求矩阵的逆的方法矩阵

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-03-22 00:29 标签： 求矩阵的逆的方法

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若在相同数域上存在另一个n阶矩阵

的逆矩阵，而A则被称为

一个n阶方阵A称为可逆的或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B使得

则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A

（1）验證两个矩阵互为逆矩阵

若矩阵A是可逆的则A的逆矩阵是唯一的。

若B,C都是A的逆矩阵则有

所以B=C，即A的逆矩阵是唯一的

（3）判定简单的矩阵鈈可逆

若矩阵A可逆，则 |A|≠0

  1. 如果矩阵A是可逆的其逆矩阵是唯一的。

  2. A的逆矩阵的逆矩阵还是A记作（A-1）-1=A。

  3. 可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

  4. 若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律即AB=O（或BA=O），则B=OAB=AC（或BA=CA），则B=C

  5. 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

  6. 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵

  1. 逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵

    设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C

  2. 假设B和C均是A的逆矩阵B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，洇此某矩阵的任意两个逆矩阵相等

  3. 由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A因此相等。

  4. 由可逆矩阵的定义可知AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性因此（AT）-1=（A-1）T。

若|A|≠0则矩阵A可逆，且

必要性：当矩阵A可逆则有AA-1=I 。（其中I是单位矩阵）

则det（A）≠0（若等于0则上式等于0）

当det（A）≠0，等式同除以det（A）变成

比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵

逆矩阵求逆矩阵的初等变换法

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵

对B施行初等行变换即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵

故A可逆并且，由右一半可得逆矩阵A

逆矩阵初等变换法计算原理

可逆即A行等价I，即存在

在此式子两端同时右乘A

比较两式可知：对A和I施行完全相同的若干初等行变换，在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同時这些初等行变换也将单位矩阵化为A

以及定理“两个矩阵的乘积的

等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0也就是说，这两个

等于它们的级数（或称为阶也就是说，A与B都是方阵且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只經由初等列变换变为单位矩阵

中元素的排列特点是的第k

  • 同济大学数学系．线性代数：高等教育出版社，2007
  • 王晓峰．线性代数：科学出版社2012：36
  • 同济大学数学系．工程数学线性代数（第六版）：高等数学出版社，

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