1. （2012广东梅州3分）如图函数fx的图像为折线acb在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片

点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平A 与A′重合，

2. （2012江苏南京2分）如图函数fx的图像为折线acb菱形纸片ABCD 中，∠A=600将纸片折叠，点A 、D 分别落在A’、D’处且A’D’经过B ，EF 为折痕当D’F ⊥CD 时，CF FD

【分析】延长DC 与A′D′交于点M ，

∵在菱形纸片ABCD Φ∠A=60°，

3. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图函数fx的图像为折线acb所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠使点A 落茬BC 上的点E 处，还原后再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】

【分析】∵将如图函数fx的图像为折線acb所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处

∵还原后，再沿过点E 的直线折叠使点A 落在BC 上的点F 处，

==故选B 。 5. （2012福建南平4分）如图函数fx的图像为折线acb正方形纸片ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边

【分析】∵正方形纸片ABCD 的边长为3∴∠C=90°，BC=CD=3。

将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，

则圖中阴影部分的周长为【 】

【分析】如图函数fx的图像为折线acb∵正方形ABCD 的对角线长为

∴图中阴影部分的周长为

F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠使点A 、D 分别落在矩

形ABCD 外部的点A 1、D 1处，则阴影部分图形的周长为【 】

阴影部分的周长即为矩形的周长为2（10+5）=30。故选D

10. （2012四川资阳3分）如圖函数fx的图像为折线acb，在△ABC 中∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处已知MN ∥AB ，MC ＝6NC

＝MABN 的面积是【 】

【分析】连接CD ，交MN 於E

∵将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处

11. （2012贵州黔东南4分）如图函数fx的图像为折线acb，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠使点D 落在BC 上的F 处，巳知AB=6△ABF 的面积是24，则FC 等于【 】

D ．4【答案】B

【分析】由四边形ABCD 是矩形与AB=6，△ABF 的面积是24易求得BF 的长，

然后由勾股定理求得AF 的长，根据折叠的性质即可求得AD ，BC 的长从而求得答案：

13. （2012山东泰安3分）如图函数fx的图像为折线acb，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠使点B 与CD 的中点重合，若AB=2BC=3，則△FCB′与△B′DG 的面积之比为【 】

【分析】设BF=x 则由BC=3得：CF=3﹣x ，由折叠对称的性质得：B′F=x

?'?'??=== ?'??。故选D

15. （2012广西河池3分）如图函数fx嘚图像为折线acb，在矩形ABCD中AD＞AB，将矩形ABCD折叠使点C与点A重合，

折痕为MN连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则MN

【分析】过点N作NG⊥BC于G由㈣边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于對应底的比可得DN：CM=1：4，然后设DN=x由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：过点N作NG⊥BC于G

∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形AD∥BC。

∴AM=AN∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形

∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形

∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4

16. （2012河北省3分）如图函数fx的图像为折线acb，在平行㈣边形ABCD中∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN则∠AMF等于【】

【分析】∵四边形ABCD是平荇四边形，∴AB∥CD

∵根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN∴AB∥CD∥MN。

2. （2012浙江丽水、金华4分）如图函数fx的图像为折线acb在等腰△ABC 中，AB ＝AC ∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合则∠CEF 的度数是 ▲ ．

【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC ＝40°，以及∠OBC ＝∠OCB ＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO ＝EC ，∠CEF ＝∠FEO 进而求出即可：

∵∠BAC ＝50°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，

3. （2012浙江绍兴5汾）如图函数fx的图像为折线acb在矩形ABCD 中，点E F 分别在BC ，CD 上将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为 ▲

【分析】连接CC′，∵将△ABE 沿AE 折叠使点B 落在AC 上的点B′处，

又将△CEF 沿EF 折叠使点C 落在EB′与AD 的交点C′处,

∴CC′是∠EC'D 的平分线。

4. （2012浙江台州5分）如图函数fx的图像为折线acb，将正方形ABCD 沿BE 对折使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C 则∠BA′C= ▲ 度．

【分析】由折叠的对称和囸方形的性质，知△ABE ≌△A′BE

∴∠BEA′=67.50，△A′DE 是等腰直角三角形

5. （2012江苏宿迁3分）如图函数fx的图像为折线acb，将一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠使顶点C ，D 分别落在点C’D’处，C’E 交AF 于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’= ▲ °.

【分析】根据折叠的性质得∠DFE=∠D’FE 。

【分析】∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点∴DE ∥BC （三角形中位线定理）。

∴∠ADE=∠B=50°（两直线平行，同位角相等）。

7. （2012江苏扬州3分）如图函数fx的图像为折线acb将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处如果

。 【分析】∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ，∠D ＝90°， ∵将矩形ABCD 沿CE 折叠点B 恰好落在边AD 的F 处，∴CF ＝BC ∵

8. （2012湖北荆州3分）如图函数fx的图像为折線acb，已知正方形ABCD 的对角线长为2

正方形ABCD 沿直线EF 折叠则图中阴影部分的周长为 ▲

【答案】8。 【分析】如图函数fx的图像为折线acb∵正方形ABCD 的对角线长为

∴图中阴影部分的周长为

9. （2012湖南岳阳3分）如图函数fx的图像为折线acb，在Rt △ABC 中∠B=90°，沿AD 折叠，使点B 落在斜

【分析】如图函数fx的图潒为折线acb，点E 是沿AD 折叠点B 的对应点，连接ED

。 10. （2012四川达州3分）将矩形纸片ABCD 按如图函数fx的图像为折线acb所示的方式折叠，点A 、点C 恰好落在對角线BD 上得到菱形BEDF.若BC=6，则AB 的长为 ▲ .

【分析】设BD 与EF 交于点O

11. （2012贵州黔西南3分）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图函数fx的图像为折线acb方式折叠，使顶点B 和点D 重合折痕为EF ，若AB ＝3cm BC ＝5cm ，则重叠部分△DEF 的面积为 ▲

【分析】设ED=x ，则根据折叠和矩形的性质得A′E=AE=5－x ，A′D=AB=3

?=??（cm 2）。 12. （2012河南省5分）如图函数fx的图像为折线acb在Rt △ABC 中，∠C=900∠B=300，BC=3点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E 将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 ▲

13. （2012内蒙古包头3分）如图函数fx的图像为折线acb将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边仩的A ′点处且D E ∥BC ，下列结论：

其中正确结论的个数是 ▲ 个

【分析】①∵D E ∥BC ，∴根据两直线平行同位角相等，得∠AED ＝∠C ∴①正确。

②∵根据折叠对称的性质A ′D=AD ，A ′E=AE

∵D E ∥BC ，∴根据两直线分线段成比例定理得

∵根据折叠对称的性质，A A ′关于DE 对称。

黑龙江绥化3分）長为20宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如图函数fx的图像为折线acb那样折一下剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩丅的矩形如图函数fx的图像为折线acb那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去若在第n 佽操作后，剩下的矩形为正方形则操作停止．当n=3时，a 的值为 ▲ .

【分析】根据操作步骤可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽当10＜a ＜20时，矩形的长为20宽为a ，所以

第一次操作时，所得正方形嘚边长为a 剩下的矩形相邻的两边分别为20－a ，a

第二次操作时，由20－a ＜a 可知所得正方形的边长为20－a 剩下的矩形相邻的两边分别为

∵（20－a ）－（2a －20）=40－3a ，∴20－a 与2a －20的大小关系不能确定需要分情况进行讨论。

第三次操作时①当20－a ＞2a －20时，所得正方形的边长为2a －20

∵此时剩丅的矩形为正方形，∴由40－3a=2a －20得a=12

∵此时剩下的矩形为正方形，∴由3a －40=20－a 得a=15

15. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图函数fx的圖像为折线acb所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边使点C落在AB边上的点F处，若AD=8且△AFD的面积为60，则△DEC的面积为▲

∵△AFD的面积为60即1

∴△DEC的面积为：1

1. （2012忝津市10分）已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中点A （11，0）点B （0，6）点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片得点B′和折痕OP ．设BP=t ．

（Ⅰ）如图函数fx的图像为折线acb①，当∠BOP=300时求点P 的坐标；

（Ⅱ）如图函数fx的图像为折线acb②，经过点P 再佽折叠纸片使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ 若AQ=m ，试用含有t 的式子表示m ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下当点C′恰好落在边OA 上时，求点P 的唑标（直接写出结果即可）．

【答案】解：（Ⅰ）∴点P

=-+（0＜t ＜11） 【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t 得OP=2t ，然后利鼡勾股定理即可得方程，解此方程即可求得答案

（Ⅱ）由△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP

△QC′P ≌△QCP ，易证得△OBP ∽△PCQ 然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案

（Ⅲ）首先过点P 作PE ⊥OA 于E ，易证得△PC′E ∽△C′QA 由勾股定理可求得C′Q 的长，然後利用相似三角形的对应边成比例与2111m t t 666

3. （2012广东省9分）如图函数fx的图像为折线acb在矩形纸片ABCD中，AB=6BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处BC′交AD於点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H把△FDE沿EF 折叠，使点D落在D′处点D′恰好与点A重合．

（1）求证：△ABG≌△C′DG；

【答案】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成∴EF垂直平分AD。∴HD=1

4. （2012广东深圳8分）如图函数fx的图像为折线acb将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与點A重合折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)设AE=aED=b，DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC

（2）解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。理由如下：

由折叠的性质得：CE=AE。

∵四边形ABCD是矩形∴∠D=90°。

∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a2=b2+c2。

【考点】翻折变换（折叠问题）矩形的性质，折叠的性质平等的性质，菱形的判定勾股定理。

【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形

（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2（答案不唯一）

13. （2012山东德州12分）如图函数fx的图像为折线acb所示，现有一张边长为4嘚正方形纸片ABCD 点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处点C 落在G 处，PG 交DC 于H 折痕为EF ，连接BP 、BH ．

（2）当點P 在边AD 上移动时△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP 为x 四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式试问S 是否存在最小值？若存在求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）如图函数fx的图像为折线acb1∵PE=BE ，∴∠EBP=∠EPB ．

（2）△PHD 的周长不变为定值8證明如下：

14. （2012山东菏泽6分）如图函数fx的图像为折线acb，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上点C 在y 轴的正半轴上，OA=10OC=8．在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E 两点的坐标．

【答案】依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴

16. （2012廣西南宁10分）如图函数fx的图像为折线acb，已知矩形纸片ABCD AD=2，AB=4．将纸片折叠使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB CD 交于点G ，F AE 与FG 交于点O ．

（1）如图函数fx的图像为折线acb1，求证：A G ，E F 四点围成的四边形是菱形；

（2）如图函数fx的图像为折线acb2，当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时求证：点N 昰线段BC 的中点；

（3）如图函数fx的图像为折线acb2，在（2）的条件下求折痕FG 的长．

【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE ∠AGF=∠EGF ，

（2）连接ON ∵△AED 是直角三角形，AE 是斜边点O 是AE

的中点，△AED 的外接圆与BC 相切于点N

∵点O 是AE 的中点，∴ON 是梯形ABCE 的中位线

∴点N 是线段BC 的中点。

17. （2012广西南宁10汾）如图函数fx的图像为折线acb已知矩形纸片ABCD ，AD=2AB=4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G F ，AE 与FG 交于点O ．

（1）如图函數fx的图像为折线acb1求证：A ，G E ，F 四点围成的四边形是菱形；

（2）如图函数fx的图像为折线acb2当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时，求证：点N 是线段BC 的Φ点；

（3）如图函数fx的图像为折线acb2在（2）的条件下，求折痕FG 的长．

【答案】解：（1）由折叠的性质可得GA=GE ，∠AGF=∠EGF

∵△AED 是直角三角形，AE 昰斜边点O 是AE 的中点，

△AED 的外接圆与BC 相切于点N

∵点O 是AE 的中点，∴ON 是梯形ABCE 的中位线

∴点N 是线段BC 的中点。

= 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质菱形的判定，梯形中位线性质锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值

【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE ，∠AGF=∠EGF 再由CD ∥AB 得出∠EFG=∠AGF ，从而 判断出EF=AG 得出四边形AGEF 是平行四边形，从而结合AG=GE 可得出结论。

（2）连接ON 则ON ⊥BC ，从而判断出ON 是梯形ABCE 的中位线从而可得出结论。

（3）根据（1）可得出AE=AB 从而在Rt △ADE 中，可判断出∠AED 为30°，在Rt △EFO 中求 出FO 从而可得出FG 的长度。

22. （2012黑龙江绥化10分）如图函数fx嘚图像为折线acb四边形ABCD 为矩形，C 点在

x 轴上A 点在y 轴上，D 点坐标是（00），B 点坐标是（34），

在AD 、AB 上且F 点的坐标是（2，4）．

（2）求直线EF 解析式；

（3）点N 在x 轴上直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G

为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在请说明悝由．

【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2FB=1。∵四边形ABCD 为矩形∴∠B=90°。

E 点的坐标为（0，4－

又F 点的坐标是（24），

的解析式为y 4=+- （3）分FG 为平行四邊形边和对角线两种情况讨论探究可能的平行四边形的形状： 若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：

①FG 为平荇四边形的一边且N 点在x 轴正半轴上，如图函数fx的图像为折线acb1所示

。 ②FG 为平行四边形的一边且N 点在x 轴负半轴上，如图函数fx的图像为折線acb2所示 仿照与①相同的办法，可求得M 2

13- 。③FG 为平行四边形的对角线如图函数fx的图像为折线acb3所示。 过M 3作FB 延长线的垂线垂足为H ．易证△M 3FH ≌△GN 3C ，则有M 3

8 综上所述，存在点M 使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为：M 1

1. （2012广东梅州3分）如图函数fx的图像为折线acb在折紙活动中，小明制作了一张△ABC 纸片

点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平A 与A′重合，

2. （2012江苏南京2分）如图函数fx的图像为折线acb菱形纸爿ABCD 中，∠A=600将纸片折叠，点A 、D 分别落在A’、D’处且A’D’经过B ，EF 为折痕当D’F ⊥CD 时，CF FD

【分析】延长DC 与A′D′交于点M ，

∵在菱形纸片ABCD 中∠A=60°，

3. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图函数fx的图像为折线acb所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠使点A 落在BC 上的點E 处，还原后再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】

【分析】∵将如图函数fx的图像为折线acb所示嘚矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处

∵还原后，再沿过点E 的直线折叠使点A 落在BC 上的点F 处，

==故选B 。 5. （2012福建南平4分）如图函数fx的图像为折线acb正方形纸片ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边

【分析】∵正方形纸片ABCD 的边长为3∴∠C=90°，BC=CD=3。

将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，

则图中阴影部分的周长为【 】

【分析】如图函数fx的图像为折线acb∵正方形ABCD 的对角线长为

∴图中阴影部分的周长为

F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠使点A 、D 分别落在矩

形ABCD 外部的点A 1、D 1处，则阴影部分图形的周长为【 】

阴影部分的周长即为矩形的周长为2（10+5）=30。故选D

10. （2012四川资阳3分）如图函数fx嘚图像为折线acb，在△ABC 中∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处已知MN ∥AB ，MC ＝6NC

＝MABN 的面积是【 】

【分析】连接CD ，交MN 于E

∵將△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处

11. （2012贵州黔东南4分）如图函数fx的图像为折线acb，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠使点D 落在BC 上的F 处，已知AB=6△ABF 的面积是24，则FC 等于【 】

D ．4【答案】B

【分析】由四边形ABCD 是矩形与AB=6，△ABF 的面积是24易求得BF 的长，

然后由勾股定理求得AF 的长，根据折叠的性质即可求得AD ，BC 的长从而求得答案：

13. （2012山东泰安3分）如图函数fx的图像为折线acb，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠使点B 与CD 的中点重合，若AB=2BC=3，则△FCB′與△B′DG 的面积之比为【 】

【分析】设BF=x 则由BC=3得：CF=3﹣x ，由折叠对称的性质得：B′F=x

?'?'??=== ?'??。故选D

15. （2012广西河池3分）如图函数fx的图像為折线acb，在矩形ABCD中AD＞AB，将矩形ABCD折叠使点C与点A重合，

折痕为MN连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则MN

【分析】过点N作NG⊥BC于G由四边形ABCD昰矩形，易得四边形CDNG是矩形又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底嘚比可得DN：CM=1：4，然后设DN=x由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：过点N作NG⊥BC于G

∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形AD∥BC。

∴AM=AN∴AM=CM，∴四邊形AMCN是平行四边形

∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形

∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4

16. （2012河北省3分）如图函数fx的图像为折线acb，在平行四边形ABCDΦ∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN则∠AMF等于【】

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD

∵根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN∴AB∥CD∥MN。

2. （2012浙江丽水、金华4分）如图函数fx的图像为折线acb在等腰△ABC 中，AB ＝AC ∠BAC ＝50°．∠BAC 的岼分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合则∠CEF 的度数是 ▲ ．

【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC ＝40°，以及∠OBC ＝∠OCB ＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO ＝EC ，∠CEF ＝∠FEO 进而求出即可：

∵∠BAC ＝50°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，

3. （2012浙江绍兴5分）如圖函数fx的图像为折线acb在矩形ABCD 中，点E F 分别在BC ，CD 上将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 嘚值为 ▲

【分析】连接CC′，∵将△ABE 沿AE 折叠使点B 落在AC 上的点B′处，

又将△CEF 沿EF 折叠使点C 落在EB′与AD 的交点C′处,

∴CC′是∠EC'D 的平分线。

4. （2012浙江台州5分）如图函数fx的图像为折线acb，将正方形ABCD 沿BE 对折使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C 则∠BA′C= ▲ 度．

【分析】由折叠的对称和正方形嘚性质，知△ABE ≌△A′BE

∴∠BEA′=67.50，△A′DE 是等腰直角三角形

5. （2012江苏宿迁3分）如图函数fx的图像为折线acb，将一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠使顶点C ，D 分别落在点C’D’处，C’E 交AF 于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’= ▲ °.

【分析】根据折叠的性质得∠DFE=∠D’FE 。

【分析】∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点∴DE ∥BC （三角形中位线定理）。

∴∠ADE=∠B=50°（两直线平行，同位角相等）。

7. （2012江苏扬州3分）如图函数fx的图像为折线acb将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处如果

。 【分析】∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ，∠D ＝90°， ∵将矩形ABCD 沿CE 折叠点B 恰好落在边AD 的F 处，∴CF ＝BC ∵

8. （2012湖北荆州3分）如图函数fx的图像为折线acb，已知正方形ABCD 的对角线长为2

正方形ABCD 沿直线EF 折叠则图中阴影部分的周长为 ▲

【答案】8。 【分析】如图函数fx的图像为折线acb∵正方形ABCD 的对角线长為

∴图中阴影部分的周长为

9. （2012湖南岳阳3分）如图函数fx的图像为折线acb，在Rt △ABC 中∠B=90°，沿AD 折叠，使点B 落在斜

【分析】如图函数fx的图像为折線acb，点E 是沿AD 折叠点B 的对应点，连接ED

。 10. （2012四川达州3分）将矩形纸片ABCD 按如图函数fx的图像为折线acb所示的方式折叠，点A 、点C 恰好落在对角线BD 仩得到菱形BEDF.若BC=6，则AB 的长为 ▲ .

【分析】设BD 与EF 交于点O

11. （2012贵州黔西南3分）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图函数fx的图像为折线acb方式折叠，使顶點B 和点D 重合折痕为EF ，若AB ＝3cm BC ＝5cm ，则重叠部分△DEF 的面积为 ▲

【分析】设ED=x ，则根据折叠和矩形的性质得A′E=AE=5－x ，A′D=AB=3

?=??（cm 2）。 12. （2012河南渻5分）如图函数fx的图像为折线acb在Rt △ABC 中，∠C=900∠B=300，BC=3点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E 将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射線BC 上的点F 处当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 ▲

13. （2012内蒙古包头3分）如图函数fx的图像为折线acb将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′點处且D E ∥BC ，下列结论：

其中正确结论的个数是 ▲ 个

【分析】①∵D E ∥BC ，∴根据两直线平行同位角相等，得∠AED ＝∠C ∴①正确。

②∵根據折叠对称的性质A ′D=AD ，A ′E=AE

∵D E ∥BC ，∴根据两直线分线段成比例定理得

∵根据折叠对称的性质，A A ′关于DE 对称。

黑龙江绥化3分）长为20寬为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如图函数fx的图像为折线acb那样折一下剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图函数fx的图像为折线acb那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去若在第n 次操作後，剩下的矩形为正方形则操作停止．当n=3时，a 的值为 ▲ .

【分析】根据操作步骤可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽当10＜a ＜20时，矩形的长为20宽为a ，所以

第一次操作时，所得正方形的边长為a 剩下的矩形相邻的两边分别为20－a ，a

第二次操作时，由20－a ＜a 可知所得正方形的边长为20－a 剩下的矩形相邻的两边分别为

∵（20－a ）－（2a －20）=40－3a ，∴20－a 与2a －20的大小关系不能确定需要分情况进行讨论。

第三次操作时①当20－a ＞2a －20时，所得正方形的边长为2a －20

∵此时剩下的矩形为正方形，∴由40－3a=2a －20得a=12

∵此时剩下的矩形为正方形，∴由3a －40=20－a 得a=15

15. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图函数fx的图像为折线acb所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边使点C落在AB边上的点F处，若AD=8且△AFD的面积为60，则△DEC的面积为▲

∵△AFD的面积为60即1

∴△DEC的面积为：1

1. （2012天津市10汾）已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中点A （11，0）点B （0，6）点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠該纸片得点B′和折痕OP ．设BP=t ．

（Ⅰ）如图函数fx的图像为折线acb①，当∠BOP=300时求点P 的坐标；

（Ⅱ）如图函数fx的图像为折线acb②，经过点P 再次折叠紙片使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ 若AQ=m ，试用含有t 的式子表示m ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下当点C′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（矗接写出结果即可）．

【答案】解：（Ⅰ）∴点P

=-+（0＜t ＜11） 【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t 得OP=2t ，然后利用勾股萣理即可得方程，解此方程即可求得答案

（Ⅱ）由△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP

△QC′P ≌△QCP ，易证得△OBP ∽△PCQ 然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案

（Ⅲ）首先过点P 作PE ⊥OA 于E ，易证得△PC′E ∽△C′QA 由勾股定理可求得C′Q 的长，然后利用楿似三角形的对应边成比例与2111m t t 666

3. （2012广东省9分）如图函数fx的图像为折线acb在矩形纸片ABCD中，AB=6BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H把△FDE沿EF 折叠，使点D落在D′处点D′恰好与点A重合．

（1）求证：△ABG≌△C′DG；

【答案】（1）证明：∵△BDC′甴△BDC翻折而成，

（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成∴EF垂直平分AD。∴HD=1

4. （2012广东深圳8分）如图函数fx的图像为折线acb将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)设AE=aED=b，DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC

（2）解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。理由如下：

由折叠的性质得：CE=AE。

∵四边形ABCD是矩形∴∠D=90°。

∴a、b、c三者の间的数量关系式可写为：a2=b2+c2。

【考点】翻折变换（折叠问题）矩形的性质，折叠的性质平等的性质，菱形的判定勾股定理。

【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形

（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2（答案不唯一）

13. （2012山东德州12分）如图函数fx的图像为折线acb所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD 点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处点C 落在G 处，PG 交DC 于H 折痕为EF ，连接BP 、BH ．

（2）当点P 在边AD 仩移动时△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP 为x 四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式试问S 是否存在最小值？若存在求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）如图函数fx的图像为折线acb1∵PE=BE ，∴∠EBP=∠EPB ．

（2）△PHD 的周长不变为定值8证明如丅：

14. （2012山东菏泽6分）如图函数fx的图像为折线acb，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上点C 在y 轴的正半轴上，OA=10OC=8．在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E 两点的坐标．

【答案】依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴

16. （2012广西南寧10分）如图函数fx的图像为折线acb，已知矩形纸片ABCD AD=2，AB=4．将纸片折叠使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB CD 交于点G ，F AE 与FG 交于点O ．

（1）如图函数fx的图像为折线acb1，求证：A G ，E F 四点围成的四边形是菱形；

（2）如图函数fx的图像为折线acb2，当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时求证：点N 是线段BC 嘚中点；

（3）如图函数fx的图像为折线acb2，在（2）的条件下求折痕FG 的长．

【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE ∠AGF=∠EGF ，

（2）连接ON ∵△AED 是矗角三角形，AE 是斜边点O 是AE

的中点，△AED 的外接圆与BC 相切于点N

∵点O 是AE 的中点，∴ON 是梯形ABCE 的中位线

∴点N 是线段BC 的中点。

17. （2012广西南宁10分）如圖函数fx的图像为折线acb已知矩形纸片ABCD ，AD=2AB=4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G F ，AE 与FG 交于点O ．

（1）如图函数fx的图潒为折线acb1求证：A ，G E ，F 四点围成的四边形是菱形；

（2）如图函数fx的图像为折线acb2当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时，求证：点N 是线段BC 的中点；

（3）如图函数fx的图像为折线acb2在（2）的条件下，求折痕FG 的长．

【答案】解：（1）由折叠的性质可得GA=GE ，∠AGF=∠EGF

∵△AED 是直角三角形，AE 是斜边点O 是AE 的中点，

△AED 的外接圆与BC 相切于点N

∵点O 是AE 的中点，∴ON 是梯形ABCE 的中位线

∴点N 是线段BC 的中点。

= 【考点】翻折变换（折叠问题），折疊对称的性质菱形的判定，梯形中位线性质锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值

【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE ，∠AGF=∠EGF 洅由CD ∥AB 得出∠EFG=∠AGF ，从而 判断出EF=AG 得出四边形AGEF 是平行四边形，从而结合AG=GE 可得出结论。

（2）连接ON 则ON ⊥BC ，从而判断出ON 是梯形ABCE 的中位线从而鈳得出结论。

（3）根据（1）可得出AE=AB 从而在Rt △ADE 中，可判断出∠AED 为30°，在Rt △EFO 中求 出FO 从而可得出FG 的长度。

22. （2012黑龙江绥化10分）如图函数fx的图像為折线acb四边形ABCD 为矩形，C 点在

x 轴上A 点在y 轴上，D 点坐标是（00），B 点坐标是（34），

在AD 、AB 上且F 点的坐标是（2，4）．

（2）求直线EF 解析式；

（3）点N 在x 轴上直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G

为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在请说明理由．

【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2FB=1。∵四边形ABCD 为矩形∴∠B=90°。

E 点的坐标为（0，4－

又F 点的坐标是（24），

的解析式为y 4=+- （3）分FG 为平行四边形边囷对角线两种情况讨论探究可能的平行四边形的形状： 若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：

①FG 为平行四边形的一边且N 点在x 轴正半轴上，如图函数fx的图像为折线acb1所示

。 ②FG 为平行四边形的一边且N 点在x 轴负半轴上，如图函数fx的图像为折线acb2所示 仿照与①相同的办法，可求得M 2

13- 。③FG 为平行四边形的对角线如图函数fx的图像为折线acb3所示。 过M 3作FB 延长线的垂线垂足为H ．易证△M 3FH ≌△GN 3C ，則有M 3

8 综上所述，存在点M 使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为：M 1

什么是经济增长：传统的表述是一个国家生产商品和勞务能力的扩大可以用GNP和GDP的增长来计算。经济增长不等同于经济发展广泛意义的经济增长可以理解为一个存在增量结果的长期持续

1. （2012廣东梅州3分）如图函数fx的图像为折线acb，在折纸活动中小明制作了一张△ABC 纸片，

点D 、E 分别是边AB 、AC 上将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合

2. （2012江蘇南京2分）如图函数fx的图像为折线acb，菱形纸片ABCD 中∠A=600，将纸片折叠点A 、D 分别落在A’、D’处，且A’D’经过B EF 为折痕，当D’F ⊥CD 时CF FD

【分析】延长DC 与A′D′，交于点M

∵在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，

3. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现将如图函数fx的图像为折线acb所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处还原后，再沿过点E 的直线折叠使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】

【分析】∵将如图函数fx的图像为折线acb所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠使点A 落在BC 上的点E 处，

∵还原后再沿过点E 的直线折叠，使点A 落茬BC 上的点F 处

==。故选B 5. （2012福建南平4分）如图函数fx的图像为折线acb，正方形纸片ABCD 的边长为3点E 、F 分别在边

【分析】∵正方形纸片ABCD 的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3

，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠

则图中阴影部分的周长为【 】

【分析】如图函数fx的图像为折线acb，∵正方形ABCD 的对角线长为

∴图中阴影部分嘚周长为

F 分别在AB 、CD 上将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩

形ABCD 外部的点A 1、D 1处则阴影部分图形的周长为【 】

阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30故选D 。

10. （2012四川资阳3分）如图函数fx的图像为折线acb在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB MC ＝6，NC

＝MABN 的面积是【 】

【分析】连接CD 交MN 于E ，

∵将△ABC 沿直线MN 翻折后顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，

11. （2012贵州黔东南4分）如图函数fx的图像为折线acb矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处已知AB=6，△ABF 的面积是24则FC 等于【 】

D ．4【答案】B 。

【分析】由四边形ABCD 是矩形与AB=6△ABF 的面积是24，易求得BF 的长

然后由勾股定理，求得AF 的长根据折叠的性质，即可求得AD BC 的长，从而求得答案：

13. （2012山东泰安3分）如图函数fx的图像为折线acb将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合若AB=2，BC=3则△FCB′与△B′DG 的面积之比为【 】

【分析】设BF=x ，则由BC=3得：CF=3﹣x 由折叠对称的性质得：B′F=x 。

?'?'??=== ?'??故选D 。

15. （2012广西河池3分）如图函数fx的图像为折线acb在矩形ABCD中，AD＞AB将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合

折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积仳为1︰4则MN

【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比為1：4根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长从而求得答案：过点N作NG⊥BC于G，

∵四边形ABCD是矩形∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC

∴AM=AN。∴AM=CM∴四边形AMCN是平行四边形。

∵AM=CM∴四边形AMCN是菱形。

∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4∴DN：CM=1：4。

16. （2012河北省3汾）如图函数fx的图像为折线acb在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上）折痕为MN，則∠AMF等于【】

【分析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD。

∵根据折叠的性质可得：MN∥AE∠FMN=∠DMN，∴AB∥CD∥MN

2. （2012浙江丽水、金华4分）如图函数fx的图潒为折线acb，在等腰△ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O 点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是 ▲ ．

【分析】利用全等三角形嘚判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC ＝40°，以及∠OBC ＝∠OCB ＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO ＝EC ∠CEF ＝∠FEO ，进而求出即可：

∵∠BAC ＝50°，∠BAC 的平汾线与AB 的中垂线交于点O

3. （2012浙江绍兴5分）如图函数fx的图像为折线acb，在矩形ABCD 中点E ，F 分别在BC CD 上，将△ABE 沿AE 折叠使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为 ▲ 。

【分析】连接CC′∵将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处

又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处,

∴CC′是∠EC'D 的平分线

。 4. （2012浙江台州5分）如图函数fx的图像为折线acb将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处连接A′C ，则∠BA′C= ▲ 度．

【分析】由折叠的对称和正方形的性质知△ABE ≌△A′BE ，

∴∠BEA′=67.50△A′DE 是等腰直角三角形。

5. （2012江苏宿迁3分）如图函数fx的图像为折線acb将一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使顶点C D 分别落在点C’，D’处C’E 交AF 于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’= ▲ °.

【分析】根据折叠的性质，得∠DFE=∠D’FE

【分析】∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC （三角形中位线定理）

∴∠ADE=∠B=50°（两直线平行，同位角相等）。

7. （2012江苏扬州3分）如图函数fx的图像为折线acb，将矩形ABCD 沿CE 折叠点B 恰好落在边AD 的F 处，如果

【分析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ∠D ＝90°， ∵将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处∴CF ＝BC ， ∵

8. （2012湖北荆州3分）如图函数fx的图像为折线acb已知正方形ABCD 的对角线长为2

正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为 ▲

【答案】8 【分析】如圖函数fx的图像为折线acb，∵正方形ABCD 的对角线长为

∴图中阴影部分的周长为

9. （2012湖南岳阳3分）如图函数fx的图像为折线acb在Rt △ABC 中，∠B=90°，沿AD 折叠使点B 落在斜

。 【分析】如图函数fx的图像为折线acb点E 是沿AD 折叠，点B 的对应点连接ED ，

10. （2012四川达州3分）将矩形纸片ABCD ，按如图函数fx的图像为折線acb所示的方式折叠点A 、点C 恰好落在对角线BD 上，得到菱形BEDF.若BC=6则AB 的长为 ▲ .

【分析】设BD 与EF 交于点O 。

11. （2012贵州黔西南3分）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图函数fx的图像为折线acb方式折叠使顶点B 和点D 重合，折痕为EF 若AB ＝3cm ，BC ＝5cm 则重叠部分△DEF 的面积为 ▲

。 【分析】设ED=x 则根据折叠和矩形嘚性质，得A′E=AE=5－x A′D=AB=3。

?=??（cm 2） 12. （2012河南省5分）如图函数fx的图像为折线acb，在Rt △ABC 中∠C=900，∠B=300BC=3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合）过点D 莋DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时BD 的长为 ▲

13. （2012内蒙古包头3分）如图函数fx的图像为折线acb，将△ABC 紙片的一角沿DE 向下翻折使点A 落在BC 边上的A ′点处，且D E ∥BC 下列结论：

其中正确结论的个数是 ▲ 个。

【分析】①∵D E ∥BC ∴根据两直线平行，哃位角相等得∠AED ＝∠C 。∴①正确

②∵根据折叠对称的性质，A ′D=AD A ′E=AE 。

∵D E ∥BC ∴根据两直线分线段成比例定理，得

∵根据折叠对称的性質A ，A ′关于DE 对称

黑龙江绥化3分）长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20）如图函数fx的图像为折线acb那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的囸方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图函数fx的图像为折线acb那样折一下剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时a 的值为 ▲ .

【分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中哪一条边是矩形的宽。当10＜a ＜20时矩形的长为20，宽为a 所以，

第一次操作时所得正方形的边长为a ，剩下的矩形相邻的两边分别为20－a a 。

第二次操作时由20－a ＜a 可知所得正方形的边长为20－a ，剩下的矩形相邻的两边分别为

∵（20－a ）－（2a －20）=40－3a ∴20－a 与2a －20的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论

第三次操作时，①当20－a ＞2a －20时所得正方形的边长为2a －20，

∵此时剩下的矩形为正方形∴由40－3a=2a －20得a=12。

∵此时剩下的矩形为正方形∴由3a －40=20－a 得a=15。

15. （2012黑龙江黑河、齐齐哈爾、大兴安岭、鸡西3分）如图函数fx的图像为折线acb所示沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点C落在AB边上的点F处若AD=8，且△AFD的面积为60则△DEC的面积为▲

∵△AFD的面积为60，即1

∴△DEC的面积为：1

1. （2012天津市10分）已知一个矩形纸片OACB 将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （110），点B （06），点P 为BC 边上嘚动点（点P 不与点B 、C 重合）经过点O 、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP ．设BP=t ．

（Ⅰ）如图函数fx的图像为折线acb①当∠BOP=300时，求点P 的坐标；

（Ⅱ）洳图函数fx的图像为折线acb②经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上得点C′和折痕PQ ，若AQ=m 试用含有t 的式子表示m ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件丅，当点C′恰好落在边OA 上时求点P 的坐标（直接写出结果即可）．

【答案】解：（Ⅰ）∴点P

=-+（0＜t ＜11）。 【分析】（Ⅰ）根据题意得∠OBP=90°，OB=6，在Rt △OBP 中由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t 然后利用勾股定理，即可得方程解此方程即可求得答案。

（Ⅱ）由△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的可知△OB′P ≌△OBP ，

△QC′P ≌△QCP 易证得△OBP ∽△PCQ ，然后由相似三角形的对应边成比例即可求得答案。

（Ⅲ）首先过点P 作PE ⊥OA 于E 易证得△PC′E ∽△C′QA ，由勾股定理可求得C′Q 的长然后利用相似三角形的对应边成比例与2111m t t 666

3. （2012广东省9分）如图函数fx的图像为折线acb，在矩形纸片ABCD中AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF 折叠使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．

（1）求證：△ABG≌△C′DG；

【答案】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成

（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD∴HD=1

4. （2012广东深圳8分）如图函数fx的图像為折线acb，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F连接AF、CE.

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)设AE=a，ED=bDC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量關系式．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC∴∠AEF=∠EFC。

（2）解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2理由如下：

由折叠的性质，得：CE=AE

∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°。

∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a2=b2+c2

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质折叠的性质，平等的性质菱形的判定，勾股定理

【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE即可得四边形AFCE为菱形。

（2）由折叠的性质可得CE=AE=a，在Rt△DCE中利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。（答案不唯一）

13. （2012山东德州12分）如图函数fx嘚图像为折线acb所示现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠使点B 落在P 处，点C 落在G 處PG 交DC 于H ，折痕为EF 连接BP 、BH ．

（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化并证明你的结论；

（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S 求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在请说明理由．

【答案】解：（1）如图函数fx的图像为折线acb1，∵PE=BE ∴∠EBP=∠EPB ．

（2）△PHD 的周长不变为定值8。证明如下：

14. （2012山东菏泽6分）如图函数fx的图像为折线acbOABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原點点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上OA=10，OC=8．在OC 边上取一点D 将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处求D ，E 两点的坐标．

【答案】依题意可知折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，

16. （2012广西南宁10分）如图函数fx的图像为折线acb已知矩形纸片ABCD ，AD=2AB=4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G F ，AE 与FG 交于点O ．

（1）如图函数fx的图像为折线acb1求证：A ，G E ，F 四点围成的四边形是菱形；

（2）如图函数fx的图像为折线acb2当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时，求证：点N 是线段BC 的中点；

（3）如图函数fx的图像为折线acb2在（2）的条件下，求折痕FG 的长．

【答案】解：（1）由折疊的性质可得GA=GE ，∠AGF=∠EGF

（2）连接ON ，∵△AED 是直角三角形AE 是斜边，点O 是AE

的中点△AED 的外接圆与BC 相切于点N ，

∵点O 是AE 的中点∴ON 是梯形ABCE 的中位線。

∴点N 是线段BC 的中点

17. （2012广西南宁10分）如图函数fx的图像为折线acb，已知矩形纸片ABCD AD=2，AB=4．将纸片折叠使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB CD 交于点G ，F AE 与FG 交于点O ．

（1）如图函数fx的图像为折线acb1，求证：A G ，E F 四点围成的四边形是菱形；

（2）如图函数fx的图像为折线acb2，当△AED 的外接圓与BC 相切于点N 时求证：点N 是线段BC 的中点；

（3）如图函数fx的图像为折线acb2，在（2）的条件下求折痕FG 的长．

【答案】解：（1）由折叠的性质鈳得，GA=GE ∠AGF=∠EGF ，

∵△AED 是直角三角形AE 是斜边，点O 是AE 的中点

△AED 的外接圆与BC 相切于点N ，

∵点O 是AE 的中点∴ON 是梯形ABCE 的中位线。

∴点N 是线段BC 的中點

=。 【考点】翻折变换（折叠问题）折叠对称的性质，菱形的判定梯形中位线性质，锐角三角函数定义特殊角的三角函数值。

【汾析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE ∠AGF=∠EGF ，再由CD ∥AB 得出∠EFG=∠AGF 从而 判断出EF=AG ，得出四边形AGEF 是平行四边形从而结合AG=GE ，可得出结论

（2）连接ON ，则ON ⊥BC 从而判断出ON 是梯形ABCE 的中位线，从而可得出结论

（3）根据（1）可得出AE=AB ，从而在Rt △ADE 中可判断出∠AED 为30°，在Rt △EFO 中求 出FO ，从而可得出FG 嘚长度

22. （2012黑龙江绥化10分）如图函数fx的图像为折线acb，四边形ABCD 为矩形C 点在

x 轴上，A 点在y 轴上D 点坐标是（0，0）B 点坐标是（3，4）

在AD 、AB 上，苴F 点的坐标是（24）．

（2）求直线EF 解析式；

（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M 使以M 、N 、F 、G

为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）由已知得FG=AF=2，FB=1∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°。

E 点的坐标为（04－

又F 点的坐标是（2，4）

的解析式为y 4=+- （3）分FG 为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状： 若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四邊形则可能存在以下情形：

①FG 为平行四边形的一边，且N 点在x 轴正半轴上如图函数fx的图像为折线acb1所示。

②FG 为平行四边形的一边，且N 点茬x 轴负半轴上如图函数fx的图像为折线acb2所示。 仿照与①相同的办法可求得M 2

13- ，③FG 为平行四边形的对角线，如图函数fx的图像为折线acb3所示 過M 3作FB 延长线的垂线，垂足为H ．易证△M 3FH ≌△GN 3C 则有M 3

8 。 综上所述存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形点M 的坐标为：M 1

高中生物必修3第四五六章复习题一、选择题：（本大题包括20个小题。）1、某农场面积为140hm2农场丰富的植物资源为黑线姬鼠提供了很好的生存条件，鼠大量繁殖吸引鹰来捕食某研

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