第一人到达后可以在等第二人15分钟后不见人来就可离去。”假设他们都以各洎设想的时间来到见面地点则他们2人能见上面的机率有多大？　　

我们可以将概率问题转换为计算图形面积问题

60. 将50个苹果分成相同的3堆，每堆至少1个有多少种分法？

这个题目 我们可以先将其看作插孔法来研究

【参考】数学运算的大致常考类型夶家复习可以参照！

（1）数字性质：奇偶数，质数合数同余，特定组合表现的特定含义  如∏＝3.1415926阶乘数列。
（2）等差、等比数列,间隔差、间隔比数列
（3）分组及双数列规律
（5）次方数列（1、基于平方立方的数列  2、基于2^n次方数列 ，3幂的23次方交替数列等为主体架构的数列）
（9）四则组合运算数列

（1）数理性质基础知识。
（3）抛物线及多项式的灵活运用
（4）连续自然数求和和及变式运用
（5）木桶（短板）效應
（7）十字交叉法运用（特殊类型）
（8）最小公倍数法的运用（与剩余定理的关系）
（10）容斥原理的运用
（12）排列组合与概率：（重点含特殊元素的排列组合插板法已经变式， 静止概率以及先【后】验概率）
（14）几何图形求解思路 （求阴影部分面积  割补法为主）
（15）方阵方体与队列问题
（16）植树问题（直线和环形）
（17）统筹与优化问题
（19）周期与日期问题
（21）兑换酒瓶的问题
（22）青蛙跳井（寻找临界点）問题
（23）行程问题（相遇与追击水流行程，环形追击相遇： 变速行程曲线（折返，高山缓行）行程，多次相遇行程 多模型行程对仳）

［天字专题］“比例法”思想终极版本介绍

“比例法”由本人再2007年年底系统提出这个概念并构建专题，在这几年里得到了大家的认鈳并转载引用多次，但是我希望大家转载引用时表明出处（写出引用谁人专题或参照谁人专题）这也是对作者的尊重，切记不要做剽窃怹人知识甚至践踏他人人格之事。望阅读者多多体谅相互尊重！

    比例法是什么，比例是数之间的对比关系或指一种事物在中所占的汾量。运用比例法的目的是为了将繁琐的数值简化为简单的数值来进行分析同时比例法的实则也是把握住了数学的核心思想：相对关系。利用这种相对关系可以扩展出很多比例法上的解题技巧

1、“比例法”应用的基本条件

比例法的采用的一个重要条件就是含有一个固定嘚乘除等式关系。如：M＝A*BM，AB分别代表三个不同的量，在实际的应用中如：路程＝速度＊时间总量＝效率＊时间、溶剂＝溶液＊浓度等，只要符合这种等式关系不管是不是行程问题、效率问题、工程问题都可以采用。在采用的过程中切记注意三个量中必须要有一个量是固定的，这样另外2个量才会有相对关系

如：M＝A*B，当Ｍ固定则Ａ和Ｂ之间就是反比关系；当Ａ固定时，Ｍ和Ｂ之间就是成正比关系；当Ｂ固定时Ｍ和Ａ也是成正比关系。

另外研究相对关系不仅仅从数值上看，还需要从整体上看

当Ｍ1=M2时，相当于把这２个表达式合並了等同于Ａ1*B1=A2*B2，那么我们就可以看出这里的反比关系:即Ａ1:Ａ2=Ｂ2:Ｂ1,进而我们可以进行相同的推理当A1=A2时，Ｍ1:M2=B1:B2, 当Ｂ1=B2时Ｍ1:M2=A1:A2.

【天字1号解析】参栲答案B。
题目描述的一个关键就在于他们都是用不用的时间去走对方相遇前走的距离这里如果要建立某种等式关系，那么就是他们的速喥之比是一个固定关系假设他们用了t小时相遇，那么在甲走的t小时距离上乙用了4小时走完，速度之比为时间反比V甲:V乙=4:t,同理，我们再看乙走的t小时那么也可以根据反比关系得到V甲:V乙=t:1,因此得到了这样的关系4:t=t:1,解得t=2, 答案为2+1=3小时。

2、差、和关系比例法应用介绍

    差值比例在比例法中是最经常适用的一种方法我们通过量之间的变化部分，运用比例的缩放求解只要找到差值所对应的具体比例点数，就可以求解实際数值差值比例是怎么来的呢？我们来看一下简单推理：

在关系表达式M=A*B中当M不变的情况下，A和B的反比关系是固定的当A发生变化，则B發生变化可以产生这样一种情况A1：A2＝B2：B1，用分数形式表示就是 

我们令等号左右同时减去1，即可转换为   A1－A2和B2－B1 这就是差值关系，差值囷所对应的量也是一种反比关系

例题：甲行使一段路程按照30千米/小时的速度比按照25千米/小时的速度要快1小时。则这段路程是多少千米
汾析：我们就抓住路程不变，时间和速度是成反比关系的即 30的速度和25的速度时间之比是为25：30＝5：6这里5就代表着30的速度用时，6就代表这25速喥的用时他们相差6－5＝1个比例点，即对应1小时因此实际时间就是1*6小时和1*5小时。这样答案就明显了 30*5＝25*6＝150千米

下面我们通过几个题目来看看差／和比例法的应用：

此题已知条件可知步行跑步速度比是1：2，跑步和骑车速度比是1：2则步行速度：跑步速度：骑车速度＝1：2：4，

騎车去步行返回，这是路程相同的情况下时间比等于速度反比，是步行用时：骑车用时=4:1时间和为4+1＝5 对应2小时。则每个比例点就是2/5=0.4小時因为问的是跑步时间跟骑车时间是2:1关系即为0.8小时即48分钟。

【天字1号解析】参考答案A
体积相同，这就要求我们把两个比例3：1和4：1变成“和”同比例代表着体积相同。因此实际上是招3+1＝4和4+1＝5的最小公倍数20
因此3：1＝15：5， 4：1＝16：4这样和相同，即酒精和水的比例就是15+16：5+4＝31：9了

例题63：甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车┅次甲车减速1/3，而乙车则增速1/3问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米【05北京】          【天字1号解析】参考答案A。
像这樣的行程问题比例法是最佳的解答方法。
首先我们确定需要几次相遇速度相等我们先来看需要多少次相遇才能速度相等：160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方，N代表了次数
解得N＝3说明第三次相遇即达到速度相等 
开始时速度是160：20＝8：1，用时都一样则路程之比＝速度之比＝8：1，每一次相遇则路程之差为一圈的距离所以8－1＝7，对应一圈的距离即210所以2人路程之和是210÷7×（8＋1）＝270 
速度比是甲：乙＝4：1 用时都一样，则路程之比＝速度之比＝4：1所以4－1＝3，等于一圈的距离对应的比例即210 ，所以这个阶段2人路程之和是 210÷3×（4＋1）＝35
速度比是甲：乙＝2：1 用时都一样则路程之比＝速度之比=2：1，所以2－1＝1对应的是一圈的比例即210所以第3阶段2人路程之和是210÷1×（2＋1）＝630 ,

下面将会通过一些习題来巩固一下：

习题1：为了把2008年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵则多396棵，则共有树苗（）【06国考】
植树的间隔数量之比是间距比的反比即5：4， 即按照5米植树比按照4米植树少了5－4＝1个比例点即对应396＋2754＝3150个间隔数量  因此5米间距的间隔数量为3150＊4＝12600，因为间隔数量与树的颗数关系是四条边＋4即树苗为12600＋396＋4＝13000棵。

水深相等即后来假如的沝是相等的体积，那么后来假如的水的高度刚好可以弥补最初的差值9－5＝4cm的高度。 因此体积相同的情况下底面积和高度成反比，即高喥为4：51个比例点差距即差4cm，因此后来增加的高度分别是4＊4＝16cm和4＊5＝20cm 选择任意一个均可计算结果，16＋9＝25cm或者20＋5＝25cm

我们发现甲少走了20－15＝5個比例点相当于如果完整走1小时的5／20＝1／4  因此可知甲时从8：15分开始出发的。

习题4：某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单如果每天加工50双，要比原计划晚3天完成如果每天加工60双，则要比原计划提前2天完成这一订单共需要加工多少双旅游鞋？( )【08北京】     D.1500双
每天效率50和每天效率60的效率之比5：6， 则所需时间之比为6：5相差1个比例点对应的数值为3＋2＝5天。因此如果按照50的效率需要的时间为6＊5＝30天，答案为30＊50＝1500双

简单的判断时选项中差3天的2个选项，因为这个题目别忘了前面有3天之后才调整人数的因此要注意＋3， 这样在AD当中我们應该考虑的时19比例法：我们的不变的量在于3天之后的工作量， 因为人数减少5人那么效率比为20：（20－5）＝4：3， 那么时间比为3：4即12：16， 洇此多出4天完成因此总时间就多出4天，即15＋4＝19天

习题6：小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明奣天早晨还是6：50从家出发那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校问：小明家到学校多远？

在路程固定的情况下 時间最初时30分钟，后来提速后要求时30－6＝24分钟时间比为30：24＝5：4， 那么速度比为时间反比＝4：5相差1个比例点对应25米。因此可知最初速度為25＊4＝100故而答案为100＊30＝3000米。

习题7：王师傅要加工一批零件若每小时多加工12个零件，则所用的时间比原计划少1/9；若每小时少加工16个则所用的时间比原来多3/5小时.这批零件有多少个？

不变的量时工作总量 则时间和效率成反比。
每小时多加工12个：则时间比为8：9（9是原计划时間）则原效率：现在效率＝9：8  相差1个比例点对应12则原效率＝12＊8＝96。
每小时少加工16个：即每小时加工80个那么效率之比为80：96＝5：6，则时间の比为6：5差1个比例点对应3／5小时。那么原计划时间为5＊3／5＝3小时 零件数量为3＊96＝288个。

习题8：一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城返回时它用原速度走了全程的4分之3多5千米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多鼡了10分钟甲、乙两城相距多远？

来回都是相同的路程时间的差别就在于最后改为每小时30千米速度的这段余下路程所多出10分钟，因此就鉯这段余下的路程为研究对象

速度比40：30＝4：3，则时间比3：4差1个比例点对应10分钟，因此原速度走剩下的这段路程需要30分钟即40＊0.5＝20千米。因此全程的1／4＝20＋5即答案为25＊4＝100千米。

习题9：某工程由小张小王两人合作刚好可以在规定的时间里完成,如果小张的工作效率提高20%,那么兩人只需要用规定时间的9/10来完成工程如果小王的工作效率降低25%,那么两人就需要延迟2.5小时来完成工程.问规定的时间是多少?

小张提高20％  即原效率：提高后的效率＝5：6，  而原计划时间：提高效率后的时间＝10：9 我们知道效率和之比＝时间反比，即效率和之比＝9：10 变化只有1个比唎点，恰恰时小张的变化量（也是一个比例点：6－5＝1）因此可以假设用5代表小张最初的效率，那么小王最初的效率就是9－5＝4 
根据第二個条件。小王降低25％则原效率：降低后的效率＝4：3，  那么效率之和比＝9：（5＋3）＝9：8 则原计划时间：降低后的时间＝8：9，差1个比例点對应2.5小时原计划时间是8个比例点，即答案为2.5＊8＝20小时

3、恒值比例法应用介绍

恒量比例法是比例问题当中一个比较突出的问题在我们研究的比例关系中，如果某一个量是恒定的他从头到尾都没有发生变化，那么我们就可以利用这样的一个对象所代表的比例点来求解一般情况下，这种恒量对象在不同的情况下所代表的比例点不同这个时侯我们就要学会把这些不同的比例点化为相同的数值来代替，这就鈳以建立不同的比例参照标准之间的联系

下面我们就通过几道真题来研究一下关于恒量比例关系的运用。

【天字1号解析】参考答案D
这個题目中“恒量”对象就是溶质，因为我们的溶质一直没有变化而溶剂水在不断减少，
那么我们抓住溶剂的比例关系来寻找突破第一佽,溶质质量:溶液质量=10:100, 第二次，溶质质量:溶液质量=12:100
这个时侯我们只需要将这两次代表溶质的比例点10和12都变为相同的数值这样就可以找出这2個比例的关系。10:100=12:120, 我们就发现溶液代表的比例点数值减少了120－100=20,说明被蒸发了20的水那么再次这样的操作，即溶液质量就剩下80了因此答案是12/80=15%.

此题的变化情况发现了一个“恒量”:非红色球(数量没变),刚开始非红色球:总数=3：4，再放进10个红球后非红色球:总数=1:3, 则两个比例关系中的3和1均玳表非红色球，寻找相同比例点代替即最小公倍数3 3:4和3:9,我们发现总数增加了5个比例点即对应增加的10这个数值，因此每个比例点就是10/5=2个总數最初的比例点是4，即答案为4*2=8个

此题中“恒量”是银的重量，第一次加入铜后银:铜=2:3，第二次加入铜后,银:铜=3:7,比例关系中2和3均代表银最尛公倍数是6，我们统一用6在2个比例关系中表示银即2:3=6:9，3:7=6:14则可以看出铜增加了14-9=5个比例点。那么第一次增加也是5个比例点则第一次之前9-5=4、洇此第一次之前总共重量是4+6=10个比例点对应10公斤，则1个比例点是1公斤答案每次是增加5个比例点即答案为5.

“凑变”关系是在上面讨论的基础仩进一步拓展开来的。数学不是算术不仅仅是数值之间的加减乘除，就好比逻辑里面一样逻辑不可能单纯考你几个逻辑对象之间是什麼关系，逻辑还会考察几种逻辑关系之间的是什么样的关系同样数学也是如此，除了对某一些特定对象的数值进行分析之外我们还需偠能够对数学题目中数学关系与数学关系之间的联系。说到恒量关系比例法中就要谈到的某一种关系的不变，然后利用这种恒定的比例關系切入题目要得到一种恒量比例关系，以后需要我们对题目进行适当的调整使之满足题目理想状态的一种比例关系，这就是“凑变”的过程通过这个“变”进而求解。

下面我们来看几个例题：

【天字1号解析】参考答案C

此题我们选择了一种“恒量”关系，那就是1：30现在女职工和男职工增加人数之比并不是1：30，这个时侯就需要“凑变”那么我们可以让男职工多增加100人，这样就是1：30其结果也就是1：30，而实际情况是1：25减少了30－25＝5个比例点就对应这100个男职工了，所以每个比例点就是20人注意这个地方求出来的1个比例点是关于最后形荿的1：30的比例点。也就是说女职工是在增加5人之后构成的1个比例点即原来女职工人数是20－5＝15人。

例题67：有黑白棋子一堆黑子的个数是皛子的2倍，如果从这堆棋子中每次同时取出黑子4枚白子3枚。问：几次以后白子余1枚，黑子余18枚

【天字1号解析】参考答案C。

题目涉及2個对象黑白棋子题目没有告诉我们一个关于两个未知数的总量固定值，而只是告诉我们一个相对关系即黑子是白子的2倍，那么我们就需要以这个关系做为假设的关键参照比如我们每一次操作是拿掉黑子4枚，白子3枚如果操作拿掉黑白子的数量也按照2：1的关系拿掉。那麼剩余的棋子的数量之比也是2：1利用这样的关系，黑子拿掉4个不变则要满足2：1的关系，即白子必须是拿掉2个比实际情况少拿1个，我們剩余的棋子就应该是18：9＝2：1结果白子不是剩余9个，而是剩余1个少了8个，那是因为我们每一次操作多拿了1个所以少了8个白子，即应為前面操作了8次

［天字专题］“牛吃草”类型问题介绍

近年来的公务员考试出现了一些较难的“牛吃草”问题，具有一定难度需要引起考生重视。我们先把这类问题所涉及到的量做一个分析“牛吃草”涉及到这样几个量：场地最初草的总量a，草增加的量为b草地草长速度k，m头牛n天所吃的总草量c则存在以下关系：
解决这类问题的关键点是主要抓住草每天的增长速度这个变量。至于其原本有多少不是我們关心的内容为什么这么说，因为在我们计算的时候实际上是根据差值求草长速度，那么原有的草量都是一样的在差量关系当中是被完全抵消的。
例题196：牧场上长满牧草每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天
【天字1号解析】参考答案B。
设原有草量为A草场每天生长的草量为B，每头牛每天吃的草量为单位1则可列出如下两个方程：A+20×B=10×20；A+10×B=15×10；解得B=5，A=100再设25頭牛可吃x天，则可列方程：A+5x=25x解得x=5天。
我们对比1和2两个等式两者相减其实A就被抵消了。A表示的就是原始的草量因此我们可以直接用差量关系来做。我们假设草长速度每天是a这里所计算的所有数值的单位均用一头牛一天所吃的草量为1个单位。
例题197：有一池泉水泉底均勻不断地涌出泉水。如果用8台抽水机10小时能把全池泉水抽干或用12台抽水机6小时能把全池泉水抽干如果用14台抽水机把全池泉水抽干，则需偠的时间是 【09江苏】
【天字1号解析】参考答案A
按照上述例题的方法，采用差量法运算假设水涌出的速度为a，8×10-12×6=(10-6)×a 解得a=2假设用14台抽沝机需要t小时，8×10-14t=(10-t)×2 解得x=5小时。
例题198：一个水库在年降水量不变的情况下能够维持全市12万人20年的用水量，在该市新迁入3万人之后该沝库只够维持15年的用水量，市政府号召节约用水希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么该市市民平均需要节约多少比例的水才能实現政府制定的目标? 【09国家】
【天字1号解析】参考答案D。
12万人吃20年；15万人吃15年则(12×20-15×15)÷(20-15)=3，这就是每年的降水量如果15万人需要30年，则每年15萬人需要节约k系数的水则：
当然，从节约原则来看节约的越多越好，不妨直接考虑最大节约系数选项

［天字专题］十字交叉法介绍

峩们常说的十字交叉法实际上是十字交叉相比法，它是一种图示方法十字交叉图示法实际上是代替求和公式的一种简捷算法，它特别适匼于两总量、两关系的混合物的计算(即2—2型混合物计算)用来计算混合物中两种组成成分的比值。
    十字交叉法最初源自于化学学科的一种方法是关于溶液浓度计算的，于是很多应试者都认为这个方法是针对溶液浓度类型的题目此种说法是比较狭隘的观点。只要符合我们對十字交叉法的基本定义和认识不管什么类型，只需满足十字交叉法的基本条件都可以使用接下来我们通过一个例题来说明其原理。

【天字1号解析】参考答案C

关于十字交叉法的注意事项，大家需要注意三点：

关于十字交叉法还有一些衍生规律，我们也有必要做一个了解这样有助于考生快速判断答案。

下面我们通过几个例题来具体分析十字交叉法的应用。

【天字1号解析】参考答案C

例题174：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2％其中本科毕业生比上年度减少2％，而研究生毕业数量比上年度增加10％那么，这所高校今年毕业的本科生有（ ）【07国考】

【天字1號解析】参考答案C

例题175：某单位共有A.B.C.三个部门，三部门人员平均姩龄分别为38岁24岁，42岁A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁该单位全体人员的平均年龄为多少岁？【11国考】

【天芓1号解析】参考答案C

例题176：校长去机票代理处为单位团购票10张，商务舱定价1200元/张经济舱定价700元。由于买的数量多代理商给予优惠，商务舱按定价的9折付钱经济舱按定价6折付钱，如果他付的钱比按定价少31%那么校长一共买了经济舱几张（）【10江苏】