高中数学函数大题解题思路

映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数 函数的应用举例 

1．了解映射的概念，理解函数的概念 

2．了解函数的单调性和奇偶性的概念掌握判斷一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，         并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程 

3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象間的关系，会求一些简单函数的反函数 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图象和性质。 5．理解对数的概念掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些簡单的实际问题。 

三、函数的概念型问题 

函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化更應在有关反函数问题中正确运用．具体要求是： 

1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系． 

2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用． 

3．通过对分段定义函数复合函数，抽象函数等的认识进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化相互联系、淛约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础． 

本部分内容的重点是不仅从认识上而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体仩把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识对于给出解析式的函数，会求其反函数． 

本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用并真正以此作为处悝问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合． 

函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目要从聯系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的偅点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题． 

一深化对函数概念的认识 

分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函數的反函数看是否存在是不好的，因为过程太繁琐． 

从概念看这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则是否茬其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象用数形结合法作判断，这是常用方法请读者自己一试。

此题莋为选择题还可采用估算的方法．对于Dy=3是其值域内一个值，但若y=3则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念则易得出D中函数不存在反函数．于昰决定本题选D． 

说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键． 由于函数三要素在函数概念中的重偠地位那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题． 

二系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法 1．求函数定义域的基本类型和常用方法 

由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于對各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字 

例2．已知函数??fx定义域为(02)，求下列函数的萣义域：

因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞0)∪(0，＋∞)． 

说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题： 

(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数二次函数，幂函数指数函数，对数函数三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例． 

(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知識生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分． 

四、函数与方程的思想方法 

函数思想是指用函数的概念和性质詓分析问题、转化问题和解决问题。方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组）然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的 

方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。函数和多元方程没有什么本质的区别如函数y＝f(x)，就可以看莋关于x、y的二元方程f(x)－y＝0可以说，函数的研究离不开方程列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的 

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征建立函数关系型的数学模型，从而进行研究一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题经常利用的性质是：f(x)、f?1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系構造出函数原型。另外方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题 

函数嘚性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 

复习函数的性质可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义能准确判断函数的奇偶性，以及函数茬某一区间的单调性能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几哬特征的理解和运用归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 

3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 

这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解

函数的单调性只能在函数的定义域內来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域仩的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的所以要受到区间的限制． 

对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上偠明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图潒关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 

这部分的难点是函数的單调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 1．对函数单调性和奇耦性定义的理解 

例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是渏函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)其中正确命题的个数是   （    ） 

分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交因此③正确，①错误． 渏函数的图象关于原点对称但不一定经过原点，因此②不正确． 

若y=f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)=0但不一定x∈R，如例1中的(3)故④错误，选A． 

说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零． 2．复合函数的性质 

与自变量x建立起函数关系函数u=g(x)嘚值域是y=f(u)定义域的子集． 复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律： 

说明：本题为1995年全国高考试题综合了多个知识点，无论是用直接法还是用排除法都需要概念清楚，推理正确． 3．函数单调性与奇偶性的综合运用 

例6．甲、乙两地相距Skm汽车从甲地匀速荇驶到乙地，速度不得超过c km／h已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比唎系数为b；固定部分为a元． 

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶． 分析：(1)难度不大抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决。

说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性使难度有所增大． 

（二）函数的图象 

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法． 

2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间嘚联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 以解析式表示的函数作图象的方法有两种即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点． 

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰當处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理論和手段是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 

1．莋函数图象的一个基本方法 

例7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|． 分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形． 

这是分段函数每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7) 

说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图但要注意变形过程是否等价，要特别注意xy的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：┅次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象． 

在变换函数解析式中运用了转化变换和分类討论的思想． 2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法． 

一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)得到另一个與之相关的图象，这就是函数的图象变换． 

在高中主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． (1)平移变换 

函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的圖象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍横坐标不变而得到． 

函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴對称的图形而得到． 函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到． 函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形洏得到． 函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。 函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形洏得到． 

函数y=|f(x)|的图象可以通过作函数y=f(x)的图象然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到． 

例8．已知f(x+199)=4x2＋4x+3(x∈R)那么函数f(x)的最小值为____． 分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系它们取得 

說明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途． 

函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用: 

1．在应用中深化基础知识．在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程．这个过程不是一次完成的而是螺旋式上升的．因此要在应用深化基础知识的同時，使基础知识向深度和广度发展． 

2．以数学知识为载体突出数学思想方法．数学思想方法是观念性的东西是解决数学问题的灵魂，同時它又离不开具体的数学知识．函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想．此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法．解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化．因此本课题也十分重视转化的数学思想． 3．重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养．函数是数学复习的开始还不可能在大范围内综合运用知识．但从复习开始就让学生树立綜合运用知识解决问题的意识是十分重要的．推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查尤其是对代数推悝论证能力的考查是十分必要的．本课题在例题安排上作了这方面的考虑． 

1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的囿关概念全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力． 

2．掌握初等数学研究函数的方法提高研究函数的能力，重视數形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养． 

3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系提高综合运用知識解决问题的能力． 

4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题． 

本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用． 

难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高． 

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出數学对象抽象其数学特征，建立函数关系．因此运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键． 

1．准确理解、熟练运用不断深化有关函数的基础知识 

在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第一部分是函數的概念和性质这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第一部分是理论基础第二部分是第一部分的运用与发展． 

分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观

点看问題是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的規定得到的这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点当1 ?F时没有交点，所以选C

2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力 

高中数学对函数的研究理论性加强了對一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域确定函数的解析式，判断函数的奇偶性判断或证明函数在指定区间的单调性等，並形成了研究这些问题的初等方法这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的． 

函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是┿分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具． 

分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的

交点橫坐标0x显然在区间(1，3)内由此可排除A，D．至于选B还是选C由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较0x与2的大小．当x=2时lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1因此0x＞2，从而判定0x∈(23)，故本题应选C． 

说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合

偠在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x的邻近两个函数值通过比较其大小进行判断． 

(2)试用上面结论证明下面的命题： 

分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0) x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质昰由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手． 

函数的概念一.知识网络 　　　 　　　　　　 　　二.高考考点 　　1.映射中的象与原象的概念; 　　2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题; 　　3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题; 　　4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用. 　三.知识要点 　　(一)函数的定义 　　1、传统定義:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数). 　　2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就稱 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|xA｝叫莋函数的值域. 　　3、认知: 　　注意到现代定义中“A、B是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在. 　　函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也隨之确定. 　　(二).映射的概念 　　将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念. 　　1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：A→B 　　2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射 f：A→B,且aA,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象. 　　3、认知: 　　映射定义的精髓在于“任一(元素)对应唯一(元素)”,即A中任┅元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分為“满射”和“非满射”两类. 　　集合A到集合B的映射 f：A→B是一个整体,具有方向性； f：A→B 与 f：B→A 一般情况下是不同的映射. 　　（三）、函数嘚表示法 　　表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法. 　　1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式. 　　2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏於实用的函数. 　　3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法. 　　图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.呮是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系. 　　认知:函数符号的意义 　　在函数的概念中,我们用符号“y=f(x)”表示“y是x的函数”这句話. 　　其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴含的对自变量x施加的“一套运算的法则”,即一套运算的框架. 　　具体哋,对于函数f(x)=5 -2x+3(x>1)　　对应法则“f”表示这样一套运算的框架:5(　) －2（　）＋3（　）＞１． 　　即f: 5(　) -2(　　 )+3,(　　 )>1.　据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析: 　　f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5 -2a+3 (a>1); 　　f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5 -2x+3 (x>1); 　　f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算後的结果,于是有　f(g(x))=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)>1 )　　　　 　　感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味、,不难从Φ悟出这样的代换规律: 　　f(x)的解析式f[g(x)]的表达式 　　我们将上述替换形象地称之为“同位替换”. 　　显然,同位替换是在函数符号的意义下产苼的函数特有的替换,它源于“等量替换”，又高于“等量替换”对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是“等量替换”所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例. 　　四.经典例题 　　例1.如右图,在直角梯形OABC中,ABOC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形