函数的一阶连续偏导数公式偏导数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-04-03 00:35 标签： 一阶连续偏导数公式

  多元函数的一阶连续偏导数公式偏导数的算法技巧

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前言：微积分开始就是死刷题褙定义。然后我发现自己遗忘的速度简直怀疑人生特别是在学物理以后，发现微积分根本就没有理解一上来基础就没打好。所以希望能够慢慢地把数学分析线性代数，偏微分实变补起来?。感觉要转行了似的?。不过我下面的复习还是避开证明，毕竟我并不感兴趣

,如果f在 点 均可偏导，那么就称f在 点可偏导

以 为例，偏导数就是在这一点平行于x,z面的切线关于x轴的斜率。

,也就是f在点 处的沿着 方向的方向导数

在导数的定义中，导数存在的充要条件是导函数左右导函数存在并且相等而在方向导数中，函数在某一点关于x,y偏导数存在的充要条件是沿x(或y)正方向和负方向的偏导数存在并且互为相反数。

对于 , 如果在其中的一个点 满足存在与 无关只与 有关而与 无关的的数A，B使得 : , 其中 为其中的线性部分也叫做f在 点的全微分。并且可以得到其中

函数在某一点可微时那么这一点的任何方向导数均存在，且 ,定义梯度 , 那么一定满足

在科学和工程中认为所有偏导数都是连续的，所以默认不在意偏导的顺序

认为dx与x没有关系因此 重要的二阶微分的表達式：

, 对于多元函数，以此类推上式依然成立。

定义域为 , 值域为 , 若向量值函数的每个分量 在点

那么就称这一矩阵为向量值函数在点的導数或者Jacobi矩阵，记为 且满足： 。

6、多元复合函数的求导法则：

复合函数链式法则向量表示形式：

多元函数 , 向量值函数：

7、一阶连续偏導数公式微分的形式不变性：

对于 , 。一阶连续偏导数公式微分满足

明显作为中间变量的 是多阶不为0的因此多阶全微分不再具有形式不变性。

（值得注意的是在证明中出现了 ,其中 , 但是结果其实是

8、映射与函数的定义：

若在集合X中的每一个元素x, 在Y中都按照某种规则f 有唯一的┅个元素与之对应，那么有映射

, 在定义域中确定的一个值在值域中对应着唯一确定的一个值那么这两者之间的依赖关系就是函数关系。

9、邻域：在x轴上以a为中心 为半径的开区间 叫做点a的 邻域，记为

10、由插值多项式到泰勒公式：

已知函数 在（a,b）内的m+1个互异的点 和若干各阶導数 (j=0,1,2…… ), 令 ,如果存在一个n次多项式 满足 那么 就是f(x)关于这些插值节点的n次插值多项式。而 ,叫做插值余项

满足上述插值条件的插值多项式存在并且唯一。

设 在[a,b]上连续 在（a,b）上存在，则 ,则上述插值多项式的余项为：

,其中 介于x0……xmx之间，一般依赖于x

10.1 拉氏插值多项式：

如果烸一点只用满足数值相等，那么 拉氏 插值多项式就满足

带拉格朗日余项的泰勒公式:

如果函数 在某个邻域内拥有n+1阶导数，则对于该邻域内嘚任何一点都成立：

带Peano余项的泰勒公式:

设f(x)在 点具有n阶导数，那么存在 的一个邻域使得在这个邻域中的任何一点都满足：

其中 成为Peano余项。

11、多元函数的泰勒公式：

设f(x,y)在点 的邻域 内具有K+1阶连续偏导数那么对于领域内每一点都成立：

,其中 属于0到1之间。

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