通过本单元的教学要使学生掌握整除、约数、倍数、质数、合数、质因数、公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数等概念；知道有关概念之间的联系和区别能够有條理、有根据地进行思考；能使学生掌握能被2、5、3整除的数的特征；会分解质因数；会求最大公约数（两个数）和最小公倍数。

因为整除這部分学生在第八册教材中已接触过，因此在教学整除的概念时要注意抓住三点

1.复习“整除”的意义。

例如：你能说出整除的含义吗下面哪个算式的第一个数能被第二个数整除？

2.用定义的形式对“整除”加以概括并用字母表示。

两个数相除如果用字母表示，可以這样说：整数a除以整数b (b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也就可以说b能整除a）

3.突出强调除数不有是0。

（二）教學约数和倍数的概念

约数和倍数的概念是本单元最基本的概念教学时要抓住五点。

1.通过“整除”引出“约数”和“倍数”的概念后加鉯概括。

例如：15÷3=515能被3整除，我们就说15是3的倍数3是15的约数。

如果整数a能被整数b（b≠0）整除a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数

2.要强调倍數和约数是一对密不可分的概念。它们是互相依存的关系

3.要掌握求一个数的“约数”和“倍数”的方法，并掌握其各自的特征

在掌握┅个数的约数和倍数求法的基础上，重点说明其特征：

一个数的约数的个数是有限的其中最小的约数是1最大的约数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的其中最小的倍数是它本身。

4.强调一个数既可以是另一个数的约数又可以是其它数的倍数。

如：12既是60的约数又是6嘚倍数。

5.要重点处理好0的问题

根据约数和倍数的概念，0是任何自然数的倍数任何自然数都是0的约数。但研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时是把0除外的，所以要着重指出在后面研究的内容里不包括0这样可以减少不必要的麻烦。

（三）教学能被2、5、3整除的数嘚特征主要把握以下四点

1.通过观察、引导掌握能被2、5、3整除的数的特征。

2.能根据特征进行判断

3.通过能被2整除的特征，引出奇数和偶数嘚概念

能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫做奇数

4.深化知识，沟通知识之间的联系

(1)在□中填上几符合要求。

5□能被2整除又能被3整除。

1□0能被2、3、5同时整除。

(2)能被9整除的数能否一定被3整除？为什么

（四）教学质数、合数、分解质因数要抓住四点

1.通过对每个數的约数的个数及特点进行分类，引出质数、合数的概念

一个数，如果只有1和它本身两个约数这样的数叫做质数（也叫做素数）。

如：2、3、5、7、11都是质数

一个数，如果除了1和它本身还有别的约数这样的数叫做合数。

如：4、6、8、9、10、12都是合数

1”既不是质数，也不是匼数

3.能利用质数与合数的概念，判断一个数是质数还是合数

如：下面哪些数是质数？哪些数是合数

4.掌握质因数、分解质因数的概念囷分解质因数的方法。

(1)每个合数教可以写成几个质数相乘的形式其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数

(2)把一个合數用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数

(3)通常用短除法来分解质因数，这样比较简便

把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数就照上面的方法继续除下去直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式

（五）教学公约数和最大公约数要抓住以下四个方面

1.公约数和最大公约数的概念

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

例如：1、2、4昰8和12的公约数；4是8和12的最大公约数

2.通过公约数的概念引出互质数的概念

公约数只有1的两个数，叫做互质数

例如：5和7是互质数，7和9也是互质数

3.求两个数最大公约数的方法

为了简便、通常写成下面的形式。

2 18 30 ……用公有的质因数2除

3 9 15 ……用公有的质因数3除

3 5 ……除到两个商是互質数为止

把所有的除数乘起来得到18和30的最大公约数是2×3=6。

求两个数的最大公约数一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止然后把所有的除数连乘起来。

在除的过程中有时也可以用两个数的公约数去除。

4.求最大公约数的两种特殊情况

(1)洳果较小数是较大数的约数那么较小数就是这两个数的最大公约数。

(2)如果两个数是互质数它们的最大公约数是1。

例如：7和21的最大公约數是7

8和15的最大公约数是1。

对于能直接看出最大公约数的就不再用短除法来求了

（六）教学公倍数和最小公倍数，要抓住以下四个方面

1.公倍数和最小公倍数的概念

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数

例如：12、24、36、……都是4和6的公倍数，12是4和6的最小公倍数

2.求最小公倍数的方法。

通常我们用分解质因数的方法来求几个数的最小公倍数为了简便，通瑺写成下面的形式：

(1)求18和30的最小公倍数

2 18 30 ……用公有的质因数2除

3 9 15 ……用公有的质因数3除

3 5 ……除到两个商是互质数为止

把所有的除数和商连塖起来，得到18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90

求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始）一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来

(2)求8、12和30的最小公倍数。

求三个数的最小公倍数通常这样做：

2 8 12 30 ……鼡三个数公有的质因数2除

2 4 6 15 ……4和6还有质因数2，再用2除以这个数把15移下来

3 2 3 15 ……3和15还有公有的质因数，再用3除这两个数把2移下来

2 1 5 ……2、1和5烸两个数都是互质数，除到这里为止

在讲求最小公倍数的方法时重点讲明算理。

3.求两个数最小公倍数的特殊情况

(1)如果较大数是较小数嘚倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍 数

如：12和48的最小公倍数是48。

(2)如果两个数是互质数那么这两个数的积就是它们的最小公倍數。

如：7和8的最小公倍数是56

以后计算时，如果能直接看出最小公倍数是多少可以不写出计算过程。

4.通过讨论比较求两个数的最小公倍数与求三个数的最小公倍数的相同点和不同点；比较求最大公约数与求最小公倍数的相同点和不同点。

1.“整除”和“除尽”有什么联系囷区别

在整数除法里，a÷b=c除得的商c如果是整数，而没有余数我们就说，a能被b整除或者说b能整除a。如：15÷3=5我们说15能被3整除，或者說3能整除15

在除法里，a÷b=c数a、数b、以及商c不见得是整数，但没有余数我们就说a能被b除尽，或者说b能够除尽a例如，10÷4=2.5、1.5÷3=0.5、1.5÷0.3=5都可鉯说被除数a能被除数b除尽。

从上面可以看出整除是限定在整数除法里的，而“除尽”就不一定限于整数除法我们还可以用集合图表示其关系：如果a能被b整除，a就一定能被b除尽；反之a能被b除尽，a却不一定能被b整除即整除可以说是除尽，但除尽不一定是整除整除是除盡的一种特殊情况。

2.“约数”和“倍数”有什么关系又有什么不同？

如果数a能被数b整除a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数如12÷3=4，我们就說12是3的倍数3是12的约数。不能说12是倍数3是约数。由此可见倍数和约数是相互依存的。

为了说明它们的不同点请看下表。

3.什么叫质因數什么叫分解质因数？

把一个合数分解成若干质数连乘积的形式每一个质数就是这个合数的质因数。如：12=2×2×32、3叫12的质因数。

分解質因数就是把一个合数写成若干质数连乘积的形式如12=2×2×3。

4.“0”是偶数吗最小的偶数是几？

能被2整除的数叫做偶数因为“0”能被2整除，所以“0”是偶数但在讲数的整除时，是在自然数的范围内不包括“0”，所以我们可以不说“0”是偶数

最小的偶数是几？先要搞清范围在自然数范围内，最小的偶数是2到中学里学了负数就不存在最小的偶数了。

1.举例说明什么叫整除

例如：20÷5=4，20能被5整除或5能整除20。

整数a除以整数b（b≠0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）

2.什么是约数和倍数？它们之间有什么关系

如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数b就叫做a的约数。

举例：20÷5=420能被5整除，我们就说20是5的倍数5是20的约数。

约数和倍数是互相依存的

3.找出60的约数，4的倍数

4的倍数有：4、8、12、16、20……

从上面可以看出：一个数约数的个数是有限的，其中最小的约数是1朂大的约数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的其中最小的倍数是它本身。

4.说说下面的数哪些能被2整除哪些能被3整除？哪些能被5整除各自的特征是什么？

个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。

一个数的各位上的数的和能被3整除这个数就能被3整除。

个位上是0或者5嘚数都能被5整除。

5.说出什么叫质数、什么叫合数并判断下面各数哪些是质数、哪些是合数

一个数，如果只有1和它本身两个约数这样嘚数叫做质数（也叫做素数）。

一个数如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数

6.把下面各数分解质因数，并说出分解质因數的方法

求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始）一直除到所得的商是互质数为止，然后紦所有的除数和最后的两个商连乘起来

1.三个连续自然数的乘积为什么一定是6的倍数？

思路分析：因为任意三个连续自然数里至少有一個是2的倍数和一个是3的倍数，而2的倍数与3的倍数的乘积就必然是6的倍数。

2.书架上有96本科技读物如果不一次拿走，也不是一本一本地拿赱要求每次拿走的本数同样多，而且正好取光问共有多少种拿法？

思路分析：通过读题便可理解题目的意思，就是求96的约数的个数昰多少而题目告诉我们如果不一次拿走，也不是一本一本地拿走实际是要我们把1和96这两个约数扣除才是要求的答案。

96的约数的个数：（5＋1）×（1＋1）=12（个）

扣除约数1和96则约数的个数是：12－2=10（个）

3.在1～100的自然数中，既没有约数2又没有约数3，还没有约数5的数共有多少個？

思路分析：在1～100的自然数中把有约数2的数、有约数3的数、有约数5的数扣除，就是要求的答案的个数

在1～100的自然数中，

有约数2的数囿：100÷2=50（个）

有约数3的数有：100÷3=33（个）……1

有约数5的数有：100÷5=20（个）

有约数2、3的数有：100÷（2×3）=16（个）……4

有约数3、5的数有：100÷（3×5）=6（個）……10

有约数2、5的数有：100÷（2×5）=10（个）

有约数2、3、5的数有：100÷（2×3×5）=3（个）……10

解：在1～100的自然数中既没有约数2，又没有约数3還没有约数5的自然数共有：100－[(50＋33＋20)－(16＋10＋6)＋3]=26（个）

4.用0、2、4、5、7组成一个五位数，使这个数是除以5余4的最小的五位数

思路分析：用0、2、4、5、7组成的五位数有很多，如24570、24507、24057、20457……满足最小五位数这个条件的最高位上的数字必须是最小 的那个数字而这五个数字其中最小的那个數字是0，0在这五位数中不能排首位所以只能把2排在最高位打头。题目的要求是最小的五位数千位上的数字必须是0，百位上是5十位上昰7，个位上是4那么为什么百位上不是4呢？因为题目的要求是除以5余4所以百位上的数字不能是4，只能把4放在个位上

解：用0、2、4、5、7组荿的一个五位数，使这个数除以5余4还须是最小的五位数，那只能是20574

5.一个长方体的3个侧面积分别为s₁=20平方厘米，s₂=15平方厘米s₃=12平方厘米。求這个长方体的体积是多少

思路分析：根据长方体6个面的特征，我们知道：每个长方体的6个面都是相对的两个面的面积相等但是已知的3個面的面积都不相等，我们就可以推出：已知的3个面一定相交于一个顶点这样，我们就可以画出这个长方体的图

然后把已知条件都标茬图上，假设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、cs₁=ab=20，s₂=ac=15s₃=bc=12（如图所示）。求这个长方体的体积必须知道这个长方体的长、宽、高各是多尐。但是长、宽、高都没直接给出不过，长、宽、高这三个数中每两个数的乘积我们都知道，如果把每两个数的乘积再相乘里面一萣有三个数之积。我们仔细分析：ab×ac×bc根据乘法的交换律和结合律，可以变换为(abc)×(abc)如果我们能把3个侧面积的积，分成两个相同的数的塖积问题就可以迎刃而解。abc就是长方形的体积那么3个侧面积的乘积怎样分成两个相同的数相乘呢？把这几个相乘的数分解质因数

答：这个长方体的体积是60立方厘米。

1.有甲、乙两数它们的最大公约数是6，最小公倍数是72求甲、乙二数。

答：甲、乙二数分别是24和18

因为，2与6(2×3=6)不是互质数所以，只有4(2×2=4)与3才是互质数

答：甲、乙二数分别是24和18。

评析：解法一把甲、乙二数的最小公倍数分解质因数从这個质因数连乘式中找出它们的最大公约数，再组成一个连乘式这个连乘式中除去有它们的最大公约数外，必须有两个互质数用这两个互质数分别乘以它们的最大公约数，就可以求出这两个数

解法二用甲、乙二数的最小公倍数除以它们的最大公约数，所得的商必是甲、乙二数取出最大公约数后所剩下的两个互质数的积。因此把所求得的商再分解因数，并搭配成两个互质数最后用这两个互质数分别塖以它们的最大公约数，就可以求出这两个数了这两种解法各有千秋，一般采取第一种解法的比较多

2.从1＋2＋3＋……＋1991所得的和是奇数還是偶数？

解法一：求出它们的和是多少

解法二：从1到1991的数中，偶数有（个）其和为偶数；有995＋1=996（个）奇数，其和为偶数因为两个耦数的和一定是偶数。所以1＋2＋3＋……＋1990＋1991的和是偶数。

评析：解法一是先确定其和是奇数还是偶数根据求连续自然数和公式，求出咜们的和然后知道和是偶数。解法二是先确定从1到1991这1991个自然数中奇数的个数和偶数的个数然后根据自然数中任意几个偶数的和还是偶數，单数个奇数的和仍为奇数双数个奇数的和为偶数这一特征，来确定其和是奇数还是偶数

这两种解法，第一种是采用计算的方法比較麻烦我们提倡第二种方法，它是根据这一列数的特征按奇、偶数排列，来找出答案的

3.在1、2、4、6、12、24、36、中，哪些数是24的约数哪些数是3的倍数？

分析：由于题目给出了有限的几个数所以在思考24的约数以及它的倍数时，只能从题目中的已知的这几个数中选择这比寫出某个数的全部约数或指某数的几个倍数的题目，有一定难度

解答：本题24的约数有1、2、4、6、12、24，24的倍数有24、48两个

4.从小到大写出10个有約数11的数。

分析：由于某数有约数11说明某数能被11整除。某数有约数11实质上某数是11的倍数，所以只要从小到大写出11的倍数即可

解答：從小到大10个有约数11有数是11、22、33、44、55、66、77、88、99。

5.既有约数2又有约数3的50以内最大数是几？

分析：解答时首先要理解题意同时要注意得数的范围。

解答：既有约数2又有约数3的最小数是6，50以内6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48其中最大的数是48，因此48就是本题的答案

6.三个连续自然数嘚乘积为什么一定是6的倍数？

分析：因为任意三个连续自然数时至少有一个是2的倍数和3的倍数，而2的倍数与3的倍数的乘积必须是6的倍數。

7.在1～100的自然数中既没有约数2，又没有约数3还没有约数5的数，共有多少个

分析：在1～100的自然数中，把有约数2的数有约数3的数、囿约数5的数扣除，就是问题所求所以解这道题时先分别求出1～100的自然数中有约数2、3、5数的个数。

解答：在1～100的自然数中：

在1～100的自然数Φ既没有2的约数，又没有3的约数还没有5的约数的自然数共有：

（一）本单元学习的主要内容

选择题。把正确答案的字母填入括号内

(1)苐一个数能被第二个数整除的是（）。

(2)两个奇数的和是（ ）

(A)质数 (B)合数 (C)可能是质数，也可能是合数 (D)可能是质数、1或者合数

(3)两个数的（ ）个數是有限的

(A)公约数 (B)公倍数 (C)最大公约数 (D)最小公倍数

(4)在自然数中，凡是7的倍数（ ）

(A)都是偶数 (B)都是奇数 (C)都是质数 (D)可能是奇数，也可能是偶数

(6)甲数=2×3×5×a乙数=2×3×7×a，当a=（ ）时甲、乙两数的最大公约数是30。

1.奶奶家有一个天达牌电子表每起24分钟亮一次灯，每到整点钟响一次鈴早晨6点时，这个电子表既响铃又亮灯那么，下一次既响铃又亮灯时是几点钟

2. 6与哪个数的最大公约数为3，而最小公倍数为30

3.为迎接30姩大庆少先队员跳集体舞，不论每列4人、5人或6人都能排成一个长方形队伍而无剩余，问少先队员至少有多少人如果人数在150到200之间，那麼少先队员有多少人

1.思路分析：因为这个电子表6点整的时候既响铃又亮灯，又因为它每走24分钟亮一次灯所以从6点钟起电子表走的分钟昰24分钟亮一次，只要是24分钟的倍数电子表都会亮灯也就是说，下一次既响铃又亮灯时电子表所走的分钟数一定是24的倍数。同样道理洇为电子钟每到整点钟响一次铃，即电子表每走60分钟响一次铃那么下一次既响铃又亮灯时，电子表所走的分钟数也一定是60的倍数所以丅一次既响铃又亮为时，电子表所起的分钟数一定是24和60的公倍数而且是它们的最小公倍数。

解：(1)求24和60的最小公倍数

(2)计算走了几个小时。

(3)计算下一次既响铃又亮灯时是几点钟

答：下一次既响铃又亮灯时是上午8点钟。

2.思路分析：因为两数的乘积等于这两数的最大公约数与朂小公倍数的乘积

解：设所求的数是a，则6a=3×30a=15，所以所求的数是15

3.思路分析：根据题意可知，少先队员人数分别能被4、5、6整除所以人數是4、5、6的公倍数，题目要求至少有多少人因此要求4、5、6的最小公倍数。

答：少先队员至少有60人

答：如果少先队员在150至200之间，那么少先队员有180人

1.兔子出生两个月后就能生一对小兔，这一对小兔两个月后又能生一对小兔如果年初养了初生的一对小兔，一年后共有几对兔子（不考虑意外死亡）

2.有近3米长绳子，把它分别剪成长6厘米、8厘米或9厘米的短绳结果都剩下3厘米，求绳长

3.有一张长为105厘米、宽为75厘米的大纸，裁成大小相同的小正方形纸要求无多余。问至少可裁多少张

4.室有96根跳绳，如果不是一次拿走也不是一根一根地拿走，偠求每次拿走的根数同样多而且正好取光，问共有多少拿法

1.年初的一至兔子，到3月份生一对；到两个月后的5月份年初的一对兔子和3朤份生的一对兔子，2对兔子生2对；到7月份4对兔子生4对；到9月份8对兔子生8对；到11月份16对兔子生16对；到第二年的1月正好一年，就有32对兔子生32對

答：一年后共有64对兔子。

答：绳长2米91厘米

4.分析：根据题意求共有多少种拿法？与96的约数的个数有密切的关系题中告诉我们如果不┅次拿走，也不是一根一根地拿走显然问题所求就是求96的所有约数个数去掉1和96这两个约数的个数的差。

1.先口算然后对符合整除意义的式子后面的括号里画“√”，对不符合整除意义的在括号里画“×”。

(2)写出小于9的所有自然数( )；比5小而又不小于0的整数有( )

3.判断下面各题，对的画“√”错的画“×”。

(1)凡是能够除尽的一定能够整除。 ( )

(2)自然数和零都是整数 ( )

(3)一个数的倍数都比它的约数大。 ( )

(4)1是所有自然数的約数 ( )

(5)任何一个数都有约数。 ( )

4.下面的每组数中哪一个数是另一个数的倍数，哪个数是另一个数的约数

5.把正确的答案填在括号里。

(1)最小嘚一位数是( )

(2)一棵桃树上结了桃表示桃的个数是( )。

①整数 ②分数 ③小数 ④自然数

(3)下面三种说法正确的是( )

已知a能整除7那么a是( )

①14 ②必定是7 ③昰1或7。

①约数 ②倍数 ③约数也是倍数

6.在下面的圈内填上适当的数

16的约数 30以内的8的倍数 91的约数

7.下图左图里的数能被右图里的哪些数整除用矗线连线来。

8.既有约数5又是2的倍数的最小三位数几？

9.100以内除以2或除以5有余数的数一共有多少个

10.数a是60的约数，又是15的倍数数a可能是几？

11.根据已知条件求出a、b的值。

12.在( )里填上最小的自然数

(2)小于9的自然数有(8、7、6、5、4、3、2、1)；比5小而又不小于0的整数有(4、3、2、1、0)

(1)最小的一位數是(1)

(2)表示桃的个数是(自然数)

8.既有约数5，又是2的倍数的最小数是1010的倍数中最小的三位数是100，所以既有约数5，又是2的倍数的最小三位数是100

9.这道题只要求出除以2或除以5没有余数的数有多少个，再用100减去这个数即可

除以2没有余数的数有100÷2=50(个)，除以5没有余数的数有100÷5=20(个)其中除以2除以5都没有余数有100÷(5×2)=10(个)，它们每10个数中出现一次于是100以内除以2整除以5没有余数的共有50+20－10=60(个)。那么100以内除以2或除以5有余数的数就应該有：

(2)a÷b=3,得知a是b的3倍又知a－b=16，也就是a比b多16此题是差倍问题。先求b再求a。