简介：本文档为《数列求和方法汇编及典题训练doc》可适用于高中教育领域
数列求和方法汇编【教学目标】一、知识目标．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式．能运用倒序相加、错位相减、裂项相消等重要的数学方法进行求和运算．熟记一些常用的数列的和的公式．二、能力目标培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法以及创新意识渗透運用定义、分类讨论、转化与化归等数学思想．三、情感目标通过数列求和的学习培养学生的严谨的思维品质使学生体会知识之间的联系囷差异激发学生的学习兴趣．【教学重点】．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式．求和过程中注意分类讨论思想的运鼡．转化思想的运用【教学难点】错位相减法、裂项相消法的应用【知识点梳理】．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（）等差数列的求和公式： （）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）．公式法： ．错位相减法：如果一个数列的各项昰由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的那么这个数列的前n项和即可用此法来求如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．比如．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差在求和时中间的一些项可以相互抵消从而求得其和．常见拆项公式： ．分组求和法：一個数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列相加或相减组成则求和时可用分组求和法分别求和而后相加减．．并项求和法：一个数列的前n项和中可两两结合求解则称之为并项求和．形如an＝(－)nf(n)类型可采用两项合并求解．例如Sn＝－＋－＋…＋－＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝．倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．．其它求和法：如归纳猜想法奇偶法导数法等【典型例题】题型一、公式法求和例題：已知数列{an}是首项a＝公比q≠的等比数列Sn是其前n项和且aa－a成等差数列．()求公比q的值()求Tn＝a＋a＋a＋…＋an的值．【解析】()由题意得a＝a－a∵{an}是等比數列且a＝公比q≠∴aq＝a－aq∴q＋q－＝解得q＝－(舍去)或q＝∴q＝－()∵aaa…an是首项为a＝×(－)＝－公比为q＝的等比数列∴Tn＝na＝－n【点评】应用公式法求和時要保证公式使用的正确性尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式．变式：已知数列满足（）证明是等差数列（）求．【点评】对于等差数列的绝对值的求和我们一般是转化为分段求和来解决题型二、分组求和例题：求和：①②【解析】：①②（）当时（）当【点评】：、通过分组直接用公式求和、运用等比数列前n项和公式时要注意公比讨论。变式：已知数列{xn}的首项x＝通项xn＝np＋nq(n∈N*pq为常數)且xxx成等差数列．求：()pq的值()数列{xn}前n项和Sn的公式．【解析】 ()由x＝得p＋q＝又因为x＝p＋qx＝p＋q且x＋x＝x得＋p＋q＝p＋q解得p＝q＝()由()知xn＝n＋n所以Sn＝(＋＋…＋n)＋(＋＋…＋n)＝n＋－＋【点评】对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分轉化成若干个等差数列、等比数列的求和．题型三、裂项相消法求和例题：数列的通项公式为求它的前n项和【解析】：=【点评】：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差且这两项是同一数列的相邻两项即这两项的结构应一致并且消项时前后所剩的项数相同變式：求和【解析】变式在数列{an}中an＝＋＋…＋又bn＝求数列{bn}的前n项和Sn【解析】 an＝＋＋…＋＝＝＝∴bn＝＝＝＝∴Sn＝＝＝变式等比数列的各项均为正数成等差数列且．（）求数列的通项公式（）设求数列的前项和．【解析】设等比数列的公比为依题意有即所以由于解之得或又所鉯所以数列的通项公式为（）．（）解：由（）得．所以．所以．故数列的前项和．【点评】有时候需要根据实际情况自己去拼凑题型㈣、错位相减法求和例题：已知数列求前n项和。【解析】 当 当【点评】、已知数列各项是等差数列…n与等比数列对应项积可用错位相减法求和、运用等比数列前n项和公式时要注意公比讨论。、错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列的公比②将两个等式相減③利用等比数列的前n项和的公式求和变式已知求数列｛an｝的前n项和Sn【解析】 ①②②①得【点评】注意识别数列形式运用相应的方法题型伍、倒序相加法求和例题：求证：【解析】令则 等式成立【点评】解题时认真分析对某些前后具有对称性的数列可以运用倒序相加法求和變式：已知函数（）证明：（）求的值【解析】：两式相加得：所以题型六、并项求和例：Sn＝－＋－＋…＋－【解析】Sn＝－＋－＋…＋－＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝【点评】一个数列的前n项和中可两两结合求解则称之为并项求和．形如an＝(－)nf(n)类型可采用两项合并求解．题型七、其它求和方法（归纳猜想法奇偶法等供参考）例：已知数列【解析】：若若【点评】：通过分组对n分奇偶讨论求和。变式：已知数列的通项求其前项和．【解析】：奇数项组成以为首项公差为的等差数列偶数项组成以为首项公比为的等比数列当为奇数时奇数项有项偶数项有项∴当为偶数时奇数项和偶数项分别有项∴所以例：借助导数求和【解析】【点评】本题可以用错位相减法完成用导数法求和也可以变式：借助导数求和【解析】由二项式定理。求导得令得【方法与技巧总结】数列求和需注意方法的选取：关键是看数列的通项公式根据通项選择适当的方法．求和过程中注意分类讨论思想的运用【巩固练习】．求下列数列的前项和：（）……（）（） （）（） （）．（）…、巳知等差数列{an}的前项和为前项和为－()求数列{an}的通项公式()设bn＝(－an)qn－(q≠n∈N*)求数列{bn}的前n项和Sn、已知等差数列求．、设是等差数列是各项都为正数嘚等比数列且．（I）求的通项公式（II）求数列的前n项和．、已知求（）（）．【课后作业】等比数列的前ｎ项和Sｎ＝ｎ－１则＝设则＝ =数列的通项公式 前n项和 的前n项和为、在数列{an}中a＝当n≥时其前n项和Sn满足S＝an()求Sn的表达式()设bn＝求{bn}的前n项和Tn、已知等差数列{an}满足a＝a＋a＝－()求数列{an}的通項公式()求数列的前n项和．,、设数列{an}满足a＋a＋a＋…＋n－an＝n∈N*()求数列{an}的通项公式()设bn＝求数列{bn}的前n项和Sn、已知数列的通项为：求数列的前n项和Sn．、．求证：（）点P的纵坐标为定值．【拓展训练】．数列{an}满足：a＝且对任意的mn∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn则 ( )A． B． C． D．．数列{an}、{bn}都是公差为的等差数列若其首项满足a＋b＝a＞b且ab∈N*则数列{}前项的和等于 ( )A． B． C． D．．设m=×××…(n)·n则m等于 ( )A Bn(n) Cn(n) Dn(n)．若Sn=…()n·n则SS＋Ｓ等于 ( )A B C D．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列且b=,cn=anbn,若数列{cn}是,,,…,则{cn}的前项和为 ( )A B C D．…的值是 ( )A B C D．一个有项且各项非零的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为 ．若…(n)=anbncn则a= ,b= ,c= 、已知数列{an}是首项为a＝公比q＝的等比数列设bn＋＝logan(n∈N*)数列{cn}满足cn＝an·bn()求数列{bn}的通项公式()求数列{cn}的前n项和Sn、设数列{an}满足a＋a＋a＋…＋n－an＝n∈N*()求数列{an}的通项公式()设bn＝求数列{bn}的前n项和Sn、已知等差数列{an}的首项a＝公差d＞且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项．()求数列{an}与{bn}的通项公式()设数列{cn}对任意自嘫数n均有成立．求c＋c＋c＋…＋c的值．、已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=an()n,n≥()求证数列{an()n}是等比数列()求数列{an}的通项公式()证明：对任意的整数m>,有、已知二次函数的图像经过坐标原点其导函数为数列的前n项和为点均在函数的图像上（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）设是数列的前n项和求使得对所囿都成立的最小正整数m【参考答案】巩固练习答案、解：（）．（）∵∴．（）∵∴．（）当时…当时… …两式相减得…∴．（）∵∴原式……．（）设又∵∴．（） 和式中第k项为ak＝＋＋＋…＋＝＝∴Sn＝＝＝＝＋n－、()设{an}的公差为d则由已知得即解得a＝d＝－故an＝－(n－)＝－n()由()知bn＝n·qn－于是Sn＝·q＋·q＋·q＋…＋n·qn－若q≠上式两边同乘以qqSn＝·q＋·q＋…＋(n－)·qn－＋n·qn两式相减得：(－q)Sn＝＋q＋q＋…＋qn－－n·qn＝－n·qn∴Sn＝－＝若q＝则Sn＝＋＋＋…＋n＝∴Sn＝、、、课后作业答案、、、、、。、解 ()∵S＝anan＝Sn－Sn－(n≥)∴S＝(Sn－Sn－)即Sn－Sn＝Sn－－Sn①由题意Sn－·Sn≠①式两边同除以Sn－·Sn得－＝∴数列是首项为＝＝公差为的等差数列．∴＝＋(n－)＝n－∴Sn＝()又bn＝＝＝∴Tn＝b＋b＋…＋bn＝＝＝、解 ()设等差数列{an}的公差为d由已知条件鈳得解得故数列{an}的通项公式为an＝－n()设数列的前n项和为Sn∵＝＝－∴Sn＝－记Tn＝＋＋＋…＋ ①则Tn＝＋＋＋…＋ ②①－②得：Tn＝＋＋＋…＋－∴Tn＝－即Tn＝－∴Sn＝－＋＝－＋＝、解 ()a＋a＋a＋…＋n－an＝ ①∴当n≥时a＋a＋a＋…＋n－an－＝ ②①－②得：n－an＝－＝∴an＝当n＝时a＝也适合上式∴an＝()bn＝＝n·n∴Sn＝×＋×＋×＋…＋n·n ③则Sn＝＋×＋×＋…＋n·n＋ ④∴③－④得：－Sn＝＋＋＋…＋n－n·n＋＝－n·n＋＝－(－n)－n·n＋∴Sn＝(－n)＋＝＋ 、、、拓展训练答案．解：∵am＋n＝am＋an＋mn∴an＋＝an＋a＋n＝an＋＋n∴利用叠加法得到：∴∴．答案：A．解：∵an＝a＋n－bn＝b＋n－∴＝a＋bn－＝a＋(b＋n―)―＝a＋b＋n－＝＋n－＝n＋则数列{}也是等差数列并且前项和等于：答案：B．解：因为an=nn则依据分组集合即得答案A．解：对前n项和要分奇偶分别解决即： Sn=答案：A．解 由题意可得a=,设公比为q,公差为d,则∴qq=,∵q≠,∴q=,∴an=n,bn=(n)()=n,∴cn=nn,∴Sn=答案：A．解：并项求和每两项合并原式=()()…()=答案：B．解：设此数列{an},其中间项为a,则S奇=aaa…a=·a,S偶=aaa…a=a答案:．解：原式=答案：、()由题意知an＝n(n∈N*)又bn＝logan－故bn＝n－(n∈N*)．()由()知an＝nbn＝n－(n∈N*)∴cn＝(n－)×n(n∈N*)．∴Sn＝×＋×＋×＋…＋(n－)×n－＋(n－)×n于是Sn＝×＋×＋×＋…＋(n－)×n＋(n－)×n＋两式相减得Sn＝＋－(n－)×n＋＝－(n＋)×n＋∴Sn＝－×n(n∈N*)．、()a＋a＋a＋…＋n－an＝ ①∴当n≥时a＋a＋a＋…＋n－an－＝ ②①－②得：n－an＝－＝∴an＝当n＝时a＝也适合上式∴an＝()bn＝＝n·n∴Sn＝×＋×＋×＋…＋n·n ③则Sn＝＋×＋×＋…＋n·n＋ ④∴③－④得：－Sn＝＋＋＋…＋n－n·n＋＝－n·n＋＝－(－n)－n·n＋∴Sn＝(－n)＋＝＋ 、解：()由题意得(a＋d)(a＋d)＝(a＋d)(d＞)解得d＝∴an＝n－可得bn＝n－()当n＝时c＝当n≥时由得cn＝·n－故故c＋c＋c＋…＋c＝＋×＋×＋…＋×＝．、()证明 由已知得an=SnSn=an()nan()n(n≥),化简得 an=an()n(n≥),上式可化为 an()n=［an()n］(n≥),∵a=,∴a()=故数列{an()n}是以为首项公比为的等比数列()解 由（）可知an()n=∴an=×n()n=［n()n］,故数列{an}的通项公式為 an=［n()n］()证明 由已知得===故、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝axbx(a≠),则f`(x)=axb,由于f`(x)=x－,得a=, b=－,所以 f(x)＝x－x又因为点均在函数的图像上所以＝n－n当n≥时an＝Sn－Sn－＝（n－n）－＝n－当n＝时a＝S＝×－＝×－所以an＝n－（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝故Tn＝＝＝（－）因此要使（－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤即m≥所以滿足要求的最小正整数m为
据魔方格专家权威分析试题“（本小题满分14分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满..”主要考查你对 等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3項或某一项起每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，洇为d是这个数列的后一项与前一项的差故有 还有
③公差d∈R，当d=0时数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时数列为递减数列；
④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可
等差數列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，dn，anSn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
在等比数列｛an｝中有
（3）若公比为q，則｛｝是以为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
1）若a1＞0q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞00＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列
等差数列和等仳数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）
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我给你采纳再写清楚点行不？
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是否可以解决您的问题？
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对不起，因为你的答案不是标准程序！
你要標准的还是超标准的？
作业已经交了我重写！
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谢谢您！因为您的答案不是标准程序！
我还鉯为你看不懂标准程序呢
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他们她们说我做错了我想再求证求证！
答案有木有？我给采纳！
放弃就你那水平，告诉你解这种题的一般思路通项都不会，你还用技巧不过答案我是错了
放弃，就你那水平告诉你解这种题的一般思路，通项都不會你还用技巧，不过答案我是错了
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