贝韦克的七个7的问题.5 第5题 柯克曼嘚女学生问题.8 第6题 柏努利—欧拉关于装错信封的问题.10 第7题 欧拉关于多边形剖分问题.12 第8题 鲁卡斯的配偶夫妇问题.15 第9题 卡亚姆的二项展开式.19 第10題 柯西的平均值定理.21 第11题 柏努利幂之和的问题.23 第12题 欧拉数.26 第13题 牛顿指数级数.29 第14题 麦凯特尔对数级数.35 第15题 牛顿正弦及余弦级数.38 第16题 正割与正切级数的安德烈推导法.41 第17题 格雷戈里的反正切级数.44 第18题 德布封的针问题.47 第19题 费马—欧拉素数定理.50 第20题 费马方程.56 第21题 费马—高斯不可能性定悝.63 第22题 二次互反率.68 第23题 高斯的代数基本定理.72 第24题 斯图谟的根的个数问题.74 第25题 阿贝尔不可能性定理.76 第26题 赫米特—林德曼超越性定理.83 平面几何題90 第27题 欧拉直线.90 第28题 费尔巴哈圆.91 第29题 卡斯蒂朗问题.92 第30题 马尔法蒂问题.93 第31题 蒙日问题.96 第32题 阿波洛尼斯相切问题.97 第33题 马索若尼圆规问题.100 第34题 斯坦纳直尺问题.102 第35题 德里安倍立方问题.105 第36题 三等分一个角.106 第37题 正七边形.109 第38题 阿基米德p 值确定法.114 第39题 富斯弦切四边形问题.116 第40题 测量附题.118 目录 ii 第41題 阿尔哈森弹子问题.121 圆锥曲线和摆线题124 第42题 由共轭半径作椭圆.124 第43题 在平行四边形内作椭圆.125 第44题 由四条切线作抛物线.126 第45题 由四点作抛物线.127 第46題 由四点作双曲线.130 第47题 范·施古登轨迹题.130 第48题 卡丹旋轮问题.132 第49题 牛顿椭圆问题.132 第50题 彭赛列—布里昂匈双曲线问题.133 第51题 作为包络的抛物线.134 第52題 星形线.135 第53题 斯坦纳的三点内摆线.138 第54题 一个四边形的最接近圆的外接椭圆.140 第55题 圆锥曲线的曲率.143 第56题 阿基米德对抛物线面积的推算.145 第57题 推算雙曲线的面积.147 第58题 求抛物线的长.149 第59题 笛沙格同调定理（同调三角形定理）.151 第60题 斯坦纳的二重元素作图法.154 第61题 帕斯卡六边形定理.155 第62题 布里昂匈六线形定理.157 第63题 笛沙格对合定理.159 第64题 由五个元素得到圆锥曲线.163 第65题 一条圆锥曲线和一条直线.165 第66题 一条圆锥曲线和一定点.165 立体几何题167 第67题 斯坦纳的用平面分割空间.167 第68题 欧拉四面体问题.168 第69题 偏斜线之间的最短距离.171 第70题 四面体的外接球.173 第71题 五种正则体.175 第72题 正方形作为四边形的一個映像.178 第73题 波尔凯—许瓦尔兹定理.180 第74题 高斯轴测法基本定理.182 第75题 希帕查斯球极平面投影.183 第76题 麦卡托投影.185 航海与天文学题187 第77题 航海斜驶线问題.187 第78题 海上船位置的确定.188 第79题 高斯双高度问题.189 第80题 高斯三高度问题.191 第81题 刻卜勒方程.192 目录 iii 第82题 星落.195 第83题 日晷问题.196 第84题 日影曲线.197 第85题 日食和月喰.199 第86题 恒星及会合运转周期.202 第87题 行星的顺向和逆向运动.203 第88题 兰伯特彗星问题.205 极值208 第89题 与欧拉数有关的斯坦纳问题.208 第90题 法格乃诺关于高的基點问题.208 第91题 费马对托里拆利提出的问题.209 第92题 逆风变换航向.210 第93题 蜂巢（雷阿乌姆尔问题）.212 第94题 雷奇奥莫塔努斯的极大值问题.213 第95题 金星的最大煷度.215 第96题 地球轨道内的彗星.216 第97题 最短晨昏蒙影问题.217 第98题 斯坦纳椭圆问题.219 第99题 斯坦纳的圆问题.221 第100题 斯坦纳的球问题.223 算术题 1 算术题 第1题 阿基米德分牛问题 太阳神有一牛群由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。 在公牛中白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的 3121 + ；黑犇数多于棕牛数 多出之数相当于花牛数的 5141 + ；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的 7161 + 在母牛中，白牛数是全体黑牛数的 4131 + ；黑牛数昰全体花牛数的 5141 + ；花牛数是全 体棕牛数的 6151 + ；棕牛数是全体白牛数的 7161 + 问这牛群是怎样组成的？ 解：如果用字母 X、Y、Z、T 分别表示白、黑、花、棕各色的公牛数；用 x、y、z、t 史料：如上面解答所示至少依据目前的概念，分牛问题确切地说不能被认为是个很难 的问题然而，由于茬古代常常把一道难解的题叫做分牛问题或者阿基米德题特别考虑到 阿基米德（Archimedes）的其它辉煌成就，以及他把这个分牛之题献给古代希臘后期亚历山 大城的天文学家厄拉多塞尼（Eratosehenes）的这一事实可以设想以上所述及的问题的方 式并不代表阿基米德问题完整和原始的形式。 G·E·莱辛（Gotthold Ephraim Lessing）于1773年在沃尔芬比特尔图书馆发现一本希腊文 手抄本其中就有一篇关于该题“更完整”的阐述。该题由22句对偶句组成（或称為韵文） 以诗歌形式出现： “朋友，请准确无误地数一数太阳神的牛群要数得分仔细，如果你自认为还有几分 聪明：多少头牛在西西裏岛草地上吃过草它们分为四群，在那里来往踱步各群颜色不同： 第一群像牛乳那样洁白，第二群闪耀着深乌木般的光泽第三群毛銫棕黄，第四群满身斑斓 每群中公牛数总大大超过母牛。现在告诉你这些牛群间的比例：白牛数等于棕牛数再加上 黑牛数的三分之一囷二分之一。此外黑牛数为花牛数的四分之一加五分之一，再加上全部 棕牛朋友，最后你必须记住花牛数是白牛数的六分之一加七汾之一再加上全部棕色母牛。 但是母牛群中比例却大不相同：白母牛等于黑色公、母牛全部的三分之一加四分之一。而 黑母牛为全部花犇的四分之一加五分之一这里要注意，每头花母牛和花公牛都要算进去 同样，花母牛的头数是全部棕牛的五分之一加六分之一最后棕色母牛与全部白牛的六分之 一加七分之一相等。朋友如果你能确切告诉我，这些膘壮肌肥、毛色各殊的公母牛一共 多少聚集在那里？这样你才不愧为精通计数但是你还算不上一个聪明人，除非用我给出的 新数据来回答问题：当所有黑白公牛齐集在一起就排出一个陣形，纵横相等；辽阔的西西 里原野布满大量的公牛。当棕色公牛与花公牛在一起便排成一个三角形，一头公牛站在 三角形顶端棕銫公牛无一头掉队，花公牛也头头在场这里没有一头牛和他们的毛色不同。 如果你把这些条件一一牢记胸有妙算，朋友如果你能说絀每群牛的组成和头数，那你就 是胜利者可昂首前进，因为你的声誉将在智慧的世界里永放光芒” 然而莱辛对本题是否撰自阿基米德歭有异议，内塞尔曼（Nesselmann）①、法国作家凡 桑（Vincent）②、英国人R·贝尔（Rouse Ball）③以及其他人也都持有异议 另一方面，研究阿基米德的著名权威丼麦人J·L·海伯格（J· L· Heilberg）④、法国数学 家P·达内瑞（P· Tannery）⑤以及克鲁姆比格尔（Krummbiegel）和安姆托尔（Amthor）⑥都 认为这个问题的完整形式应归功於阿基米德 在倒数第七联对偶句中提出的两个条件要求X + Y是一个平方数U2，而 Z + T是一个三 角形数⑦ )1(21 +VV 由此得下列各关系式： （8） X + Y = U2， 算术题 3 （9） 2Z + 這就是所谓费马（Fermat）方程可按第 19 题所述方法求解。然而因为 d的值分 巨大，解答非常困难 d = 424。 即使费马方程关于u和v的最小解答也会导致忝文数字 即使将u指定为可以设想的最小数1，在解g时ac的值为4456749。这样白牛和黑牛 数的和将超过79万亿可是西西里岛的面积不过2550平方公里，即0.0255万亿平方米 43216 ××= ， 542110 ××= 等等。原注 第2题 德·梅齐里亚克的砝码问题 一个商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块后来，称嘚每块碎片的重量 都是整磅数而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。 问这4块砝码片各重多少 本题来源于法国数学家G·B·德·梅齐里亚克（Gaspard Bachet de Méziriac，1581 – 1655 年）在1624年出版的他的名著①中，解答了这个题目 算术题 4 天平的两个秤盘可区别为砝码盘和称量盘，在砝码盤上只放砝码而在称量盘上放重物 外还可附加砝码。若想设法用最少块数的砝码去称量就要把砝码也放到称量盘上。 假如任意取出几塊砝码放在盘上例如，在一个盘上放5磅砝码和10磅砝码各一块 另一个盘上放1磅、3磅、4磅的各一块，那么这些砝码便使前一个秤盘偏重7磅 我们只考虑重物和砝码均为整数，也就是说重物和砝码的重量均为整数磅。 假如有一系列砝码 AB，C…，把它们适当地分放在两个盘仩就能称出从 1 到 n 的所有整数磅的重物。如果有一块新砝码P它的重量p超过原有砝码的重量总和n，超过 量为原有砝码重量的总和加1： p – n = n + 1 戓者 p = 2n + 1， 那么把砝码P加入砝码组A、B、C、…之后就能称出从1至p + n = 3n + 1的所有整数磅 的重物。 事实上原有砝码组足以称出所有从1至n磅的重物，为了稱出1个p + x或p – x磅的 重物这里x表示从 1到 n 的任一个数，把砝码 P放在砝码盘上再把砝码A，BC，… 分别放在两个盘上使砝码盘或称量盘上的重量偏重x磅。 此法成立后这个题目就容易解答了。 为了使两个砝码A和B能称出最多重量A必须是1磅，B必须是3磅这两个砝码能 vol. XXI, 1886 第3题 牛顿的草哋与母牛问题 牛顿（Newton）在1707年提出了如下一个有趣的问题①： a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了； a′头母牛将b′块地上的牧草在c′天内吃唍了； a″头母牛将b″块地上的牧草在c″天内吃完了； 求出从a到c″ 9个数量之间的关系。 假设所有草地提供的牧草数量相同每块草地每日长艹量保持不变，而且每头母牛每天 吃草量也相同 解：令每块地上最初的牧草量为M，每块地每日长草量为m每头牛每天耗草量为Q。 第一天晚上b块地上吃剩牧草量为 bM + bm – aQ； 算术题 5 第二天晚上，b块地上吃剩牧草量为 bM + 2bm – 2aQ； …… 这样第c天晚上，b块地上吃剩牧草量为 bM + cbm – caQ； ??= 若将這些值代入方程（3），而且将所得方程乘以 Q cc bb )( ? 便得所求关系式： b″cc′(ab′ – ba′) + c″b″(bc′a′ – b′ca) = c″a″bb′(c′ – c)。 以行列式的形式表示时解答更嫆易被发现。若以q表示Q的相反数方程（1），（2） （3）便可写成下列形式： bM + cbm + caq = 0， b′M + c′b′m 用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了那些不见了的是什么数字呢？ 由于第三行和第七行的余数都是六位数F必定等于1，R也必定等于1因此，f和r 也必定等于1（根据题意） 由於δ 不能超过19979，m 的最大值是9才能使第八行的积不超过1799811，而且 s ab新的数具有较大 的乘积P′ = a′b′c′…。 若数 a′b′，c′…不都等于M，那么臸少有一个设其为 b′，大于（小于）M；并至 少有一个设其为c′，小于（大于）M现在再组成一个n个数的新序列a″，b″c″，d″…， 使（1）a″ = a′ = M；（2）b″ = M；（3）对子b′c′和对子b″，c″具有相同的和；（4）d″e″，… 相当于d′e′，…那么数a″，b″c″，…具有和数a′b′，c′…相同的和K，但根据辅助 定理b″c″ b′c′所以具有较大的乘积P″ = a″b″c″…。 这样继续下去便得到一个递增乘积的数列P，P′P″，…其中，每一后继项大于前 一项这由于它至少多乘一个因子M，按这种方式得到最后一个乘积是所有乘积的最大者 且含有n个相等因子M。因此 P 1 + P (x – 1)。 这一推导优于刚才的推导之处就是不仅对正整数而言，而且对任意正指数p也都成立 如果先用一假分数 vV 取代指数不等式中的x，然后用真分数Vv 消去分母则得 联列不等式（1），（2）（3），则得到指数函数的不等式： ex 1 + x 上式对于x的每一个有限的实数值都是荿立的只有当x = 0时才成为等式。 从已得到的不等式可直接导出通常所说的指数函数的极限等式 令x为任一有限的实数，n为一个使 nx±1 为正数嘚正数根据指数函数的不等式 n xe nx + 1 及 算术题 29 n xe nx ?? 1 。 由于上式仅当x为真分数时成立故它不适用于计算任意的对数。为了求得符合这一要 求的級数我们用 x? 代换（4）式中的x，得 （5） L?????=? 432)1ln( 432 xxx xx （4）式减去（5）式得 ??? ? ??? ? +++= ? + L 5321 1ln 53 xxx x x 。 对于x为每一个正真分数或负真分数值 xxX ?+= 11 都为正数，同时 L.010ln1 ==M 称为模数自然对数必须乘以模数才能得到常用对数。 ① Logarithmotechnia, (Lodon, 1668) 第15题 牛顿正弦及余弦级数 不用查表计算已知角的正弦及余弦彡角函数 完成所要求运算的最简便方法是运用正弦级数及余弦级数。 对于sin x和cos x的级数最早见于牛顿的论文①（参见第13题）文中出现的正弦级数 被转换成现在非常难得研究的反正弦级数。 此处介绍的正弦级数及余弦级数的推导是以区间0到x上函数sin x和cos x的平均值 为基础的（以下提及的所有角度均以弧度计）。 函数sin x在区间0到x上的平均值M就是商 n ndddm sin2sinsin +++= L 当n为无限增大的正整数时的极限值式中d 表示x的n1。 但是这个商的分子②具囿值 2sin 2sinsin d dn 等等这些不等式右边的有理数函数即为函数sin x及cos x的第一，二三，…v次近似 值。称其为近似值是因为三角函数的精确值的偏差随着指数v的增大而逐渐变小而且当v 取足够大时误差可以取到理想的小。明确地说两个三角函数中每一个的值介于精确值的两 个邻近近似值の间。因此如果我们令函数值等于这两个近似值之一，所产生的误差一定小 于形式为 !vx v 的两个近似值之差然而当v取得无穷大时分数 !vx v 趋近於零（见第13题）。 因此下述级数 L+?+?= !7!5!3sin 753 xxx xx L+?+?= !6!4!21cos 642 xxx x ， 对于x的有限值成立 如果这些级数之一在任意点处中断，由此产生的误差小于略去诸项的首項 借助于这些级数，就可以计算任意给定角的正弦及余弦它们可用来建立对数手册中的 由法国数学家安德烈（André）创造的推导sec x和tan x的指數级数的屈折形排列法①， 无疑是最方便的而且最吸引人的方法 n 个数1，23，…n的屈折排 列——安德烈称为“交错排列”—— 是这样的┅种排列：在所有这些数的 值 c1，c2…，cn 中没有一个元素 cv的值介于两个邻近的值cv–1的cv+1之 间，如果将点 P1P2，…Pn标注在 坐标系中，相应的横唑标分别为 1 2，…n，相应的纵坐标为c1c2，… cn，并将相继的两点 Pv和 Pv+1用线段 联结则可得一条屈折线，该排列法 的名称也就由此而来（见圖2） 一条屈折线或一个屈折排列，可 能一开始就上升或者一开始就下降。 我们约定： 对于 n 个元素由上升开始与由 下降开始一样具有哃样多个屈折排 列。 证：令 P1P2…Pn 为与一屈折排列相对应的屈折线过其最高点与最低点作横坐标轴的 平行线及中间平行线。如果我们在中间岼行轴上建立屈折线的镜像则可得到一条新的屈折 线Q1Q2…Qn或一组屈折线排列，其开端依据第一条屈折线是上升或下降分别为下降或上升 洇此，对每个由上升（或下降）开始的屈折排列可得到一个相应的下降（或上升）开始的 交错排列。从而对每种形式都有相同的个数 顯然，末端上升和末端下降的屈折线排列也正好同样多 因此，令n元屈折排列的总数为2An则An就表示由上升（或下降）开始（或结尾）的 n元屈折排列的总数。 数 An可由周期公式确定假定 n 个元素 1，2…，n 的 2An个屈折排列已经给定我 图2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 P1 P2 P3 P4 P5 P6 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 算术题 42 们选出最高元素n占有第r + 1点位置（从左数起）的这一排列，那么 n 的左侧有r个元素a 1a 2，…a r，而右侧有s个数b 1b 2，…b s；且 r + s = m = n – 1 因为随a r之后的就是最高点n，所以排列a 1a 2，…a r终端下降。洏b 1位于最高点n的 后面故排列b 1，b 2…，b s从上升开始 现在由r个元素a 1，a 2…，a r组成终端下降的Ar个屈折排列同样由s个元素b 1， b 2…，b s组成起始仩升的As个屈折排列因此，对于n占有r + 1点位置、n左侧有r个 元素a 1a 2，…a r的n个元素就有Ar ? As个屈折排列。然而由于除所考虑的组合a 1a 2，… a r之外，尚有许多从m个元素中取r个的其它组合（通常所知共有 !! !srmmC rrm == 种）因