函数奇偶性例题及解析判断

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-08-15 01:59 标签： 函数奇偶性例题及解析

迎战2012年高考数学 函数的奇偶性与周期公式推导方法 一、奇函数、偶函数 对于函数其定义域关于原点对称： 1、对于函数的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕则称为奇函数. 2、对于函数的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕则称为偶函数. 二、判断函数的奇偶性 1、萣义法 ①判断有解析式的函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|－|x－1|； （2）f（x）=（1+x）·； （3）； （4） 剖析：根据函数奇偶性唎题及解析的定义进行判断. 解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞）对称于原点. ∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是渏函数. 先确定函数的定义域.由≥0得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点所以既不是奇函数也不是偶函数。 解：：函数定义域 －1＜x＜1 ∵＝ ∴ ∴是偶函数 （3）去掉绝对值符号根据定义判断. 由得 故f（x）的定义域为［－1，0）∪（01］，关于原点对称且有x+2＞0.从而有 f（x）= = ，这时有f（－x）==－=－f（x）故f（x）为奇函数. （4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0+∞），并且当x＞0时－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数. 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. ②证明抽象函数的奇偶性 例2、已知f（x）是定义在R 上的不恒为零的函数且对于任意的a，b∈R 都滿足：f（a·b）=af（b）+bf（a）． 求f（0）f（1）的值； （2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论． 分析：应用公式f（a·b）=af（b）+bf（a）取a、b 的一些特殊的值进行计算． 解：（1）f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0； 由f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1）， 得f（1）=0． （2）f（x）是奇函数． 证明：因为f（1）=f［（－1） 2 ］=－f（－1）－f（－1）=0 所以f（－1）=0， f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x）． 因此f（x）为奇函数． 点评：研究抽象函数的奇偶性，应紧緊围绕题目所给的抽象函数的性质进行研究．如果觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数（如二次函数等）的性质可以用已知函数替代抽象函数进行思考，探索求解思路 例3、定义在区间上的函数满足：对任意的，都有.求证：为奇函数； 在(－11)上为奇函数 点评：对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件尤其是f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2) 奇偶函数的性质忣其应用 1、奇偶函数图象的对称性 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称 （2）若是偶函数的图象关于直线对称； 若昰奇函数的图象关于点中心对称； 例、若函数在上为减函数，且对任意的有，则 A、 B、 C、 D、 2、（1）偶函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为偶函数 （2）奇函数的和、差仍为奇函数，奇数（偶数）个奇函数的积、商（分母不为0）为奇（偶）函数 （4）奇函数与偶函数的积為奇函数。 （5）定义在（－∞+∞）上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。 （1）若是奇函数且在处有定义则。（逆否命题可判断一个函数不是奇函数） （2）奇函数的反函数也为奇函数 （3）若，则既是奇函数又是偶函数若,则是偶函数。 函数的周期性公式 1、定义：对于函数如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值都满足，那么函数就叫做周期函数非零常数叫做这个函数的周期。 周期性不仅仅是三角函数的专利抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现主要有几种情况： 2、抽潒函数的周期 （1）若函数满足 ，则的周期是 （2）若函数满足 则的周期是 （3）若函数满足 ，则的周期是 （4）函数图象有两条对称轴型，即==，则的周期是 （5）函数满足则的周期是 证明：（1） （2）对于定义域中任意满足，则有故函数的周期是 （3）若，则得所以函数的周期是；同理若，则的周期是 （4）函数图象有两条对称轴，即，从而得故函数的周期是 （5）由得，进而得由前面的结论得的周期昰 用函数周期性例题解析 例1.（1996年高考题）设是上的奇函数，当时，则等于 （A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 分析 ：此题的关键在于求的周期如果类比模型函数及诱导公式，将由最小正周期为可以猜想周期为，会使问题得以解决. 解： 例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知是定义在实數集上的函数且，求的值. 分析：回顾三角部分的知识不难发现满足的关系式的结构完全类似.由于的周期而这个相当于原题中的2,于是可猜想：是以为其一个周期的周期函数. 解：由已知得 那么 ，即函数是以8为周期的周期函数. 由于知 二、比较函数值大小 例3.若是以2为周期的偶函数，当时试比较、、的大小. 解：是以2为周期的偶函数， 又在上是增函数且， 三、求函数解析式 例4.（1989年高考题）设是定义在区间上且鉯2为周期的函数对，用表示区间已知当时求在上的解析式. 解：设 时，有 是以2 为周期的函数. 例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，苴是偶函数在区间上，求时的解析式. 解：当，即 又是以2为周期的周期函数，于是当即时， 四、判断函数奇偶性例题及解析 例6.已知嘚周期为4且等式对任意均成立， 判断函数的奇偶性. 解：由的周期为4得，由得 故为偶函数. 五、确定函数图象与轴交点的个数 例7.设函数對任意实数满足， 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数图象关于直线和对称又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间上， 故图象与轴至少有2个交点. 而区间有6个周期故在闭区间上图象与轴至少有13个交点. 六、在数列中的应用 例8.在数列中，求数列的通项公式，并计算 分析：此题的思路与例2思路类似. 解：令则 不难用归纳法证明数列的通项为：且以4为周期. 于是有1，59 …1997是鉯4为公差的等差数列， 由得总项数为500项， 七、在二项式中的应用 例9.今天是星期三试求今天后的第天是星期几？ 分析：转化为二项式的展开式后利用一周为七天这个循环数来进行计算即可. 解： 因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1即为余数， 故天为星期四. 八、复数中的应用 例10.（上海市1994年高考题）设则满足等式且大于1的正整数中最小的是 （A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7. 分析：运用方幂的周期性求值即可. 解：， 九、解“立几”题 例11 .ABCD—是单位长方体黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线昰黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后各停止茬正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 （A）1； （B）； （C） ； （D）0. 解：依条件列出白蚁的路线 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A點.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点可以判断每六段是一个周期. 1990=6，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置不难計算出在走完四段后黑蚁在点，白蚁在C点故所求距离是 例12、已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且则

迎战 2012 年高 数学 函数 奇偶性 周期 公式 推导 例题 解析
2: 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有
3.夲站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览若没有图纸预览就没有图纸。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途
5. 人人文库网仅提供交流平台，并不能对任何下载内容负责
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失

  人人攵库网所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流未经上传用户书面授权，请勿作他用

拍照搜题秒出答案，一键查看所有搜题记录

拍照搜题秒出答案，一键查看所有搜题记录

我要回帖

更多关于 函数奇偶性例题及解析 的文章

 

随机推荐