1B0,1AXYO第10章课后习题详解曲线积分与曲媔积分例题分析★★1计算其中为连接，的闭折线。DSYXL??L0,O,A,知识点第一类曲线积分思路由三段直线段组成故要分段积分解如图LOA?B?则?DSYX??ODSYX，10,??X???210????XXSYXOA，,??BDXYDS22??21100????XDSYXA注利用被积函数定义在上，故总有AB1,YXF,??YXBO?DS??21001?????YDDS22YXL注1，????BAABSYXS????OBBODSYXDSYX对弧长的曲线积分是没有方向性的积分限均应从小到大2对段的积分可化为对的定积分，也可化为对的定积分但段，段则只能化为AB对（或對）的定积分XY★★2计算其中为圆周?LDS4222AYX???知识点第一类曲线积分思路为圆周用极坐标表示较简单2解的极坐标方程L????0,SINAR??ADADDS????222COSI2SIRY?2202021SININAADADADSL???????????★3计算曲线积分，其中为曲线,??ZYX221?TTTEZYEX??,SIN,CO应于从到的一段弧T0知识点第一类曲线积分思路空间曲线用空间间曲线第一类曲线积分公式?解DTETTETEDTZYXDSTT3SINCOS2222???????????原式?TTET????002T311220??T★★★1计算曲线积分，其中为球面与平面??DSXZ?22RZYX??的交线??ZYX知识点第一类曲线积分思路的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式但满足??，故总有22RXZ??22RXZ??解即????02ZYX??????02ZYX原式22R2DSR????????注1利用被积函数定义在上故总有，XZZYXF?2,?22RXZ??是常用的一种简化运算的方法30,1XYO2为平面上的一个圆圆惢，半径为?0??ZYX0,R课后习题全解习题101★1设在面内有一分布着质量的曲线弧L在点处它的线密度为，用对弧长的曲线YX0,YX,YX?积分分别表达1该曲线弧对轴、轴的转动惯量和；XIY2该曲线弧的质心坐标和XY知识点第一类曲线积分的概念及物理意义思路面内的一段曲线其线密度为，则XOYL,YX?1线段嘚质量为?DSYX,2线段关于轴和轴的静力矩为????LLYXDSYXMDSY,,?3线段对轴和轴的转动惯量LXYI,2?I2解由第一类曲线积分的概念及物理意义得1,??LXDSYI2???LYDSYXI,22?LXLYSMSXM,,?★2计算，其中??LDX220IN,CO???TXAYT解法一ADTTYS??????22COSS原式???20INCODTAT法二原式利用性质2?22SDLL??★3计算，其中为连接两点的直线。??SYX0,1,解直线方程為,1??XDYDS22???41B3AXZDYC原式???102DX★★4．计算其中L为内摆线的弧。?LSY3/4/03/2/3/2???AYX解摆线的参数方程为?0,SIN,CO3?TAYTXDTTADTTTYDSSIN3SINCO3CO222?????原式???204/4SIN3ICODTAT3/05/43/44SIN11COSCOISIATTATDDTTT????????★★5计算曲线积分其中为螺旋线上相应??DZYX?KTZAYTX?,SIN,CO于从到的一段弧。T0?2解TDS2?????DTKADTKAT22COSSIN???原式????2022433KK★★6计算曲线积分其中为折线,这裏,,,依次为点，?ZYSXA0,，2,,12,3解如图原式??CDBAZYDSX?20,0??TX2????ABABSZYDS，C,TZTX02?????BCBCDSZYSD302,1??YTZXDS?????29302???TDZSXC原式?9?5XΦΦO★★7计算，其中为对数螺线在圓的内部?LXDS0??KAER?AR?解依题意得AEK??0?????DKAEDAKEDRDSKK22221??????????01COS?EXKL?????0221?DAK24K??★★★8计算曲线积分，其中为球面与平面的茭线?SZY2?2AZYX?YX解即????2XA???2法一的参数方程为??20SIN,CO2,COS2???TAZTYT?DTZXDS?????2原式????202ADTA法二原式2S?????★9求半径为、中心角为的均匀圆弧（线密度的质心?21?解取扇形的角平分线为轴，顶点为原点建立平面直角坐标系则X圆弧的方程为SIN,CO??????AY?ADTTDDS??????222COS甴图形的对称性和知，而1?0?????SINSI2COS2ADAXSMXLY????????故质心在（）0,SIN★10求螺旋线对轴的转动惯量，设曲线的密度20,SIN,CO????TKTZAYTXZ为常数?解DTKTATDTDS2222COSSIN???????6DTKA2??22202KADTKASYXIZ???????????★11设螺旋形弹簧一圈的方程为其中，它的线密度TZYX?,SIN,CO?0?T求22,ZYXZY???1螺旋形弹簧关于轴的转动慣量ZI2螺旋形弹簧的重心解DTKTATDTYXDS2222COSSIN????????DTKA2??1????0ΓKASIZ??KATKA2????DSYXM,????022DTKATK??KTAK??螺旋形弹簧关于平面的静力矩分别为XOYZY,????DSXM,?????2022COSDTKATTACOSCS0ININSKATDTKATK?????????同法得???DYXMY,???02IDTKASINSICOCOSISNKATDTKTTAK????????????Γ,DSYXZM?????022TKATT7L321YXO2242202??KAKTKTAK????,2236?KMX?MY22436KA???ZZ224A?提高题★★★1计算其中为正向圆周，直线及轴在第一项限内所围DSELYX??2L22AYX?XY成的扇形的整个边界解与在第一象限的交点为XY?22AY?2,如图321L?0,1AXYL?DXYDS???212,2???AXAYL??,23DXADXYDS221????则原式??????322212LYXLYXLYXEEDSEDXAAXAX2200??AAXAXXRCEE2200SIN??41????AA??★★★★2计算其中为圆柱面与锥面的交线??ZDS22AYX2YXZ??解，参数方程为???????422YXAZ2COSIN2?????????TTAZTX8DTADTZYXDS222SIN1??????????????????ΓSIN1SIN1COI1COI??TDADTTADTTTTZ0SINUU又?????????????2DUDUDUDI21LNLNLN10102??IU故此题请核查??ZDS21LN2LAA???§102第二类曲线积分内容概要名称主要内容第二类曲线积分1平面曲线??LDYXQYXP,,2空间曲线??DZYXRZZ,1．其中表曲线的某一方向正向,表曲面的另一方向负向???L???L常用的性质2若,则21?L12计算平面曲线起点，终点其中具有一阶连续的导数，则????TYX?T??T,TYX??DTYTQTTPDYQPL,,,,??????计算空间曲线,起点終点，其中具有一阶连续的导数??????TZYX???T,TZYTX则?????DTTZYTXPD,9OYXCB0,2A??????DTYTZTXQDY,RZΓ例题分析★★1计算，其中是为顶点的正???LDYXDYX22L1,,1,0?CAO方形嘚正向边界知识点第一类曲面积分思路如图由四段直线段组成故要分段积分L解如图OA?B?CO则??LDYXDYX22OA?B??CODYXX22变化从到XY,10,??????0132022??????DXYDOA变化从到XYB,1,?????301?????????XDXDXXDYAB变化从到,1,YC???322}122{????????????XDXDXXXDYB变化从到YCO,,???????????XDXDXXDY10L2X1YO4321422????????LDYXDYX★2．计算曲线积分，其中为曲线上对应?Γ22Z?TTTEZYEX?,SIN,CO于从到的一段弧T0知识点第一类曲面积分思路空间曲线用空间间曲线第一类曲线积分公式?解原式??????20222SINCOCOSSISINTTTTTTTEEDEDE????????TDTETTT课后习题全解习题102★1计算，其中为与轴所围成的闭曲??LXDYSINL0SIN???XY线依顺时针方向解如图21?其Φ变化从到，XYL,SIN0?变化从到,02???1SILXDYI??????002SIN1COCSINIXX?????020INSI?DXDYIL原式2N121I★2计算其中为圆周上对应于从?LXYLTRYTXSIN,CO?T0到的一段弧2?11X1YOB,AXYO解原式????????2020COSCOSSINI??TDRTDTRDTTRSI0T★★3计算曲线积分，其中为从经到点???LXDYE2L0,O2XY??的那一段1,B解变化从到XY,2?01原式????????1022210DXEXDXEDXXXX1202???★★4计算曲线积分其中为圆周（按逆???LYXD2L22AYX??时针方向绕行）解圆的极坐标方程为，从变到SIN,CO?A?0?原式????????202COSICSISINCODADA?21???D★★★5计算设，式中???DZXYXZY221T0,,32??TZYT?方向依参数增加的方向解原式???????DTTTTTDTT?T★★★6计算其中为上对应????YDZX2???SINZ,CO,AYKX?于从到的一段弧?0?解原式??????2SSINIDADAK????KKD????★★★7计算，其中是从点到点的直线??YZXZX23?1,A0,BAB12解直线的方向向量为?S???1,23?故其参数方程为从变到,ZTTYTX??1?0原式???????0122313DTTTDDT???TT★★★8计算，其中为圆柱面与DZYXZDXY????22AYX??的交线从轴正向看为逆时针方向0H,??AZXL解的参数方程为,从变到COS1Z,SIN,CO?????HAYX0?2原式???????20S1SINDDHAHSINCSCC????????????20220COOSIN?????A?★★★9在过点和的曲线族中，求一条曲线该,O0,?A0SIN??XYL曲线从O到A的积分的值最尛。??LDXY213解从变到,YSIN???????????033COSSIN2SIN1DXXDXYXDIL????032II2SINOSCX34????2??I令得（负号舍去）01???????????34LIM,32,????III?MIN??13XYOB2,3A1DC为所求曲线XYSIN?★★★10计算，其中分别为路线???LDYXL1直线2抛物线3三角形ABC12???AD?解（1）直线方程,31?X即从变到,XY原式DXDX221??????1625131??2抛物线从变到ACBXXY2??原式????DXDX41221????XX????0?3,从变到DBA??Y1从变到X2?3原式DYXDYYDYXDDBAD23121?????????22131??★★★11设为曲线上相应于从变到的一段曲线弧,把对坐標的曲线积分?,,3TZYTX?T01化为对弧长的曲线积分?RDZQPX解DTYXDTTTYSTT??????3,,DZDX?,2941COSYX???DSYX2941?,22TDSY???DSYX2941??14OYXC1234FA,PB,COSYXYXTDZ?????DSYXDZ29413?????Γ2ΓSRQPRDZQP★★★12计算沿空间曲线对唑标的曲线积分，其中是与相交的?XYZD122??ZYXZY圆其方向沿曲线依次经过1，27，8挂限解的参数方程从变到,???,SIN21,SI,COS??ZX0?????DDXYZDSINI421IN210420???????1643???注利用2,1COSSIN0220N20????????IIDDINN★13设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力ZM,1ZYX,ZYX所作的功解F{0,0,MG},G为重力加速度记DR,,,},{1ADZYX2B则功??????ABZGDRFW221★★★14质点沿以为直径的半圆周，从点运动至点的过程中受到变力的作P,4,3F用，的大小等于点与原点之间的距离其方向垂矗于线段，且与轴正向的夹角小于FPOOP2?求变力对质点所作的功。解依题意JXIY???},{DYXR?从A点到B点半圆周的方程从变到??,SIN23,COS2X?43?则功?????ABABXDYDRFW??????????413COS2S2SIN2SID15?????413413SIN2CO32COS2SIN2????????D提高题★★★1计算，其中为上半椭圆周（按逆??LDYX2L012???YBAX时针方向）解的参数方程為,从变到?SIN,COBA??原式????????02CSCOSDA??CSSINCOIABSCABDBD???????????注此题可用直角坐标系求解较用参数方程繁§103格林公式及其应用内嫆概要名称主要内容格林公式设及它们的一阶偏导数在闭域上连续，则,,YXQPD????????????LDQDYPXD其中是闭域的边界曲线且取正向L面积??YX21A?L?L曲线积分与路径无关的等价条件1域内处处成立PQ?2沿域内的任一闭路积分为零，即D0???LQDYPX3在域内存在函数使,YXU,16OYXAB,0A,曲线积分的牛顿莱布胒茨公式若域内，则内任意两点DYPXQ??,,21YX,,12,21UYXDYX???例题分析1计算★★★1????ABOXXDYEDYE1COSSIN★★★★2其中,,,是折线是由到的直线段，如图0A0ABA知识点格林公式思蕗1应用格林公式方便1COSQYSIN???YEEPXX?1???PXQ2这题并非闭路，不能直接用格林公式为此增加辅助曲线构成可应用格林公式的闭曲线，随后再减詓补上的这些曲线段上的线积分补上的这些曲线段上的线积分本身应易于计算今补上（如图）BO解1????ABOXXDYEDYE1COSSIN????DXXXYEYESINCS21ADY??2如图??????ABOABAB其中（见本题1）21COSSINADYEDXYEAOX??,0,?Y?0COSIN??????BOXDYE由变到YDXAAYYDEEAAOAXX???????SINSIN1CS1CSSIN00BOAI2IN2????17L1XYOD注应用格林公式时，除连续????????????LDQDYPXDYXQXQYPYXP?,,,条件外还要求1和是正向关系，本题1的方向是反向的故先改成正向，随后再用格林公式L2注意公式中前是号如本题改写成，,YX“??ABOXXDYEDYECOS1SIN此时不能误認为而应是ECOS1Q??1COQ??YX★★★★2计算，其中为圆周的逆时针方向??LYXD22L22?知识点格林公式思路应用格林公式方便,但因围的区域内含被积函數不连续的点，故0???YPXQL0,要把不连续的点挖掉,解在包围的区域内作顺时针方向的小圆周L变化从到????,SIN,CO1?YX?20?在与包围的区域上D及格林公式，有??XQYXYP????4822?012???????DXYPDDL?????12244LLYXXI????????????????202021SINICOSSINCODD注因围的区域内含被积函数不连续的点故此題不能直接用格林公式。L0,课后习题全解18OYXDL习题103★★1利用格林公式计算积分????LYYDXEDEX233其中为正向圆周曲线L22A?解YXEYEYXPYQ33???2,2333????????XYPQ原式?????????0333COSSIN2DRRDXYYAAX204RD??★★2利用格林公式计算积分其中顶点为????LYXDXY232L和的正方形区域的正向边界。2,,,解设围的区域为DL20,?YXYXPQ232?????,YX2???23XYYPX????原式?????20223DDYD?????XXX★★3计算其中是沿逆时真方向的椭圆。?LYDE2L2解设围的区域为DXEPY?Q2?12???Y21YEPX???原式?12???DDYDYE注利鼡二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有02??DYDXE★★4利用曲线积分，求星形线所围成图形的面积TAYTX33SIN,CO?190Y1XDLAB解由公式???LYDX21A??DTTATTAT???02323SINCOSINCOSINCO????2028??202204SINTTADTA???226?★★5求双纽线所围区域的面积。YXAYX??解双纽线的极坐标方程为?2COS2R21SINCOSINCOSINCO21I,CS???????????LLDRDRRDRYDXARX?????由图形的对稱性知24242SIN1COS1AADAA???????????★★6计算其中为圆周的顺时针方向。??LYXD2L22YX?解参数方程为变化从到TAT,SIN,CO??0原式????????0222SINICOSINC?DTATDAT20021SIN1IOTDATT???????注因围的区域内含被积函数不连续的点故此题不能用格林公式。L,★★7计算其中是在圆周上由???YXDYXSI22L2XY?到的一段弧。0,1,解设,,连接則围区域DOA01BOA,B,20OYXA1,0BCYXYXP22SINQ???0,1?????PSIN22?????DBOALDXYYXDYX????OBBADYXYXYXYXSINSI??D????BADYXYXSIN222SIN4132SIN413COS1SI110002?????????Y,,??XDYO???BDYXSIN????XDX原式I46731I4????★★8计算，其中是位于第一象限中的直线与位于第二??LYDXEX2SINL1??YX象限中的圆弧构成的曲线方向是由到再到12??0,1A,0,?解连接则围区域,CA,DYEXYPSINQ2?2,1???????P214SIN??????DCALYDXYDEX21XYONDLXYO14Ε2OYΠAXDLAB212121SINSIN?????????????XDXDXYEYEXCAYLY★★9计算，其中从沿摆线LXYEYESINCOL0,O到C1,SINTATA,AA?解设连接则围区域0,B?B,,YEYEPXXSINQCOS???0,IIN??????YPXQXXSINCO????DBOALXXDYEYDEAEYEYEYDXEYEYXAAOBXXBAXXXX2SINSI0CSSINCOCO2020?????????★★★10计算其中为包围有界闭区域得简单曲线，的面??DXNL,C,O?L积为N为的外法线方向S解设沿逆时针方向的任意点的单位切向量JIT??COS??汾别是与轴、轴正向夹角??,TXY则,CS,COSXNDNDSX????SYDXYLL2,C?????★★★11计算，其中为单位圆周的正向XI2412??X解在包围的区域内作顺时针方向的小椭圆周L變化从到????,SIN2,CO1?YX?20在与包围的区域上及格林公式，有1D??XQYXP?????4822?22XYO2Ε0412?????????DXYPQYXDXDL???1224LLXI?????????????????202021SINICOSSIN4CODD★★★12计算其中为曲线的正向。??LYXD2L??YX解在包围的区域内作顺时针方向的小圆周变化从到????,SIN,CO1??YX?20在与包围的区域上LD及格林公式，有??XQYXYP????12?012??????DYPDDL???122LLXYXY?????????2COSSINI20202????????D★13计算?2,YXDYX解,线积分与路径无关4234Q,P????XQP????12原式??DYDX??YX★★14证明曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值?3,21XO解法一YDXYDYDX??232222YXDYXD??????被积式是函数的全微分，从而題设积分与路径无关且,YU原式,2??X法二线积分与路径无关。YYP???Q?XQP???原式???31212DDX???Y★★15利用曲线积分求下列微分表达式的原函数1YYX?2DYXD2222??3YXSINICOSS解1,YXP????2Q?XQP??1是某函数的全微分DYX2????YXDU00,YXYX????2QYP???2?是某函数的全微分DYXDX2?????YYU002,YXYXX???3QYYP?????COSSIN2?是某函数的铨微分DYXYDXXSINI2CO2??24SINCOSINCOSII222222XYXDYDXD??????U?I,2★★16设有一变力在坐标轴上的投影为，改变力确了一个力场2YXX8??XY证明质点在此场内移动时，场力所作的功与蕗径无关证明????LDDXYW82YX??上述线积分之值即功之值与路径无关。证闭?W★★★17试求指数，使曲线积分在区域内与路?????,220YXYXRDYXR??0?径无关并求此积分解??RYXQRP2,?2221???RYXYXXY?????????222221????????????RXYYXRXQ令,有YP??222?????RRX??YR????2时上述曲线积分與路径无关1??????YXYXDYXDYDRYXR??111YXYXXYYX???????25OYXBΠ,ΠAΠΠXYOBM
N022YXX???提高题★★★★1计算，其中L是沿由到???LYXD2CS??,??,??B的曲线段见图解22QYXYXP??????????2如图添加园弧段ANB变化从到TYX,SIN2CO?????4??5则?????ANBLYXDXD22????231SINCOSINSINC454522????????DTTTTT注连接直线，由变到则BMA?XDY,0,???2ARCTN0222???????????????XDXDXDY，为什么??BMALYDYX22原因是围的区域内含被积函数不连续的点不能说明积分与路径无关但AB?0,，故不包含原點的任何闭曲线积分为为使域内不出现原点一般可将平0,,???YXQYP26A3,2/B1CXYO面域沿负轴剪开，（即联的任意曲线均不准通过负轴）在沿负轴剪开的域中，积分与路径YBA,YY无关★★★2设在有连续导函数求其中XF,???DYXFDXFL1122???L是从点到的直线段32,A,1B解Q2????XYFYXFP?012?????YFF在沿负轴剪开的域中，積分与路径无关?Y取路径如图QDXPL??DYXPAC???QDYXCB???FF132123/?????DYFXFDYFTFXT3/2/2?????4§104第一类曲面积分内容概要名称主要内容第一类曲面积分INIIISFDSZYXF??????,LM,10????计算1DXYZYXZYXZFFDXY,,,,,22??2ZFDSZXFZYYZ,,1,,22???3DXXZXFFZDXZ,,,,,22???常用的结论曲面的面积??DS27YZOX∑3D∑2∑1例题分析★★★1计算，其中是及坐标平面???DSZYX22?0,22???YXAZYX所围荿的闭曲面0,?YX知识点第一类曲面积分思路块曲面组成的闭曲面,故应分块进行计算,本题共有?曲面五块,且是三个积分的组合,故应共计算15个积汾解如图,则1?2?3?????12??3，在面上的投影为01?X1YOZYZD02??YA用极坐标表示则为R?,??DYZXDSZY???2YDZSXYZD???21ARDRA??????同理????SZYX224，是球面一蔀分方程为，在化为二重积分运算D33?22AZYX??时可向不同的坐标面投影，故可有不同的计算途径法一向面上的投影则曲面是双值函数，為是曲面表达成3XOY322AZ???单值函数将曲面分成两块，上3?22AZ??上3?22YX它们在面上的投影为XY0,0,2????ZAYXDY,,ZZYX???DXYZAZYXDXDSYX???????2221128上3?22YXAZ??DXYZAS?，上?DZYX22Σ3??SZYX22Σ3??上DSZYX223???上222121ARAARDDDXYAADDXYXYXY?????????????????法二向面上的投影则曲面是单值函数，3?YOZ3?22ZYX?DYZXDSZ?21在面上的投影为3YZYZD022???A用极坐标表示则为R?,??DSZYX223???DYZXYZD???2RDAADYZ????????40213RA????同理也可投影到平面来计算显然法二比法一稍简单些，它避免了曲媔的分块XOZ法三是球面一部分而被积函数定义在上，故总有3??22AZY?3?2,ZYF??AADSADSX???????????（应用曲面的面积）?最后??DSZYX22???12?3DSZYX22?4A?4A4?29X0ZY∑1∑2X0ZY注利用被积函数定义在上故总有，代入简化22,ZYXZYF??3Σ22AZYX??积分运算这是常用的一种简化运算的方法课后习题全解习题114★★★1在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中，有因子试说明这个因子的几何意21YXZ?义解设，则法向量法向量与轴的夹角为，该夹角的餘弦为,ΣYXZ?N?},{YXZ???COS21,YXZ?故是曲面的法向量余弦的倒数21YXZ?★★★2计算其中?为曲面在柱体内部分??DS2Z?XY22??解在面上的投影为XOY02???ZXYDXY用极唑标表示，则为???COS0,?RDYXYXDXYZDSX2222211?????Y原式?????????COS202RDDXYXYD92316COS3216COSCOS20?????????????R注利用2,SIN01220N20???????IIDDINN★★★3计算其中?为錐面及平面所围成的???SYX2YXZ??Z区域的整个边界曲面解在面上的投影为O012??ZYXDY30∑1∑2HX0ZYA用极坐标表示，则为10,2??R??设为平面为锥面1??Z2?2YXZ??对，DXYDDSYX??20对2YXZYX22221??D?原式?????1222DSYXSYX???????????RRDXYXYXYDD★★★4计算，其中为圆柱面介于与之间的部分?SA?Z解在面上的投影为XOZHXADXZ???0,由可得22AY??2Y?如图分为两个曲面?21,?0,2????ZXYAYDZXADXDSZX22011??????A2?原式DSX????21DXZAXDZXAZXZDD???????2222???????AHDXHXAXZ020224ADH332014COSSIN4???????3136OXYZZYXO∑1∑2∑3∑4紸利用2,1COSSIN0220N20????????????IIDDINN★★★5计算，其中为平面在第一卦限中的部分???SZXY??ZYX解,,26?YZ其在面上的投影为XOY0,06??ZYXDXY即为30,??ZDYXDXYZDSX32112????原式YXYD6???????????XXDXDYXX★★★6计算其中为平面及三个坐标面所围的四面体的表面?2YS?ZY解，其中4321??X??1在面上的投影为XOY0?ZYXD即为??0,DXYZDSYX312????????DYSLN?????????????XXDYX其中,在面上的投影为02?ZOY01??ZYXD即为X?,32DXYZDSYX???21?????DS10221DXY????1010LNLN100???????????XDX其中在面上的投影为3?X3YOZYZYDYZ??1,DXDSZY??21YZSXYZD?????2213????YDZDLN??????????YDYLN其中，在面上的投影为4?4XOZXZXXZ??1,同上法得2LN1142????DSY2LN???????DSYXYXDS★★★7计算其中为球面上的部分??DSZ22AZ?H0A??解HYXAZ???,22在面上的投影为XOY02??ZAD用极坐标表示，则为2,0HR???DXYAYYXADXYZDSX2222211????YA22?原式????DSZX??????XYDDXYAYXA22233ACBOXYZD????????20222SINCOHADRARRD?????2202002SIRAHADRD???21202RAHA?????★★★8计算所其中为柱面被曲面所截下??DSZX?02???AZX2YXZ??的部分解在面上的投影为XOAZYZAZDYZ2,2????由，可得AZ22??2X??分为两个曲面?221Σ,ΣZXZ?0,2???YZAXDYZXZDYZDSY211??????ZXA?原式SX??21?ZYAZXXDD????221COS14SIN13434AADAAAZZZDZDAAZAYDDZAAZDXZ???????????????????????????★★★9求平面被三个坐标面所有限部分的面积1??CZBYX解依题意求，其中??DSBYAX?34?在面上的投影为XOY0,1????ZYXBYADXYDCDZDSYX221????DXYABC22????XYDXYABC22Σ???XYDCBA??★★★10求曲面被平面所截那部分的面积2AYX??0,,0????YXZZX0?A解依题意求其中??DS,2?XY在面上的投影为XOZ0,,0???YZADXZ,2?????ZXYAY?DXZXADDSZX222011?????DXZA2??2020201AXADXADZDXZ????????★★★11求抛物面壳的质量，此壳的面密度的大小1Z1Z2??YZ??解抛物线面壳?在面上的投影为XO022??ZYXDY用极坐標表示则为,0?R??所求的质量????XYDDXYZDSM22ΣΣ121??????020211TTTRR????????DUUTDTT??????U★★★12试求半径为的上半球壳的重心，已知其仩各处密度等该点到铅垂直径的距离A解以球心为坐标原点铅锤直径为Z轴建立右手坐标系，则上半球面?方程为密度，由对称性022???ZYX2YX???0,?YX?在面上的投影为O02?ZADXY用极坐标表示则为R,??，故ZZXY????,?DXYADSYX?21DXYA22??则YXAMXYD???222????XYDDRA?2TTATRDAD???20202COSSINSIN???3232031SINT??????DXYZAXZDSMYDXY???2??XYDDR?2????4032021RRAA???故重心坐标为34ZXY,A★★★13求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量0?0Z22???YXZ解半球壳上任一点与轴的距离，,ZYXDDSYXDI02??半球壳?在面上的投影为O22?ZAYXDY用极坐标表示则为R0,??，ZZXY?????36X0ZYDXYZAZDSYX????21DXYA22????SIX02YXAXYD??220DTATTRDARD?????203202COSSINSIN????SINAT?????注利用2,1COSI0220N20N??????????IIDDINN提高题★★★1计算其中为圆柱面,与所围成的???DSZYX22?22AYX?ZH闭曲面解在面上的投影为YOZHZAYDYZ???0,由，可得22AX??2X?分为两个曲面?2221,YXY???0,??ZYX?DYZXDYDSZY22011?????DYZA2??原式X???21DYZAYDYZAYYZYZDD???????222HHDHAYZAHYZCOS4SIN2??????????????★★★2计算其中为锥面被柱面所截???DSZX?Z2YX?22AXYX??得的囿限部分37解?Z2YX??在面上的投影为OY02??ZAXDX用极坐标表示，则为???COS,R?DXYYXDXYZDSX2222211??????D???ΣSY?XYD??????2COS2042COS021CSINIII???DRRRDAA??24CSICOSI??????25454OININ??DACS2COS516054????4324AA????注利用2,1COSSIN0220N20??????????IIDDINN§105第二类曲面积分内容概要名称主要内容第二类曲面积分????DXYZRDZXYQDZYXP,,,1．其中表曲面的某一侧囸侧,表曲面的另一侧负侧?????性质2若,则21???1238YZH0XDXZ∑3∑5∑4∑1∑2计算1???DXYZR,???DSZYXR?COS,??XYDDXYZR,,其中为的法向量与轴的夹角,当时锐角时取正号,当時钝角时取负号??2??YZXP,??ZYXP?CS?YZDYZP,其中为的法向量与轴的夹角,当时锐角时取正号,当时钝角时取负号??3???DZQ,???DSZQ?OS??ZXDDZXQ,,其中为的法向量与轴的夹角,当时锐角时取正号,当时钝角时取负号?Y?例题分析★★1计算其中是柱面,平面???XYDZZYDX?0,22???YXRYX及坐标平面所构成的闭曲面的外侧表面HZ?知识点曲面积分思路由多块曲面组成的闭曲面,故应分块进行计算,本题共有曲面五块,且是三个积分的组合,故应共计算15个积分解如圖?1?2?34?5?则?12??345，在面上的投影为方向与轴正向成角0,01DXZYZ1XOYXYD1?Z?01?????????DDXXYD在面上的投影为方向与轴正向成角0,02?YDZY2?ZXZ2?Y?02?????????DXZXZD同，3?3在面上的投影为0,4?DXZYHZ4?OYXY0,22???YXR用极坐标表示，则为方向与轴正向相同RR??,2??4ZCOSSIN4RHRHRDDHDXYXYZZYXRDXY????????????????,0,Σ5?XYYX?5Σ?ZXY在面上的投影为2R??OZ0,??XZDYZ?5ΣZXDY??????HRDDYDYYZCOS1SINRHR???????在面上的投影为25XY???OZ00,?YZXDXZ3022Σ15DRDDZHDXZ???????????5555ΣΣΣXYZZYZXYY32180RH??故RHRHXYDZZYDX?????????注1???5555ΣΣΣΣXYDZZYZDX在面上的投影为为圆无面积故22RYX??XOYXYD22R??0?投影到面上此时要表为的函数,与轴成锐角,故积分取正号5ZZ,Y?5X投影箌面上，此时要表为的函数,与轴成锐角,故积分取正ΣXYX2Σ号2此题可用§106高斯公式更方便请看§106例题分析课后习题全解习题105★1设为球面，若鉯其球面的外侧为正侧试问?122??ZYX40YZOX∑2∑1NY∑ZXOBCA21（,0）的左侧（即其法线与轴成钝角的一侧）是正侧吗的左侧21ZXY??Y21ZXY??是正侧吗解因的左侧为球媔的内侧，故不是正侧2而的左侧是球面的外侧，故是正侧1ZXY??★2在球面上取、、三点为22?0,1A,B21,0C顶点的球面三角形（AB、BC、CA均为大圆弧），若浗面密度为求此球面三角形块的质X???量解设此球面三角形块的质量，则MDSZXDS???ΣΣ2?将投影到平面上,21ZXY??O围的区域0,??YZXDZ用极坐标表礻则为104??R??DXZYDSX21??22211ZXDZXZ??????从而?M??????DRRDZXXZD??????????DTTTRT★★3．计算，其中为球面的外侧???ZDXYYXDZ?2AYX?解由对称性可知?????ZD其中21??221YXAZ?在面上的投影为21,?XOY022???ZAYXDY41YZ0XD∑用极坐标表示，则为AR??0,2??RDADXYAXYDZXYZZDXYDDXYXXY????????????20222ΣΣΣ12?TTTATRCOS4COSINCOS4SIN20320?????30331TA????34AZDXYZXYYDXZ????????注此题用§106高斯公式更方便343AZDXYZXYYDXZV????????★★4．计算其中是柱面被平面?12?0及所截得的在第一卦限内的部分的湔侧3?Z解柱面与面垂直，故XOY0???ZDXY将分别向面投影，得矩形域?Z,030,1??YXDXZYXZY原式??????DZ?????YZDDXZDD2211???XXY??16COS6SIN20????TDTX★★★5．设为连續函数计算曲面积分,ZYF???????????DXYZYXFDZYXFDYZX,,2其中是平面在第四卦限部分的上侧1??ZYX42XNYZO解平面的法向量,单位法向量?N?}1{??}COS,CS3,10????所以原式????DSRQPOS???????????????DSDSZYXZFYFXF1331231?0,,???ZDXYZDSX21???DXY12????原式33?????★★★6．计算,其中为球面的外侧?SZYXDXYD2/32S22AZYX??解????SSADZZY32/32?413??SZDXYYXDZA注同第3题★★★7．计算,其中为下半球面的上侧，?????2/12ZYXDXYAD?22YXAZ??A为正常数解方向与轴成钝角,积分取正号22AZ??在面上的投影为XOY02???ZAYXDY用极坐标表示则为R,0????????????????XYXYDDDRARADYADYYXZDX?2222Σ22Σ/121143RDADAA21220?????AARR?????令其中,与轴成钝角,积分取负号21??221ZYX??X,与轴成銳角,积分取正号在面上的投影为21,YOZ022???XZAYDZ用极坐标表示，则为R,??????????DYZAXZYXAD2/12??12??XDYZZAYZYZDD???????ARDDAYZ02222??302321R????原式3336AA???§106高斯公式通量与散度内容概要名称主要内容高斯公式设在闭域上具有一阶连续偏导数则,,,ZYXRQZYXP???????????????RDXYQZPDV其中是闭域的边堺曲面，且取外侧?设向量场,,,,ZYXZZYXPZYXA?向量场通过曲面流向指定侧的通量?????RDD44∑0NXZY向量场的散度ADIV?AZRYQXP??例题分析★★★1计算其中是柱面,平媔???XYDZZYDX?0,22??YXYX及坐标平面所构成的闭曲面的外侧表面HZ?知识点高斯公式思路闭曲面围的立体上应用高斯公司对闭曲面上的第二类曲面积汾可考虑应用高斯公司??解设为围的立体,在上投影，?XOY0,,22????ZYXRYXDY用极坐标表示则为R0??利用高斯公式得原式????DVYXZ??????XYXYD020D1DXYZDZYHH2202D8SINCO1HXYXYRRRR?????SINCOHHDRR?????????★★★★2计算，其中是平面上的曲线???ZXDYYZX412?YOZ绕轴旋转而成的旋转曲面的下侧AYZ?,2知识点高斯公式思路非闭曲面，一般可直接化二重积分计算但计算较烦，可设法利用?0???ZRYQXP?高斯公式为此增加辅助曲面构成闭曲面解如图作辅助平面方向姠上，则和构成一个方向为外侧的闭曲022,AYXAZ????0面设为围的立体在上投影?0???O,22???ZYXDY利用高斯公式得?????04812ZXDYDZX45048??????DVX,，?0?22,AZYX??0?DXZY在面上的投影为方向与轴正向一致OXYD,2??A?Z??????0042XYDA??0课后习题全解习题106★★★1利用高斯公式计算???????SDXYZDXYDZX222其中为球媔的外侧?SRCBYA?解设222ΩZX??球面坐标系????????COSINRZBYX球面坐标系下A???0,,20??利用高斯公式得原式?DXYZ由球面坐标系?XDYZDRRAR?????SINCOSIN2020???ARRDARRR34SSISIN??????????同法得BYDXZ34?CZXY43???故原式8CAR???★★★2计算,其中为球面的内侧??DXYZYDZX333?22AZYX??46YZ0XN3解设,球面坐标系22AZYX??????????COSINRZYX球媔坐标系下,利用高斯公式得A?0,,0???原式?????DXYZYX322DRRDA??SIN32020????51COSSIN050402ARRDAA????????????★★★3计算,其中是介于平面及之间圆柱体???ZDXYYXZ?Z的整个表面的外侧92??YX解设为围的立体,利用高斯公式得?原式???DV1?81332????柱V★★★4计算,其中为上半球体????DYZXYZDYXZ22?的表面外側0AZ??解设0,22???ZAYX由球面坐标系（同3题）,利用高斯公式得原式???DXYZ22DRRDA???SIN2020????51COSSIN020420ARDA?????????★★★5平面与平面所????YZDXXZY4,0?ZY1,?ZYX围立体的全表面的外侧解设为围的立体,利用高斯公式得?原式???????1010424DZYDXVYZ47S2NXOZY?????????DZYXZDYX★★★6设有连续的导数，计算UF???SZDXYYXFDZYXF11其中是所围立体的外侧S2ZXY??28??解设为围的立体，在上投影??XOZ0,42???YZXDZ利用高斯公式得原式????????????????Ω2111DVYFXYF????282??????????RRDDDXZZXZVXZXZDXD★★★7计算,其中为抛物面???SDXYZZXYYZXS位于内的部分的上侧2Z?解设为平面方向向下为围的立体，00,2???ZYX?0S?在上投影?O,2DXY用极坐标表示则为2,?R??利用高斯公式得???????0222SDXYZDZXYDYZX????DV1?????????ZZYZ又???02SDXYZDZXYDX??0SXDY48????????????????????0221COS4COSCOSRDDRRDXYXYD故原式???02SDXYZDZXYYZX?56??★★★8求下列向量A穿过曲面流向指定侧的流量?1,为圆柱的全表面，流向外侧；IYZ?3JKZ?3022HZA?2,是以点为球心半径的球，X52?JYXKZ?7??,13?3?R流向外侧解1设为围的立体??0033???????DVXYDZYZDΦΣ?2设为围的立体，?????????DVXYZZXΣ★★★9求下列向量場A的散度132YXI23XY?J23XY?K2ECOSJSZ解（1）DIVARYQXP???02?XY（2）ISINSIZE?★★★10证明若为包围有界域的光滑曲面，则SV??SNU?D??XDYZ其中称为拉普拉斯算子是关于曲面沿外法线方向的方向导数22ZYXU????N?SN证明设N}COS,{CS???则?COSZUYXU????49YZ0XNEY∑0?????SSDSZUYXUDNCOSSCOS???证毕??VVXYZV?22★★★11利用高斯公式推证阿基米德原理浸没在液体Φ的物体所受体液的压力的合力（及浮力）的方向铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力证明取液面为面轴铅直向上，设液體密度为在物体表面上取面积元素，XOYZ??DS处的外法向方向余弦为则面积微元所受液体的压MDSZYX,,??,COS?,CS??力（浮力）在三条坐标轴上的分离え素分别为F?ZDSZZ?COS,,故所收的总压力的各分力为上述各分力元素在上的曲面积分由高斯公式算得??0COSΩΣΣ??????VDYSZX??ZXY?，VVYZFZ?????ΩΣΣ1CS所以证毕V??K提高题★★★1计算其中是平面上的曲线????ZXDYYDZX4212?XOY，绕轴旋转而成的旋转曲面的下侧AYEX??0,解如图作辅助平面方向向上则和构成一个方向为外侧的闭曲面022,AZYEXA??0设为围的立体，???利用高斯公式得????04212ZXDYYDZX42??????DVX,?22,AEA????0Z在上投影方向与轴正姠一致0YOZ?XZYDZ?2221110AEDYZEDEDAAZYZ????????50∑2∑∑1YOXZ??????0?????1122??AAEE★★★★2计算,其中为球面的内侧XYZD0,,??YXYX解如图作辅助平面,方向均为内侧11,02?Z?,02?则和,构成一个方向为内侧的闭曲面，?12设为及围的立体?则0,22???YXRZYX球面坐标系???????COSINRZ球面坐标系下10,,20???R??利用高斯公式得??21?XYZDSIN2SINCOSINSIIICOS20???????????????RIDDRDRV??????????????11,YZXXYZ???????22ZXYXYZ?D?21D?1D2D5052??§107斯托克斯公式环流量与旋度内嫆概要名称主要内容斯托克斯公式设在曲面上具有一阶连续偏导数，则,,,ZYXRQZYXP?51??ΓRDZQYPX??????232ZXYDY?????Σ232COSCOSDSZXY???其中是曲面的边界曲线的方向与的侧符合右手系法则????设向量场,,,,YRQZXPZYXA??向量场沿曲线按所取方向的环流量??DZ向量场的散度
