混沌数学和拓扑 数学定义数学是什么⊙∀⊙？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-05-18 14:44 标签： 拓扑数学

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　　要弄明白不可预言性如何可鉯与确定论相调和可以来看看 一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。这是一 个确定性系统原则上流入水龙头中的水嘚流量是平稳、均匀的， 水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生鈈可预言的行为 这使我们产生某种数学的“横向思维”，它向我们解释了为什么此种怪事是可能的

　　假如你很小心地打开水龙头，等上几秒钟待流速稳定下来， 通常会产生一系列规则的水滴这些水滴以规则的节律、相同的时 间间隔落下。很难找到比这更可预言的東西了但假如你缓缓打 开水龙头，使水流量增大并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落这种滴落方式似乎是随机的。呮要做几次实验就会 成功实验时均匀地转动水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断 的水流你需要的是中速滴流。如果你调节得合适就可以在好多 分钟内听不出任何明显的模式出现。

　　1978年加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生 组成了一个研究动力学系統的小组。他们开始考虑水滴系统的时 候就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。他们用话筒记录 水滴的声音分析每一滴水与下┅滴水之间的间隔序列。他们所发 现的是短期的可预言性要是我告诉你3个相继水滴的滴落时刻， 你会预言下一滴水何时落下例如，假洳水滴之间最近3个间隔是 0.63秒、1.17秒和0.44秒则你可以肯定下一滴水将在0.82秒 后落下(这些数只是为了便于说明问题)。事实上如果你精确地知 道头3滴水的滴落时刻，你就可以预言系统的全部未来

　　那么，拉普拉斯为什么错了? 问题在于我们永远不能精确地测量系统的初始状态。峩们在任何物理系统中所作出的最精确的 测量对大约10位或12位小数来说是正确的。但拉普拉斯的陈述 只有在我们使测量达到无限精度(即无限多位小数当然那是办不 到的)时才正确。在拉普拉斯时代人们就已知道这一测量误差问 题，但一般认为只要作出初始测量， 比如小數点后10位所有相 继的预言也将精确到小数点后10位。误差既不消失也不放大。 不幸的是误差确实放大，这使我们不能把一系列短期预訁串 在一起得到一个长期有效的预言。例如假设我知道精确到小数 点后10位的头3滴水的滴落时刻，那么我可以精确到小数点后9 位预言下┅滴的滴落时刻再下一滴精确到8位，以此类推误差 在每一步将近放大10倍，于是我对进一步的小数位丧失信心所 以，向未来走10步我對下一滴水的滴落时刻就一无所知了。(精 确的位数可能不同：它可能使每6滴水失去1位小数的精度但只 要取60滴，同样的问题又会出现)

　　这种误差放大是使拉普拉斯完全确定论破灭的逻辑缺陷。要 完善整个测量根本做不到假如我们能测量滴落时刻到小数点后 100位，我们的預言到将来100滴(或用较为乐观的估计600滴) 时将失败。这种现象叫“对初始条件的敏感性”或更非正式地叫 “蝴蝶效应”(当东京的一只蝴蝶振翅时，可能导致一个月后佛罗里 达的一场飓风)它与行为的高度不规则性密切相关。任何真正规 则的东西据定义都是完全可预言的。泹对初始条件的敏感性却使 行为不可预言—从而不规则因此，呈现对初始条件敏感性的系 统被称为混沌系统混沌行为满足确定性的定律，但它又如此不规 则以至在未受过训练的眼睛看来显得杂乱无章。混沌不仅仅是复 杂的、无模式的行为它要微妙得多。混沌是貌似複杂的、貌似无模 式的行为它实际上具有简单的、确定性的解释。

　　混沌的发现是由许多人(多得在此无法一一列举)作出的它 的出现，是由3个相互独立的进展汇合而成的第一个是科学注重 点的变化，从简单模式(如重复的循环)趋向更复杂的模式第二个 是计算机，它使嘚我们能够容易和迅速地找到动力学方程的近似 解第三个是关于动力学的数学新观点— 几何观点而非数值观 点。第一个进展提供了动力第二个进展提供了技术，第三个进展

　　动力学的几何化发端于大约100年前法国数学家昂利·庞 加莱(Henri Poincare)是一个独立独行的人(如果有的话)，泹他非 常杰出以致他的许多观点几乎一夜之间就成了正统的观点，当时 他发明了相空间概念这是一个虚构的数学空间，表示给定动力學 系统所有可能的运动为了举一个非力学的例子，让我们来考虑猎 食生态系统的群体动力学此系统中捕食者是猪，被捕食者是块菌 (一種味道奇特、辛辣的真菌)我们关注的变量是两个群体的规模 ——猪的数目和块菌的数目(两者都相对于某个参考值，如100 万)这一选择实际仩使得两个变量连续，即取带小数位的实数值 而不取整数值。例如假如猪的参考数目是100万，则17439头猪 相当于值0.017439现在，块菌的自然增长依赖于有多少块菌以及 猪吃块菌的速率：猪的增长依赖于猪的头数以及猪吃的块菌数目 于是每个变量的变化率都依赖于这两个变量，我們可把注意力转 向群体动力学的微分方程组我不把方程列出来，因为在这里关键 不是方程而是你用方程干什么。

　　这些方程原则上確定任何初始群体值将如何随时间而变化 例如，假使我们从17439头猪和788444株块菌开始则你对猪变 量引入初始值0.017439，对块菌变量引入初始值0.788444方程 会含蓄地告诉你这些数将如何变化。困难的是使这种含蓄变得清 晰：求解方程但在什么意义上求解方程呢? 经典数学家的自然反 应是寻找一个公式，这个公式精确地告诉我们猪头数和块菌株数 在任何时刻将是多少不幸的是，此种“显式解”太罕见几乎不值 得费力去寻找它们，除非方程具有很特殊的、受限制的形式另一 个办法是在计算机上求近似解，但那只能告诉我们这些特定韧始 值将发生什么变化以及我们最想知道的许多不同的初始值将发 生什么变化。

　　庞加莱的思想是画一幅图这幅图显示所有初始值所发生的 情况。系统的狀态--在某一时刻两个群体的规模——可以表示 成平面上的点用坐标的方法即可表示。例如我们可能用横坐标 代表猪头数，用纵坐标代表块菌株数上述初始状态对应于横坐标 是0.017439、纵坐标是0.788444的点。现在让时间流逝坐标按 照微分方程表达的规则从一个时刻变到下一个时刻，于是对应点 运动依动点划出一条曲线；那条曲线是整个系统未来状态的直观 表述。事实上通过观察这条曲线，不用搞清楚坐标的实際数值你 就可以“看出”重要的动力学特征。

要简单的系统性地描述混沌数学是一项不可能完成的任务，因此只能简单介绍

混沌是决定论系统所表现的随机行为的总称。它的根源在于非线性的相互作用 所谓'决萣论系统'是指描述该系统的数学模型是不包含任何随机因素的完全确定的方程。混沌的数学定义有很多种例如，正的'拓扑 数学定义熵'定義拓扑 数学定义混沌;有限长的'转动区间'定义转动混沌等等这些定义都有严格的数学理论和实际的计算方法。不过要把某个数学模型或實验现象明白无误地纳入某种混沌定义并不容易。

例如我们利用一系列的公式，象牛顿一样可以计算出火星三个月以后的某一天的粗畧的具体位置。因为我们把太阳系考虑为一个决定性的系统这才有牛顿”万有引力“的命名。当然现在我们悄悄地发现，”万有“这個修饰词不见了

当爱因斯坦的狭义相对论出现以后，这种计算更趋于精确一些而且，国外的一些物理学家在没有”奇点“（相对论的數学推导结果）观测证实的前提下甚至把整个总时空利用惯性思维方式考虑为一个决定性系统。这才有了所谓的奇点大爆炸理论物理假說当然，反对这个理论假说的声音从未停止例如我们生活在我们这个总时空的黑洞里或虫洞里，或者宇宙循环论等等这谈的是物理現实。

是不是人类在不断认识自然的过程中发现这个自然整体是决定论系统呢？并不是或者说至少现在不能证实

爱因斯坦提出了这个問题，霍金对此进行了讨论和描述这事情比通常想像的要大，因为它关系到物理、哲学、玄学、宗教等等都希望得到一个明确的答案。这实际是一个相对小的范围的一个终极问题这个小是指我们这个几百亿光年尺度的总时空。

爱因斯坦提出来”上帝是否掷色子“的問题。这已经是对决定论系统的一种反思一道数学题，不再是唯一的答案而是是否是几种答案呢？甚至或者是不确定的答案呢直到怹去世，并未给出答案由于他发现了波粒两重性，而且量子理论与相对论的不可调和这种思考，对于爱因斯坦来讲很正常。

几十年鉯后霍金又回答了这个问题他的态度是：上帝掷色子，不仅不知道色子是几而且扔到哪里都不知道了。也就是霍金认为我们这个总时涳的决定性系统表现出了随机性的特性

这是这个问题的最终答案吗？不是！因为暂时物理的天文学界还没有足够证据能够证实这一点或鍺证伪这一点这事只能暂时先放下。

蝴蝶效应这是非理论性的称呼，因美国气象学家爱德华·罗伦兹（Edward N.Lorenz）在1963年提交的一篇纽约科学院嘚论文中提出了这个效应并用”一只海鸥扇动翅膀足以永远改变天气变化“这种比喻来形容这种效应。

之后这个海鸥变成了蝴蝶。1979年12朤洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风”的仳喻来形容本来很小的差异结果却偏离了十万八千里的理论。

中国古文对此的描述是差之毫厘失之千里。

《礼记·经解》：“《易》曰：‘君子慎始，差若毫厘，缪以千里。’” 《魏书·乐志》：“但气有盈虚黍有巨细，差之毫厘失之千里。”

也就是古人2000多年前考虑叻初始测量的小小误差带来的不确定性的结果这个混沌数学的问题

西方人利用夸张这种文学笔法，深得《山海经》的精髓但此处的比喻夸张，从数学而言并不是非常过分西方人这种比喻式的夸张描述，有时候也会出现在论文或者论文发布会上这在中国很少见。

这就昰混沌数学形象的比喻它现在被广泛应用于很多领域。例如天气、股票、经济、语言学等

要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调囷，可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统--水龙头滴下的水滴这是一个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀嘚 水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但一个简单而有效的实验证明这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。

混沌数学最初的试验证明就是这个最著名的水滴实验

这种现象叫'对初始条件的敏感性'，或更非正式地叫 '蝴蝶效应'

上文提到的差之毫厘失の千里，这是一种对混沌系统的定性化描述另外，老子说了一句话道冲或不盈，这也是对混沌系统的描述

老子这句话被后世儒家给翻译的乱七八糟。就没人考虑这个冲字是天文学的180度而冲在古文中明显有这个天文学的意思。这句话实际就是说太极在180度本来应该有某些特殊的变化或者说规律但是，有时候这个规律并不好使

陈抟太极图现世以后，把这个意思人文性地表达出来但是后世并没人在意，而且至今无人在意古人都忙着研究人文呢，没人理会这无聊的数学

基于这句话这样的解释，老子实际提出来的是一个如爱因斯坦波粒两重性一样产生的思考问题决定性系统的不确定性？

中国古代有一种很奇妙的文化这种文化方式来源于甲骨文的象，在国画中表现嘚最突出也就是留白。在山水画中经常出现没有一滴水的画面，但是却让你感觉看到了江河湖海

而太极图这种抽象的、概括性、兼嫆性的图符表达，留白的地方就更多了但是，由于抽象往往想复原其留白的意图，那只能从古人的只言片语中了解了

上图就是太极圖兼容的混沌数学的表达。一个太极图并不是简简单单的一个图符，它是各种数理思想的抽象概括

太极的鱼眼如何与另一半的鱼尾相連呢？笔者在以前的连载中用三维的方式画出了其中的两种

古人在数学并不发达的情况下，试图用对鱼眼的人文表达来解决数学被困在②维平面的问题而这个问题，过去千年又有多少人在意其数学表达意图呢？

外国人在意了结果跨出二维，进入了数学的四维世界財有了虫洞；才有了混沌数学。

而这个太极图的人文表达已经将混沌数学的理念定性的表达出来了，仅仅是在留白里没有画出来，而昰说出来了

把这张带有混沌数学性质的太极图变形表达一下，就是那张混沌数学著名的蝴蝶效应的图这种变形，很简单

我们或者可鉯说这张蝴蝶效应的示意图实际是太极图的三维表达的另外一种变形。

元亨利贞被人文性地表达了2000多年而数理文化中，是有象、数的鼡数学表达，就是如此

而周易中的元亨利贞的四个阶段，在具有混沌概念的太极特征图中很容易表达了。

亨就是确定性系统可数学性准确描述结果的部分

贞就是利的衰减，准备进入下一个元、亨

数学性地表达古代这种数理文化中的数的部分，如此而已

数理文化试圖跳出二维的禁锢，中国古人文王、老子从两千多年前就开始思考，但是后来偏重人文把这个数理文化中的数的初心渐渐淡忘了。

四維数组表达64卦（周易兼容的数的其中一种数学表达）

古人说的我们至今理解了多少呢？发展了多少呢

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