什么是黎曼积分分和复积分有什么区别和联系

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-04-07 05:34 标签： 什么是黎曼积分

几何意义是相同的但计算的方式有差别。 就像数硬币李曼积分是一个一个的数，勒贝格积分是把面值相同的分成一组然后一组一组的数。

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1 勒 贝 格 积 分 和 黎 曼 积 分 的 联 系 与 區 别 摘 要 本 文 讨 论 勒 贝 格 积 分 是 与 黎 曼 积 分 的 联 系 与 区 别 ? 勒 贝 格 积 分 和 黎 曼 积 分 积 分 之 间有 一 种 相 依 赖 、 相 互 补 充 、 相 互 帮 助 及 在 特 定 條 件 下 相 互 转 化 的 关 系 ? 勒 贝 格 积 分 在 积分 与 极 限 换 序 的 条 件 要 求 上 有 比 黎 曼 积 分 优 越 的 好 处 在 实 变 函 数 里 引 入 勒 贝 格 积 分 是为 了 弥 补 黎 曼 积 分 的 不 足 ?可 以 扩 大 可 积 函 数 类 ?降 低 逐 项 积 分 与 交 换 积 分 顺 序 的 条 件 。勒 贝 格 积 分 拓 广 了 黎 曼 积 分 的 定 义, 使 得 可 积 性 的 条 件 要 求 減 弱 了 它 断 言 可 测 集 上 的 有界 可 测 函 数 和 单 调 函 数 必 勒 贝 格 可 积, 这 比 黎 曼 积 分 中 要 求 连 续 函 数 、单 调 函 数 的 条 件 放松 多 了 。 它 放 松 了 黎 曼 积 分 要 求 函 数 序 列 的 一 致 收 敛 的 过 强 的 要 求 关 键 词 ? 勒 贝 格 可 黎 曼 可 积 勒 贝 格 积 分 黎 曼 积 分 很 多 可 以 先 化 为 求 黎 曼 积 分 ? 下 面 我 们 看 看 几 个 例子 。 例 3 ? 计 算 ? ? 3 11?x 在 ? ?2,1 上 的 积 分 解 ? 用 截 断 函 数 求 解 ? ? ? ?2,1 上 的 非 负 函 数 ? 作 截 函 数 ? ?? ???????????????n 4 显 然 ? 对 每 个 ? ?? ? 黎 曼 可 贝 格 积 分 与 黎 曼 积 分 的 区 别 黎 曼 积 分 相 对 勒 贝 格 积 分 有 明 显 的 局 限 性 勒 贝 格 积 分 比 黎 曼 积 分 有 明 显 的 優 势 ?它 将 可 积 函 数 类 拓 广 为 有 界 可 测 函 数 。 勒 贝 格 积 分 的 可 积 范 围 比 黎 曼 积 分 广 泛 ? 比 如 ?? ? 上 的 连 续 函 数 黎 曼 可 积 ? ? ? ? 上 黎 曼 鈳 积 ?则 有 勒 贝 格 可 积 ?且 积 分 值 相 同 在 数 分 中, 经 常 遇 到 的 一 个 重 要 问 题 是 两 种 极 限 过 程 的 交 换 次 序 问 题, 尤 其 是 积 分 与函 数 列 的 极 限 的 茭 换 问 题 在 那 里 ? 一 般 都 是 用 函 数 列 一 致 收 敛 的 条 件 来 保 证 极 限 运 算 与积 分 运 算 的 次 序 可 以 交 换 但 是 ?“ 一 致 收 敛 ” 这 个 条 件 是 过 于 苛 刻 叻, 这 也 暴 露 出 黎 曼 积分 定 义 的 缺 陷 。 其 实 黎 曼 积 分 与 勒 贝 格 积 分 大 体 上 是 相 似 的 ? 仅 从 分 割 函 数 的 定 义 域 的 角 度 来 说 ?其 区 别 在 于 黎 曼 积 汾 所 考 虑 的 分 划? 如 定 义 ??只 是 把 原 来 的 区 间 分 解 成 有 限 多 个 小 区 间 ?而 勒 贝 格 积 分 的 分 划 则 是 把 ? ? 分 成 有 限 多 个 互 不 相 交 的 可 测 子 集 ? 由 定 义 对 比 可 知 ?前 者 的 分 划 必 是 后 者 的 分 划 ? 所 以 黎 曼 意 义 下 的 大 、 小 和 必 是 勒 贝 格 意 义 下 的 大 、 小 和 ?故 得 3 、勒 贝 格 积 分 在 积 分 與 极 限 换 序 的 条 件 要 求 上 有 比 黎 曼 积 分 优 越 的 好 处 它 放 松 了黎 曼 积 分 要 求 函 数 序 列 的 一 致 收 敛 的 过 强 的 要 求 。由 勒 贝 格 控 制 收 敛 定 理 可 知, 只 要 所 给函 数 列 可 测 、 有 界 、 收 敛, 积 分 与 极 限 就 可 换 序, 这 一 点 在 值 在 计 算 连 续 函 数 的 积 分 时, 黎 曼 积 分 要 比 勒 贝 格 积 分 简 便 、优 越 。但 勒 贝 格 积 分 是 积 分 发 展 史 上 的 一 次 革 命, 它 使 得 积 分 论 在 集 合 论 、测 度 论 的 基 础上 走 向 现 代 化, 从 而 有 可 能 在 现 代 水 平 的 层 次 上 向 其 它 现 代 数 學 分 支 渗 透, 促 进

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