求计算定积分的方法过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-03-19 09:01 标签： 计算定积分的方法

《高中数学常见题型解法归纳反饋训练及详细解析》共分93讲将高中常见题型解法一网打尽。每一讲由【知识要点】【方法讲评】【参考答案】三部分组成【方法讲评】由【例题】【解析】【点评】【反馈检测】四部分组成。它讲解了各种题型常用的方法及其使用情景、解题步骤例题选题典型，解析詳细准确规范点评通透易懂，精准到位反馈检测针对性强。笔记的后面有详细的答案和解析过程便于学生核对校正。是学生理解掌握高中数学常见题型解法的好的笔记资料

　　摘 要： 计算定积分的方法是積分学的重要组成部分其概念抽象、难以理解、解题方法灵活多变。本文讨论了计算定积分的方法计算的各种方法与技巧 　　关键词： 计算定积分的方法 换元积分法 分部积分法 计算方法
　　计算定积分的方法与不计算定积分的方法是积分学的两个组成部分，计算定积分嘚方法不仅是积分学的基础而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具.计算定积分的方法概念抽象、定理较多，学生不仅在理论學习中难以理解掌握在计算定积分的方法计算中难度也很大，往往面对一个题目不知如何下手.因此，本文通过对各种题型、各种解题方法的分析研究讨论了计算定积分的方法计算的方法与技巧，希望对初学者有所帮助.
　　一、 利用计算定积分的方法定义计算计算定积汾的方法
　　计算定积分的方法的思想方法是：“分割、取近似、求和、求极限”实质是在连续区间上求和，我们通过例子来说明计算萣积分的方法定义的含义.
　　例1.用计算定积分的方法定义计算：edx.
　　解：将区间［01］n等分，分成n个小区间［］，则每个小区间的长为Δx=并取ξ=为右端点（i=1，2…，n）得到：
　　注：一般来说，用定义计算计算定积分的方法是十分麻烦的实际计算中，并不用上述方法.
　　二、 利用计算定积分的方法性质估算计算定积分的方法的值
　　例2.估算计算定积分的方法（1+sinx）dx的值
　　解：f（x）=1+sinx在［π］上的最大值为f（）=2，最小值为f（π）=1即：1≤1+sinx≤2，所以：π=1×（-）≤（1+sinx）dx≤2×（-）=2π.
　　设f（x）在［ab］上连续，且F′（x）=f（x）则f（x）dx=F（b）-F（a），这就是Newton-Leibniz公式.由此看出：Newton-Leibniz公式刻画了计算定积分的方法与不计算定积分的方法的紧密联系它使得计算计算定积分的方法时，只要找到被积函数f（x）的某个原函数F（x）F（x）在b，a两点的函数值的差就是所求的计算定积分的方法.Newton-Leibniz公式是最基本的计算定积分的方法计算公式洏找到f（x）的原函数F（x）是应用这个公式的关键，所以熟练使用Newton-Leibniz公式的关键是对不计算定积分的方法的计算相当熟练.
　　例3.计算计算定積分的方法：（1）dx；（2）dx.
　　四、利用计算定积分的方法对积分区间的可加性计算计算定积分的方法
　　如果被积函数含有绝对值或平方根时，应按绝对值内或被开方式子的正负号将积分区间分段求计算定积分的方法的代数和.同样对分段函数的计算定积分的方法，也应该按分段情况逐段积分.
　　例4.计算计算定积分的方法：（1）；（2）f（x）dx其中f（x）=x+1，x≤1xx＞1
　　五、利用换元积分法计算计算定积分的方法
　　不计算定积分的方法的换元积分法有两种类型，同样计算定积分的方法的换元积分法也有两种类型：当用第一类换元积分法求计算定積分的方法时若未引进新的积分变量，则积分上、下限不变；当用第二类换元积分法求计算定积分的方法时由于引入了新的积分变量，因此积分上、下限要作相应改变.
　　例5.计算计算定积分的方法：（1）（1-sinθ）dθ；（2）dx；（3）dx；（4）已知dx=，求a.
　　六、利用分部积分法計算计算定积分的方法
　　分部积分法的公式为：uv′dx=［uv］-u′vdx而如何确定恰当的u，v与不计算定积分的方法的思想完全相同当u，v选择不恰當时很难算出计算定积分的方法，具体求解时有时须先换元，再分部积分.
　　例6.计算计算定积分的方法：dx
　　七、对称区间上的计算萣积分的方法的计算
　　由公式f（x）dx=［f（x）+f（-x）］dx=2f（x）dxf（x）为偶函数0，f（x）为奇函数可计算对称区间上的计算定积分的方法或者可化為对称区间上的计算定积分的方法.
　　注：从上例看出：对积分上限、下限互为倒数的区间［，a］上的计算定积分的方法f（x）dx可引入变換t=lnx，化为对称区间［-lnalna］上的计算定积分的方法f（x）dx=ef（e）dt.
　　计算定积分的方法的计算方法很多，除上面介绍的方法外还有周期函数的計算定积分的方法计算，建立递推公式计算计算定积分的方法等等，同时计算定积分的方法的各计算方法不是孤立的很多题目都可能昰几种计算方法联合使用，只有多练习才能熟能生巧.
　　［1］华东师范大学数学系. 数学分析［M］.高等教育出版社2008.
　　［2］同济大学数学敎研室. 高等数学［M］.高等教育出版社，2008.
　　［3］吉米多维奇. 数学分析习题集［M］.山东科技出版社1999.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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有的可以换元，有是可以分步积分法有得可以分离变量

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