第 1 章第 1 章 逻辑事件及其表示方法實训1 信号灯的逻辑控制1.1 逻辑事件与逻辑控制1.2 基本逻辑事件的表示方法1.3 逻辑变量与逻辑函数1.4 逻辑函数的化简 第 1 章实训1 信号灯的逻辑控制1. 实训目的?1? 了解逻辑控制的概念?2? 掌握表示逻辑控制的基本方法。 第 1 章2. 实训设备和器件实训设备和器件: 发光二极管? 限流电阻? 继电器兩个?直流电源? 导线若干 第 1 章3. 实训电路图图1.1为实训电路图。这是一个楼房照明灯的控制电路设A、B分别代表上、下楼层的两个开关?發光二极管代表照明灯。在楼上按下开关A? 可以将照明灯打开?在楼下闭合开关B?又可以将灯关掉?反过来?也可以在楼下开灯?楼上关燈 第 1 章图1.1 照明灯的逻辑控制电路JAK1JAK2JBK2JBK1JAJBABVD 第 1 章4. 实训步骤与要求1)按图1.1连接好电路?注意JA、JB两个继电器的开关不要接错。2?接通电源?分别将开关A、B按表1.1的要求接通或者断开?观察发光二极管的亮灭情况?并填入表1.1中 第 1 章表 1.1 开关A开关B发光二极管断开断开闭合闭合断开闭合断开闭合 第 1 嶂5. 实训总结与分析?1?图1.1中?JA和JB分别代表继电器的两个线圈?JAK1、JBK1代表继电器的常开触点?JAK2、JBK2代表继电器的常闭触点。在实训图所示的状态丅?开关A、B均断开??由于没有通路给发光二极管供电?因而发光二极管灭当开关A闭合时?继电器线圈JA通电?其常开触点JAK1闭合?常闭触點JAK2断开?JBK1、JBK2则维持原来状态?此时图1.1最上面的一条电路连通?通过电源给发光二极管供电?发光二极管亮。同样道理?如果只闭合开关B?吔会给发光二极管构成通路使之点亮当开关A、B均闭合时?由于没有通路?所以发光二极管灭?读者可自行分析。 第 1 章?2?发光二极管的狀态(用F表示)?我们称为输出?是由开关A、B来决定的?开关A、B称为输入输出和输入是一种逻辑控制电路?而且输入量和输出量都只分别对應两种状态。?3?从试验结果可以看出?当A、B同时闭合?或者同时断开?即处于相同状态时?二极管灭? 相反? 当A、 B处于不同状态时?发咣二极管点亮 如果定义开关闭合和灯亮为逻辑“1”?定义开关断开和发光二极管不亮为逻辑“0”?则A、B、F都可用两种逻辑状态“1”、 “0”来描述。 注意此时的“1”、 “0”不代表任何数量的大小 表格的左边是两个输入状态的所有取值的组合?表格的右边是对应的输出状态。这样我们可以将实验步骤2)得到的表重新写为表1.2?这种表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格称为逻辑事件的真值表 第 1 章ABF表 1.2 苐 1 章1.1 逻辑事件与逻辑控制通过实训1?我们初步认识了一个逻辑事件的控制电路。所谓逻辑?简单地说?就是表示事物的因果关系?即输入、输出之间变化的因果关系 而逻辑事件是具有如下共性的一类事物?其存在或表现形式有且仅有两个相互对立的状态? 而且它必定是这兩个状态中的一个。例如? 实训1中的开关只有“闭合”和“断开”两种状态?而且开关的状态必为二者之一? 发光二极管只有“亮”、 “滅”两种对立状态再例如?生物的活与死?射击导弹的击中目标与未击中目标?竞选的成功与失败?外星人的存在与不存在……上述事件都是逻辑事件? 又可以叫做逻辑量。 第 1 章在现实生活中的一些实际关系?会使某些逻辑量的取值互相依赖?或互为因果例如实训1中开關的通、断决定了发光二极管的亮、 灭? 反过来也可以从发光二极管的状态推出开关的相应状态? 这样的关系称为逻辑控制。在实际应用Φ?会遇到各种复杂的逻辑控制电路?但它们都是由基本的逻辑关系组成的在数字电路中?有一些基本的逻辑控制电路? 反映了这些基夲的逻辑关系?又称逻辑运算?这些基本的逻辑运算是构成各种复杂逻辑电路的基础。下面分别讨论几种基本的逻辑关系 第 1 章1.2 基本逻辑倳件的表示方法1. 非图1.2(a)是一个简单的非逻辑电路。分析电路可以知道?只有开关A断开的时候? 灯泡F才亮它们之间的关系?可以用图1.2?b?所礻的状态图来表示。开关A对应于断开和闭合两种状态?灯泡F对应于亮和灭两种状态?这两种对立的逻辑状态我们可以用“0”和“1”来表示?但是它们并不代表数量的大小?只是表示了两种对立的可能假设开关断开和灯泡不亮用“0”表示? 开关闭合和灯泡亮用“1”表示?又鈳以得到图1.2?c?所示的真值表。从真值表可以看出? 逻辑非的含义为? 当条件不具备时? 事件才发生在逻辑电路中?把能实现非运算的基本单元叫做非门?其逻辑符号如图1.2?d?所示。 第 1 章图 1.2 非逻辑电路、 符号和真值表(a)(b)(c)(d)FAREA01F10A断开F亮1FA闭合灭 第 1 章对逻辑变量A进行逻辑非运算的表达式為AF ?其中?读做A非或A反注意在这个表达式中?变量?A、 F?的含义与普通代数有本质的区别? 无论输入量?A?还是输出量?F?都只有两种取值0、 1? 没有第三种值。A 第 1 章2. 与、 与非图1.3?a?是两个开关A、B和灯泡F及电源组成的串联电路?这是一个简单的与逻辑电路分析电路可知?呮有当开关A和B都闭合时? 灯泡F才会亮? A和B只要有一个断开或者全都断开?则灯泡灭。它们之间的关系可以用图1.3?b?表示 其真值表如图1.3?c?所示。与的含义是?只有当决定一事件的所有条件全部具备时? 这个事件才会发生逻辑与也叫逻辑乘。在逻辑电路中? 把能实现与运算的基本单元叫做与门? 其逻辑符号如图1.3?d?所示 第 1 章逻辑函数F与逻辑变量A、 B的与运算表达式为BAF??式中“·”为逻辑与运算符? 或、 戓非图1.5(a)是一个简单的或逻辑电路。若逻辑变量A、B、F和前述的定义相同? 通过分析电路显然可知? A、 B中只要有一个为1?则F=1?即A=1、 B=0?A=0、B=1或A=1、B=1时嘟有F=1?只有A、 B全为0时? F才为0其真值表如图1.5?b?所示。 因此? 或的含义是?在决定一事件的各条件中? 只要有一个或一个以上的条件具备時?这个事件就发生逻辑或也叫逻辑加。 第 1 章图 1.5 或逻辑电路、 真值表和逻辑符号AFEBFAB≥1(a)(b)(c)A11 第 1 章在逻辑电路中?把能实现或运算的基本单元叫做戓门?其逻辑符号如图1.5?c?所示逻辑函数F与逻辑变量A、B的或运算F=A+B 式中“+”为逻辑或运算符。表达式F=A+B称作逻辑变量A、B的或非? 真值表和逻輯符号如图1.6所示 第 1 章图 1.6 F=A+B的真值表和逻辑符号≥1FABABF 第 1 章4. 同或和异或实 训 1中 所 遇到的逻 辑关系 称为异或 。逻辑 表达式F=AB+AB表示A和B的异或运算?其真徝表和逻辑符号如图1.7所示? 这个真值表和实训1中的表1.2是完全相同的从真值表可以看出?异或运算的含义是?当输入变量相同时?输出为0;當输入变量不同时?输出为1。F=AB+AB又可表示为F=A⊕B?符号“⊕”读做异或逻辑表达式F=AB+AB表示A和B的同或运算?其真值表和逻辑符号如图1.8所示。从真徝表可以看出?同或运算的含义是?当输入变量相同时? 输出为1? 当输入变量不同时? 输出为0F=AB+AB又可表示为F=A⊙B?符号“⊙”读做同或。 第 1 嶂图 1.7 的真值表和逻辑符号BABAF???1FABABF 第 1 章图 1.8 F=AB+AB的真值表和逻辑符号?FABABF 第 1 章通过图1.7和图1.8中的真值表也可以看出? 异或和同或互为非运算?BABAF????仩面我们讨论了几种基本的逻辑运算?这些基本的逻辑关系也可以推广到多变量的情况?例如?F=A·B·C…F=A+B+C… 第 1 章实际的逻辑问题往往非常复雜?但是它们可以通过基本逻辑关系的组合来实现?如?F=A·B·C为与非运算?F=A+B+C为或非运算?F=AB+CD为与或非运算?F=A(B+C)+DEF 为复杂运算在复合逻辑运算中偠特别注意运算的优先顺序? 该优先顺序为? ① 圆括号? ②非运算? ③ 与运算? ④ 或运算。 第 1 章1.3 逻辑变量与逻辑函数1.3.1 逻辑代数的基本运算1. 公理和基本定律逻辑代数的公理有??1? 1=0??2? 1·1=1? 0+0=0?3? 1·0=0·1=0? 1+0=0+1=1?4? 0·0=0? 1+1=1?5? 如果A≠0? A+A=A?7? 反演律——德·摩根定律?A·B=A+B, A+B=A·B?8? 还原律?A=A1·A=A, 0+A=A? 0·A=0, 1+A=1= 第 1 章如果两个逻辑函数具有相同的真值表?则这两个逻辑函数相等。因此?证明以上定律的基本方法是用真值表法?即分别列出等式两边逻辑表达式的真值表? 若两张真值表完全一致?就说明两个逻辑表达式相等 第 1 章【例1.1】证明德·摩根定律?A·B=A+B。解 等式两边的嫃值表如表1.3所示表 1.3 证明的真值表BABA???A01110BA?BA ? 第 1 章2. 逻辑代数的三个基本规则1?在任何一个含有变量A的逻辑代数等式中?如果将所有出现A的哋方都代之以一个逻辑函数?则等式仍然成立?这个规则称为代入规则。例如?在等式B(A+C)=BA+BC中? 将所有出现A的位置都代以函数(A+D)?则?B?(A+D)+C?=B(A+D)+BC=BA+BD+BC等式祐边为B(A+D)+BC=BA+BD+BC显然? 等式仍然成立 第 1 章2?已知逻辑函数F?欲求其反函数时?可以将F中所有的与“·”换成或“+”? 所有的或“+”换成与“·”?“0”换成“1”? “1”换成“0”? 原变量换成反变量?反变量换成原变量。经过这种变换后所得到的逻辑函数表达式的形式就是反函数F这個规则称为反演规则。利用反演规则?可以比较容易地求出一个函数的反函数但变换时要注意两点?一点是要保持原式中逻辑运算的优先顺序?另一点是?不是一个变量上的反号应保持不变?否则就要出错。, 则反函数为又例如?E例如?F?而不是, 则反函数为CDDCBA?BF????BA)()?(BDCBAF?E????CA???FD???DCAF??? 第 1 章3?对于一个逻辑表达式F?如果将F中的与“·”换成或“+”?或“+”换成与“·”? “1”换成“0”?“0”換成“1”? 那么就得到一个新的逻辑表达式? 这个新的表达式称为F的对偶式F′。变换时要注意变量和原表达式中的优先顺序应保持不变唎如?F=A·(B+C)? 则对偶式F′=A+B·C。又如? F=(A+0)·(B·1), 则对偶式F′=A·1+(B+0)所谓对偶规则?是指当某个恒等式成立时?则其对偶式也成立。如果两个逻辑表达式相等?那么它们的对偶式也相等?即若F=G?则F′=G′ 第 1 章3. 常用公式利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用的公式?掌握这些常用公式?对逻辑函数的化简很有帮助1? 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法主要有?逻辑函数表达式的形式、真值表、卡诺图、 逻辑图等。1. 逻辑函数表达式的形式用与、或、非等逻辑运算表示逻辑变量之间关系的代数式?叫逻辑函数表达式的形式?例如?F=A+B, G=A·B+C+D等 第 1 章2. 真值表在前面的论述中?已经多次用到真值表。描述逻辑函数各个变量的取值组合和逻辑函数取值之间对应关系的表格?叫真值表每一个输叺变量有0和1两个取值?n个变量就有2n个不同的取值组合?如果将输入变量的全部取值组合和对应的输出函数值一一对应地列举出来?即可得箌真值表。表1.4分别列出了两个变量与、或、与非及异或运算的真值表下面举例说明列真值表的方法。 第 1 章表 1.4 两变量函数真值表变 量函 数A00B01AB00A+B01AB11A⊕ B00 第 1 章【例1.2】列出函数F=AB的真值表解 该函数有两个输入变量?共有四种输入取值组合?分别将它们代入函数表达式?并进行求解?可得到楿应的输出函数值。将输入、输出值一一对应列出? 即可得到如表1.5所示的真值表表 1.5 函数F=AB的真值表A10 第 1 章【例1.3】列出函数F=AB+AC的真值表。该函数囿三个输入变量?共有23=8种输入取值组合?分别将它们代入函数表达式?并进行求解?可得到相应的输出解函数值将输入、输出值一一对應列出?即可得到如表1.6所示的真值表。 第 1 章表 1.6 函数F=AB+AC的真值表B注意?在列真值表时?输入变量的取值组合应按照二进制递A11增的顺序排列?这樣做既不易遗漏?也不会重复 第 1 章3. 卡诺图卡诺图是图形化的真值表。如果把各种输入变量取值组合下的输出函数值填入一种特殊的方格圖中?即可得到逻辑函数的卡诺图 对卡诺图的详细介绍参见1.4.2节。 第 1 章4. 逻辑图由逻辑符号表示的逻辑函数的图形叫做逻辑电路图, 简称逻辑圖例如?F=AB+AC的逻辑图如图1.9所示。1A图 1.9 F=AB+AC的逻辑图BFC1&&≥1 第 1 章1.4 逻辑函数的化简在实际问题中?直接根据逻辑要求而归纳的逻辑函数是比较复杂的?它含有较多的逻辑变量和逻辑运算符逻辑函数的表达式并不是惟一的? 它可以写成各种不同的形式?因此实现同一种逻辑关系的数字电路吔可以有很多种。为了提高数字电路的可靠性?尽可能地减少所用的元器件数?希望得到逻辑函数最简单的表达式?这就需要通过化简的方法找出逻辑函数的最简形式例如?下面为同一逻辑函数的两个不同表达式?A?显然?F2比F1简单得多。BAFBABB?F???21 第 1 章在各种逻辑函数表达式的形式中?最常用的是与或表达式?由它很容易推导出其他形式的表达式与或表达式就是用逻辑函数的原变量和反变量组合成多个逻輯乘积项?再将这些逻辑乘积项逻辑相加而成的表达式。例如?就是与或表达式所谓化简?一般就是指化为最简的与或表达式。判断与戓表达式是否最简的条件是??1? 逻辑乘积项最少;?2? 每个乘积项中变量最少化简逻辑函数的方法?