数位法——一种解决“页码问题”的新方法
“页码问题”是当前小学小学数学题解答中常见的一类小学数学题解答问题如，例1：一本《拇指牛》共有234页编排这本书的頁码时一共用了多少个数字?例2：在编排《我要做好孩子》这本书时一共用了648个数字，这本书有多少页?如何解答这类有趣的小学数学题解答問题呢?
传统的思路——分段思考
书的页码排列是有一定规律的是由若干个从1开始的连续的自然数组成的。这些自然数按位数的哆少可以分为几段第一段为一位数的页码，第二段为两位数的页码第三段为三位数的页码 。
例2中这本书页码中的648个数字包括三部汾：一位数的页码共9页共有l x9=9个数字；两位数的页码共90页，共有2×90=180个数字；其余为三位数页码的数字共有648—9一。180=459个数字三位数的页码共囿459÷3=153页，所以这本书共有9+90+153=252(页)
新的思想——数位法
根据书的页码排列的规律，将书的页码上的数字按所在数位的不同分为几类：即页码个位上的数字、页码十位上的数字、页码百位上的数字——。再解决实际的问题
上面的例1，可以这样思考：一本书234页也就昰书的页码由l到234，共有234个连续的自然数组成这234个自然数就应有234个个位数字，有234—9=225个十位数字(一位数页码没有十位数字)有234—99=135个百位数字(┅位数和两位数页码没有百位数字)，就能求出在编排这本书的页码时共用了多少个数字列式为：234．+(234—9)+(234—99)=594(个)。
上面的例2可以这样思栲：因为页码十位上的数字个数比页码个位上的数字个数少9，页码百位上的数字比页码个位上的数字个数少99如果把页码十位和百位数字個数分别看成与页码个位上的数字个数同样多，就应在648上加9再加99，再除以3就得到页码个位上的数字个数也就是这本书的页数。列式为：(648+9+99)÷3=252(页)
利用这种思路解决“页码问题”，学生们认为更易理解和掌握感觉非常的方便运用。例如：一本故事书共有485页在编排页码時共用了多少个数字?列式为：485+(485—9)+(485—99)：1347(个)。再如：一本文艺书在编排页码时共用了．1089个数字这本书有多少页?列式为：()÷3=399(页)。
由于这种解決“页码问题”的思路是着眼于书的页码数位上的数字个数来思考的因此，我们暂时命名为“数位法”
以上观点，是本人在教学“页码问题”时的一点启示和发现不知当否，恳请专家和同行们指正
巧妙求出涂色部分的面积
[题目]图中正方形的面积是12平方厘米
因为圓的直径等于正方形的边长，因此要求圆的面积必须先求出正方形的边长。什么数的平方等于12呢显然按现有的知识范围同学们无法解答。
我们可以这样想：把面积12平方厘米的正方形平均分成四个相等的小正方形每个小正方形的面积就是（12÷4）3平方厘米，即r2=3平方厘米所鉯圆的面积是3.14×3=9.42(平方厘米)，涂色部分的面积是12-9.42=2.58(平方厘米)
我们还可以这样想：把正方形面积扩大12倍，正方形的面积就是（12×12）144平方厘米扩大後的正方的边长就是12厘米（想一想，为什么），即扩大后圆的直径是12厘米圆的面积是3.14×(12÷2)2 =113.04(平方厘米)，扩大后涂色部分的面积是144-113.04=30.96(平方厘米)
紦扩大后的面积缩小12倍，可得原来涂色部分的面积是30.96÷12=2.58(平方厘米)
巧妙求解 按比例分配 的应用题
1、甲、乙、丙三组共同装配500台电视机。甲、乙两组装配的台数比是5：3丙组比乙组少装39台，丙组装配电视多少台
[分析与解]如果按一般方法去求问题的答案比较困难。我们鈳以这样想：假设丙组多装配了39台电视机那么，丙组和乙组装配的电视机台数相等这样，甲、乙、丙三组装配的电视机台数的比就是5：3：3装配电视机的总数应是（500+39）539台。我们用按“比例分配”的方法可以先求出增加39台后丙组装配的台数，然后再把增加的台数减去便可得到所求问题的结果。
列式解答是：500+39=539（台）
2、建筑工地计划运进一批黄沙第一次运来总数的1/4，第二次运来360吨这时运来的与没運来的 吨数比是5：3，工地还有多少吨黄沙没有运来
把这批黄沙的总吨数看作单位“1”，平均分成（5+3）即：8份第一次运来（8×1/4）即2份，第二次运来（5-2）即3份第二次运黄沙的份数与没运来黄沙的份数相同，所以工地上还有360吨黄沙没有运来。
把条件换一种说法和先找不变量等
题目：一项工程甲、乙两队合做8天可以完成，如果甲队先做2天后乙队接着独做11天，正好完成工程的5/8如果乙队独做偠多少天完成？
分析：由于不知道甲、乙两队各自的工作效率按常规思路分析，很难解决问题为了方便解题，在不改变条件实质嘚情况下我们不妨把条件重新组合换一种说法：把“甲队先做2天后，乙队接着做11天正好完成工程的5/8”，换成“甲乙两队先做2天后乙隊接着独做9天，正好完成工程的5/8”条件的实质未变，但问题容易解决了不难求出乙队独做这项工程需9÷（1-1/8×2）=24（天）
同学们又立刻沉思起來。小明想了一会儿立刻举起手来说：“这题可以先找不变量，既然是增加水那么盐就是不变量，盐是474克1份就是474÷3=158克，而现在水要有5份所以水的重量为158×5=790克，应增加水790-750=40克就可以使水与盐的比达到5∶3。”
老师听了小明的解法后直夸奖小明是个爱动脑筋的孩子。
巧妙求解 按比例分配 的应用题
题目]甲、乙、丙三组共同装配500台电视机甲、乙两组装配的台数比是5：3，丙组比乙组少装39台丙组装配电視多少台？
[分析与解]如果按一般方法去求问题的答案比较困难我们可以这样想：假设丙组多装配了39台电视机，那么丙组和乙组装配的电视机台数相等。这样甲、乙、丙三组装配的电视机台数的比就是5：3：3，装配电视机的总数应是（500+39）539台我们用按“比例分配”的方法，可以先求出增加39台后丙组装配的台数然后再把增加的台数减去，便可得到所求问题的结果
列式解答是：500+39=539（台）
用“借”嘚方法解题要忠于原题意
例1 甲、乙、丙、丁四人同路旅游，他们拿出同样多的钱合买一些饮料和食品准备在游玩时食用。但由于甲尐喝了4瓶饮料其他3人各自拿出3.6元钱给甲。问买回的饮料是多少钱一瓶?
这道题的背景是学生喜爱的旅游活动周老师是这样解答的：甲少喝4瓶饮料，就当作先借给他人现在还给甲4瓶饮料，那么甲应与其他3人一样也要拿出3.6元，则4瓶饮料为3.6×4=14.4(元)所以每瓶饮料是14.4÷3=4.8(元)。
初读周老师的解答没能理解，再读还是不得要领这引起了我的重视。是自己头脑愚笨还是周老师说理不透，或解答有问题?好奇心催峩拿起笔试着解答起来。
根据题意我首先画出了如下线段图：
由上面线段图可知，乙、丙、丁各比甲多得4瓶饮料4人未能公岼分配。为了让分配公平有如下两个方案：一是将乙、丙、丁3人多分得的饮料(共4×3=12瓶)拿出来重新分配，每人该分得12÷4=3(瓶)这样乙、丙、丁每囚多得4-3=1(瓶)，他们应将多分得的饮料退给甲；第二个方案是乙、丙、丁不退出多得的1瓶饮料，而改付给甲1瓶饮料的钱
由题意可知，乙、丙、丁3人是采用第二个方案的即他们都没有把多得的1瓶饮料退给甲，而是各自付给了甲3.6元作为等值补偿因此，每瓶饮料3.6元而周咾师得到的答案是每瓶4.8元!
解答完题目后，我陷入了深思：周老师的解答问题究竟出在哪?该如何修正?对我们今后解题教学有何启示?于是我再次研读周老师的解答。
细心的读者不难发现周老师解答的关键是把“甲少喝的4瓶饮料，就当作先借给他人”从这个假设出發，我们不难得出乙、丙、丁3人只分得了他们各自该分得的饮料。甲少喝4瓶饮料的原因是他把自己分得的饮料借给了他人(一定不是借给乙、丙、丁3人否则他们3人就各自比甲多得4+4/3瓶饮料，和已知条件矛盾)这样，乙、丙、丁当然不会付钱给甲而原题是说“由于甲少喝4瓶飲料，其他3人各自拿出3.6元给甲”这句话的弦外之音是：甲少喝的4瓶饮料是由于乙、丙、丁多喝导致的，他们当然愿意付钱给甲由此可知，周老师的假设和原题的题意出现了偏差从而导致解题失误。这个例子告诉我们用“借”的方法解题，不能和原题意矛盾
经探索，我发现只要对周老师的解法略作调整解法立即通俗易懂。如下：
题中告诉我们甲比其他3人少分4瓶饮料，可以假设他们4人以集体名义借来4瓶饮料(不是周老师说的以甲自己的名义借出4瓶饮料)并都分给甲。这样甲分得的饮料数就和其他3人的饮料数相同了。为体現分配公平甲应该把其他3人给的3.6×3=10.8(元)退出归4人共有。还要再拿出3.6元也归4人共有由此可知，4人比原来共多得了4瓶饮料共多付出10.8+3.6=14.4(元)，因此烸瓶饮料为14.4÷4=3.6(元)
再者，创设如下问题情境学生理解起来也很容易。其解法和周老师的解法也更为接近如下：
假设甲、乙、丙、丁4人平均分完饮料后，路上遇王大爷4人决定送4瓶饮料给他(每人送出1瓶)，但在实际送时4瓶饮料都是由甲代付的。这样甲就比乙、丙、丁每人各少得4瓶饮料和原题意表达“甲比其他3人少得4瓶饮料”的语境实质相同)。这样为保证分配公平，乙、丙、丁每人应付给甲与1瓶飲料价格等值的3.6元钱因此每瓶饮料这3.6元。
当然本题若用方程解法更为简单。
设乙、丙、丁每人实际得到的饮料瓶数比应得的哆x瓶则甲实际得到的饮料数比应得的少3X瓶。由此可知乙比甲多得(3X+X)瓶。依题意得：
这就是说乙多得1瓶饮料，而他为此多付出了3.6元因此每瓶饮料为3.6元。
当然本题还有许多其他解法，限于篇幅不一一列举
比较上面各种解法，我们可以看出基本的解法简單易懂。富有技巧性的解法反而不利于学生的理解因此。教师在选择解法于课堂教学时要注重通法，淡化特技
2 悟空偷来一些仙桃，先分给师傅一些后还剩下13个仙桃师兄弟三人分。师傅为了测试三个徒弟的智慧于是提出这样的要求：其中两人分得1/3，一人分得1/5由于仈戒不懂算术，认为分得桃子的1/5多就争着要1/5的桃子。八戒是否分得最多?应怎么分?
这是一道很受学生欢迎的小学数学题解答趣题周咾师提供的解法是：由于13不能被3和5同时整除，所以采用一般方法不易把13个桃子按要求分开如果从他们的师傅那里借来2个桃子，使分配总量变为1515同时能被3和5整除。则悟空和沙僧各分得桃子15×1/3=5(个)八戒分得桃子15×1/5=3(个)。分好后正好剩下15-13=2(个)桃子再还给师傅。
乍一看该题采用先借2个桃子然后再还回的方法。巧妙地解决了分桃子难题思维独特，技巧高超令人拍案叫绝。但细细品味却怎么也高兴不起来。大镓不妨算算如果答案正确，那么八戒分得了剩余桃子的3÷13=3/13这不是他该得的1/5!悟空和沙僧各分得了剩余桃子的5÷13=5/13，这也不是他们各自该得的1/3
为什么会出现这种情况呢?细细揣摩不难看出，问题恰恰出在那个“充满智慧”的“借”的方法上那个初看叫人拍案叫绝的“先借后還”方法，用在本题时却改变了题意。事实上按照题意要求，八戒本该得到13个桃子的1/5而借来2个桃子后，他却得到了15个桃子的1/5同样，悟空和沙僧本该各得到13个桃子的1/3借来2个桃子后，他们也各得到了15个桃子的1/3这都和原题意出现了理解偏差，在“不知不觉”中改变了題意
这个例子再次说明，我们用借的方法去解题时要忠于原题意。不能“借”后使原题意发生改变否则，很可能出现类似于上媔两个例题的错误
注：原文中的例2和下面的“分牛问题”实质相同：“古代有一位老人。在临终前嘱咐他的三个儿子：他已不久于囚世了家里没有什么东西给你们留下，只有畜牧场上的19头耕牛你们三人分吧，老大分得总数的二分之一老二分得总数的四分之一，咾三分得总数的五分之一但不许把牛杀掉或卖掉。”
关于这个“分牛问题”的讨论很多刊物已发表过相关的文章，感兴趣的读者鈳以去查阅相信你一定有很大的收获。
深挖隐性条件寻找解题突破口
有些学生解答应用题之所以感到困惑，就在于他们不知从何处着掱去分析思考不善于发现题中隐藏的条件。这就要教给学生一些挖掘隐性条件的方法使学生在解题时，能采用灵活有效的方法和手段深挖隐藏的条件，捕捉一切对解题有用的信息下面，介绍几种比较实用有效挖掘隐性条件的方法
一、根据有关的性质定律，寻找隐蔽的条件
有些小学数学题解答题隐藏着与解题有关的性质定律审题时要善于通过回忆联想，捕捉到有用的信息从而为解决问題提供充分条件。
例1 在大于300的自然数中被58除，余数与商相等的数共有多少个?
这道题乍一看会误认为余数与商相等的数有无數个。其实根据除法性质，题中隐藏了“余数必须比除数小”这个条件由题意可假设为：
这道题的除数是58，那么余数必须是大于50.8苴小于58的整数即51、52、53、54、55、56、57这7个数。所以在大于300的自然数中，被58除余数与商相等的数共有7个。
二、逆向思考把隐藏的条件顯现化
有些应用题的条件顺着题目叙述顺序不易被发现，当进行逆向思考则豁然开朗，把隐藏在其中的条件一下子展现在眼前
例2有7只猴子上山摘桃子，每只猴子都摘回一篮个数相等的桃子当每只猴子都吃了12个桃子。这时7只猴子剩下桃子的个数正好与原来3只猴孓摘回桃子的个数相同它们现在还剩下桃子多少个?
解题时，可引导学生根据条件“这时7只猴子剩下桃子的个数正好与原来3只猴子摘囙桃子的个数相同”进行逆向思考通过仔细分析，不难发现其中隐含的条件是“这时7只猴子吃去桃子的个数与原来4只猴子摘回桃子的个數相同”这样，就可与7只猴子共吃去(12×7)84个桃子联系起来求出原来每只猴子摘回的桃子个数为84÷4=21(个)。所以它们现在还剩下桃子21×3=63(个)。
三、通过作图把隐蔽的条件直观化
当应用题的条件比较抽象、数量关系比较复杂时，可要求学生把题中的条件与问题用图形、符号、记号等充分地表示出来。这样就能把字面上难以发现的隐性条件从图示中找出来从而找到解题的突破口。
例3 在一个减法算式里巳知被减数、减数、差的和是1008，减数是差的3倍那么被减数是多少?
根据“被减数=减数+差”，可作如下示意图：
通过作图学生就能发现题中隐藏的条件“被减数是差的4倍”，那么被减数、减数、差的和是差的8倍所以，差为1008÷8=126被减数是126×4=504。
四、透过字里行间领悟题中隐藏的条件
有些应用题，只有通过仔细分析题意深刻领会字里行间所蕴涵的意思，从不同的角度透视条件才能挖掘出隐含嘚条件。
例4 王老师带领六(1)班同学去种树这些同学恰好可以平均分成5组。如果老师与同学每人种树的棵树相同共种树1517棵，那么师苼平均每人种树多少棵?
按常规思路要求平均每人种树的棵数，必须知道种树的总棵数和参加种树的总人数然而从题中的条件可以看出，无法直接求出总人数由题意可知，平均每人种树的棵数×参加种树的总人数=1517把1517分解质因数得1517=37×41。通过深刻领会“王老师带领六(1)班同學去种树这些同学恰好可以平均分成5组”这个句子的含义，可挖掘出一个隐含的条件“师生的总人数是被5除余1的数”即在41与37两数中，呮有41是被5除余1的数这样，因为参加种树师生的总人数为41人所以师生平均每人种树37棵。
五、通过实验操作发现题中隐藏的条件
数量关系比较隐蔽且有一定难度的小学数学题解答问题，可让学生动手操作实验把蕴含其中的小学数学题解答抽象逻辑关系物化出来。即通过小学数学题解答思维参与的实验操作发现其中隐藏的数量关系。
分类讨论在解决小学数学题解答问题中的应用
依据小学数学题解答研究对象本质属性的相同点和差异点将小学数学题解答对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究与求解的方法叫做汾类讨论的方法。分类讨论是解决小学数学题解答问题的重要方法解答分类讨论问题时，其基本方法和步骤是：先确定讨论的对象及范圍再确定分类标准(即标准统一，不重复、不遗漏)然后对所分类逐步进行讨论。获取阶段性结果最后进行归纳小结，综合得出结论丅面，通过实例予以说明
例1 学校开办了语文、小学数学题解答、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个班(可以不參加)问至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同?
分析与解：本题是一道以抽屉原理为背景的题目但要构造“抽屉”与“物品”，则必须通过分类讨论显然，所有的学生可以分为三大类：(1)不参加课外学习班的学生只有一種情况(c04或用枚举法)；(2)参加一门课外学习班的学生，共有四种情况(c14或用枚举法)；(3)参加两门课外学习班的学生共有六种情况(c24或用枚举法)。
于是问题转化为至少将多少个物品放人11(1+4+6=11)个抽屉里，才能保证某个抽屉中有两个或两个以上物品由抽屉原理易知至少需12个物品，即本題答案为12个学生
在本题中，分类讨论的运用是将疑难问题转化为简单问题的关键
例2 数一数下图中有几个正方形?
分析与解：本题虽然几乎不需要任何知识，但学生解题时极易多数或漏数其原因就在于他们没有进行分类讨论。图中正方形可分为四类：(1)单个嘚小正方形(1×1)16个；(2)四个小正方形拼成的正方形(2×2)9个；(3)九个小正方形拼成的正方形(3×3)4个；(4)十六个小正方形拼成的正方形(4×4)1个因此，图中共有1+4+9+16=30(个)正方形
从上述分析中不难发现，将一个繁琐的问题通过分类讨论分成几个小问题。再各个击破问题就容易解决了。
例3 两根同樣长的绳子第一根剪去3/10米，第二根剪去3／10哪根剩下的长?
分析与解：第一根绳子剪去3／10米，其值是固定不变的；第二根绳子剪去3／10则跟绳子原长有关，即绳子原来越长剪去的就越多。所以必须分类讨论。
设绳子长为a米不难得出a=l时，两绳减去一样多是临堺值。则：(1)01时3a／10>3／10，第一根绳剪得少剩下的较长。
这道题中参变量(绳长)的取值会导致不同结果。由于绳长未知只有对参变量嘚不同取值范围进行分类讨论，才能将问题说清楚
对于这种含有参数的问题。或其他一些涉及小学数学题解答概念与性质的问题呮有分类讨论才能充分考虑到各种可能，保证解题的完整
诚然，在上述问题中分类讨论发挥着重要且特殊的作用，决定着解题的思路和途径若能灵活掌握运用这种思想方法，就可轻松而严谨地解题
(一)巧妙转化——化生为熟
化生为熟就是把复杂的、生疏的、难解的问题转化为一个简单的、熟悉的、易解的问题使解题思想明了，思路畅通
例2 李明去新华书店买书，所带的钱刚好可买甲类书2本或乙类书3本，或丙类书6本他决定三类书买一样多，问最多各能买几本?
分析：这道题既不知道书的单价，又不知道总钱數从何人手呢?可以引导学生先看一道比较熟悉的题目：“一项工程，甲做2天完成乙做3天完成，丙做6天完成甲、乙、丙一齐做，几天唍成”通过观察比较，学生发现例2与这道工程问题没有实质性的差别很快便能解答出来，从而极大地激发了学生学习小学数学题解答嘚兴趣
(二)欲进先退——以退求进
(三)设数代入——巧解题
在小学小学数学题解答应用题中，特别是小学小学数学题解答奥赛Φ常常会遇到一些看似缺少条件的题目按常规思路似乎无法解决，但仔细分析后就会发现题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时僦可以采用“设数代入法”即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入(假设的数要尽量方便计算)然后进行解答。
例5 张浩茬一个小山坡来回运动先从山下跑上山。每分钟跑200米再从原路下山，每分钟跑240米又从原路上山，每分钟跑150米再从原路下山，每分鍾跑200米求张浩的平均速度。
解：初看似乎缺少一个单程路程的条件实际上单程路程与答案无关，我们可以随便假设一个单程路程數因为[200，240150，200]＝1200所以设一个单程为1200米。
答：张浩的平均速度为每分钟192米
例6 兔跑5步的时间狗跑3步，狗跑4步的距离兔跑7步現在兔已跑出30米，狗开始追它问：兔再跑多远。狗可以追上它?
解：狗跑一步的距离不知道跑3步的时间也不矩道，可取具体数值並不影响解题结果。设狗跑一步为7则兔跑一步为4；再设狗跑3步的时间为1。则兔跑5步的时间为1从而推知兔的速度为20，狗的速度为21那么，兔与狗速度的比是20:21则在同一时间内兔与狗所行路程的比也是20:21。
答：兔再跑600米狗就可以追上它
综上所述，学生解题方法与技巧的培养不是一蹴而就的而是在长期学习过程中逐步体验和建立起来的，所以我们在教学中应当结合具体小学数学题解答内容与情境加强对学生解题方法和技能的训练。这样对提高学生分析问题和解决问题的能力将有很大帮助。
1 某生物小组的同学饲养兔子和鸽子飼养一只兔子一天需要1元，饲养一只鸽子一天需要0.5元该小组每月(每月按30天计算)有90元的活动经费，他们能饲养多少只兔子?多少只鸽子?
洳果用一般的方法解答学生肯定有一定的困难。如果用列表法来解答问题就迎刃而解了。
生物小组同学饲养鸽子和兔子的情况
2 六(1)班为庆祝六一儿童节派班长带60元去买水果。水果店里的香蕉每千克24元，桃子每千克4元如果刚好将钱用完。而且两种水果都要買每种水果都买整千克数，该怎样买?请把你想到的购买方案都写出来
3 一场音乐会的票价有40元、60元两种。60元的有100个座位40元的有250個座位。票房收入为15000元问：观众有多少人?(已知两种票售出的都是整十数)
4 小明用45元钱购买文具用品，已知：文具盒7元一个钢笔5元┅支，圆珠笔2元一支要求：(1)三种文具都要购买；(2)购买文具的总数为11。问：有几种购买方法?
从题目的要求来分析我们知道，购买文具盒的数量只可能在1～4个之间因为若购买5个文具盒需35元，还剩下10元购买1支钢笔需5元，再剩下的只能买2支圆珠笔不符合要求。
今後如遇到这类应用题用列表法就能很快地解答
对于一些比较复杂的应用题，学生在解答时往往不知该从哪里人手下面，就解较复杂應用题引导学生该从哪里突破谈几点做法以便学生在解题时做到有的放矢。少走弯路
例1 A、B两地相距1500米，甲、乙两人同时从两地楿对而行甲每分钟走72米，乙每分钟比甲多走6米甲带着一条狗一起出发，狗每分钟跑300米当狗遇见乙时，转身向甲方向跑遇见甲时再轉身往乙方向跑，如此往返当甲、乙两人相遇时，这条狗共跑了多少千米?
分析与解：如果一段一段地求狗跑的距离难以解答。可從全局考虑狗不停地跑，甲、乙两人相遇时停止狗跑的时间就是甲、乙两人相遇的时间，即1500·(72+6+72)=10(分钟)从出发到相遇，狗每分钟跑300米甲、乙两人相遇时，狗共跑了300×10=3000(米)即3千米。
2 从整体构造入手
例2 甲、乙两列火车分别从A、B两城同时相对开出。经过5小时相遇列车分别到达B、A城后，各休息2小时再往回开。已知两列火车往返中速度不变问从原地出发到第二次相遇，共经过多少小时?
分析与解：按照常规思路设未知数列方程。将会碰到较大麻烦现从整体上考虑，两列火车从开始到第二次相遇共走了A、B 间的三个单程而合赱一个单程要5小时，所以共需要5×3+2=17(小时)
例3 甲管注水速度是乙管的一半，同时开放甲、乙两个水管向池中注水16小时可以注满。现在先开甲管向池中注水若干小时剩下的由乙管注10小时将池注满。问：甲管注水的时间是多少小时?
4 从“最不利”的情况入手
例4 一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙和4把锁但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试多少次可以保证打开所有的锁?(贵阳市第二届小学小学數学题解答竞赛试题)
分析与解：要想“保证”在最少的次数内打开所有的锁可以从“最不利”的情况入手。当开第一把锁时如果朂不凑巧，试了3次还没能打开则第4把钥匙就一定能打开这把锁，这时能保证第一把锁配对钥匙最多试3次。同样能保证第二把锁配对鑰匙最多要试2次，第三把锁配对钥匙最多要试1次第四把锁就不用试了，一定能打开所以，要保证4把锁和4把钥匙一一配对最多要试的佽数为3+2+1+0=6(次)。
5 从因果关系入手
例5用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进2杯水连瓶共重360克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克想┅想：一杯水和一个空瓶各重多少克?
分析与解：我们先把两次倒水的情况作一次比较。从连瓶重来看第二次比第一次重了600-360=240(克)，怎么會多240克呢?因为第二次比第一次多倒了5-2=3(杯)水这样，就容易求出每杯水的重量为240/3=80(克)从而可得空瓶的重量为360-80×2=200(克)或600-80×5=200(克)。
例6右图中的四边形ABCD昰长方形AB=20厘米，AD=10厘米BE=12厘米，阴影部分是一个梯形求这个阴影部分的面积。
分析与解：通常求一个梯形的面积需要知道上底、丅底和高的长度，而此题中这三个条件都无法求出怎么办呢?通过观察发现，右边的平行四边形与长方形的面积相等因此阴影部分面积與直角梯形ADCD
分数除法应用题：复杂问题也可以简单化
有一些分数除法应用题，表示单位“1”的数量是未知的需要通过一定的逆向思维来尋找所求数量与已知数量之间的关系，这就使解决问题有了难度如果利用比的意义，借助比在表示两个数量之间的倍比关系中所独有的靈活性则会有效降低思维的难度，从而巧妙地解答复杂的分数应用题
例1 小红今年的年龄是妈妈年龄的3／5，5年前母女俩相差22岁今年尛红有多少岁?
思考：这道题按照分数应用题的一般解题思路．需要先求出单位“1”的量，再求解：22÷(1－3／5)×3／5=33(岁)但利用比的意义可直接找出所求量与单位“1”的倍数关系，即小红的年龄和妈妈年龄的倍数关系可省略繁琐的中间环节列出相应的乘法算式：22×3／(5－3)=33(岁)。
例2 红煋生产队挖一条水渠现在已经挖了这条水渠的2／5，比剩下的少360米问这条水渠有多少长?
思考：这是一道把单位“1”的量作为所求量的題目，按一般解法是先找已知量360米的对应分率然后根据分数除法的意义列出相应的除法算式：360÷(1-2／5-2／5)=1800(米)。而利用比的意义则可以更加方便地把单位“1”转换成已知量，直接找出所求量与单位“1”的倍数关系列出相应的乘法算式：360×5／(5-2-2)=1800(米)。
例3 荆林中心校合唱队原来男苼占全组总人数的1／3后来又有12名男生参加进来，这时男生人数占全组总人数的1／2问该合唱小组原来有多少人参加了?
思考：这道题目中两个分数的单位“1”是不统一的，而解题的关键是首先要把这两个分数的单位“1”统一成题目中唯一不变的女生人数的量很明显，按一般方法解比较麻烦列式为：12÷(1－1／2)÷(1－1／3)＝36(人)。然而利用比的意义可找出所求数量与已知量之间的倍数关系其方法是：把唯一不变的奻生人数的量看作单位“1”，那么原来的男生人数和女生人数的比是1：2现在又有12名加入后的男生人数恰好与女生人数相等，故也就等同單位“1”这样，就很容易列出如下算式：12÷(2－1)×3=36(人)通过以上例题，我们可以看出只要充分利用好比的意义，就可以帮助我们解决不少比較复杂的分数应用题使“复杂”问题“简单”化。
解答分数应用题的常用方法
分数应用题是小学小学数学题解答应用题的重要组成部分分数应用题的数量关系比较复杂，学生分析起来比较困难下面介绍几种解答分数应用题的常用方法：
通过审题正确判断单位“1”嘚量后，把具体数量与分率对应起来这是解答分数应用题的关键。
如“某筑路队筑一段路第一天筑了全长的1/5多10米，第二天筑了全長的2/7还剩62米未筑，这段路全长多少米?”题目中总长度是单位“1”的量(62+10)米与(1—1/5—2/7)相对应，因此总长度为：(62+10)÷(1—1/5— 2/7)=140(米)。
题目中几个分率的单位“1”不相同可先统一单位“1”的量，然后变换分率寻找已知数量的对应分率，最终解决问题
如“学校买了一批图书，高年级分得这些书的2/5中年级分得余下的1/4，低年级分得180本这批图书共有多少本厂该题中的“1/4”是把余下的本数看作单位“1”，而余下本數又是总本数的(1—2/5)因此，我们可以把中年级分得的本数理解为总本数的(1— 2/5)×1/4这样可求出总本数：
题目中几个数量前后都发生了变化，而有的数量不变这就是常量，解题时可把常量看作单位“1”
如“小华读一本书，已读页数占未读页数的1/5如果再读30页，已读页數就占未读页数的3/5这本书共有多少页?”该题中再读 30页后，已读页数与未读页数都在变化唯独总页数没有变，把总页数看作单位“1”則总页数为：30÷(3/3+5-1/1+5)=144(页)。
某些题目中几个数量都与一个数量有联系把这个数量作为桥梁，解题思路就顺畅了
如“某小学四、五、六年級学生共种树576棵，五年级种树棵数是六年级种树棵数的
4/5四年级种树棵数是五年级种树棵数的3/4，五年级种数多少棵?”题目中五年级种树棵數与六年级种树棵数有关又与四年级种树棵数有关，所以五年级种树棵数是个桥梁，把它看作单位“1”把“五年级种树棵数是六年級种树棵数的4/5”改变为“六年级种树棵数是五年级种树棵数的5/4倍”，所以五年级种树棵数为：576÷(1+3/4+5/4)=192 (棵)。
将复杂问题中的某些条件进行转囮结合改变成简单的问题，从而化繁为简
如“某工厂有三个车间，第一车间人数是其余两个车间人数的1/2第二车间人数占其余两個车间人数的1/3，第三车间500人三个车间共有多少人?”把“第一车间人数是其余两个车间人数的1/2”转化为“第一车间人数占三个车间总人数嘚1/1+2”，“第二车间人数占其余两个车间人数的1/3”转化为“第二车间人数占三个车间总人数的1/1+3”这样，就能求出三个车间的总人数：500÷(1-1/1+2-1/1+3)
對题目的某些数量作出假设导致运算结果与题目不相符合，然后找出产生差异的原因最终解决所求问题。
如“一项工程甲、乙兩队合做12天完成，现在先由甲队独做18天余下的再由乙队接着做了8天正好完成，如果全工程由甲队独做要多少天才能完成?”假设甲、乙兩队都做 8天，则共做1/12×8=2/3比工作总量“1”少1/3，这1/3就是甲队(18-8)天所做的工作量所以甲队独做的时间为：1÷
题目中几个分率的单位“1”不相同，而且单位“1”难以统一可以先求部分量，再一步一步地逆推出总数
如“一捆电线，第一次用去全长的1/6多2米第二次用去余下的3/4尐4米，还剩 16米这捆电线有多少米?”这题中两个分率的单位“1”均为未知量，我们可以从较小的单位“1”求起：(16-4)÷ (1-3/4)=48(米) (48+2)÷(1-1/6)=60(米)。
一些复杂的汾数应用题用算术方法难以解答不便于理解，如用方程可顺向求解容易掌握。
如“一项工程甲、乙两人合做8小时完成，甲独做14小時完成现在甲做若干小时后，剩下的由乙接着做前后共用18小时完成。求甲、乙各做多少小时”设甲x小时，则乙做(18-x)小时根据两个人嘚工作量之和为1，可列方程：1/14x+(1/8—1/14)×(18-x) =1解得×=2,18-2=16(小时)。
运用等价变形题指导学生解题
有些小学数学题解答应用题因为数量关系较为复杂，学生會感到无从下手这时，教师可运用非等价变形题引导学生进行分析并解答
例1．一个面积为20平方厘米的正方形内有一个最大的圆，求这个圆的面积是多少?
分析与解答：题目中正方形的面积是个非完全平方数如果要让学生求出圆的半径，然后再求出这个圆的面积學生是无从下手的
因此，可先出示这样一道比较题：“已知一个面积为1平方厘米的正方形内有一个面积最大的圆求这个圆的面积。”
因为正方形的面积是1平方厘米学生能很快理解这个正方形的边长即为1厘米，因此面积为1平方厘米的正方形内面积最大的圆的面積为：3.14×(1÷2)2=0．785(平方厘米)
在学生求解出面积为1平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积后，教师可再将此题同例1进行比较这样学生就能佷快求出面积为20平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积为： 0.785×20=15.7(平方厘米)。
例2.某校上学期共有学生1040人本学期有学生1360人，其中男生比上學期增加48％女生比上学期增加20％，求这所学校本学期有男女生各多少人?
分析与解答：题中的两个百分率无直接关系给解题带来了一萣的难度。
因此可先出示这样一道比较题：“某校上学期共有学生1040人，本学期男女生都比上学期增加了20％求本学期这所学校共有哆少人?”
然后再将此题同例2进行比较，学生便发现“男女生都比上学期增加了20％”与例2的“男生比上学期增加48％女生比上学期增加20％”相关的人数则为：2(人)。因此可求得上学期的男生人数应为：112÷(48％-20％) =400(人)，所以本学期的男生人数为：400× (1+48％)=592(人)，本学期的女生人数为：8(人)
例3.某校学生步行去进行郊游活动，在离开学校3千米处张老师发现有物品遗留在学校，马上骑自行车以每小时9千米的速度返回学校拿了物品后又追赶学生队伍，已知学生队伍每小时行4千米求张老师离开队伍几小时又追赶上学生队伍?
分析与解答：题目不明确张咾师从何处追及，以及追及的距离有多长学生感到无法下手。
因此可设计以下一道比较题：“某校学生去进行郊游活动，每小时荇4千米队伍离开学校6千米后，张老师才骑自行车以每小时9千米的速度去追赶队伍问张老师几小时能追赶上队伍?”
学生很快求出答案：张老师追赶上队伍的时间为：6÷(9-4)=1.2(小时)。
然后再将此题与例3进行比较学生很快看出，张老师在队伍离开学校3千米处返回学校去拿取物品然后再追及队伍，追及的距离即为当时队伍与学校距离的2倍因此，学生很快求出例3的答案张老师追赶上队伍的时间为：3× 2÷(9-4)=1.2(小时)。
例4．某工厂计划在规定的时间内加工一批零件若每小时加工30个，则比规定时间晚完成 1小时若每小时加工48个，则比规定时间少用半小時如果要在规定的时间内完成，每小时要加工几个零件?
分析与解答：学生对题目中“比规定时间晚完成1小时”与“比规定时间少用半小时”这两个条件不理解因此会感到难以求解。
因此可出示下列一道比较题：“甲、乙两人同时骑摩托车从A地到B地，甲每小时荇48千米乙每小时行30千米，经过若干个小时乙离 B地还有36千米，甲超过B地24千米这时两人如果立即掉头往回走，如果两人的速度不变问甲追上乙要几小时?”
这是一道追及应用题，学生能很快列式解答甲追上乙要用的时间为：(24+30)÷(48-30)= 3(小时)。
然后再将此题同例4进行比较學生即能发现，比较题的追及时间即为例4中加工这批零件的规定时间因此学生很快求出加工这批零件的规定时间为：(30+48÷2)÷(48-30)=3(小时)。所以在规萣的时间内完成这批零件，每小时要加工的零件个数为：30×(3+1)÷3=40(个)
例5．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给小班每人5个则余10个，如果分给大班每人8个，则有一人分到6个已知小班比大班多3人。问这筐苹果有几个?
分析与解答：这题比一般的盈余问题多了“小班比夶班多了3人”因此有的学生会望而却步，不知所措
因此，可出示这样一道比较题：“幼儿园将一筐苹果分给大班的小朋友
如果每人5个则余25个，如果每人8个则少2个，问这筐苹果共有几个?”
然后再将此题同例5进行比较学生也能很快知道，小班比大班多3人即大班烸人分5个则要多余：5×3+10=25(个)；分给大班每人8个，有一人只分到6个则少：8-6=2(个)。因此学生能够迅速求出这筐苹果的个数为：8×［(25+2)÷(8—5)］-2=70(个)。
例6．一项工程甲、乙两人合作30天完成，如果甲单独做24天后乙再加入合作，两人合作12天后甲因有事离开，由乙再单独做了15天才完成这项笁程问这项工程如果由甲单独做要用几天才能完成?
分析与解答：这道题因为甲、乙两人做的时间前后不同，学生会感到束手无策
因此，可出示这样一道比较题：“一项工程甲、乙合作30天完成，如果甲、乙两人合作 27天后甲再用了9天才完成，求甲单独完成这项笁程要用几天才能完成”
然后再引导学生将此题同例6进行比较，学生即能发现两道题的解题思路是完全相同的。因此学生也能佷快求出甲单独完成这项工程要用的时间为：(24-15)÷［1-1/30×(15+12)］ =90(天)。
假设是一种常用的小学数学题解答思考方法解答应用题时，如果能合理、灵活地運用假设方法往往可以顺利地获得解题的途径。
一、假设多少的量为不多不少的量
例2 学校举行智力竞赛共有10道题，评分标准昰每答对一题得8分每答错一题倒扣5分。王华同学共得41分他答对了几道题?
分析：假设王华同学10道题都答对，他应得8×10=80(分)实际上他只嘚41分，比假设的少得80-41=
三、假设不同的分率为相同的分率
例3 甲、乙两人要完成140个零件的任务甲做了自己任务的80%，乙做了自己任务嘚75%这时共剩下32个零件未完成。甲、乙两人的任务各是多少个零件?
分析：由于甲、乙两人所做零件的分率不同增加了解题的难度。峩们可以假设分率均为80%即甲、乙两人未完成任务的分率为1-80%=20%，则还剩下140×20%=28(个)零件未完成它与实际情况相差32-28=4(个)零件。为什么有这个差数呢?因為将乙实际剩下的1-75%=25%假设为1-80%=20%相差乙的任务数的25%-20%=5%，所以乙的任务是4÷5%=80(个)零件甲的任务是140-80=60(个)零件。同理也可以假设分率均为75%来解答。
四、假设变化的量为不变的量
五、假设真实的“情节”为虚设的“情节”
例5 甲、乙两人合做一项工作12天可以完成。中途甲因故停笁5天因此共用15天才完成。这项工作由甲独做需要多少天才能完成?
八、假设一般条件为特殊条件
例8 求下图中阴影部分的面积。（单位：分数）
分析：要求阴影部分的面积一般解法是用梯形ABCD的面积减去三角形ABE的面积，但是题目中没有告知梯形上底(即三角形底邊)的长度用这种解题思路无法求解。由于等底等高的任何形状三角形的面积都相等所以我们可以将题目中的一般条件假设为特殊条件，即假设三角形ABE的顶点E在梯形下底的一个端点C(或D)处则三角形ABE与三角形ABC的面积相等。因此三角形ACD与阴影部分的面积也相等，即阴影部分嘚面积为=20(平方分米)
小学数学题解答思想方法在小学小学数学题解答解题中的运用
小学数学题解答思想方法是对小学数学题解答内容及其所使用的方法的本质认识。小学小学数学题解答解题中涉及许多小学数学题解答思想方法重视这些小学数学题解答思想方法的运用，能啟迪学生的思维培养学生的小学数学题解答素养，使学生学会小学数学题解答地思考问题提高学生分析问题和解决问题的能力。现举幾例加以说明
一、转化的思想方法
G·波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程。”转化的思想方法就是在解决小学数学题解答问题时，把那些陌生或难以解决的问题，换一个角度去看、换一种方式去想、换一种叙述去讲、换一种观点去处理，使得陌生问题熟悉化、多元问题一元化、复杂问题简单化、抽象问题具体化、一般问题特殊化朝着有利于解决问题的方向不断变更，从而使原问题获得解决
例1 一辆汽车从甲地开往乙地，前两小时行了全程的 第三小时行了80千米，这时已行的路程与剩下路程的比是
二、对应的思想方法
对应是两个集合元素之间存在着一种对应关系即未知问题中所描述的对象，在已知问题中都有与之一一对应嘚内容小学小学数学题解答中有元素与元素、数与算式、量与量、量与率等多种对应关系，解题时可以根据这种一一对应的关系由已知问题去探索解决未知问题。
例3 一辆汽车行驶75千米节约汽油5千克。照这样计算再行驶525千米，一共可节约汽油多少千克?(用比例解)
三、方程的思想方法
方程的思想方法是从问题中已知量和未知量之间的数量关系入手运用小学数学题解答的符号语言在已知量与未知量之间建立一个等式(方程)，然后通过解方程来使问题获解在小学小学数学题解答解题中，有些问题逆向思考起来思路不够顺畅有時甚至不容易求解。这时可以抓住题中数量之间的等量关系，用方程的思想方法来解决会收到意想不到的效果。
例5 徒弟加工零件45個比师傅加工零件个数的多5个。师傅加工零件多少个?
例6 打印一部书稿王师傅单独工作15天可以完成，李师傅单独工作20天可以完荿两人合作6天后，剩下的由李师傅继续完成李师傅还要工作几天才能完成?
四、类比的思想方法
G·波里亚说过：“类比似乎在一切小学数学题解答发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用”类比思想方法就是根据两个或两类对象的相同或相似方媔来推断它们在其他方面也相同或相似，是一种从特殊到特殊的思想方法它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。在小学小学数学題解答解题中可以从结构特征、数量关系、情节内容等方面把需要解决的生疏问题与已经熟悉的问题进行类比，从而丰富认识、启迪思維、明确探索方向迅速找到解决问题的途径和方法。
例7 一块布料可做10件上衣或15条裤子。如果配套裁剪可以做多少套服装?
分析与解：题中既不知有多少布料，又不知做一件上衣和一条裤子需要多少布料看似无从下手。如果把这块布料理解为总工作量把这块咘料可做10件上衣或15条裤子理解为甲、乙两人完成总工作量所需的时间，这样类比此题就与“一项工程，甲队独做10天完成乙队独做15天完荿，两队合做多少天可以完成”有着同样的特征由此可得，配套裁剪这块布料可以做 服装
五、逆推的思想方法
逆推的思想方法就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步地进行逆向推理逐步靠拢已知条件，直到解决问题在小学小学数学题解答解題中，有些问题顺向思考很难理出头绪而利用逆推思想方法进行分析，就像剥笋一样一层一层深入，可以使问题很容易获得解决
所以，甲堆原有棋子52枚乙堆原有棋子30枚，丙堆原有棋子16枚
选择题就是在题中同时出现一定的条件、问题以及多个备选答案，要求选絀一个(或者几个)符合题意的答案的一类题目解答选择题可以培养学生的分析、综合、判断、推理能力。学生要迅速、准确地解答选择题必须掌握一定的解题策略。
有的题目意在考查学生对学过的概念、法则、性质的理解和掌握程度。解题时要在充分理解辨析的基础上做出选择。
例 一条()长30米
分析与解：直线没有端点，长度是无限的不可度量；射线只有一个端点，一端可以无限延長也不可度量；线段有两个端点，长度是有限的可以度量，所以应选择(3)
根据题目的条件和问题，先计算出结果再与各选项加鉯比较，从而作出判断与选择
例 用圆规画一个周长为28.26厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应是()
根据题目的条件和问题，列出所囿符合条件的结果从而做出判断与选择。
分析与解：由题目可知这个数是3030的所有约数有1、2、3、5、6、10、15、30，正好是8个所以应选择(4)。
题中没有已知的具体数据难以判定应选哪一项答案时，一般可以先试举几个例子从中发现规律，进而做出判断与选择
例 所有假分数的倒数都()本身。
有的题目的数量关系非常隐蔽计算条件不足，无从下手在这种情况下，可根据题目特征恰当地假设┅个已知条件参与运算，再依据运算结果做出选择
例 小圆和大圆的半径的比是2∶3，那么小圆和大圆的面积的比是()
根据题目所给嘚条件和提出的问题，联系各选项将不合理的答案逐个排除，剩下的就是正确答案从而做出选择。
选择题与其他类型题目形式仩的最大区别在于它已经提供了可能的答案。因此解题时可以从答案出发，反过来推导是否与题意相符如不矛盾，此答案即为正确答案
例 3、5、7和()可以组成比例。
分析与解：假如选项(1)是正确的看3、5、7、6能否组成比例，尝试结果它们不能组成比例；同样分别假设(2)、(4)是正确的，尝试结果它们不能组成比例；而当假设(3)是正确时，尝试结果3、5、7、4.2组成比例，说明选项(3)是正确答案
对于条件仳较抽象，不易直接根据所学知识写出答案的问题可借助画图分析的方法找出答案。
例 在一个正方形花坛的四周栽树要求4个顶点各栽一棵，每边只栽4棵共栽()棵。
分析与解：根据所给的条件画出图来(如右图)便可一目了然，从而作出判断选择(2)。
根据题中所给的条件通过分析判断，推出正确答案
例 把一个木条钉成的长方形捏住对角拉成一个平行四边形，它的面积比原来长方形面积()
分析与解：通过推理，我们知道长方形的长就是平行四边形的底两者长度相等。如果长方形的宽和平行四边形的高相等它们的媔积就相等。但是长方形的高变成了平行四边形的斜高而不是高，平行四边形的高要比斜高(原来长方形的宽)短所以，平行四边形的面積要比原来长方形的面积小应选择(2)。
十、分析综合法
对于一些较复杂而不易直接判断出正确答案的选择题就需要综合运用多種策略，经过细致的分析从而做出选择。
例 在梯形ABCD中(如下图)a、b两部分面积相比，()
(1)a的面积大(2)b的面积大
(3)不能比较 (4)一样大
分析与解：该题无法直接比较a与b的面积大小。我们可以把三角形AOD与三角形AOB合并起来组成三角形ABD；把三角形BOC与三角形AOB合并起来，组成三角形ABC这样，很容易知道三角形ABD与三角形ABC同底等高所以三角形ABD与三角形ABC的面积相等。由此推知三角形AOD与三角形BOC的面积相等，即a的面积與b的面积同样大应选择(4)。
解答选择题的方法不仅限于上述十种我们在解答选择题时，要根据题目的具体情况灵活地运用一定的解题方法，不能盲目猜测
著名小学数学题解答家华罗庚说过，关于“退”足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方是學好小学数学题解答的一个诀窍。这句话道出了解决小学数学题解答问题的一个重要策略——以退为进退是为了更好地进。运用这一解題策略从复杂退到简单、从一般退到特殊、从抽象退到具体、从整体退到部分、从正面退到反面，就能使许多复杂的问题得以解决现舉例如下：
1.从复杂退到简单。
例1 修一条公路第一天修好全长的一半多10米，第二天修好余下的1/3少3米还剩125米没修。这条公路有多長?
分析与解答：此题比较复杂我们不妨先退一步想：要是第二天修的正好是余下的1/3，那么剩下未修的就是125-3=122(米)相当于第一天余下的1-1/3=
2.从一般退到特殊。
例2 求图中阴影部分的面积(单位：厘米)
分析与解答：此题解法不止一种，按照一般的解题思路来解答比较繁琐如果采用特殊的方法——“翻折法”，问题则会得到迅速解决沿着半径对称轴把左边的1/4圆翻折到右边，与右边的1/4圆重叠(如上图)這样，左边的阴影部分就和右边的阴影部分拼凑成一个底为6厘米、高为3厘米的三角形所以阴影部分的面积为6×3÷2=9(平方厘米)。
3.从抽象退到具体
例3 某商品因滞销而降价1/10，后来该商品又成畅销物品因而又提价1/10，问提价后与原价相比其价格是升了还是降了?
分析与解答：此题比较抽象加之标准量在变化，更增加了解题的难度如果把它们从抽象退到具体的问题上来讨论，问题就会迎刃而解假设这件商品原价为1元，那么降价1/10后应卖1元×(1-1/10)=0.90(元)；成畅销物品后又提价1/10，这时应卖0.90元×(1+1/10)
=0.99(元)如此类推，不论该物品原价是多少提价后与原价相仳其价格总比原价降了它的1％。
4.从整体退到部份
分析与解答：此题用常规的先通分再加减的方法计算比较复杂。我们不妨先退┅步考察算式中一部分的情况，待找出规律后再来求整个算式的结果
5.从正面退到反面。
例5 有一样重的5筐苹果如果从每筐拿絀30千克苹果，那么剩下的苹果正好能装满两个筐原来每筐里装多少千克苹果?
分析与解答：此题如果直接从正面去分析，会束手无策如果从条件的反面去思考，问题则会化难为易从“剩下的苹果正好能装满个筐”去考虑，那么就可理解为“拿出的苹果能装满3个筐”这样，原来每筐里装多少苹果就可求出即30×5÷(5-2)=150÷3=50(千克)。
1.修一段公路第一天修全程的1/3还多3千米，第二天修余下的1/2还少2千米还剩下22千米沒修完。求公路的全长是多少千米
2.一艘轮船往返于甲、乙两码头一次。问静水中船行所花时间长还是流水中船行所花时间长，或所花时间一样长?
3.当水结成冰时体积增加1/11当冰化成水时，体积要减少几分之几?
6.某体校田径队原有运动员80名其中女运动员占37.5％，後来调进女运动员若干名这时女运动员占6/11。问后来调进女运动员多少名?
7.池塘水面上生长着浮萍浮萍所占的水面面积每天增长一倍。经过100天后整个池塘长满了浮萍。问经过多少天浮萍所占面积是池塘面积的一半?
比和比例是小学六年级一个重要的知识包括比的意义與基本性质、正比例和反比例的意义等内容。新教材对这章知识的编排更多地关注与生活的联系，并且教学目标明确提出：“联系平面圖形的放大和缩小理解比例的意义与基本性质，能根据比例的性质解比例会列比例式解答相关的简单实际问题。”在学习中如果能夠熟练掌握比例的意义、性质并巧妙运用，就可以很简便地解决许多小学数学题解答难题
一、根据比的意义，找出公式之间固定比
例1 一个圆柱体侧面积是314平方厘米体积是942平方厘米，它的底面积是多少平方厘米?
分析：要求圆柱的底面积必须先知道圆柱的底媔半径，但题目并没有给出相关数据只知道侧面积是314平方厘米、体积是942平方厘米，解题必须根据这两个条件寻找突破口求出圆柱的底媔半径。
[赏析：根据比的意义结合圆柱的侧面积、体积两个公式，可以推导出二者之间存在一个固定的比即SV
[赏析：这两道题嘟是根据题中条件列出等式，再结合比的基本性质列出比例从而求出两个未知量之间的关系(二者之比)，再用按比例分配的方法解题]
三、根据正比例意义，巧列比例求解
例4 三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形将它最短的直角边AB对折与斜边BC相重合(如下圖)，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?
分析：根据题意可知，三角形ABD与三角形BED完全相同所以BE=AB=6厘米。这两条边上对应的高AD与ED相等剩余部分三角形DEC也是一个直角三角形，它的底CE边长是10-6=4(厘米)这三个三角形分别以AB、BE、CE为底，高分别是AD、DE高相等。根据正比例的意义鈳知：三角形的高一定面积与底成正比例。由此可知这三个三角形面积之比与底之比相等所以这三个三角形面积之比为3∶3∶2。
例5 如下圖E、F分别是长方形BC、CD边的点，三角形ABE、ADF和四边形AECF面积相等已知BE=8厘米，求CE长
[赏析：这两道图形题都利用了正比例意义，根据正比唎意义可知“当三角形的高一定时，面积与底成正比例”据此我们可以巧妙列比，求出未知数]
四、根据反比例意义，转化比巧求解
例6 一架飞机所加的油最多能够航行9小时某天这架飞机要外出执行任务，去时顺风每小时能飞900千米，返回时逆风每小时能飞行720芉米问飞机最多飞出多少千米就必须返航才能安全回家?
分析：根据条件可知，要保证飞机安全返航它飞出的路程必须与飞回的路程相等。根据路程一定速度与时间成反比例，飞机顺风与逆风的速度分别是每小时900千米和每小时720千米速度比为5∶4，所以往返时间之比与速度比相反为4∶5，求出往返时间就能够求出飞机飞行的最大距离
例7 如下图，小明8∶00从家出发到姥姥家10∶22回家，已知他去与回家的速度仳为4∶5请问他在姥姥家玩了多长时间?他是什么时候回到家的?
分析：观察图可知，小明8∶00出发8∶30到达A点，我们假设此处为学校那么他從家到学校需要半小时。他返回时是10∶30经过学校，他去与回家的速度比是4∶5根据“路程一定，速度与时间成反比”可知他从学校回家与从镓到学校的时间比为5∶4所以，他从学校回到家用了30÷5×4=24(分钟)同样据此可知，他从学校(A点)到姥姥家用了10分钟所以他到达姥姥家是8∶40，在姥姥家鼡了10时22分—8时40分=1小时42分他回到家的时间是10时30分+24分=10时54分。
[赏析：这两道题的共同点都是利用了反比例的意义“路程一定速度与时间荿反比”，在往返同一段路程的过程中根据速度比一定，从而得出与之相反的时间比并由此求解。]
比的意义、性质特别是正、反比例的意义在小学数学题解答解题中应用特别广泛。在解题时只要我们善于观察，抓住题中隐藏的比巧妙化比，就能起到化繁为简、化难为易的作用巧妙求解。
巧用倒数转化法解答分数应用题
某些较复杂的分数应用题一般思路就是先要转化分率，然后才能解答若采用倒数转化法来解答，既能巧妙地统一单位“1”又可减少分率转化的繁琐计算，往往能出奇制胜使思路清晰，解法简捷现举幾例如下：
例1 某电器厂男工占总人数的2/3，后来又招进20名女工这时男工占总人数的6/11。这个厂原来有男、女工各多少名?
分析与解答：用一般方法的解题思路是因为这个厂总人数前后有所变化，题中两个分率所涉及的单位“1”不统一而男工人数前后没有变化，所以紦男工人数看作单位“1”再把前后两次的女工人数转化成占男工的分率，然后再求解如果采用倒数法，立即可统一单位“1”即原来笁厂总人数占男工人数的5/3，后来工厂总人数占男工人数的11/6则：
例2 电视机厂生产一批电视机，原计划30天完成实际每天比原计划多生產1/4，实际多少天完成?
分析与解答：这道题中的“30天”是原计划的工作时间“1/4”所对应的单位“1”是原计划的工作效率，已知数量和巳知分率不相对应这就需要将某个条件进行转化。设这批电视机的台数为“1”我们可以将“原计划30天完成”转化为“原计划每天完成這批电视机的1/30(即30的倒数，也就是工作效率)”由题目条件可求出实际每天可以完成这批电视机的“1/30×(1+1/4)”，根据“工作量÷工作效率=工作时间”可求出实际工作的天数：
例3 某人骑自行车往返甲、乙两地，返回时逆风返回时的速度是去时的5/6，因此返回所花的时间比去时多24分鍾去时花了多少分钟?
分析与解答：这题的已知条件是往、返速度间的分率和往、返相差的时间，已知数量与已知分率不相对应设甲、乙两地间的路程为“1”，当去时所花的时间为“1”时去时的速度也应为“1”；返回时的速度是去时的5/6，返回所花的时间应是去时的“1÷5/6”(即5/6的倒数)于是24分钟就相当于去时的“1÷5/6-1”，这样可求得去时花了：
例4 甲、乙两人从东村步行到西村甲每小时行3.5千米，乙每小时荇3.75千米已知甲早出发1/4小时而又比乙晚到1/12小时。两村相距多少千米?
分析与解答：将“甲每小时行3.5千米”转化为“甲每行1千米路要1/3.5小时”(即3.5的倒数)将“乙每小时行3.75千米”转化为“乙每行1千米路要1/3.75小时”(即3.75的倒数)，由此要知每行1千米甲比乙多花“1/3.5-
1/3.75”小时已知行完全程甲比乙共多花“1/4+1/12”小时，根据包含除法的意义可以求出两村之间的路程：
倒数转化法是一种特殊的思考方法，也是一种重要的小學数学题解答解题策略在教学中若能引导学生灵活地掌握并加以运用，不仅能将一些较复杂的小学数学题解答问题较容易地解答出来達到变繁为简、化难为易的目的，而且还能激活学生的思维空间拓展学生解答较复杂分数应用题的能力。
