普通一元三次方程求根公式推导完整版求根公式推导过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-07 02:26 标签： 一元三次方程求根公式推导

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  一元三次方程求根公式推导求根公式完整推导过程

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一元三次方程求根公式推导的求根公式及其推导

为研究方便不妨设p.q不同时为0(p.q同时为0时方程很容易求解)，则当p?0时一定有181(81q2?12p3)?0。令??81q2?12p3则有以下结论：??81q2?12p3?0时，方程x3?px?q?0有唯一实数根??81q2?12p3?0时，方程x3?px?q?0有两个实数根??81q2?12p3?0时，方程x3?px?q?0有三个实数根
2.求根公式的推导：1）.实根式的推导：一元三次方程求根公式推导的求根公式由演绎推理是很难解出的，通常由归纳思维得到通过对一元一次，一元二次以及特殊┅元高次方程求根公式的归纳我得到了一元三次方程求根公式推导的求根公式应为x?A?B的形式。其中A，B为两个待定的代数式下面的笁作就是设法求出A，B由于x?A?B，故x3?(A?B)3?A3?B3?3AB(A?B)?A3?B3?3ABx即有x3?3ABx?(A3?B3)?0。对比x3?px?q?0?3可令???3AB?p?，即???AB??p?33p3,??AB??27??(A3?B3)?q??A3?B3??q??A3?B3??q易知，AB3为一元二次方程a2?qa?p3327?0的两根。若判别式q2?4(?p3127)?81(81q2?12p3)?0??a?9q?81q2?12p3则有?1??18??9q?23。
??a81q?12p2?18?A?3a?13?108q?1281q2?12p3如果不考虑AB顺序，则有?1?6??B?3a132?6?108q?1281q2?12p3若判别式q2?4(?p3127)?81(81q2?12p3)?0虽然我们清楚方程有二或三个实数根，但却又无法直接解出（等于零时只能解出一个小于零时会出现虚数）。故由以上方法只能导出有一个实数根的方程的求根公式为：

当方程有二或三实數根时，我们需另辟一条求根路径考虑到角函数三倍角公式与一元三次方程求根公式推导有很大的相似性，故我们可由角函数三倍角公式作线性变换从而得到一元三次方程求根公式推导的求根公式。研究之初我选择的是余弦三倍角公式。
余弦三倍角公式：cos3??4cos3??3cos?,若将cos3?看作已知量cos?看作未知量x，则上述等式可化为方程4x3?3x?cos3??0
由于cos3??cos(3??2k?)，故x?cos3??2k?3?cosarccos3??2k?3(k?0，12)。对于方程x3?px?q?0可令X?Ax，另设有非零实数B使得qB?1，则上述方程可化为(AX)3pB?(AX)B?qB?1即A3pAB?X3?B?X?qB?0。对比4x3?3x?cos3??0?可令?A3???4?B，得??A?2?3p??A??2?3p?pA?3?3???B??3?B??2p?3p或??2p?3p?9??B?9不妨取第一组解（当然，取第二组也未尝不可）则cos3???q9qB?2p?3p，因此X?cosarccos3??2k?3?cos??1??9q???arccos?2k???3??2p?3p????，?x?AX?23?3pcos??1???arccos9q?2???k?0,1,2??3??2p?3pk????????上式成立的条件为?p?0?9q??，解得81q2?12p3?0?2p?3p1也正是当方程有二或三个实数根时上式成立。
因此得到方程有二或三个实数根时的求根公式：x2?1?i?3?3pcos??9q????k?0,1,2，i?k?1??3?arccos?2k???2p?3p????? 3

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