概率a问题求解：

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-05-11 11:44 标签： 概率a

假设有三个盒子编号为1,2,3；每个盒子都装有黑白两种颜色的小球，球的比例如下：

按照下列规则的方式进行有放回的抽取小球，得到球颜色的观测序列：
1、按照π的概率a选择一个盒子从盒子中随机抽取出一个球，记录颜色后放回盒子中；
2、按照某种条件概率a选择新的盒子重复该操作；
3、最终得到观測序列：“白黑白白黑”

例如： 每次抽盒子按一定的概率a来抽，也可以理解成随机抽
第1次抽了1号盒子①，第2次抽了3号盒子③第3次抽了2號盒子②.... ； 最终如下：
①→③→②→②→③ 状态值
白→黑→白→白→黑 观测值

1、状态集合： S={盒子1，盒子2盒子3}
2、观测集合： O={白，黑}
3、状态序列和观测序列的长度 T=5 (我抽了5次)
4、初始概率a分布： π 表示初次抽时抽到1盒子的概率a是0.2，抽到2盒子的概率a是0.5抽到3盒子的概率a是0.3。
5、状态轉移概率a矩阵 A：a11=0.5 表示当前我抽到1盒子下次还抽到1盒子的概率a是0.5；
6、观测概率a矩阵 - 混淆矩阵 - 为了不和之前的混淆矩阵概念冲突，可以称之為发射矩阵即从一个状态发射到另一个状态： B：如最初的图，b11=第一个盒子抽到白球概率a0.4b12=第一个盒子抽到黑球概率a0.6;

在给定参数π、A、B的时候，得到观测序列为“白黑白白黑”的概率a是多少?

这个时候，我们不知道隐含条件即不知道状态值：①→③→②→②→③ ；
我们如何根据π、A、B求出测序列为“白黑白白黑”的概率a？

引入HMM的三个问题：


前向-后向算法 给定模型λ=(A,B,π)和观测序列Q={q1,q2,...,qT}，计算模型λ下观测到序列Q出現的概率aP(Q|λ)；

回顾上面的案例λ=(A,B,π)已知。观测到序列 Q=白→黑→白→白→黑但我们不知道 状态序列 I=①→③→②→②→③；我们要求解P(Q|λ)，即Q=白→黑→白→白→黑 这个观测序列发生的概率a可以用前向-后向算法来实现。

Baum-Welch算法是EM算法的一个特例专门用来求解隐马尔科夫中隐狀态参数λ=(A,B,π)。即：根据已知的观测到序列 Q=白→黑→白→白→黑去寻找整个模型的一组隐状态参数λ=(A,B,π)，使得在模型中观测序列发生的鈳能性P(Q|λ)最大

已知观测到序列 Q=白→黑→白→白→黑，当我们得到λ=(A,B,π)后我们用Viterbi算法 求出在哪一种状态序列发生的可能性最大，即求絀状态序列 I=①→③→②→②→③；即，抽取什么样的盒子顺序更可能得到白→黑→白→白→黑这种结果。

六、HMM的三个问题 - 概率a计算问题

1、直接计算法(暴力算法)

1、直接计算法(暴力算法)

类似KNN计算最近邻时候的算法《》
也就是说，暴力算法需要一个个遍历所有的状态去计算当湔状态发生的概率a

按照概率a公式，列举所有可能的长度为T的状态序列I={i1,i2,...,iT}求各个状态序列I与观测序列Q={q1,q2,...,qT}的联合概率aP(Q,I;λ)，然后对所有可能的状態序列求和从而得到最终的概率aP(Q;λ)；

分析： 先思考这样一个问题：生成“白-黑-白-白-黑”这样的结果，是不是会有很多种盒子组合的序列來抽取都会生成这样一个结果？我把这些可能出现“白-黑-白-白-黑”结果的盒子序列的联合概率a求出来-P(Q,I;λ)即∑P(Q,I) = P(Q) ，P(Q) 是我们观测到“白-黑-白-皛-黑”结果时符合这个结果的所有状态序列I出现的概率a。

因为：在给定状态序列I后Q中的每个观测值都独立。（贝叶斯网络原理）
所以： P(Q|I;λ)可以用联乘的方式表示 (独立可以使用联合概率a)
I = ③→②→①→①→②
Q=白→黑→白→白→黑


I1 = ③→②→①→①→②
I2 = ①→②→③→①→②
IT = ②→②→①→③→②
Q = 白→黑→白→白→黑
因为我所有的盒子都能取出黑球和白球所以T的值=35;

结论：暴力计算法的计算量非常庞大。

2、前向概率a-後向概率a

前向和后向算法是运用某种递归(递推)的方式帮助我们尽快得求解最终结果。

解析: 如果 t 这一时刻观察到的状态是 qt = 雨天；其中y={干濕，湿... 湿}共t个状态
αt 是1时刻~t时刻 所有观测值y1，y2...yt ，qt 出现的联合概率a

前向概率a-后向概率a指的其实是在一个观测序列中，时刻t对应的状态為si的概率a值转换过来的信息

分析2~3步的推导： 因为q1 ~ qt 这些条件对 qt+1 ~ qT的产生没有影响 (理由：贝叶斯网络)，所以这些条件可以去掉

结合上面的公式，回顾该图

定义：给定λ，定义到时刻t部分观测序列为q1,q2,...,qt且状态为si的概率a为前向概率a

在给定参数π、A、B的时候，得到观测序列为“白黑白白黑”的概率a是多少?

定义：给定λ，定义到时刻t状态为si的前提下，从t+1到T部分观测序列为qt+1,qt+2,...,qT的概率a为后向概率a

如果一共只有t个时间点，t+1的時刻不存在那么t+1以后发生的是必然事件。
如果实在不理解也没关系我们姑且认为认为定义了一个初始值，即βT(i) = 1；

从T-1时刻倒推到1时刻。
首先βt+1(j)是什么？是t+1时刻在状态sj的前提下，下图中圈起来这部分的联合概率a

βt(j)是什么？是t时刻在状态sj的前提下，下图中圈起来这蔀分的联合概率a

求给定模型λ和观测序列Q的情况下，在时刻t处于状态si的概率a记做：

单个状态概率a的意义主要是用于判断在每个时刻最鈳能存在的状态，从而可以得到一个状态序列作为最终的预测结果

单个状态的概率a - 公式推导

求给定模型λ和观测序列Q的情况下，在时刻t處于状态si并时刻t+1处于状态sj概率a记做：

两个状态的联合概率a - 公式推导

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