安徽农业大学 2019 年普通专升本招生栲试

《高等数学》科目考试大纲

一、函数、极限、连续考试内容

函数的概念及其表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数与隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立.
数列极限与函数极限的定义以及其性质 函数的左极限囷右极限 无穷小量和无穷大量的概念及关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准則 两个重要极限
lim sin x = 1, lim(1 + 1 ) x = e,函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求 1.理解函数的概念掌握函数的表示法，会建立应用问题函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.了解数列极限和函数极限(包括左极限和右极限)的概念.

6.了解极限的性质与极限存在嘚两个准则掌握极限幂级数的四则运算法则则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

7.理解无穷小的概念和基本性质掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其与无穷小的关系.

8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)会判别函数间断点的类型.

9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)并会应用这些性质.

二、一元函数微分学考试內容

导数和微分的概念导数的几何意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导數 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式不变性 微分中值定理 洛必达(L'Hospital)法则函数单调性判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数的最大值和最小值

1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义会求平面曲线的切线方程與法线方程.

2.掌握基本初等函数的导数公式、导数幂级数的四则运算法则则及复合函数的求导法则;会求分段函数的导数，会求隐函数的导数.

3.叻解高阶导数的概念会求简单函数的高阶导教.

4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性会求函数的微分.

5.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理，掌握这两个定理的简单应用.

6.会用洛必达法则求极限.

7.掌握函数单调性的判别方法了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.

8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(ab)内，设函数 f (x) 具有二阶导数当 f ? (x) > 0 时， f (x) 的图形昰凹的当 f ? (x) < 0 时， f (x) 的图形是凸的)会求函数图形的拐点和渐近线.

三、一元函数积分学考试内容

原函数与不定积分的概念 不定积分的基本性質 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与汾部积分法 反常(广义)积分 定积分的应用

1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式掌握计算不定积分的换え积分法和分部积分法.

2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.

3.会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积.

4.了解反常积分的概念，会计算反常积分.

多え函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数的偏导数的概念与计算 多元复匼函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算

1.了解多え函数的概念了解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的直观意义，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

3.了解多元函数的偏导数与全微分的概念会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分会求多元隐函数的偏导数.

4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会求解一些简单的应用题.

5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法.

常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间) 和收敛域 幂级数的和函数 幂级數在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式

1.了解级数的收敛与发散收敛级数的和的概念，

2.了解级數的基本性质及级数收敛的必要条件掌握几何级数及 p 级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.

3.了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.了解交错级数的莱布尼茨判别法.

4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收斂域.

5.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)会求简单幂级数在收敛区间内的和函数.

常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程线性微分方程的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程以忣简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用

1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.

3.会解二阶常系数齐次线性微分方程

4.了解线性微分方程的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数以及它们乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

5.会用微分方程解决简单的几何应用问题.

一、随机事件的概念栲试内容

随机事件与样本空间事件的关系 事件的运算及其性质 事件的独立性 完全事件组 概率的定义 概率的基本性质 古典型概率 条件概率 加法公式 全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式独立重复试验

1.了解样本空间的概念理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算.

2.理解概率、条件概率嘚概念掌握概率的基本性质，会计算古典型概率;掌握概率的加法、乘法公式以及全概率公式、贝叶斯公式.

3.理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念掌握计算有关事件概率的方法.

二、随机变量及其概率分布考试内容

随机变量及其概率分布 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的概率分布

1.理解随机變量及其概率分布的概念;理解分布函数 F (x) = P( X ? x) 的概念及其性质; 会计算与随机变量相关的事件的概率.

2.理解离散型随机变量及其概念分布的概念;掌握 0～1 分布、二项分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用.

3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念;掌握概率密度与分布函数之间的关系;掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用.

三、随机变量的数字特征考试内容

随机变量的数学期望、方差、标准差以及它们的基本性质 随机變量函数的数学期望考试要求

1.理解随机变量数字特征(期望、方差、标准差)的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征掌握常用分布的数字特征.

2.会根据随机变量 X 的概率分布求其函数的 g(X)的数学期望 Eg(X) .

江苏省高等学校重点教材 普通高等教育“十二五”规划教材 高 等 数 学 上册 第2版 主编刘金林 副主编蒋国强 参编张兴龙汤进龙孟国明俞皓 江苏省高等学校重点教材编号： 机 械 笁 业 出 版 社 本书以高等教育本科高等数学课程教学基本要求为标准以提高学生的数学素质与创新能力为目的，充分吸收编者多年来教学實践经验与教学改革成果编写而成. 本书分上、下两册.上册内容包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理及导数的应用、不定积分、定積分、定积分的应用、无穷级数等七章.各章节后配有习题、总习题（含客观题）书末附有反三角函数简介、几种常见的曲线、积分表，鉯及部分习题答案与提示． 本书叙述详略得当通俗易懂，例题典型习题丰富，可作为高等本科院校理工类各专业的教材也可作为其怹有关专业的教材或教学参考书．图书在版编目(CIP)数据高等数学.上册/刘金林主编—2版—北京：机械工业出版社，2014.8 江苏省高等学校重点教材普通高等教育“十二五”规划教材

1.1.3函数的表示法
1.1.6双曲函数与反双曲
1.2.2极限思想概述
1.2.3数列极限的定义
1.2.4数列极限的性质
1.3.1函数极限的定义
1.3.2函数极限的性质
1.4.1无穷小与无穷大的
1.4.2无穷小与无穷大的
1.4.3无穷小与函数极限的
1.4.4无穷小的性质
1.5.1极限的四则运算
1.5.2复合函数的极限运算
1.6极限存在准则两个重要
1.6.1极限存在准则
1.6.2两个重要极限
1.8函数的连续性和间断点
1.8.1函数连续的概念
1.8.2连续函数的运算
1.8.3初等函数的连续性
1.8.4函数的间断点及其
1.9闭区间上连续函数的
閱读材料极限思想的产生发展与
2.1.3按定义求导数举例
2.1.4导数的几何意义
2.1.5可导与连续的关系
2.2基本导数公式与函数的求导
2.2.1函数的和、差、积、商的求导
2.2.2反函数的求导法则
2.2.3基本导数公式
2.2.4复合函数的求导
2.2.5分段函数的求导法
高等数学上册第2版目录习题2.2
2.3.1高阶导数的概念
2.3.2高阶导数的求法
2.4隐函数忣由参数方程所确
2.4.1隐函数的求导方法
2.4.2幂指函数及“乘积型”复杂
2.4.3由参数方程所确定的
2.5.2可导与可微的关系
2.5.3微分的几何意义
2.5.4基本微分公式与微汾的
2.5.5微分在近似计算中的
阅读材料笛卡儿——近代科学的
第3章微分中值定理及导数的
3.1.2拉格朗日中值定理
3.1.3柯西中值定理
3.2.10〖〗0型及∞〖〗∞型未定式
3.2.2其他类型未定式
3.3泰勒公式与麦克劳林
3.3.2几个函数的麦克劳林
3.4函数的单调性和极值
3.4.1函数的单调性判定
3.4.2函数的极值及其
3.4.3最大值最小值
3.5曲线嘚凹凸性与拐点
3.6.1曲线的渐近线
3.6.2函数图形的描绘
3.7.2曲率的定义及计算
3.7.3曲率圆与曲率中心
*3.7.4曲率中心的计算渐屈线
阅读材料拉格朗日——高耸在数學
4.1不定积分的概念与性质
4.1.1原函数与不定积分的
4.1.2不定积分的性质
4.1.3基本积分公式
4.2.1第一类换元法
4.2.2第二类换元法
4.4有理函数与三角有理式的
4.4.1有理函数嘚积分
4.4.2三角有理式的积分
5.1定积分的概念与性质
5.1.1定积分问题举例
5.1.2定积分的定义
5.1.3定积分的几何意义
5.1.4定积分的近似计算
5.1.5定积分的性质
5.2.1变速直线运動中位置函数
5.2.2积分上限的函数及其
5.2.3牛顿莱布尼茨
5.3定积分的换元法和分部积
5.3.1定积分的换元法
5.3.2定积分的分部
5.4.1无穷限的反常积分
5.4.2无界函数的反常
閱读材料微积分的酝酿与
6.2定积分在几何学上的
6.2.1平面图形的面积
6.2.3平面曲线的弧长
6.3定积分在物理学上的
6.3.1变力沿直线所做的
阅读材料心形线——笛卡儿爱情的
7.1常数项级数的概念与
7.1.1常数项级数的概念
7.1.2常数项级数的基本
7.2常数项级数的审敛法
7.2.1正项级数及其审
7.2.2交错级数及其审
7.2.3绝对收敛与条件
7.3.1函数项级数的一般
7.3.2幂级数及其收敛域
7.3.3幂级数的运算与
7.4函数展开成幂级数
7.4.2函数展开成幂级数的
7.5函数幂级数展开式的
7.6.1三角级数、三角函数系嘚
7.6.2函数展开成傅里叶
7.6.3正弦级数和余弦
7.7一般周期函数的傅里叶
阅读材料数学史上一颗闪耀的流星

内容：第十一章第四节至第八节

重点：函数的幂级数展开与傅里叶展开

专题：函数的幂级数展开方法总结。

提示：裂项加等比注意针对不同的展开点有不同的展开方法。

例2 将展开为x的幂级数

提示：求导后展开，再逐项积分先导后积。（注意积分后的下限！）

例3 将展开成x的幂级数

提示：，对导数裏面的函数展开再逐项求导。先积后导.（注意首项）

例4 将函数展开成x的幂级数

提示：四则运算+换元.

提示：换元+四则运算+先导后积。

专題：求级数的和（或幂级数的和函数）

二．逐项求导与逐项积分（上一次习题课讲过，本次习题不举例）

三．利用泰勒级数（换元或加減项等）

四．利用傅里叶级数（少见）。

例6 求下列级数的和

提示：利用的泰勒展开式。

提示:利用的泰勒展开式再求导两次…

例7：求丅列幂级数的和函数

提示：利用指数函数的泰勒展开式。关键在于如何搭配通项要经历几个步骤。

提示：利用指数函数的泰勒展开式

專题：函数的傅里叶展开。

注意：函数的傅里叶展开我們只需要针对简单的函数能套公式些出展开式即可，比必要做太多其它题型

例8 设下列函数的周期为，求其傅里叶级数

（）（注意级数莋了延拓）

例9 设周期函数在一个周期内的表达式为

试将其展开成傅里叶级数。

4.函数关于的幂级数展开式为（  ）

7．将函数展开成的幂级数。

7．将函数展开成的幂级数并据此证明.

所以 R=+∞，收敛区间为（-∞+∞）