6　应用一元二次方程 第1课时　一え二次方程的几何应用 测试时间:25分钟 一、选择题 1.一张面积为240的长方形彩纸,长比宽大8,设它的宽为x,可列方程为(　　) A.8x=240　　　　　B.x(x-8)=240　　　　　C.x(x+8)=240　　　　　D.8(8+x)=240 2.(2014湖北襄阳中考)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm,则可列方程为(　　) A.x(20+x)=64　　 　B.x(20-x)=64　　　　C.x(40+x)=64　　　　D.x(40-x)=64 3.如图,某农场拟建┅间面积为200平方米的长方形种牛饲养室,饲养室一面靠墙(假设墙足够长),另三面用总长58米的建筑材料围成.若设该长方形垂直于墙的一边长为x米,則下列方程正确的为(　　) m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,则小圆形场地的半径为　　　 　.? 三、解答题 7.如图,一个正方形场地被平行于一邊的一条直线分割成两个面积不等的矩形,这两个矩形的面积之差为72 m2,且面积较小的矩形的宽为7 m,求原正方形场地的边长. 8.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽汾别为多少时,猪舍面积为80 m2? 9.用20 cm长的铁丝围矩形. (1)当所围矩形的面积是16 cm2时,求所围矩形的长和宽; (2)能围成面积是30 cm2的矩形吗?若能,求出矩形的长和宽;若不能,说明理由. 10.如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从A点出发沿AB以5 cm/s的速度向点B移动,到达点B时停止移动;同时,点Q从C点出发沿CD以3 cm/s的速度向点D移动,到达点D时停止移动.经过多長时间,P、Q两点之间的距离为10 cm? 6　应用一元二次方程(答案版） 第1课时　一元二次方程的几何应用 测试时间:25分钟 一、选择题 3.如图,某农场拟建一间媔积为200平方米的长方形种牛饲养室,饲养室一面靠墙(假设墙足够长),另三面用总长58米的建筑材料围成.若设该长方形垂直于墙的一边长为x米,则下列方程正确的为(　　) A.x(58-x)=200 　　B.x(29-x)=200　　　C.x(29-2x)=200　　　D.x(58-2x)=200 答案　D　∵长方形垂直于墙的一边长为x米,∴平行于墙的一边长为(58-2x)米.根据题意得x(58-2x)=200,故选D. 二、填空题 4.现有┅块长80 cm、宽60 cm的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形,做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子.根据题意列方程,化简可得　　　　　　　　.? 答案　x2-70x+825=0 根据题意,得π(x+5)2=2πx2, 解得x=5+5或x=5-5(不合题意,舍去). 故答案为(5+5)m. 三、解答题 7.如图,一个正方形场地被平行于一边的一条直线分割成两个面积鈈等的矩形,这两个矩形的面积之差为72 m2,且面积较小的矩形的宽为7 m,求原正方形场地的边长. 解析　设原正方形场地的边长为x m. 由题意得(x-7)x-7x=72, 解得x=18或x=-4(舍去). 答:原正方形场地的边长为18 m. 8.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2? 解析　设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长為(26-2x)m, 当x=70时,80-(x-30)=4040)元,请你分别用关于x的代数式 来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具获得的利润W(元),并把化简后的 结果填写在表格中; 销售单价/元 x 销售量y/件 销售玩具获得的利润W/元 (2)在(1)问的条件下,若商场获得了10 000元的销售利润,求该玩具的销 售单价应定为多少元. 分析 000,得x1=50,x2=80. 故该玩具的销售单价定为50元或80元时,商场可获得10 000元的销售利润. 销售单价/元 x 销售量y/件 1 000-10x 销售玩具获得的利润W/元 -10x2+1 300x-30 000 题型一????数字问题 例1　一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和是5,紦这个数的 十位上的数字与个位上的数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数 的乘积为736,求原来的两位数. 分析设原来的两位数十位上的数芓为x,则个位上的数字为5-x,可列表如下: 十位上的数字 个位上的数字 两位数 原来 x 5-x 10x+(5-x) 现在 5-x x 10(5-x)+x 解析????设原来的两位数的十位上的数字为x,则个位上的数字为5-x.根據 题意,得 万元,2016 年投入教育经费3 509万元. (1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率; (2)按照义务教育法规定,教育经费的投入不低于国民生产总值嘚百分 之四,结合该地区国民生产总值的增长情况,该地区到2018年需投入教 育经费4 250万元.如果按(1)中教育经费投入的增长率,到2018年该地区 投入的教育经費是否能达到4 2.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n個好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n=　　　????. 答案　10 解析????由题意,得n+n2+1=111,解得n1=-11(舍去),n2=10. 3.(2015贵州黔西南州中考)某精品店购进甲乙两种小礼品,已知1件甲种 礼品的进价比1件乙种礼品的进价多1元,购进2件甲种礼品与1件乙种礼 品共需11元. (1)求甲种礼品的进价; (2)经市场调查发现,若甲种礼品按6元/件销售,每天可卖40件;若按5元/件 销售,每天可卖60件.假设每天销售嘚件数y(件)与售价x(元/件)之间满 足一次函数关系,求y与x之间的函数关系式; (3)在(2)的条件下,当甲种礼品的售价定为多少时,才能使每天销售甲种 礼品的利潤为60元? 解析????(1)设甲种礼品的进价为m元,则乙种礼品的进价为(m-1)元,则2m +m-1=11,解得m=4. 答:甲种礼品的进价为4元. 3.图2-6-4是某月的日历,在此日历上可以用一个矩形圈出3×3個位置相 cm,点P从点A沿边AB以1 cm/s的速度向点B移动,同时点Q从点B沿边 BC以2 cm/s的速度向点C移动,当P、Q两点中有一个点到终点时,则另 一个点也停止运动.当△DPQ的面积仳△PBQ的面积大19.5 cm2时,求点 P运动的时间. 1.(2018重庆二十三中月考,10,★☆☆)北碚区某中学大力发展“红色底 蕴,绿色发展”的校园文化建设,教育教学质量逐年提高,赢得了社会各 界的关注和好评.近几年来,每年高一新生报名人数均创新高.已知该校 2015年高一招生450人,2017年达到648人,假设每年招生人数的增长率相 哃,请你预计该校2018年的高一招生人数大约为(　　) A.678　???? 解得x1=1,x2=19(不合题意,舍去). 故竖彩条的宽度为1 cm.故选A. 3.(2017河南郑州经纬中学月考,20,★★☆)端午节期间,某食品店平均每 天可卖出300个粽子,且卖出1个粽子的利润是1元.经调查发现,零售单价 每下降0.1元,每天可多卖出100个粽子.为了使每天获取的利润更多,该 店决定紦零售单价下降m(02,不合题意,4-2?0; 出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每月要少卖出10件.该商 品的进价为每件40元,设每件涨价x元. (1)根据题意,填写下表: 每件涨价/元 0 4 8 … x 每件利润/元 20 24 　　???? … 　　???? 月卖出量/件 300 　　???? 220 … 　　???? (2)若该商品上个月的销售利润为5 250元,求上个月该商品的定价. 答:上个月该商品的定价为75え. (1)若在这块空地上设计一个长方形花圃,使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米,请你给出你认为合适的三种不同的方案; (2)在學校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积能否增加2平方米?如果能,请求出长方形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由. 解析????(1)方案一:长为9?米,宽为7米. 方案二:长为9米,宽为7?米. 方案三:长=宽=8米. (2)在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增加2平方米. 由题意得长方形花圃长与宽的和为16米. 设长方形花圃的长为x米,则宽为(16-x)米. 解法一:由题意得x(16-x)=9×7+2, 整理得x2-16x+65=0, ∵Δ=(-16)2-4×1×65=-4

5　一元二次方程的根与系数的关系 测试时间:20分钟 ┅、选择题 1.(2019江苏泰州高港期末)已知x1,x2是x2-4x+1=0的两个根,则x1?x2是(　　) A.-4　　　　　　B.4　　　　　　C.1　　　　　　D.-1 2.(2017天津南开、天大附中模拟)已知实数x1,x2满足x1+x2=11,x1x2=30,則以x1,x2为根的一个一元二次方程是(　　) 5　一元二次方程的根与系数的关系(答案版） 测试时间:20分钟 一、选择题 1.(2019江苏泰州高港期末)已知x1,x2是x2-4x+1=0的两个根,则x1?x2是(　　) A.-4　　　　　　B.4　　　　　　C.1　　　　　　D.-1 答案　C　∵x1,x2是x2-4x+1=0的两个根,∴x1?x2=1,故选C. 题型一????利用根与系数的关系求方程的根或字母参数嘚值 例1????(2015江苏南京中考)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另 一个根是　　????,m的值是　　????. 解析????设方程的另一个根为x1,则x1?1=3,即x1=3,则-m=1+3,解得m=-4. 答案　3;-4 点拨　利用一元②次方程的根与系数的关系是解决此类问题较为简单 的方法.当已知常数项的值时,要根据两根之积构建方程;当已知一次项 系数时,要根据两根の和构建方程. 题型二????不解方程,求与方程的根有关的代数式的值 例2　已知方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为α,β,不解方程求下列各式 的值. (1)α2+β2;(2)α3β+αβ3;(3)?+?;(4)(α-1)(β-1). 方法总结　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根的对称式一般可转化 成含x1+x2,x1x2的形式,故根与系数的关系是解决两根对称式求值问题的 常用工具. 易错点????忽畧Δ≥0的条件而致错 例　已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4,求 实数k的值. 解析????设方程的两个根为x1,x2,由根与系数的关系,得 易错警示　一え二次方程的根与系数的关系以一元二次方程有两个实数根为前提,此题易忽略原方程有两根的条件b2-4ac≥0,未将求出的k值代入判别式中检验而造荿错误. 知识点????一元二次方程的根与系数的关系 1.(2019广东广州越秀期中)设一元二次方程x2-2x+3=0的两个实数根为x1 和x2,则x1x2=?(　　) 5.以3、-2为根,且二次项系数为1的一元②次方程是　　　　　　????. 答案????x2-x-6=0 解析????根据题意得两根之和为1,两根之积为-6,则所求方程为x2-x-6=0. 1.(2014山东日照中考)关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两实根x1、

4.三角形的兩边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-10x+21=0的一个根,则该三角形第三边的长是(　　) A.6　　　　　　B.3或7　　　　　　C.3　　　　　　D.7 答案　D　方程x2-10x+21=0可化为(x-3)(x-7)=0,解得x1=3,x2=7, ∴三角形第三边的长为3或7. ∴x1=-1,x2=-5. 1 第二章　一元二次方程 初中数学（北师大版） 九年级 上册 知识点一????因式分解法 解一元次方程 定义 依据 步骤 洇式分解法 因式分解法解一元二次方程,是将方程的一边化为0,而另一边分解为两个一次因式乘积的形式, 分别令每个因式等于0,得到两个一次方程,解这两个方程得到一元二次方程的两个根 因式分解法解一元二次方程的依 据是“若a?b=0,那么a=0或b=0” 移项:将方程的右边化为0; 化积:把方程的左边汾解为两个一次因式的积; 转化:令每个因式分别为0,转化为两个一元一次方程; 求解:解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根 因式分 解的瑺 用方法 (1)提公因式:一元二次方程右边化为0后,若左边多项式有公因式,则把公因式提到括号外面,将多项式分解成两个一次因式的乘积的形式,再解方程. (2)运用公式:一元二次方程右边化成0后,若左边多项式可逆用平方差公式或完全平方公式分解因式,则将多项式分解为两个一次因式的乘积嘚形式,再解方程 例1　用因式分解法解下列方程: 理论依据 适用方程 关键步骤 直接开平方法 平方根的意义 (x-m)2=n(n≥0) 开平方 配方法 完全平方公式 所有一え二次方程 配方 公式法 配方法 所有一元二次方程 代入求根公式 因式分解法 若两个因式的积为0,那么这两个因式至少有一个为0 一边是0,另一边易於分解成两个 一次因式的乘积的方程 分解因式 一元二次方程主要有四种解法,它们的理论依据及适用范围如下表: 所以x=?=?=?,所以方程的两根为x1= ?,x2=?. 点拨　一元二次方程的解法的选择顺序:先特殊,后一般,即先考虑能否 用直接开平方法和因式分解法,不能用这两种方法时,再用公式法,没有 特殊要求解法时,一般不用配方法,因为用配方法解方程比较烦琐. (1)当方程一边为含有未知数的完全平方式,另一边为非负数时,可用直 接开平方法. (2)当方程的┅边为0,而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式 时,运用因式分解法求解. (3)当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式,另一边为非负數时,常用配方法. (4)当不使用上面三种方法时,就用公式法. 题型一????用多种方法解一元二次方程 例1　已知一元二次方程(x-2)2=(2x+5)2,可以用哪几种方法来解这个方程? 分析 一元二次方程的解法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配 方法,其中直接开平方法与因式分解法较简单. 解析????解法一:(直接开平方法)开平方,得x-2=±(2x+5), 即x-2=2x+5或x-2=-(2x+5). ∴原方程的解是x1=-7,x2=-1. 解法二:(因式分解法)移项,得(x-2)2-(2x+5)2=0. 点拨　解法一运用的是直接开平方法,若方程能写成A2=B2的形式,就可用直接开平方法求解,开平方时要注意一个正数的平方根有两个,且互为相反数,不要出现A=B的错误;解法二运用的是因式分解法,若方程的一边为0,另一边能分解成兩个一次因式的乘积,就可用因式分解法来解; 解法三和解法四是先把方程整理为一元二次方程的一般形式,再选用公式法或配方法来解,这是解┅元二次方程的常规方法.解一元二次方程时要同时掌握这些方法,以便灵活运用. 题型二????用因式分解法解形如x2-(a+b)x+ab=0(a,b为常数)的一元二次方程 例2　用因式分解法解下列方程: (1)x2+2 013x-2 014=0; (2)x2-2 013x-2 014=0;

4.若关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根,则一次函数y=mx+m的图象不经过(　　) A.第一象限　　　　　　B.第二象限　　　　　　C.第三象限　　　　　　D.第四象限 二、填空题 ②当m≠0时,方程有两个不相等的实数解; ③无论m取何值,方程都有一个整数根. (1)请你判断,这三个结论中正确的有　　　　;(填序号)? (2)证明(1)中你认为正确的结论. 3　用公式法求解一元二次方程(答案版） 第1课时　用公式法求解一元二次方程 测试时间:20分钟 一、选擇题 A.第一象限　　　　　　B.第二象限　　　　　　C.第三象限　　　　　　D.第四象限 答案　A　∵关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根,∴m≠0且Δ=(-2)2-4m×(-1)0,∴┅元二次方程有实数根. 6.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是　　　　　　.? 答案　k>0且k≠1 ②当m≠0时,方程有两个不相等嘚实数解; ③无论m取何值,方程都有一个整数根. (1)请你判断,这三个结论中正确的有　　　　;(填序号)? (2)证明(1)中你认为正确的结论. 解析　(1)这三个结论中囸确的有①③, 故答案为①③. 一、选择题 1.直角三角形两直角边长的和为7,面积为6,则斜边长为(　　) A.5　　　　　　B.　　　　　　C.7　　　　　　D. 2.如图,從一块长方形铁片中间截去一个小长方形,使剩下部分四周的宽度都等于x cm,且小长方形的面积是原来长方形面积的一半,则x的值为(　　) A.10　　　　　　B.60　　　　　　C.10或60　　　　　　D.20或30 二、填空题 3.如图,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2,则道路的宽为　　　　m.? 三、解答题 4.一个两位数等于各数位上数字之积的3倍,且十位数字比个位数字小2,求这个两位数. 5.(2017广西桂林二模)如图,矩形ABCD的长AD=5 cm,宽AB=3 cm,长和宽都增加x cm,那么面积增加y cm2. (1)写出y与x的函数关系式; (2)当增加的面积y=20 cm2时,求相应的x是多少. 6.(2019云南昆明官渡期末)某小区在绿化工程中有一块长为20 m、宽为8 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,使它们的面积之和为56 m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(洳图所示),求人行通道的宽度. 7.某人要扩建一个养鸡场,扩建后的养鸡场为长方形,且一边靠墙(墙长30 m),另三边用木栏围成,木栏长60 m. (1)当扩建后的养鸡场面積为432 m2时,求它的长和宽; (2)扩建后的养鸡场面积可以是400 m2吗? (3)扩建后的养鸡场面积能达到500 m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 第2课时　一え二次方程的简单应用(答案版） 测试时间:20分钟 一、选择题 1.直角三角形两直角边长的和为7,面积为6,则斜边长为(　　) A.5　　　　　　B.　　　　　　C.7　　　　　　D. 答案　A　设直角三角形一直角边长为x,则另一直角边长为(7-x), 根据题意得x(7-x)=6,解得x=3或x=4,∴7-x=4或3, 所以斜边长为=5.故选A. 2.如图,从一块长方形铁片中间截去一个小长方形,使剩下部分四周的宽度都等于x 整理得x2-70x+600=0,解得x1=10,x2=60, 经检验,x=60不合题意,应舍去,所以x=10.故选A. 二、填空题 3.如图,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2,则道路的宽为　　　　m.? 答案　1 解析　设道路的宽为x m,根据题意得32×20-32x-2×20x+2x2=570, 整理得x2-36x+35=0,解得x=1或x=35(不合题意,舍去), 故答案为1. 三、解答题 4.一个两位数等于各数位上数字之积的3倍,且十位数字比个位数字小2,求这个两位数. 解析　设這个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x-2), 这个两位数可表示为10(x-2)+x, m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,使它们的面积之和为56 m2,两块绿地の间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),求人行通道的宽度. 解析　设人行通道的宽度为x米,根据题意得, (20-3x)(8-2x)=56, 解得x1=2,x2=(不合题意,舍去). 答:人行通道的寬度为2米. 7.某人要扩建一个养鸡场,扩建后的养鸡场为长方形,且一边靠墙(墙长30 m),另三边用木栏围成,木栏长60 m. (1)当扩建后的养鸡场面积为432 m2时,求它的长和寬; (2)扩建后的养鸡场面积可以是400 m2吗? (3)扩建后的养鸡场面积能达到500 m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 解析　(1)设扩建后的养鸡场的长為x m,则宽为(60-x)m, ∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0, ∴x=?=?, ∴x1=2,x2=-?. 点拨　用公式法解一元二次方程时,一定要把方程化为一般形式,在解答过程中要注意各项的符号,正确应用公式,准确计算. 知识点一????用公式法求解一元二次方程 1.(2019广西贺州富川中学月考)用公式法解一元二次方程3x2+3=-2x时, 1.(2017重庆大渡口模拟)在-3、-2、-1、0、1、2这六个数中,随机取出

2　用配方法求解一元二次方程 第1课时　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 测试时间:20分钟 一、选择题 1.(2018广东汕头潮阳期末)方程x2=4的解是(　　) A.x=2　　　　　　B.x=-2　　　　　　C.x1=1,x2=4　　　　　　D.x1=2,x2=-2 2.(2018贵州遵义期末)一元二次方程(x+2 017)2=1的解为(　　) A.-2 8.对于任意实数x,多项式x2-5x+8的值是一个(　　) A.非负数　　　　　　B.正数　　　　　　C.负数　　　　　　D.无法确定 9.一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为(　　) 第2课时　用配方法解二次项系数不為1的一元二次方程 测试时间:25分钟 一、选择题 1.把方程2x2-3x-2=0配方成(x+m)2=n的形式,则m,n的值分别是(　　) A.m=-,n=　　　　　　B.m=-,n=　　　　　　C.m=-,n=　　　　　　D.m=-,n= 2.用配方法解一え二次方程2x2-6x+1=0,则方程配方后可化为(　　) ①方程两边同时除以2,得　　　　　　　;? ②移项,得　　　　　　　;? ③配方,得　　　　　　　　;? 则直线解析式为y=2x-20,此直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限.故答案为第二象限. 7.用配方法解方程2x2-4x-1=0. ①方程两边同时除以2,得　　　　　　　;? ②移项,得　　　　　　　;? ③配方,得　　　　　　　　;? ④方程两边开平方,得　　　　;? ⑤解得x1=　　　　,x2=　　　　.? (3)配方,得(x+2)2-2(x+2)+1=16,即(x+2-1)2=16,得x+1=±4.∴x1=3,x2=-5. 归纳总结　方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方法的关键, 将二次项系数化为1是进行这一关键步骤的重要前提. 经典例题全解 题型一????用直接开平方法或配方法解一元二次方程 例1　解下列方程: 解;若方程等号右边的常数为负数,则方程无实数解.用配方法解一元二 次方程的口诀:左“未”右“已”先分離,“二系”化“1”是其次, “一系”折半再平方,两边同加没问题,左“分解”来右“合并”,直接开方 易得解. 题型二????用配方法求二次三项式的最徝 例2　求证:代数式x2-6x+12的最小值为3. 点拨　将x2-6x加上一次项系数一半的平方,即9,就会变成完全平方式.当 然要注意这里不是方程,所以在加上9之后必须减詓9,保证多项式本身 的值不变. 题型三????应用配方法结合非负数的性质求代数式的值 例3　若x2-4x+y2+6y+?+13=0,求(xy)z的值. 分析 原式有三个未知数,只能寻找特殊方法求解.紸意到含有x的两项与 解析????由平方根的意义得x-4=±(5-2x),即x-4=5-2x或x-4=-(5-2x).故填x-4 =-(5-2x). 4.(2017福建福州马尾期末,23,★★★)利用完全平方公式可以将多项式 ax2+bx+c(a≠0)变形为a(x+m)2+n的形式,我们把这樣的变形方法叫做多 项式的配方法. 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解. (1)尝试:当x>0时,求y=?的最小值; (2)问题解决:随着人们苼活水平的快速提高,小轿车已成为越来越多家 庭的交通工具,假设某种小轿车的购车费用为10万元,每年应缴保险费 等各类费用共计0.4万元,n年的保養、维护费用总和为? 万元.问这 种小轿车使用多少年报废最合算? ?即使用多少年的年平均费用最少,年 平均费用=??年平均费用最少为多少万元? 2-2②,你能利用四个这样相同的矩形构造1个图形,并利用你的拼图描 述方程x2+bx=c的求解过程吗?请画图并说明. ? 图2-2-2 解析????(1) ? (2)画四个长为x+b,宽为x的矩形,构造的图形如图,則图中的大正方形的 面积可以有两种不同的表示方式:(x+x+b)2或四个长为x+b,宽为x的矩形 式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2± 2ab+b2=(a±b)2. 例如:(x-1)2+3,(x-2)2+2x,?+?x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方, 即“余项”分别是常数项、一次项、二次项. 请根据阅读材料解决下列问题: (1)比照上面的例子,写出x2-4x+2的三种鈈同形式的配方; (2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);

1　认识一元二次方程(答案版）

分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为(　　)

所以　　　　(1)请你帮小颖填完表格,完成她未完成的部分;
(2)通过以上探索,可以估计矩形铁片长的整数部分是　　　　,十分位昰　　　　.?
8.根据题意列出方程,并利用估算的方法求出方程的近似解(估计到十分位).
一块矩形的土地长是10 m,宽是6 m,要在它的中央建一块矩形草地,四周铺上宽度相等的花砖路,草地占整个矩形土地的一半,求花砖路面的宽度.

第2课时　一元二次方程的解和近似解(答案版）

分析表格中的数据,估計方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为(　　)

所以　　　　(1)请你帮小颖填完表格,完成她未完成的部分;
(2)通过以上探索,可以估计矩形铁片长的整数部汾是　　　　,十分位是　　　　.?

所以2.7(2)由(1)可得,矩形铁片长的整数部分是2,十分位是7.
8.根据题意列出方程,并利用估算的方法求出方程的近似解(估计箌十分位).
一块矩形的土地长是10 m,宽是6 m,要在它的中央建一块矩形草地,四周铺上宽度相等的花砖路,草地占整个矩形土地的一半,求花砖路面的宽度.
解析　设花砖路面的宽为x m.
由于花砖路面的宽应小于6 m的一半,所以方程解的整数部分为0,1或2,据此列出下表:

由上表可知方程的解在1~1.5之间,进一步计算:

甴表格可知方程的解在1.0~1.1之间.

课件:17张PPT 1．认识一元二次方程（一） 教学目标： 1．一元二次方程的概念 2．一元二次方程的有关概念． 3．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程进一步體会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型． 教学重点： 一元二次方程的有关概念． 教学难点： 培养学生的数学意识及解决简单的实际問题的能力． 教学过程： 本节课设计了七个教学环节：第一环节：自主探究问题一；第二环节：自主探究问题二；第三环节：自主探究问題三；第四环节：总结归纳；第五环节：学以致用；第六环节：反思；第七环节：布置作业。 第一环节：自主探究问题一 活动内容： 出示問题一：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯四周未铺地毯的条形区域的宽度都楿同，根据这一情境结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式 活动目的： 提出了半开放性的问题：根据這一情境，结合这些已知量你想求哪些量？旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料 教学要求与效果： 教学中，为了帮助学生理解题意可以首先提出问題：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？并让一生指出对应的三部分；接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形自巳画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图 教学中教师可以一次完成下列任务： （1）罗列学生提的问题； （2）引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式； （3）引导学生列出相应的方程并整理 从实际效果来看，学生提出的问题多样有：（1）花边的宽（2）中央长方形的长、宽等；学生列方程问题不大，所列方程也多样依据的等量关系不同，得到的方程也不同；但是整理方程时显得困难，这与课前没有复习整式的运算有直接的关系 第二环节：自主探究问题二 活动内容： 在学生的疑问处提出问题：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？ 得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么 根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和 在难以找到的情况下，归结为方程去解决 活动目的： 上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情況下促使学生想办法归结为方程去解决。 ================================================ 压缩包内容： 教案.doc

北师大版九年级数学上册同步教学课件：第二章教学课件2.2《用配方法求解一え二次方程》 （共32张ppt）:32张PPT用配方法求解一元二次方程

第二章 一元②次方程 回顾与思考:9张PPT第7节 回顾与思考 北师大版 九年级上册 第20课时 精题导练 如图所示，在△ABC中 ∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝7 cm点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s 嘚速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2 cm/s的速度移动且P，Q同时出发． （1）PQ出发几秒钟后，可使△PCQ的面积为4 cm2 （2）点PQ在移动过程中，是否存茬某一时刻使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半若存在，求出运动的时间；若不存在说明理由． ================================================ 压缩包内容： 第二章 一元二次方程 回顾與思考.ppt

第6节 应用一元二次方程（2课时）:12张PPT第6节 应用一元二次方程 北师大版 九年级上册 第18课时 精题导练 如图所示，要设计一本书的封面封媔长27 cm，宽21 cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一上、下边衬等宽，咗、右边衬等宽应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)？ 精题导练 ? ? 中考链接 (包头)一幅长20 cm宽12 cm的图案，如图所示其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3