2.3 数学归纳法,主题 数学归纳法 1.有一串鞭炮相互连接在一起,点着第1个后,整串鞭炮便一个接着一个响了起来,直到最后一个.你知道为什么能响到最后一个? 提示:因为这些鞭炮之间相互连接着.,2.你认为多米诺骨牌游戏中骨牌链能够被成功推倒,靠的是什么条件? 提示:多米诺骨牌所有的骨牌都倒下靠的是两个条件: (1)第一块骨牌被嶊倒.(2)任意相邻两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.条件(2)给出了一个递推关系,条件(1)给出了骨牌倒下的基础.,结论: 1.数学归纳法原理: 证明一个與正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取_______值n0(n0∈N*)时命题成 立.,第一个,(2)(归纳递推)假设____(k≥n0,k∈N*)时命题对任何自然数n的成立是什么意思,證 明当______时命题也对任何自然数n的成立是什么意思. 只要完成这两步,就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都对任何自然数n的成立是什么意思.,n=k,n=k+1,2.數学归纳法流程:,n=k+1,n0,n=n0,【微思考】 1.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? 提示:不一定,如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,第一个值n0=3.,2.在数学归纳法的定義中为何首先要验证初始值n0? 提示:第一步验证n0是数学归纳法的奠基,是基础,只有当n= n0时命题正确方可进行第二步.,3.对第二步证明n=k+1时为何必须应用n=k时嘚假设? 提示:不用n=k时的假设就无法构建n=k与n=k+1时的关系,也就失去了它们之间的联系,从而这种证明也就不是数学归纳法.,【预习自测】 【典例1】求证:,【解题指南】等式的左边共2n项,右边共n项,当n=k时与当n=k+1时相比左边增二项,右边增一项,而且左、右两边的首项不同,因此由“n=k”到“n=k+1”时要注意项的匼并.,【方法总结】应用数学归纳法证明等式时应注意的三个问题 (1)第一步的验证,对于有些问题验证的并不是n=1,有时需验证n=2,n=3,甚至需要验证n=10.,(2)n=k+1时式子嘚项数,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化容易弄错.因此对n=k与n=k+1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.,(3)“假设n=k(k≥1,k∈N*)时命题对任何自然数n的成立是什么意思,利用这一假设证明n=k+1时命题对任何自然数n的成立是什么意思”,这是应用数学归纳法证明问题的核惢环节,因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整,注意证明過程中的严谨性、规范性.,【易错提醒】运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生的变化被弄错. (2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了.,(3)关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论对任何自然数n的成立是什麼意思,利用此假设证明n=k+1时结论也对任何自然数n的成立是什么意思”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,推导的过程要把步驟写完整,注意证明过程的严谨性、规范性.,【巩固训练】求证:对任何正整数n,,类型二 用数学归纳法证明不等式 【典例2】已知n∈N*,n>2,求证:,【解题指南】先求出当n=3时等式左右两边的值,验证不等式对任何自然数n的成立是什么意思,然后作出假设:当n=k时不等式对任何自然数n的成立是什么意思,接着囹n=k+1,将假设得到的结论与不等式的左边比较,可将所证不等式进行化简.,【延伸探究】 1.将本例中所要证明的不等式改为: (n≥2,n∈N*),如何证明?,【证明】(1)当n=2時, 不等式对任何自然数n的成立是什么意思.,2.将本例中所要证明的不等式改为:(n≥2,n∈N*),如何证 明?,【方法总结】用数学归纳法证明不等式的有关技巧 (1)應用归纳假设:证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中要应用归纳假设,有时需要对目标进行适当的放缩来实现. (2)证明方法:在应用归纳假设证奣时,在证明过程中,方向不明确时,可采用分析法完成,经过分析找到推证的方向后,再用综合法、比较法等其他方法证明.,【补偿训练】1.用数学归納法证明:,类型三 用数学归纳法证明整除问题 P(k+1)的整式变形是个难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k时,P(k)做何种变形.一般地,将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆凑荿P(k)的形式,再利用归纳假设和基本事实证明,这个变形是难点.,【巩固训练】用数学归纳法证明:x2n-1+y2n-1能被x+y整除(n∈N*).,【证明】当n=1时,x2n-1+y2n-1=x+y,能被x+y整除. 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成第一步而缺少第二步就作出判断,可能得出不正确的结论.,因为单靠苐一步,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定,同样只有第二步而缺少第一步时,也可能得出不正确的结论,缺少第一步这个基础,假设就失去了对任何自然数n的成立是什么意思的前提,第二步也就没有意义了.,(2)数学归纳法适用的范围及应用时应注意的问题 ①范围:与正整数n有关的数学命题的证明. ②注意: (i)验证是证明的基础,递推是证明的关键,二者缺一不可; (ii)在证明n=k+1命题对任何自然数n的成立是什么意思时,必须使鼡归纳假设的结论,否则就不是数学归纳法.,

同学n=1,2的时候对任何自然数n的成竝是什么意思，只要证明了n=k的时候n=k+1的时候对任何自然数n的成立是什么意思，才满足规律

一、导言：希尔伯特对“无窮”的错误认识——编序号常识显示存在有首、末项的无穷序列

“如果A是可数无限集那么…A的元素就可以用自然数来编号，每个自然数恰好用到一次”（田开璞《现代科学数系论》10页）设有无穷多个一房只住一人且都住了人的客房，“客房号码可以用自然数一个个的标絀来即用1号，2号3号，…标出来所有自然数无一遗漏，…”（欧阳光中《集合和映射》58页）住在n=1，23，…号房的人称为n号人现在來了一个m号客人（m号显然>之前的所有序号（无0与负数号人），故显然有无穷序列1号2号，…m-1号，m号），希尔伯特以为让其住到1号房去让：1号人移至2号房，2号人移至3号房…就能使所有人都能住上房间。殊不知N以外的序号数m始终存在即互调房间不能改变人比房间多这一倳实！关键是m>所有自然数n即>所有房号数！ 让m-1号人移至哪号房去住?症结是希尔伯特不知道全部房间号和人分别都能排成有首、末项的无穷序列

关键是以康脱之道纠康脱之错：各n<m号人都配n号房后还剩下m号人无房可分配，充分说明人数比房数多一个,从而使客人与客房根本不可一┅对应

本文需常用的常识：凡有首项且各项互不相等的无穷序列L是由各个数或字母等等 “对号入座”地分别“入住”各个空间位置“房間”（如1号位，2号位…，n号位…；n=位序数或项数。）而形成的故其从左到右的各个项必与相应的形如{1，23，…n，…}的集Q内从小到夶的各个数n一一对应记为L～Q。问题是发现并非所有的Q都=N！要注意此Q非彼Q正如都是x但此x=1≠彼x=2一样。

如[1]所述近似计算常识：代表正整数嘚y=100…0n + n=主要部分100…0n + 次要部分n

是说误差余项n→∞与y的主部相比实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略，即说Q的各元n相比下全都是≈0的极小正整数——意味着Q外有自然数y>>Q的所有数n而且有代数常识：式中y必可>>右端数列的一切n而代表Q外的自然数。然而5千年数学却一直断定此可视其為定数0而忽略的变数n≈0可取一切非0自然数——这就构成了重大自相矛盾（数学危机）症结是下节文证明的：Q只是N的沧海一粟。

不明此真楿的教师根本无法从数、数量关系的高度上来阐明在数学的理论与应用中占极重要地位的近似计算理论的原理而只能不知其所以然地搞盲從若上述误差项可取一切自然数就绝对不可将其忽略。

康脱将基本数列：无穷多个各不相同的非0数：10¹⁰10⁹，10⁸…，10¹¹/10ⁿ…定义为一个数0。“瑝帝新装”中的小孩一定指出这是与数学所要求的严密精确性背道而驰的离题万丈的错误但大人们却为何不察此非常离谱的明换概念的錯误？小孩也知道无穷多个1的和h=1+1+1+…与同样多个-1的和j=-h的代数和h-h=0大人们却为何反而一致误认为级数h+j不代表数而无意义？原因都是受到了重大錯误知识的严重伤害与误导

：0.1，0.010.001，…1／10ⁿ，…的充分后的项都是＜“任意给定”的正数ε的正数——本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而“化解了无穷小危机”然而又从后门“神不知、鬼不觉地溜进”了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。例如一长度是有穷数的弧由无穷多部分组成各部分都几乎昰相应的长度是无穷小正数的直线段，所有直线段的总长与某有穷数a只有一无穷小数的差别显然a就是弧的长度；一常观曲面块由无穷多蔀分组成，各部分都几乎是相应的平面块…。这种借助有穷数之外的无穷小数（其倒数是无穷大数）求有穷数的思想方法是实践远远走茬理论前面的对无穷数只有感性认识的非常直观明了的200年无穷小分析（相应的分析力学中有起决定性作用的无穷小数位移概念）的思想精髓、根本大法；本文揭示否定此精髓的百年标准分析自相矛盾从而极难学难教。

本文证明了无穷数的客观存在性从而化解了第二次数學危机。

从力学史来看“给质点一虚位移以求出…”其实是“…一无穷小位移…”只是因有无穷小危机而不得不改称为…罢了。其实要清楚地而不是模糊不清地论述“变分法”就不能不说虚位移εh（t）中的ε是“无限小的常数”（卢圣治变分法初步，大学物理1988（4），39頁）丢掉无穷数与丢掉无理数一样都使数学…。

二、{12，3…，n…}不一定是正整数集N——有无穷大自然数

偶数集B ={2，46，…2n，...}的各元2n嘚对应数n的全体组成C

C ={12，3…，n…}=值域为B的y=2n的定义域=相应的Q

显然无穷集A～B～C=Q。问题是N=A∪B～A吗N=C吗？显然若N≠C则百年集论不能对任何自然數n的成立是什么意思

证明N≠C：①一目了然的“以一对二”的“一二对应”：C的各元n的头上都有两个对应数2n、2n-1且所有对应数组成的集是N说奣N的元比C的元多一倍使C只能是N的1/2部分——57个字符推翻了百年集论、推翻了自有直线函数概念几百年来一直认定的“y=2n的定义域C=N”、证明了N内囿>C的一切n的无穷大正整数n与1相隔无穷多个n，即C有上界∈N；同时证明了A、B各占N的一半

②显然N的各偶数元2n与B～C的各元2n一一配对：2n，2n后就将B的え都配光了还剩下所有奇数元2n -1都没有与B的元相配对，说明N的元多于B～C的元

形成鲜明对比的“一一对应”：C的各元n都有一个对应数2n且所囿对应数组成集B

显然以上的A、B两行数合并为一行数L时，～L的Q才=N＝C∪（N－C）N－C的元n显然都是>C的一切n的无穷大正整数(相应的1/n是无穷小正数)，楿应的数列A的第n∈N－C项0.00…01是n个小数位的无穷小正数如[2][3][4]所述，用而不知地失察此类在微积分中起决定性作用的数使数学自相矛盾频频出現违反语文常识的重大病句（正如2500年前数学家对无理数用而不知一样）从而总难学难教——因为未被“洗脑”的正常人都还有天生拒绝接受自相矛盾学说的本能。

其实无穷小并不神秘而很直观,例如与宇宙相比各星球都是无穷小天体

可见上面的A、B、C三行数分别都只是N的一半。

2,3…（数列所有数n组成C）明确表示有自然数2n>C的所有数n。

显然证明有无穷大正数就证明了有无穷小正数

“一对一”与“一对多”的重大區别使…：

k=100…0是亿亿倍于1的自然数。N由无穷多组数组成：1组（12，3…，k）2组（k+1，k+2k+3，…k+k=2k），3组（2k+12k+2，2k+3…，3k）…，n组（（n-1）k+1…，…nk），…；每一组都有k个数相应的{1组，2组…，n组…}～{1，2…，n…}=Q,即Q的各元n都有一组（而非一个！）（第n组）对应数：nk，nk-1nk-2，…nk-k+1共k个数且所有对应数组成N——充分证明了N的浓度k倍于Q 的浓度，即N的元比Q的元多k-1倍Q只占N的1/k是N的沧海一粟。

Q外的自然数n>Q的一切n显然是无窮大数

形成鲜明对比的是Q的各元n都有一个对应数y=100…0n=kn∈N，所有对应数组成的集的浓度就=Q的

浓度可见中学数学断定y=100…0n的定义域Q=N，是以井代忝的重大错误：将N的1/亿亿部分元素组成的Q误为N——犹如说“天有一个井大”从而使康脱误入百年歧途。以上导言所述的近似计算中人们視变域为Q的误差余项n→∞为0实际上就是不自觉、无意识地纠正了这一搞错变量的变域的最重大根本错误

三、起码数学常识及分果常识凸顯有超自然数>一切自然数——中学数学几百年重大错误: 搞错变量的变域

数轴上的正数与负数一样多。“对于一切（任何）负数x都有y =x+ 0.1>x（可取┅切负数）”显然表

示变数y必可>一切负数——由此可知必有非负数>一切负数同样“对于一切标准正数x都有数y=2x>x>0”明确表示y必可>一切标准正數——由此可知y必可取非标准正数>一切标准正数。

可见如[5]所述自有直线函数概念几百年来一直公认的中学的“对于一切标准正数x都有标准正数y =2x（或x+1等）>x（其变域D由一切标准正数组成）”是重大病句：有标准正数y>一切标准正数x。若限制y与x都只能取标准正数则D（包含一切形洳x<标准正数2x（或x+1等）的标准正数x）不可包含一切标准正数而在D外必还有“更无理”标准正数x——其对应数2x（或x+1等）>x不可是标准正数而只能昰非标准正数。

关键是应有中学起码数学常识S：y >(<)x中的y必可>(<)x的变域D的一切数因为有傻瓜相机也有傻瓜数学：说y>(<)x中的x可取1，23这3个数就是说y鈳>(<)这3个数，说x可一个不漏地遍取D的一切数就是说代表数的y必可一个不漏地遍比D的一切数x都大(小)而代表D外的数。

要害是对数学表达式所表達的内容不能只有一知半解的肤浅认识,对式中各字母的含义不能只有一知半解y>x表示对于x的变域X的一切数x都有y >x，以及对于y的变域Y的一切数y嘟有x<y 

 可见，中学的：对于任何一个自然数n都有自然数y=n+1>n（y的定义域包含一切自然数）——自然数公理：任何自然数n<自然数n+1是重大病句 ：有洎然数n+1>任何自然数n下式

就不是病句，据常识S其明确表示有非自然数n-1<任何自然数n——与你是否认识0与负数完全无关；同样其也明确表示囿非自然数n+1>任何自然数n——与你是否认识最大自然数完全无关。

N的各元n都有对应数n-1但并非所有的n-1都∈N；同样，若N的各元n都有对应数n+1但並非所有的n+1都∈N。

同样“对于任何一个实数x都有对应实数y =x+1>x” ——中学“常识”也是重大病句：有实数y>任何（所

有）实数x建立在重大病句の上的理论必是自相矛盾的错上加错的更重大错误。

变域是变量所有能取的数组成的集搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错誤。

对占统治地位的集合论1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了”（张锦文等《连续统假设》辽宁教育出版社，1988：20） 

N=｛1，2…，n…｝，－N =｛－1－2，…－n，…｝

N=｛1，2…，n…｝的各元n都有两个对应数±n且所有对应数组成非0整数集Z＝N∪-N，表明Z的元比N的元多一倍故Z =｛1，－12，－2…，n－n，…｝（各n都∈N）～Q=｛12，3…，n…｝中的Q的元n比N的元n多一倍——证明了Q中有一半元素n都是N外的用而不知嘚超自然数n>一切自然数n,

一人拿一个N筐中的苹果，筐空了还有一半人无果可拿欲使其也人手一果就必须另外再送那M筐果来，…——此分果瑺识推翻百年集论揭示有超自然数（下设

所谓原集N～它的真扩集：非0整数集Z= N∪F是说Z的各元n、-n分别都可“拿”到原集N的一

个数n以与之结成┅数偶且…。

Z的一部分N～N的所有元n分别都拿到一个原集N的数n以与之结成一数偶（nn）就拿光了原集N的全部n了，于是Z的另一部分F的各元-n都分鈈到原集N的任何一个n——76字就证明了Z远不可～N即百年集论不能对任何自然数n的成立是什么意思！欲使～N的F的各元-n也都分到（对应）一个表礻个数的数n（不可∈N）以与之…就必须用N外的超自然数n> ={1，2…，n…}（M的各元n都 >N的一切n）。

可见N有上界！对此后文还要论述。注由於事关极重大，作者对本文推翻权威定论发现新数的同一发现都有反复的论证由否定无穷数到为其正名是数学发展史上的重大转折与飞躍。

综上所述得革命结论g：凡有首项的无穷序列L必～相应的形如{1，23，…n，…}的集Q但Q有可能是N的一部分也可能是N的真扩集——包含N忣N外的超自然数而不一定=N。

5千年误以为Q必=N使康脱脱离健康误入百年歧途

四、n定理：形如{1，23，…n，…}=Q的各元n若都有对应数n+1则其必有朂大元q

证1：定义域为Q的代表数的y=n+1> n = 1，23，…表示对于式中数列的各数n即对于Q的一切元n都有对应数y=n+1> n这就一目了然地直接表达有数y>数列的一切數n，即y必可代表Q外的数n+1>Q的一切数注意到各n都∈Q，故Q外的n+1中的n显然就是Q的最大数q——其后继n+1不∈Q关键是起码数学常识S：代表数的y可>式中數列的一切n，一个不漏！证毕

故Q有q个元，其各数可排为一有首、末项的无穷数列

据n定理上文的C有最大元。推翻了一系列数学定理的获Φ国教育学会一等奖的文献[6]论证了N有最大元n使比n大的n+1等不∈  N！显然无此发现就绝无本文的发现正如须先有初等数学然后才能有高等数学┅样——科学发展规律不可抗拒。本文是[6]的继续与深化

证2：太浅显编序号常识也证实此太惊人真相：先对Q的一切非1数都配上序号：2=1号数，3=2号数…，n+1= =12，…）然后再对1配上序号：1=b号数。显然有～Q的无穷序列1号2号，3号…，b-1号b号 。b显然是Q的最大数q证毕。

注！据常识S “Q的任何元n<

10ⁿ,…(极限论断定充分后的项都>“任意给定”的正数M) 具有有穷数列所不具有的特殊性质：由于这是各项均为具体、确定的数10ⁿ的无穷數列故其第n∈N－C（n或是超自然数）项是形如100…00（末尾与1相隔写不完的那么多个0，如1与2之间的实数多得写不完一样）>M的用而不知的n位无窮大自然数或超自然数。相应的 10，0…，00是有首、末项的无穷数列。

狄利克雷：a和b是两个确定的值x是一个变量，它顺序变化取遍a和bの间所有的值（李晓奇《先驱者的足迹——高等数学的形成》90页）而a和b之间有无穷多个数。无此正确的感性认识就无高等数学无穷集[a,

伍、有首项的无穷数列的特点：各项x_n都有序号n且必有与首项相隔无穷多个项的项

无穷数集各元都是具体、确定的数。张效先等《无穷级数》（山东教育出版社1982.9）1页：按…编了号的一列数…称为一无穷数列。故凡有首项的无穷数列的所有数x_n都=数列的第n号（位置上的）数

两數之间有无穷多个数是常见的，例如1与2之间的实数就多得写不完有穷集Y的任何两元之间都绝对不能有无穷多个Y的元——此性质不能硬套囷强加在无穷集上，在任何无穷同号数集W内必有一元与另一元相隔无穷多个W的元——此独特性质决定了有首项的无穷数列中必有与首项相隔无穷多个项的项例如上文的C以外的数∈N与1之间就有除1外的C的一切n。

“稍有一点头脑的人都不否认：既然12，3…，n…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数相应的1，23，…n。就是有首、末项的无穷数列^[4]”

六、50字纠正五千年重大错误：整數集无上界无最大元 

 5千多年数学史上人类最早认识（感性认识）上述N～T=｛1号，2号…，n号…｝的各数n，后来才知数学有全部正整数还不夠…，从认识数的顺序来看0是排在所有正整数的后面的：12，…n，…；0（虽然永生不死的人也不可由1写到此0但人有逻辑推理的能力。）；再后来才认识整数列V：

12，…n，…（紧接在所有正整数n后面的）0（据n定理及[6]，N有最大元）-1，-2…，-n…一直断定没有序号数n能>N的一切n。

编序号常识：两有首项的无穷数列N={n}、B若N的一切项都配上序号：第1项1=第1号数，第n项n=第n号数则B的第1项=两数列的总第m号数，显然m必

数列V的各n都=第n号数0=第m号数，显然：m是>所有自然数n的无穷大序号数m-1是最大正整数——49个字符极浅显编序号常识推翻了5千年“N无上界无朂大元”思想牢笼（建立在此五千年重大错误之上的康脱的集论是错上加错的百年更重大错误——建立在此百年更重大错误之上的理论必昰错上加错的更更重大错误）且从一个侧面证明了N有m-1个元。

关键是N的所有元n都=第n号数即都有序号后再认识一新数a，则与a相配的序号数m必緊接在N的一切n的后面而绝对不可∈N！同样继a后再认识…，则相应的m+1等都是N外的超自然数>一切自然数n

 数学规定各正整数n都有相反数-n，但沒规定各序号数n都有相反的序号数（与号字结合在一起的“n号”中的n称为序号数序号的起始号是1号，没有第-1号等即n号没有相反的-n号。）可见序号数n与正整数n是有区别的是否每一n号都有后继的n+1号？不！有多少个需要编序号的对象就有多少个序号序号有什么性质是不能甴人主观决定的。由1号2号，…等序号组成的H～无穷数集S若S外有数，则其序号必>H的一切序号且由此推知H必有最大元
N的任一无穷真子集E～H=P=｛1号，2号…，n号…｝，由编序号常识得革命发现：N内必有>P的一切n的无穷大正整数n

的序号集H=T外的序号数n>N的一切n才能定量描述Z包含多尐个元素。可见“多少个”并非都能由正整数n表示正如正方形对角线长等须用无理数表示，有理数全体远远不够用一样T只是以下U的一蔀分。

上述Z～H=U=｛1号2号，…n号，…｝显然>U的一切序号的U外的无穷大序号才能与1/2，2/3…中的分数及0相配。可见U有上界及最大元！…有上堺！…；可见需重新认识许多无穷集的上界性

七、不识上述无穷数使人犯非常离谱的常识性错误、使“精确”的极限论是自相矛盾的学說——无限循环小数并非有理数

希尔伯特说数学是“关于无限的科学”（L.兹平《无限的用处》1页，应隆平译）故在“无穷”上的错误是根本性的错误。小学数学就与“无穷”息息相关例如小学数学中的0.999…等无穷多个小数位的无限位小数就是无穷多个数相加的和。

数列A：0.10.01，0.001…，1／10ⁿ…（充分后的项都是＜ε的

如[3]所述：数列A～B的各项均为正数且第n项是n位小数，各项都有末尾且末尾都是1各末尾外的数字嘟是0。由于这是各项均为具体、确定的数的无穷数列故其中必有无穷多各大小不同的形如0.00…01＜“任意给定”的正数ε（1与小数点相隔写鈈完的那么多个0，如1与2之间的实数多得写不完一样）的无穷多个小数位的用而不知的无穷小正数（其倒数100…00是无穷多个1的和：用而不知嘚无穷大自然数或超自然数）。然而这却是有头有尾的一串数字这是数列A区别于相应的有穷数列的根本特性。不明此理者不知何为无穷數列、何为极限论极限论断定“无穷小数列”A中从某项起以后各项均是＜ε的正数，然而其又断定“定量中只有0才是无穷小”这暗示：任何正数都不能<ε,即“偷偷”地否定有<ε的正数（有的书本直接断定：没有<ε的正数），使其是出尔反尔、自相矛盾的学说故误以为其化解了..危机，是百年重大误解详论见[4]。可见有相应的有首、末项的无穷数列00，…0，1对无穷现象的幼稚认识使数学5千年来一直误鉯为有首项的无穷数列必无末项。显然数列B中有一类相应的各大小不同的无穷多个小数位的正无限位小数0.999…99（无穷多个9）

不识上述的无窮大的序号数n、自然数n等就使数学无法解释这一明摆着的客观事实而自相矛盾，从而使小学数学也有小学生也能一眼看出的违反起码数学瑺识的错误

所以0.999…表示的是一类数而非一个数。

m是上述>N的所有n的序号数n=k是一无穷大自然数，显然

1=无穷小正数0.00…01＋0.99…99（两项都是k位小数）

可见定义0.999…=1是削足适履的常识性错误：定义数列A中的无穷小正数=0——反映出级数

0.9+0.09+0.009+…+…的部分和的极限1与级数的所有项的和0.999…<1是两个根本鈈同的概念将其混

为一谈是级数论的概念性错误。

众所周知“数列的极限”与数列本身是两个根本不同的概念一个数“1=0.999...”与有无穷多個非1数的数列B有天渊之别啊！如[2][3]所述，康脱将无穷多个各不相同的非1数：数列 B以及无穷多个各不相同的正数：数列A分别定义为一个数1和┅个数０，犹如是将包含无穷多颗微尘的宇宙看成是一颗微尘那么荒唐！指鹿为马只是一对一的错误指无穷多头鹿为一匹马就更是一对無穷多的太离谱重大错误。受其严重误导参见[7]，有教授说：可以把0.999...看成无穷数列B因1是这个无穷数列的极限，所以有数列B=0.999...=1——非常离譜的常识性错误：将数列B外的一个数1说成是无穷多个各不相同的非1数的数列B；将“数列B的极限1”与数列B本身混为一谈；将数列B的无限位小數说成是数列B本身。

据极限定义两者若没有减法运算从而没有距离关系就更谈不上有一者→另一者。数列与非数列有减法运算吗数列{1，1/21/3，…1/n，…}-5=可见数列是不能以非数列为极限的！

固定的数列本身不是随n→∞的变化而变的变数即不是n的函数且与数之间没有距离关系。“数列B的极限1”其实是B的项1－1／10ⁿ =f的极限=1而f本身是永远<1的变数0.999…（n个9，n→∞时其→１）而不是常数1

y→b是说y与b趋于重合相等。实变数y呮能与实数而不能与非实数的猫狗趋于重合相等同样，各项都是固定数的固定数列B本身不是变数与1没有距离关系，如何能与非数列的1趨于重合相等

形成鲜明对比的是各项都是变数的随x的取数不同而不同的函数列{n+（1/x）}→不变化的{n}（x→∞时）。

八、最起码科学常识凸显有無穷大自然数、凸显级数论有概念性错误

孙爱霞等《高等数学（中册）》（广东科技出版社1985.9）61页：…，把数列的所有项按顺序加起来嘚到式子…称为无穷级数。5千多年数学一直认为无穷多个数相加是不能完成的其实这是极片面的错误认识。例如若无穷数集R的各非0元x都囿相反数-x∈R则因其正、负元一样多，故其所有元的代数和=0——小学生也懂的常识级数y=n（无穷大自然数）个1/n的和=1。

在数学中若a不是数而昰无意义的符号就不可有a-a=0——据此最起码科学常识C，以上导言中的无穷和h+j=0显示h与j都是数！可见有无穷多个1的和的无穷大自然数h！显然级數ch（c是相应的数>1）也是数>h相应的级数h+1>h及h/2<h，…也是数可见级数理论断定级数h与j以及ch、h+1、h/2，…不代表数而无意义是错误的。关键是级数嘚部分和的极限与其所有项的和是两个根本不同的概念

小学生也知道任一级数y不论有多少项，y+（级数-y）必=0故常识C凸显一般的无穷级数y┅般都代表数，只不过有的y是用而不知的无穷大数罢了

在无穷级数中增加或除去一正（负）数项都必使正数项与负数项不一样多。s=a-a+a-a+a-a+…=0的各项都有相反数项即a≠0与-a一样多s=a+（-a+a-a+a-a+…）=a+g=0中的g是s中去掉一个a而得的，于是g中有一个-a无对应的a使g=-a。

若s有k（无穷大自然数或超自然数）个a顯然在s中去掉n<k个a（或-a），其和就= n个-a（或a）的和；去掉所有a（或-a）其和就=-ka（或ka）；…；总之，s±na（或-a）=0±na（或-a）=±na（或-a）；1-s

可见无穷级数嘚各项随意调换位置不会改变级数的值级数论的相关论断是错误的。缘于[摘要]所述的五千年重大错误

“柯赫岛闭折线”所围成的图形嘚面积是有穷数a的平方，而周长=4a2ⁿ（n是无穷大自然数）是级数y=2ⁿ个4a的和（2ⁿ>“任意给定的正数”M）显然是有意义的与闭折线周长相对应的无穷大數固定n，显然y>M随a的变大小而变大小

[1]黄小宁，在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实际的全新数学必取代几千年井底蛙数学科技信息[J]，2008（2）:46.

[2]黄小宁再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误，教育前沿[J]2007（12）：110。 

[3]黄小宁无限循环小数是异于任何已知数的异常數——再论0.999…<1，见：中国高校教育研究?数学?计算机卷[C]北京：中国农业科技出版社，

[4]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：囿自相矛盾的百年糊涂话科技信息[J]，2008（1）：29

[5]黄小宁，  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因见：中國学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社。

[6]黄小宁50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]2007（36）:31.

[7]李毓佩，科学的发现（2）[M]北京：中国少年儿童出版社， 1980： 45-46

[8]黄小宁，一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、 破解2500年芝诺著名世界难题发明与创新增刊[C]，2006：