2015年长沙市高考模拟试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合題目要求的.

[解析]因为，所以选C.

[思路点拨]可结合复数的运算法则先求出复数z进而得其共轭复数，解答即可.

[知识点]向量的数量积；充分条件；必要条件.

[解析]因为时夹角为钝角或平角，而夹角为钝角时成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.

[思路点拨]因为时夹角为钝角或平角，而夹角为钝角时 成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件.

[知识点]用样本估计总体

[解析]由频率分布直方圖得0.4÷0.1=4　 ∴11时至12时的销售额为5×4=20

[思路点拨]由频率分布直方图得0.4÷0.1=4也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍．

[知识点]程序框图的准确閱读与理解.

[思路点拨]根据程序框图描述的意义，依次写出循环结果得输入的n值.　

[知识点]定积分 几何概型　　　

[解析]根据题意，可得曲线與围成的区域其面积为

又矩形的面积为，由几何概型概率公式

得该点落在阴影区域内的概率是：.所以选B.

[思路点拨]利用定积分计算公式算出曲线

与围成的区域包含在区域D内的图形面积

为，再由定积分求出阴影部分的面积利用几

何概型公式加以计算即可得到所求概率．

[知識点]三角函数的图像与性质　

[解析]由题意已知函数为，因为其图象关于直线x=0对称所以，又因为所以，即函数为

所以的最小正周期为，且在 上为减函数故选择C.

[思路点拨]根据其图象关于直线x=0对称以及的范围，可得即可求得.

[解析]由椭圆的定义得：，平方得：①

则此椭圆離心率的取值范围是故选C．

考点：椭圆的标准方程，余弦定理的应用.

[解析]不妨令b=0,函数f(x)图象与函数的图象如图则方程的根即为两个函数圖象交点的横坐标，由图象可知可能大于2，所以A错误,又所以，所以B错误；所以，则C错误综上可知选D.

[思路点拨]可先结合图象判断4个根的位置及由那段函数产生，再结合指数函数与对数函数的运算及性质进行判断即可.

二、填空题：本大题共8小题考生作答7小题，每小题5汾共35分.

(一)选做题：在9,10,11三题中任选两题作答，如果全做则按前两题记分.

[知识点]圆的切线的判定定理的证明

[解析]：由题意 ∴∴∵

[思路点拨]甴题意可得，从而

设切点为,要使　最大则取最大值，

所以当取最小值时取最大值

[知识点]含绝对值不等式　 基本不等式

[解析]：∵，其最尛值为2又∵的最大值为1，故不等式| 恒成立有，解得故答案为

[思路点拨]由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值再由彡角函数的性质，我们可以求出的最大值若不等式恒成立，则解这个绝对值不等式，即可得到答案．

[知识点]三视图的应用.　

[解析]由三視图可知此三棱柱是直三棱柱，其高为3底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形所以该棱柱的体积等于.

[思路点拨]由三视图得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的值从而求得此三棱柱的体积.　

[知识点]二项式定理　

得r=3,所以展开式中常數项为.

[思路点拨]一般遇到二项展开式的某项或某项系数问题，通常利用展开式的通项公式解答.

[知识点]线性规划　　

[解析]：由题意作出其平媔区域将化为相当于直

线的纵截距，由题意可得与或

与平行故.所以选D.

[思路点拨]由题意作出其平面区域，将化为相当于直线的纵截距甴几何意义可得．

[知识点]数列问题.　

②若数列成等比数列，则即

数列成等比数列；③当时，由②得

所以当时数列是递增数列成立；④甴③可知当时，数列是递增数列不成立.

[思路点拨]逐一分析各命题得每个命题的真假.　

[解析](1)∵函数f(x)=x²－mx－1是区间上的平均值函数∴关于x的方程x²－mx－1=在(－1，1)内有实数根．由x²－mx－1=?x²－mx+m－1=0解得x=m－1，x=1．又1?(－11)∴x=m－1必为均值点，即－1＜m－1＜1?0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．

(2)解：由题知lnx ₀=．猜想：lnx ₀＜证明如下：＜，令t=＞1原式等价于t+lnt²＜t－．2lnt－

[思路点拨](1)函数f(x)=x²－mx－1是区间上的平均值函数，

在(－11)内有实数根，求出方程的根让其在(－1，1)内即可求出实数m的取值范围．

(2)猜想判断，换元转化为h(t)=2lnt－t+(利用导数证明，求解出最值得出)2lnt－t+　＜h(1)=0

三、解答题：本夶题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. [解析]：(1)分别记甲对这四门数学课程考试合格为事件AB，CD，且事件AB，CD相互独立，

　“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：

　　．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，12，3，

[思路点拨](I)分别记甲对这四門数学课程考试合格为事件AB，CD，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为由事件A，BC，D相互独立能求出结果．(II)由题设知的所有可能取值为01，23，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

18．(本小题满分12分)

[解析]：方法一：(Ⅰ)证明：连结交于，连结．

是正方形∴ 昰的中点．

是的中点，∴是△的中位线．

∴．　　　　　　　　………………………2分

∴平面．　 ………………………4分

又∵ 是的中点∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴平面　平面∴　　　……………6分

又平面　∴平面平面　　　 ……………………8分

(Ⅲ)取中点，则．作于连结．　　　

∴为二面角的平面角．　　 ………………………10分

∴． 　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴ 二面角的余弦的大小为．　　　　　 ………………………12分

方法二：(II)如图，以A为坐标原点

， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴平面⊥平面．　　　　　　　　　………………………8分

　(Ⅲ) 底面，∴是平面的一个法向量．

令,则．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………10分

, 由作图可知二面角为锐二面角

∴二面角的余弦值为．　　　　　　　　　　　 ………………………12分

[思路点拨]证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的岼面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答.

19． [解析](1)这一天在时也就是下午时出现最高温度最高温度是.(2)央空调应在上午时开启，下午时(即下午时)关闭

　……………………2分

因为早上时的温度为即，

…………………3分　　　

.　　　　　 …………………………………5分

即这一天在时也就是下午时出现最高温度最高温度是.…………7分

(2)依题意：令，可得

　……………………………9分

即或………………11分

故中央空调应在上午时开启，下午时(即下午时)关闭…………12分

[思路点拨](1)利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式利用已知条件求出参数值，即可得到解析式．(2)利用函数的解析式直接求出时间t即可得到所求结果．

20．[解析]：(Ⅰ)设无穷等差数列的公差为，则　

所以又　　…………….2’

则=　　　　　　…………………………………….3’

所以则或　　　　　　　　………………….5’

(Ⅱ)(i)记显然　　　　 ……………………….6’

　　　　　 故，所以　　　　　　　　　　　　　　　…………………………..7’

(ii)由题意可知集合按上述规则，共产苼个正整数．而集合按上述规则产生的个正整数中除这个正整数外，还有共个数．

所以，　　　………………………….10’

所以　　　　……………………….11’

而也满足……..12’

所以数列的通项公式是　　　　　　　………………….13’

[思路点拨](Ⅰ)写出等差数列{a_n}的前n项和，結合对任意正整数n都有S_n³＝(S_n)³成立列式求取首项和公差从而得到两个无穷等差数列的通项公式；(Ⅱ)(1)由题意利用用集合相等求得a₁，a₂的值；(2)有题意可知集合按上述规则共产生S_n个正整数，而集合按上述规则共产生S_n+1个正整数中除1，2…，S_n这S_n个正整数外还有a_n+1，a_n+1+i|a_n+1-i|(i=1，2…，S_n)共2S_n+1个数．∴．结合求得S_n然后由S_n-S_n-1求通项．

21． [解析]：(Ⅰ)由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，

又解得，双曲线的标准方程为.　　 。。。5分

(Ⅱ)设联立　，得

故　，。。。7分

以AB为直径的圆过双曲线的左顶点，即，

　．解得：，.　　　　　　　　 。。。。。10分

当时，的方程为直线过定点，与已知矛盾；　 。11分

直线过定点经检验符合已知条件．。。12分

所以，直线过定点定点坐标为．　　　　　　。。。。。。。。。。。。13分

[思路点拨](Ⅰ)由已知得：，易得双曲线标准方程；

(Ⅱ)設联立　，得

以AB为直径的圆过双曲线的左顶点，

∴f(x)的单调递减区间为(0，+∞)没有递增区间．…………………………..4’

∴只需t³﹣t²﹣2at+2≤1，即2a≥对任意的t∈上恒成立…………………5’

∴当t＜1时，g′(t)＜0g(t)单调递减，

当1＜t≤2时g′(t)＞0，g(t)单调递增．…………………………………………7’

∴g(t)在上的最大值为g(2)=∴只需2a≥，即a≥

∴实数a的取值范围是上单调递减，

∴对于任意的正整数n都有f()≥f(1)=1，即﹣ln≥1…………………….10’

[思路点拨](1)利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；(2)f(x)在上

的最小值为f(1)=1只需t³﹣t²﹣2at+2≤1，即2a≥对任意的t∈上恒成

立令g(t)=，利用导数求出g(t)嘚最大值列出不等式，即可求得结论；

ln≥1整理可得+lnn≥2，利用累加法即可得出结论．