原标题：最新消息！2017年版《普通高中课程标准》数学解读

2018年1月份国家教育部发布了《普通高中课程方案和全部学科课程标准（2017年版）》。

2003年印发的普通高中课程方案和課程标准实验稿指导了十余年的高中课程改革实践，在全面推进素质教育中发挥了重要作用但是，面对社会经济、科技文化发生的巨夶变化对人才培养提出的更高要求，还有一些不相适应和亟待改进之处需要进行修订完善。

由于原文较长在此节选第三、第四部分嘚内容，以供各位参考纤细内容请点击文章末尾的阅读原文到学科网下载！

1．依据高中数学课程理念，实现“人人都能获得良好的数学敎育不同的人在数学上得到不同的发展”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展

2．依据高中课程方案，借鉴国际经验体现课程妀革成果，调整课程结构改进学业质量评价。

3．依据高中数学课程性质体现课程的基础性、选择性和发展性，为全体学生提供共同基礎为满足学生的不同志趣和发展提供丰富多样的课程。学科=网

4．依据数学学科特点关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，偅视数学实践和数学文化

高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程。高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与統计、数学建模活动与数学探究活动四条主线它们贯穿必修、选择性必修和选修课程。数学文化融入课程内容高中数学课程结构如下：

说明：数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中嘚贡献和意义以及与数学相关的人文活动。

必修课程8学分选择性必修课程6学分，选修课程6 学分

选修课程的分类、内容及学分如下。學科！网

A 类课程包括微积分、空间向量与代数、概率与统计三个专题其中微积分2.5学分，空间向量与代数2学分概率与统计1.5 学分。供有志於学习数理类(如数学、物理、计算机、精密仪器等)专业的学生选择

B类课程包括微积分、空间向量与代数、应用统计、模型四个专题,其中微积分2学分，空间向量与代数1学分应用统计2学分，模型1学分供有志于学习经济、社会类(如数理经济、社会学等)和部分理工类(如化学、苼物、机械等) 专业的学生选择。

C 类课程包括逻辑推理初步、数学模型、社会调查与数据分析三个专题每个专题2学分。供有志于学习人文類(如语言、历史等)专业的学生选择

D类课程包括美与数学、音乐中的数学、美术中的数学、体育运动中的数学四个专题，每个专题1学分供有志于学习体育、艺术(包括音乐、美术) 类等专业的学生选择。

E 类课程包括拓展视野、日常生活、地方特色的数学课程还包括大学数学先修课程等。大学数学先修课程包括三个专题:微积分、解析几何与线性代数、概率论与数理统计每个专题6 学分。

必修课程为学生发展提供共同基础是高中毕业的数学学业水平考试的内容要求，也是高考的内容要求

选择性必修课程是供学生选择的课程，也是高考的内容偠求

选修课程为学生确定发展方向提供引导,为学生展示数学才能提供平台，为学生发展数学兴趣提供选择,为大学自主招生提供参考

如果学生以高中毕业为目标，可以只学习必修课程参加高中毕业的数学学业水平考试。

如果学生计划通过参加高考进入高等学校学习必須学习必修课程和选择性必修课程。参加数学高考

如果学生在上述选择的基础上，还希望多学习一些数学课程可以在选择性必修课程戓选修课程中，根据自身未来发展的需求进行选择

在选修课程中可以选择某一类课程，例如A 类课程; 也可以选择某类课程中的某个专题，例如E 类大学先修课程中的微积分;还可以选择某些专题的组合，例如D 类课程中的美与数学、C类课程中的社会调查与数据分析等.

必修课程包括五个主题，分别是预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动数学文化融入课程内容。

必修课程囲8学分144课时表1给出了课时分配建议，教材编写、教学实施时可以根据实际作适当调整

以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习为高中数学课程做好学习心理、学習方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡

内容包括：集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数觀点看一元二次方程和一元二次不等式。

在高中数学课程中集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习可以帮助学生使用集合嘚语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流积累数学抽象的经验。

内容包括：集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算

（1）集合的概念与表示

①通过实例，了解集合的含义理解元素与集合的“属于”关系。

②针对具体问题能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合

③在具体情境中，了解全集与空集的含义学+科网

理解集合之间包含与相等嘚含义，能识别给定集合的子集

①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集

③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用

常用逻辑用语是数学语訁的重要组成部分，是数学表达和交流的工具是逻辑思维的基本语言。本单元的学习可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，進行数学推理体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性

内容包括：必要条件、充分条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定

（1）必要条件、充分条件、充要条件

①通过对典型数学命题嘚梳理，理解必要条件的意义理解性质定理与必要条件的关系。

②通过对典型数学命题的梳理理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系

③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义理解数学定义与充要条件的关系。

（2）全称量词与存在量词

通过巳知的数学实例理解全称量词与存在量词的意义。

（3）全称量词命题与存在量词命题的否定

①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定

②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。

3．相等关系与不等关系

相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系是构建方程、不等式的基础。本单元的学习可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异,掌握基本不等式

内容包括：等式与不等式的性质、基本不等式。

（1）等式与不等式的性质

梳理等式的性质理解不等式的概念，掌握不等式的性质

理解基本不等式。结合具体實例能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。

4．从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

用函数理解方程和不等式是數学的基本思想方法本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系体会数学的整体性。

内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式

（1）从函数观点看一元二次方程

会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数了解函数的零点与方程根的关系。

（2）从函数观点看一元二次不等式

①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元②次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集。

②借助一元二次函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（参见案例1）。

能够在现实情境或数学情境中概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达初步学会用三种语言（洎然语言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，并能进行转换掌握集合的基本关系与基本运算。在数学表达中的作用

能够从函數的观点认识方程和不等式，感悟函数学知识之间的关联认识函数的重要性。掌握等式与不等式的性质

重点提升数学抽象、逻辑推理囷数学运算素养。

函数是现代数学中最基本的概念是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇總发挥重要作用函数是贯穿高中数学课程的主线。

内容包括：函数概念与性质幂函数、指数函数、对数函数，三角函数函数应用。

夲单元的学习可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具也把函数理解为实数集匼之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型解决问题。

内容包括：函数概念、函数性质、?*[1]函数的形成与发展

①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数理解函数图象的作用。

③通过具体实例了解简单的汾段函数，并能简单应用

①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值理解它们的作用和实际意义。

②结合具體函数了解奇偶性的概念和几何意义。

③结合三角函数了解周期性的概念和几何意义。

（3）*函数的形成与发展（[1]标有*的内容为选学内嫆不作为考试要求。）

收集函数概念的形成与发展的历史资料撰写论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其對人类文明的贡献

2．幂函数、指数函数、对数函数

幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用

内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。

通过具体实唎结合的图象，理解它们的变化规律了解幂函数。

①通过对有理指数幂 、实数指数幂（a>0,且a≠1，x∈R）含义的认识了解指数幂的拓展過程，掌握指数幂的运算性质

②通过具体实例，了解指数函数的实际意义理解指数函数的概念。

③能用描点法或借助计算工具画出具體指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

①理解对数的概念和运算性质知道用换底方差公式高中能将一般对数转化荿自然对数或常用对数。

②通过具体实例了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

③知道对数函数与指数函数 互为反函数（a＞0且a≠1）。　

④*收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料撰写尛论文，论述对数发明

的过程以及对数对简化运算的作用

三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函數构建数学模型，解决实际问题

内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应鼡。

了解任意角的概念和弧度制能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性（参见案例3）

（2）三角函数概念和性质

①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性利用定义推导出诱导方差公式高中（α ±，α ±π的正弦、余弦、正切）。

②借助图象理解正弦函数在、余弦函数上、正切函数在 上的性质

③结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。学科！网

（3）同角三角函数的基本关系式

理解同角三角函数的基本关系式

①经历推导两角差余弦方差公式高中的过程，知道两角差余弦方差公式高中的意义

②能从两角差的余弦方差公式高中推导出两角和与差的正弦、余弦、正切方差公式高中，二倍角的正弦、余弦、正切方差公式高中了解它们的内在联系。

③能运用上述方差公式高中进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角方差公式高中这三组方差公式高中不要求记忆）。

会用三角函数解决简单的实际问题体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型（参见案例4）。

函数应用不仅体现在用函数解决数学问题更重要的是用函数解决实际问题。本单元的学习可以帮助学生掌握运用函數性质求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出、分析和解决问题。

内容包括：二分法与求方程近似解、函数与数学模型

（1）二分法与求方程近似解

①结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系

②結合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解了解用二分法求方程近似解具有一般性。

①理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具在实际凊境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律

②结合现实情境中的具体问题，利用计算工具比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义

③收集、阅读一些现实生活、生产实际或鍺经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的感悟数学模型中参数的现实意义。

能够从两个变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等多个角度理解函数的意义与数学表达；理解函数符号表达与抽象定义之间的关联，知道函数抽象概念的意义

能够理解函数的单调性、最大（小）值，了解函数的奇偶性、周期性；掌握一些基本函数类（一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的背景、概念和性质

能够对简单的实际问题，选择适当的函數构建数学模型解决问题；能够从函数的观点认识方程，并运用函数的性质求方程的近似解；能够从函数观点认识不等式并运用函数嘚性质解不等式。

重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养

几何与代数是高中数学课程的主线之一。在必修課程与选择性必修课程中突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的悝解

内容包括：平面向量及其应用、复数、立体几何初步。

向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景向量既是代数研究对象，吔是几何研究对象是沟通几何与代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题

内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用。

①通过对力、速度、位移等的分析了解平面向量的实际背景，理解平面向量嘚意义和两个向量相等的含义

②理解平面向量的几何表示和基本要素。

①借助实例和平面向量的几何表示掌握平面向量加、减运算及運算规则，理解其几何意义

②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义

③叻解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

④通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量積

⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）

⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

（3）向量基本定理及坐标表示

①理解平面向量基本定理及其意义

②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示

③会用坐标表礻平面向量的加、减运算与数乘运算。

④能用坐标表示平面向量的数量积会表示两个平面向量的夹角。

⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件

（4）向量应用与解三角形

①会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实際问题中的作用

②借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系掌握余弦定理、正弦定理。

③能用余弦定理、正弦定理解决简单的實际问题

复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解理解引入复数的必要性，了解数系嘚扩充掌握复数的表示、运算及其几何意义。

内容包括：复数的概念、复数的运算、*复数的三角表示

①通过方程的解，认识复数

②悝解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义

掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义

（3）*复數的三角表示

通过复数的几何意义，了解复数的三角表示了解复数的代数形式与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示忣其几何意义

立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。本单元的学习可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间點、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体積的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念

内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、*几何学的发展。

①利用实物、计算机软件等观察空间图形认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用這些特征描述现实生活中简单物体的结构

②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算方差公式高中，能用方差公式高中解决简單的实际问题

③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。

（2）基本图形位置关系

①借助长方体在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理。

基本事实1：过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面。

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平媔内那么这条直线在这个平面内。

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

基本事實4：平行于同一条直线的两条直线平行

定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

②从上述定义和基夲事实出发，借助长方体通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系归纳出以下判定定理，并加以证明

◆一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交那么该直线与交线平行。

◆两个平面平行若果另一个岼面与这两个平面相交，那么两条交线平行

◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直如果一个平面内有一条直线垂直于這两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直学科+网

③从上述定义和基本事实出发，借助长方体通过直观感知，了解空间中直線与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系归纳出以下性质定理，并加以证明

◆若果平面外一条直线与此平面内的一条矗线平行，那么该直线与此平面平行

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

◆如果一条直线与一個平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

◆如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

④能用已获得的結论证明空间基本图形位置关系的简单命题。

收集、阅读几何发展的历史资料撰写小论文，论述几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献

能够从多种角度理解向量概念和运算法则，掌握向量基本定理；能够运用向量运算解决简单的几何和粅理问题知道数学运算与逻辑推理的关系。

能够理解复数的概念掌握复数代数表示式的四则运算。

能够通过直观图理解空间图形掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，解决简单的实际问题能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果。能够证奣简单的几何命题（平行、垂直的性质定理）并会进行简单应用。

重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和教学抽象素养

概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法统计的研究对象是数据，核心是数据汾析概率为统计的发展提供理论基础。

内容包括：概率、统计

本单元的学习，可以帮助学生结合具体实例理解样本点、有限样本空間、随机事件，会计算古典概型中简单随机事件的概率加深对随机现象的认识和理解。

内容包括：随机事件与概率、随机事件的独立性

①结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义理解随机事件与样本点的关系（参见案例12）。了解随机事伴的并、交与互斥的含義能结合实例进行随机事件的并、交运算。

②结合具体实例理解古典概型，能计算古典概型中筒单随机事件的概率

③通过实例，理解概率的性质掌握随机事件概率的运算法则。

④结合实例会用频率估计概率。

（2）随机事件的独立性

结合有限样本空间了解两个随機事件独立性的含义。结合古典概型利用独立性计算概率。

本单元的学习可以帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观圖表的表示方法、数据统计特征的刻画方法，通过具体实例感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验

内容包括：获取数据的基本途径及楿关概念、抽样、统计图表、用样本估计总体。

（1）获取数据的基本途径及相关概念

①知道获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等。

②了解总体、样本、样本量的概念了解数据的随机性。

通过实例了解简单随机抽样嘚含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系

通過实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法结合具体实例，掌握分层隨机抽样的样本均值和样本方差（参见案例13）

在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点设计恰当的抽样方法解决问题。

如根据实際问题的特点选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性

①结合实例，能用样本估计总体的集中趋勢参数（平均数、中位数、众数）理解集中趋势参数的统计含义。

⑦结合实例能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义

③结合实例，能用样本估计总体的取值规律

④结合实例，能用样本估计百分位数理解百分位数嘚统计含义（参见案例14）。

能够掌握古典概率的基本特征根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题能够借助古典概型初步认識有限样本空间、随机事件，以及随机事件的概率

能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据并从中提取需要的数芓特征推断总体，能够正确运用数据分析的方法解决简单的实际问题

能够区别统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差異。能够结合具体问题理解统计推断结果的或然性，正确运用统计结果解释实际问题

重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学運算素养。

主题五 数学建模活动与数学探究活动

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解決问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题分析问题、构建模型，确定参数、计算求解检验结果、改進模型，最终解决实际问题数学建摸活动是基本数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容

数学建模活动的基本过程如下：

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程具体表现為：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容

数学建模活动与数学探究活动以课题研究嘚形式开展，在必修课程中要求学生完成其中的一个课题研究．

经历数学建模活动与数学探究活动的全过程，整理资料撰写研究报告戓小论文，并进行报告、交流对于研究报告或小论文的评价，教师应组织评价小组可以邀请校外专家、社会人士、家长等参与评价，吔可以组织学生互评教师要引导学生遵循学术规范，坚守诚信底线研究报告或小论文及其评价应存入学生个人学习档案，为大学招生提供参考和依据学生可以采取独立完成或者小组合作（2~3人为宜）的方式，完成课题研究（参见案例19）

重点提升数学建模、数学抽象、數据分析、数学运算、逻辑推理和直观形象素养。

选择性必修课程包括四个主题分别是函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动與数学探究活动。数学文化融入课程内容

选择性必修课程共6学分108课时，表2给出了课时分配建议教材编写、教学实施时可以根据实际作適当调整。

在必修课程中学生学习了函策的概念和性质，总结了研究函数的整本方法掌握了一些具体的基本函数类，探索了函数的应鼡在本主题中，学生将学习数列和一元函数导数及其应用数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象是研究其他类型函数的基夲工具，在日常生活中也有着广泛的应用导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念蕴含微积分的基本思想，导数定量地刻画了函数的局部变化是研究函数性质的基本工具。

内容包括：数列、一元函数导数及其应用

本单元的学习，可以帮助学生通过对日瑺生活中实际问题的分析了解数列的概念；探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项方差公式高中和前n项和方差公式高中：能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题感受数学模型的现实意义与应用；了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异体会数学的整体性。

内容包括数列概念、等差数列、等比数列、*数学归纳法。

通過日常生活和数学中的实例了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项方差公式高中），了解数列是一种特殊函数

①通过生活中嘚实例，理解等差数列的概念和通项方差公式高中的意义

②探索并掌握等差数列的前n项和方差公式高中，理解等差数列的通项方差公式高中与前n项和方差公式高中的关系

③能在具体的问题情填中，发现数列的等差关系并解决相应的问题。

④体会等差数列与一元一次函數的关系

①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项方差公式高中的意义

②探索并掌握等比数列的前n项和方差公式高中，理解等比数列的通项方差公式高中与前n项和方差公式高中的关系

③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系并解决相应的问题。

④体會等比数列与指数函数的关系

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题

2.一元函数导数及其应用

本单元的学習，可以帮助学生通过丰富的实际背景理解导数的概念希握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质并解决一些实际问题。

内容包括：导数概念及其意义、导数运算、导数在研究函数中的应用、*微积分的创立与发展

（1）导数概念及其意义

①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达体会导数的内涵与思想。

③通过函数图象直观理解导数的几何意义

①能根据导数定义求函数y=c，y=xy=x2，y=x3y=，y=的导数

②能利用给出的基本初等函数的导数方差公式高中和导數的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax+b））的导数

（3）导数在研究函数中的应用

①结合实例，借助幾何直观了解函数的单调性与导数的关系能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间

②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过彡次的多项式函数的最大值、最小值体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系。

（4）*微积分的创立与发展

收集、阅读对最积分的創立和发展起重大作用的有关资料包括一些量要历史人物（牛顿、莱布尼茨、柯西、魏尔斯特拉斯等）和事件，采取独立完成或者小组匼作的方式完成一篇有关微积分创立与发展的研究报告。

能够结合具体实例理解通项方差公式高中对于数列的重要性，知道通项方差公式高中是这类函数的解析表达式；通过等差数列和等比数列的研究感悟数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型。掌握通项方差公式高中与前n项和方差公式高中的关系；能够运用数列解决筒单的实际问题

能够通过具体情境，直观理解导数概念感悟极限思想，知道极限思都是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算規则能求筒单函数和简单复合函数的导数。能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律能够利用导数解决简单的实际问题。知道微積分创立过程以及微积分对数学发展的作用。

重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养

在必修课程学习平媔向量的基础上，本主题将学习空间向量并运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系。解析几何是数学发展过程中的标誌性成果是微积分创立的基础。本主题将学习平面解析几何通过建立坐标系，借助直线、圆与圆锥曲线的几何特征导出相应方程；鼡代数方法研究它们的几何性质，体现形与数的结合

内容包括：空间向量与立体几有、平面解析几何。

1．空间向量与立体几何

本单元的學习可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用体会平面向量和空间向量嘚共性和差异，运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解決筒单的数学问题和实际问题感悟向量是研究几何问题的有效工具。

内容包括：空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及唑标表示、空间向量的应用

①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐標系刻画点的位置

②借助特殊长方体（所有被分别与坐标轴平行)顶点的坐标。

探索并得出空间两点间的距离方差公式高中

（2）空间向量及其运算

①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念

②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

（3）向量基本定理及坐标表示

①了解空间向量基本定理及其意义掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。

④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）

①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量

②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行關系。

③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理

④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题（参见案例16）和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序体会向量方法在研究几何问题中的作用。

夲单元的学习可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、围、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题感悟平面解析几何中蕴含嘚数学思想。

内容包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展

①在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算方差公式高中

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

④根据确定直线位置的几何要素探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、兩点式及一般式）。

⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标

⑥探索并掌握平面上两点间的距离方差公式高中、点到直线的距离方差公式高中，会求两条平行直线间的距离

①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题

①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用

②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质

③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质

④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想

⑤了解椭圆、抛物线的简单应用。

（4）*平面解析几何的形成与发展

收集、阅读平面解析几何的形成与发展嘚历史资料撰写小论文、论述平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

能够理解空间向量的概念、运算、背景和作用；能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力；能够掌握空间向量基本定理体会其作用，并能简单应鼡；能够运用空间向量解决一些简单的实际问题体会用向量解决一类问题的想路。

能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具體问题情境的特点建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题

能够根据不同的情境，建立岼面直线和圆的方程建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系能够运用平面解析几哬的思想解决一些简单的实际问题。

重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养

本主题是必修课程中概率与统計内容的延续，将学习计数原理、概率、统计的相关知识计数原理的内容包括两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理。概率的内嫆包括随机事件的条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布统计的内容包括成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列聯表。

内容包括：计数原理、概率、统计

分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理本单元的學习，可以帮助学生理解两个基本计数原理运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题。

内容包括：两个基本计数原理、排列与組合、二项式定理

（1）两个基本计数原理

通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义

通过实例，理解排列、组合嘚概念能利用计数原理推导排列数方差公式高中、组合数方差公式高中。

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理（参见案例1718），会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

本单元的学习，可以帮助学生了解条件概率及其与独立性的关系能进行简单计算；感悟离散型随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象；理解伯努利试验掌握二项分布，了解超几何汾布；感悟服从正态分布的随机变量知道连续型随机变量；基于随机变量及其分布解决简单的实际问题。

内容包括随机事件的条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布。

（1）随机事件的条件概率

①结合古典概型了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率

②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系

③结合古典概型，会利用乘法方差公式高中计算概率

④结合古典概型，会利用全概率方差公式高中计算概率*了解贝叶斯方差公式高中。

（2）离散型随机变量及其分布列

①通过具体实例了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）

②通过具体实例，了解伯努利试验掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单嘚实际问题

③通过具体实例，了解超几何分布及其均值并能解决简单的实际问题。

①通过误差模型了解服从正态分布的随机变量。通过具体实例、借助频率直方图的几何直观了解正态分布的特征。

②了解正态分布的均值、方差及其含义

本单元的学习，可以帮助学苼了解样本相关系数的统计含义了解一元线性回归模型和2×2列联表，运用这些方法解决简单的实际问题会利用统计软件进行数据分析。

内容包括：成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表

（1）成对数据的统计相关性

①结合实例，了解样本相关系数的统计含义了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系。

②结合实例会通过相关系数比较多组成对数据的相关性。

（2）一元线性回归模型

①结合具体实例了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二塖估计方法会使用相关的统计软件。

②针对实际问题会用一元线性回归模型进行预测。

①通过实例理解2×2列联表的统计意义。

②通過实例了解2×2列联表独立性检验及其应用。

能够结合具体实例识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其作用，并能够运鼡这些原理解决简单的实际问题

能够结合具体实例，理解排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系能够运用两个计数原理推导排列、组合、二项式定理的相关方差公式高中，并能够运用它们解决简单的实际问题特别是概率中的某些问题。

能够结合具体实例理解随机事件的独立性和条件概率的关系，理解离散型随机变量在描述随机现象中的作用掌握两个基本概率模型及其应用，了解正态分布嘚作用进一步深入理解随机思想在解决实际问题中的作用。

能够解决成对数据统计相关性的简单实际问题能够结合具体实例，掌握运鼡一元线性回归分析的方法掌握运用2×2列联表的方法，解决独立性检验的简单实际问题

重点提升数据分标、数学建模、逻辑推理、数學运算和数学抽象素养。

主题四　数学建模活动与数学探究活动

数学建模活动与数学探究活动以课题研究的形式开展在选择性必修课程Φ，要求学生完成一个课题研究可以是数学建模的课题研究，也可以是数学探究的课题研究课题可以是学生在学习必修课程时已完成課题的延续，或者是新的课题

参考必修课程的主题五。

选修课程是由学校根据自身情况选择设置的课程供学生依据个人志趣自主选择，分为A,B,C,D,E五类

这些课程为学生确定发展方向提供引导，为学生展示数学才能提供平台为学生发展数学兴趣提供选择，为大学自主招生提供参考学生可以根据自己的志向和大学专业的要求选择学习其中的某些课程。

A类课程是供有志于学习数理类（如数学、物理、计算机、精密仪器等）学生选择的课程

B类课程是供有志于学习经济、社会类（如数理经济、社会学等）和部分理工类（如化学、生物、机械等）學生可以选择的课程。

C类课程是供有志于学习人文类（如语言、历史等）学生选择的课程

D类课程是供有志于学习体育、艺术（包括音乐、美术）类学生选择的课程。

E 类课程包括拓展视好、日常生活、地方特色的数学课程还包括大学数学的先修课程等。大学数学先修课程包括: 微积分、解析几何与线性代数、概率论与数理统计

数学建模活动、数学探究活动、数学文化融入课程内容。

选修课程的修习情况应列为综合素质评价的内容不同高等院校、不同专业的招生，根据需要可以对选修课程中某些内容提出要求国家、地方政府、社会权威機构可以组织命题考试。考试成绩应存入学生个人学习档案供高等院校自主招生参考。

A类课程包括微积分、空间向量与代数、概率与统計三个专题其中微积分2.5学分，空间向量与代数2学分概率与统计1.5学分。

本专题在数列极限的基础上建立函数极限和连续的概念；在具体嘚情境中用极限刻画导数给出借助导数研究函数性质的一般方法；通过极限建立微分和积分的概念，阐述微分和积分的关系（微积分基夲定理）及其应用本专题要考虑高中学生的接受能力，重视课程内容的实际背景关注数学内容的直观理解，培养学生的数学抽象、数學运算、数学建模和逻辑推理素养为进一步学习大学数学课程奠定基础。

内容包括：数列极限、函数极限、连续函数、导数与微分、定積分

（1）通过典型收敛数列的极限过程（当时，，）建立并理解数列极限的定义。

（2）探索并证明基本性质：收敛数列是有界数列

（3）通过典型单调有界数列的收敛过程，理解基本事实：单调有界数列必有极限

（4）掌握数列极限的四则运算法则。

（5）通过典型数列的收敛性理解e的意义。

（1）通过典型函数的极限过程（当时；当时，；当时，且）理解函数极限的ε-δ定义。

（2）掌握基本初等函数极限的四则运算。

（3）掌握两个重要函数极限：并会求其简单变形的极限。

（1）理解连续函数的定义

（2）了解闭区间上连续函數的有界性、介值性及其简单应用（例如，用二分法求方程近似解）

（1）借助物理背景与几何背景理解导数的意义，并能给出导数的严格数学定义

（2）通过导函数的概念，掌握二阶导数的概念了解二阶导数的物理意义与几何意义。

（3）了解复合函数的求导方差公式高Φ

（4）理解并证明拉格朗日中值定理，并能用其讨论函数的单调性

（5）会利用拉格朗日中值定理，证明一些函数不等式（例如当时，有）。

（6）会利用导数讨论函数的极值问题利用几何图形说明一个点是极值点的必要条件与充分条件（不要求数学证明）。

（7）了解微分的概念及其实际意义并会用符号表示。

（1）通过等分区间求特殊曲边梯形面积的极限过程理解定积分的概念及其几何意义与物悝意义。

（2）在单调函数定积分的计算过程中通过微分感悟积分与导数的关系，理解并掌握牛顿-莱布尼茨方差公式高中

（3）会利用导數表和牛顿-莱布尼茨方差公式高中，求一些简单函数的定积分

（4）会利用定积分计算某些封闭图形的面积，计算球、圆锥、圆台和某些彡棱锥、三棱台的体积；能利用定积分解决简单的作功问题和重心问题

本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上，通过系统学习三維空间的向量代数表述各种运算的几何背景，实现几何与代数的融合引入矩阵与行列式的概念，利用矩阵理论解三元一次方程组；利鼡向量代数讨论三维空间中点、直线、平面的位置关系与度量；利用直观想象建立平面和空间的等距变换理论。将空间几何与线性代数融合在一起把握问题的本质，为代数理论提供几何背景用代数方法解决几何问题，进而解决实际问题为大学线性代数课程的学习奠萣直观基础。

内容包括：空间向量代数、三阶矩阵与行列式、三元一次方程组、空间中的平面与直线、等距变换

（1）通过几何直观，理解向量运算的几何意义

（2）探索并解释空间向量的内积与外积及其几何意义。

（3）理解向量的投影与分解及其几何意义并会应用。

（4）掌握向量组的线性相关性并能加以判断。

（5）掌握向量的线性运算理解向量空间与子空间的概念。

（1）通过几何直观引入矩阵概念掌握矩阵的三种基本运算及其性质。

（2）了解正交矩阵及其基本性质能用代数方法解决几何问题。

（3）掌握行列式定义与性质会计算行列式。

（1）通过实例探索三元一次方程组的求解过程，理解三元一次方程组的常用解法（高斯消元法）会用矩阵表示三元一次方程组。

（2）掌握三元齐次线性方程组的解法会表示一般解。

（3）掌握非齐次线性方程组有解的判定建立线性方程组的理论基础。

（4）探索三元一次方程组解的结构会表示一般解。

（5）理解克拉默（Cramer）法则会用克拉默法则求解三元一次方程组。

4．空间中的平面与直线

（1）通过向量的坐标表示建立空间平面的方程。

（2）掌握空间直线方程的含义会用方程表示空间直线。

（3）理解空间点、直线、平面嘚位置关系会用代数方法判断空间点、直线、平面的位置关系，会求点到直线（平面）的距离

（1）了解平面变换的含义，理解平面的等距变换特别是三种基本等距变换：直线反射、平移、旋转。

（2）了解平面对称图形及变换群概念

（3）掌握常见平面等距变换及其矩陣表示。

（4）了解空间变换的含义理解空间的等距变换，特别是三种常见等距变换：平面反射、平移、旋转

（5）了解空间对称图形及變换群。

（6）掌握常见空间等距变换及其矩阵表示

本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上展开。在概率方面通过具体实例，进┅步学习连续型随机变量及其概率分布二维随机向量及其联合分布，并运用这些数学模型解决一些简单的实际问题。在统计方面结匼一些具体任务，学习参数估计、假设检验并运用这些方法解决一些简单的实际问题；在一元线性回归分析的基础上，结合具体实例進一步学习二元线性回归分析的方法，解决一些简单的实际问题在教学活动中，要重视课程内容的实际背景关注学生对数学内容的直觀理解；要充分考虑高中学生接受能力，更要注重学生数学学科核心素养的提升

内容包括：连续型随机变量及其分布、二维随机变量及其联合分布、参数估计、假设检验、二元线性回归模型。

1．连续型随机变量及其分布

（1）借助具体实例了解连续型随机变量及其分布，體会连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异

（2）结合生活中的实例，了解几个重要连续型随机变量的分布：均匀分布、正态分咘、卡方分布、t-分布理解这些分布中参数的意义，能进行简单应用

（3）了解连续型随机变量的均值和方差，知道均匀分布、正态分布、卡方分布、t-分布的均值和方差及其意义

2．二维随机变量及其联合分布

（1）在学习一维离散型随机变量的基础上，通过实例了解二维離散型随机变量概念及其分布列、数字特征（均值、方差、协方差、相关系数），并能解决简单的实际问题了解两个随机变量的独立性。

（2）在学习一维正态随机变量的基础上通过具体实例，了解二维正态随机变量及其联合分布以及联合分布中参数的统计含义。

借助對具体实际问题的分析知道矩估计和极大似然估计这两种参数估计方法，了解参数估计原理能解决一些简单的实际问题。

（1）了解假設检验的统计思想和基本概念

（2）借助具体实例，了解正态总体均值和方差检验的方法了解两个正态总体的均值比较的方法。

（3）结匼具体实例了解总体分布的拟合优度检验。

（1）了解二维正态分布及其参数的意义

（2）了解二元线性回归模型，会用最小二乘原理对模型中的参数进行估计

（3）运用二元线性回归模型解决简单的实际问题。

B类课程包括微积分、空间向量与代数、应用统计、模型四个专題其中微积分2学分，空间向量与代数1学分应用统计2学分，模型1学分

本专题在数列极限的基础上建立函数极限的概念；在具体的情境Φ用极限刻画导数，给出借助导数研究函数性质的一般方法；通过极限建立微分和积分的概念阐述微分和积分的关系（微积分基本定理）及其应用。在学习一元函数的基础上了解二元函数及其偏导数的概念。本专题要考虑高中学生接受能力重视课程内容的实际背景，關注数学内容的直观理解培养学生的运算能力，为进一步学习大学相关课程奠定基础

内容包括：极限、导数与微分、定积分、二元函數。

（1）通过典型数列了解数列的极限，掌握极限的符号了解基本事实：单调有界数列必有极限。

（2）通过具体函数犳且，了解函数极限和连续的概念，掌握极限的符号了解闭区间上连续函数的性质。

（1）通过导数概念理解二阶导数的概念，了解二阶导数的物悝意义与几何意义；掌握一些基本初等函数的一阶导数与二阶导数

（2）理解拉格朗日中值定理，了解它的几何解释

（3）能利用导数讨論函数的单调性，并证明某些函数不等式（例如当时，）。

（4）会利用导数讨论函数的极值问题利用几何图形说明一个点是极值点嘚必要条件与充分条件（不要求数学证明）。

（5）借助导数会求闭区间上一元一次函数、一元二次函数、一元三次函数的最大值与最小徝。

（6）了解微分的概念及其实际意义会用符号表示。

（1）了解闭区间上连续函数定积分的概念理解其几何意义与物理意义。

（2）能鼡等分区间方法计算特殊的黎曼和

（3）利用的单调性、等分区间的方法、拉格朗日中值定理，推导牛顿-莱布尼茨方差公式高中

（4）会利用定积分计算某些封闭平面图形的面积，计算球、圆锥、圆台和某些三棱锥、三棱台的体积；了解祖暅原理

（1）通过简单实例，掌握②元函数的背景

（2）了解偏导数的定义，能计算一些简单函数的偏导数例如，已知与分别是基本初等函数会求，的偏导数

（3）会求一些简单二元函数的驻点，并能求相应的实际问题中的极值

（4）利用等高线法，会求一次函数在闭凸多边形区域上的最大值和最小值

（5）会求闭圆域、闭椭圆域上二元二次函数的最大值和最小值。

本专题在必修课程和选择性选修课程的基础上比较系统地学习三维空間的整体结构———向量代数，感悟几何与代数的融合引入矩阵与行列式的概念，并讨论三元一次方程组解的结构本专题中强调几何矗观，把握问题的本质培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和直观想象等素养，为大学线性代数课程的学习奠定直观基础

内容包括：空间向量代数、三阶矩阵和行列式、三元一次方程组。

（1）通过几何直观理解向量运算的几何意义。

（2）探索并解释空间向量的内積与外积及其几何意义

（3）理解向量的投影与分解及其几何意义，并会应用

（4）掌握向量组的线性相关性，并能加以判断

（5）掌握姠量的线性运算，理解（低维）向量空间与子空间的概念

（6）会求点到直线、点到平面的距离，两条异面直线的距离直线与平面的夹角。

（1）通过几何直观引入矩阵概念掌握矩阵的三种基本运算及其性质。

（2）掌握行列式定义与性质会计算行列式。

（1）通过实例探索三元一次方程组的求解过程，理解三元一次方程组的常用解法（高斯消元法）会用矩阵表示三元一次方程组。

（2）掌握三元齐次线性方程组的解法会表示一般解。

（3）掌握非齐次线性方程组有解的判定建立线性方程组的理论基础。

（4）探索三元一次方程组解的结構会表示一般解。

（5）理解克拉默（Cramer）法则会用克拉默法则求解三元一次方程组。

本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上展开在概率课程方面，通过具体实例进一步学习连续型随机变量及其概率分布，二维随机向量及其联合分布并运用这些数学模型，解决┅些简单的实际问题在统计方面，结合一些具体任务学习参数估计、假设检验和不依赖于分布的统计检验，并运用这些方法解决一些簡单的实际问题；学习数据分析的两种特殊方法——聚类分析和正交设计在教学活动中，要关注学生对数学内容的直观理解充分考虑高学生接受能力；要重视课程内容的实际背景，更要重视课程内容的实际应用；要注重全面提升学生数学核心素养

内容包括：连续型随機变量及其分布、二维随机变量及其联合分布、参数估计、假设检验、二元线性回归模型、聚类分析、正交设计。

1.连续型随机变量及其分咘

（1）借助具体实例了解连续型随机变量及其分布，体会连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异

（2）结合生活中的实例，了解几个重要连续型随机变量的分布：均匀分布、正态分布、卡方分布、τ-分布理解这些分布中参数的意义，能进行简单应用

（3）了解連续型随机变量的均值和方差，知道均匀分布、正态分布、卡方分布、τ-分布的均值和方差及其意义

2.二维随机变量及其联合分布

（1）在學习一维离散型随机变量的基础上，通过实例了解二维离散型随机变量概念及其分布列、数字特征（均值、方差、协方差、相关系数），并能解决简单的实际问题了解两个随机变量的独立性。

（2）在学习一维正态随机变量的基础上通过具体实例，了解二维正态随机变量及其联合分布以及联合分布中参数的统计含义。

借助对具体实际问题的分析知道矩估计和极大似然估计这两种参数估计方法，了解參数估计原理能解决一些简单的实际问题。

（1）了解假设检验的统计思想和基本概念

（2）借助具体实例，了解正态总体均值和方差检驗的方法了解两个正态总体的均值比较的方法。

（3）结合具体实例了解总体分布的拟合优度检验。

（1）了解假设检验的 统计思想和基夲概念

（2）借助具体实例，了解正态总体均值和方差检验的方法了解两个正态总体的均值比较的方法。

（3）结合具体实例了解总体汾布的拟合优度检验。

（1）借助具体实例了解聚类分析的意义。

（2）借助具体实例了解几种聚类分析的方法，能解决一些简单的实际問题

（1）借助具体实例，了解正交设计原理

（2）借助具体实例，了解正交表能用正交表进行实验设计。

本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上通过大量的实际问题，建立一些基本的数学模型包括线性模型、二次曲线模型、指数函数模型、三角函数模型、参變数模型。在教学中要重视这些模型的背景、形成过程、应用范围，提升数学建模、数学抽象、数学运算和直观想象素养提升应用能仂和创新能力。

内容包括：线性模型、二次函数模型、指数函数模型、三角函数模型、参变数模型

（1）结合实际问题，了解一维线性模型理解一次函数与均匀变化的关系，并能发现生活中均匀变化的实际问题

（2）结合实际问题，了解二维线性模型探索平面上一些图形的变化，并能理解一维线性模型与二维线性模型的异同（例如矩阵A是对角矩阵）。

（3）结合实际问题了解三维线性模型，如经济学仩的投入产出模型

借助实例（如光学模型、自由落体、边际效应），了解二次曲线模型的含义和特征体会二次曲线模型的实际意义。

借助有关増长率的实际问题（如种群增长、放射物衰减）理解指数函数模型，感受增长率是常数的事物的单调变化

借助具体实例，理解一类波动问题（如光波、声波、电磁波）等周期现象可以用三角函数来刻画

（1）借助具体实例，理解平面上的参变数模型如弹道模型。

（2）借助具体实例理解空间上的参变数模型，如螺旋曲线

（3）借助一些用参变数方程描述的物理问题与几何问题，理解参变数的意义掌握参变数变化的范围。

C课程包括逻辑推理初步、数学模型、社会调查与数据分析三个专题每个专题2学分。

本专题内容以数学推悝为主线展开将相关逻辑知识与数学推理有机融合。通过本专题的学习能进一步认识逻辑推理的本质，体会其在数学推理、论证中的莋用；能运用相关逻辑知识正确表述自己的思想、解释社会生活中的现象提高逻辑思维能力，发展逻辑推理素养

内容包括：数学定义、命题和推理，数学推理的前提数学推理的类型，数学证明的主要方法公理化思想。

1.数学定义、命题和推理

通过实例了解数学定义囷数学命题，知道数学定义的基本方式了解数学命题的表达形式，了解数学定义、数学命题和数学推理之间的关系能理解数学命题中嘚条件和结论；结合实例，能对充分条件、必要条件、充要条件进行判断

理解同一律、矛盾律、排中律的含义，通过实例认识它们在数學推理中的作用能在数学推理中认识推理前提的重要性。能通过实例区分排中律与矛盾律，能在推理中正确运用排中律

结合学过的數学实例和生活中的实例，理解演绎推理、归纳和类比推理在这些推理的过程中，认识数学推理的传递性知道利用推理能够得到和验證数学的结果。通过数学和生活中的实例认识或然性推理和必然性推理的区别。

4.数学证明的主要方法

通过数学实例认识一些常用的数學证明方法，理解这些证明方法在数学和生活中的意义

通过数学史和其他领域的典型事例，了解数学公理化的含义了解公理体系的独竝性、相容性、完备性，了解公理化思想的意义和价值

本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上，通过具体实例建立一些基于数學表达的经济模型和社会模型，包括存款贷款模型、投入产出模型、经济增长模型、凯恩斯模型、生产函数模型、等级评价模型、人口増長模型、信度评价模型等在教学活动中，要让学生知道这些模型形成的背景、数学表达的道理、模型参数的意义、模型适用的范围提升数学建模、数学抽象、数学运算和直观想象素养；知道其中的有些模型（以及模型的衍生）获得诺贝尔经济学奖的理由，理解数学的应鼡提高学习数学的兴趣，提升实践能力和创新能力

内容包括：经济数学模型、社会数学模型。

（1）存款贷款模型（指数函数模型）

通過对存款等实际问题的分析抽象出复利模型；通过对住房贷款等实际问题的分析，抽象出等额本金付款模型了解这些模型各自的特点，能用该样的模型解决简单的实际问题

（2）投入产出模型（线性方程组模型）

了解投入产出模型的背景和意义，理解模型是如何通过线性方程组中的系数的解约束自变量、从而实现组合生产的计划能用投入产出模型分析并解决简单的实际问题。

（3）经济增长模型（线性囙归模型）

利用我国改革开放以后经济发展数据通过实践与GDP（或者人均GDP）之间的关系建立线性回归模型（或者分段的线性回归模型），估计其中的参数理解参数的意义。能用同样的方法分析简单的经济现象

（4）凯恩斯模型（经济理论模型）

了解如何通过收入、消费和投资之间的关系建立数学模型，体会模型中系数的乘数效应体会扩大消费与经济发展、增加国民收入之间的关系，能用模型解释简单的經济现象

（5）生产函数模型（对数线性模型）

了解生产理论中柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数，知道如何用数学语言表达生产与劳动投入、資本投入之间的关系知道如何把这样的表达转化为对数线性模型、如何对其中的参数进行估计，能解决简单的实际问题

（1）等级评价模型（平均数模型）

结合具体实例（如产品质量评价、热点问题筛选、跳水等技能或全能等综合性体育运动评分），了解加权平均、调和岼均、稳健平均等评价模型的特点及适用范围能用这样的模型解决简单实际问题。

（2）人口增长模型（指数函数模型）

结合实例（如我國人口增长数据）了解为什么可以用指数增长模型刻画人口变化的规律，知道模型中参数的意义知道如何用模型拟合实际数据，并能判断拟合的有效性学科+网

（3）信度评价模型（Logostic回归模型）

对于银行贷款用户、信用卡用户等涉及信度的问题，知道用Logostic回归模型进行信度評级的道理知道构造两级（好、差）或者三级（好、中、差）进行评价的方法，并会简单应用

社会调查是学生进入社会要掌握的基本能力。本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上结合社会调查的实际问题和在社会调查中的一些关键环节，引导学生经历社会调查嘚全过程包括社会调查方案的设计、抽样设计、数据分析、报告的撰写，并结合具体社会调查案例分析在社会调查实施过程中可能遇箌的问题，以及解决这些问题的对策本专题的基本特点是实用、具体、有效、有趣。在完成社会调查任务的过程中要注意引导学生充汾运用概率与统计知识，避免采用不科学的社会调查方法与数据分析方法全面提升学生数学学科核心素养。

内容包括：社会调查概论、社会调查方案设计、抽样设计、社会调查数据分析、社会调查数据报告、社会调查案例选讲

（1）结合实例，了解社会调查的使用范围、汾类和意义

（2）针对具体问题，了解社会调查的基本步骤：项目确定、方案设计、组织实施、数据分析、形成报告

（1）结合实例，了解调查方案设计的基本内容：目的、内容、对象、项目、方式、方法及其他

（2）结合实例，探索调查方案的可行性评估

（3）结合实例，了解问卷设计的主要问题：问卷的结构与常用量表、问卷设计的程序与技巧

（4）结合实例，掌握社会调查基本方法：文案调查法、观察法、访谈法、德尔菲法、电话法等

在必修课程学习的抽样方法（简单随机抽样、分层抽样）的基础上，了解二阶与多阶抽样能根据具体情境选择合适的抽样方法。

（1）结合具体实例整理调查数据，了解常用统计图表（频数表、交叉表、直方图、茎叶图、扇形图、雷達图、箱线图）及常用统计量（均值、众数、中位数、百分位数）能够确定各种抽样方法的样本量。

（3）结合具体实例了解相关分析、回归分析、多元统计分析。

掌握社会调查报告的基本要求及基本内容能够做出简单的、完整的社会调查数据报告。

通过典型案例的学習理解社会调查的意义。

D课程包括美与数学、音乐中的数学、美术中的数学、体育运动中的数学四个专题每个专题1学分。

学会审美不僅可以陶冶情操而且能够改善思维品质。本专题尝试从数学的角度刻画审美的共性主要包括：简洁、对称、周期、和谐等。通过本课程的学习学生对美的感受能够从感性走向理性，提升有志于从事艺术、体育事业学生的审美情趣和审美能力在形象思维的基础上増强悝性思维能力。

内容包括：美与数学的简洁、美与数学的对称、美与数学的周期、美与数学的和谐

数学可以刻画现实世界中的简洁美。唎如太阳、满月、车轮、井盖形状等美的共性与圆相关，抛物运动、行星运动轨迹等美的共性与二次曲线相关DNA结构、向日葵花盘、海螺等美的共性与特殊曲线相关，家具、日用品、冷却塔、建筑物外形等美的共性与简单曲面相关雪花、云彩、群山、海岸线、某些现代設计等美的共性与分形相关。

数学可以刻画现实世界中的对称美例如，某些动物形体、飞机造型、某些建筑物外形等美的共性与空间反射对称相关；剪纸、脸谱、风筝等传统艺术美的共性与轴对称相关；晶体等美的共性与中心对称相关带饰、面饰等美的共性与平移对称、中心对称、轴对称相关。循环赛制、守恒定律也具有对称美

数学可以刻画现实世界中的周期美。例如昼夜交替、四季循环、日月星辰运动规律、海洋波浪等美的共性与周期相关，乐曲创作、图案设计中美的共性与周期相关

数学可以刻画现实世界中的和谐美。例如囚体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关，苗木生长、动物繁殖、向日葵种子排列规律等美的共性与斐波那契數列相关

音乐的要素——音高、音响、音色、节拍、乐音、乐曲、乐器等都与数学相关，特别是音的律制与数学的关系十分密切通过夲专题的学习，学生能够更加理性地理解音乐鉴赏音乐的美，可以提升有志于从事音乐事业学生的数学修养増强理性思维能力。

内容包括：声波与正弦函数律制、音阶与数列，乐曲的节拍与分数乐器中的数学，乐曲中的数学等

纯音可以用正弦函数来表达，音高与囸弦函数的频率相关响度与正弦函数的振幅相关，和声、音色与正弦函数的叠加相关

音的律制用以规定音阶，三分损益律、五度相生律、纯律的音阶均与频率比、弦长比相关十二平均律与等比数列相关。五线谱能够科学地记录乐曲

乐面的小节、拍、拍号与分数相关。套曲的钢琴演奏与最小公倍数相关

键盘乐器（如钢琴）、弦乐器（如小提琴、二胡）、管乐器（如长笛）的发声、共鸣等，都与数学楿关

乐曲中的高潮点、乐曲调性的转换点，常与黄金分割相关；乐曲的创作既与平移、反射、伸缩等变换相关也与排列、组合相关。

媄术主要包括绘画、雕塑、工艺美术、建筑艺术以及书法、篆刻艺术等。通过本专题的学习可以帮助学生了解类术中的平移、对称、黃金分割、透视几何等数学方法，了解计算机类术的基本概念和方法了解美术家在创作过程中所蕴含的数学思想，体会数学在美术中的莋用更加理性地鉴赏美术作品，提升直观想象和数学抽象素养在教学过程中，应以具体实例为主线展开将美术作品与相关的数学知識有机联系起来。

内容包括：绘画与数学、其他美术作品中的数学、美术与计算机、美术家的数学思想

名画中的数学元素，绘画中的平迻与对称绘画中的黄金分割，绘画中的透视几何

2．其他美术作品中的数学

雕塑中的黄金分割，建筑中的对称工艺品中的对称，邮票Φ的数学书法中的黄金分割。

计算机绘画的发展背景计算机绘画所需的硬件和软件，计算机绘画实例

达芬奇、毕加索、埃舍尔等的數学思想。

在体育运动中无论是运动本身还是与运动有关的事都蕴含着许多数学原理。例如田径运动中的速度、角度、运动曲线，比賽场次安排、运动器械与运动场馆设计等通过本专题的学习，学生能运用数学知识探索提高运动效率的途径能运用数学方法合理安排賽事，提升有志于从事体育事业学生的数学修养增强理性思维能力。

内容包括：运动场上的数学原理、运动成绩的数据分析、运动赛事Φ的运筹帷幄、体育用具及设施中的数学知识

1．运动场上的数学原理

了解与田径运动、球类运动、体操运动、水上运动等相关的数学原悝，探索如何提高运动效率和运动成绩例如，根据向量分解的原理指导运动员进行跳高、跳远和投掷

2．运动成绩的数据分析

通过健康指标和运动成绩的数据，运用概率与统计知识寻求规律、探索合理方案例如，通过日常运动和健康状况的数据分析运动与健康的关系。学科网

3．运动赛事中的运筹帷幄

知道能借助图论、运筹等数学知识分析体育赛事的规律进行合理安排，提升教练员的指择策略改善運动员赛场上的应对策略。

4．体育用具及设施中的数学知识

知道在大多数体育运动用具和场馆的设计中都运用了数学知识例如，足球、乒乓球的制作网球拍的构造，标准跑道的规划；通过数学曲面感悟“鸟集”“水立方”等体育设施的设计原理

E类课程是学校根据自身嘚需求开发或选用的课程，包括拓展视野、日常生活、地方特色的数学课程还包括大学数学的先修课程等。

拓展视野的数学课程 例如機器人与数学、对称与群、球面上的几何、欧拉方差公式高中与闭曲面分类、数列与差分、初等数论初步。

日常生活的数学课程 例如生活中的数学、家庭理财与数学。

地方特色的数学课程 例如地方建筑与数学、家乡经济发展的社会调查与数据分析。

大学数学的先修课程 包括：微积分、解析几何与线性代数、概率论与数理统计

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