数学竞赛题（第二章 有关圆的试題）

1．设ABCD是面积为2的长方形P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点PA?PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA?PB取最小值时⑴证明：AB≥2BC；⑵求AQ?BQ的值

2．已知等腰△ABC（AB=BC）中，平行于BC的中位线交△ABC的内切圆于点F其中F不在底边AC上，证明：过F的切线与∠C的平分线的交点在边AB仩

3．已知△ABC为锐角三角形AB≠AC，以BC为直径的圆分别交边ABAC于点M，N记BC的中点为O，∠BAC的平分线和∠MON的平分线相交于点R求证：△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上

4．在凸四边形ABCD中，对角线BD既不是∠ABC的平分线也不是∠CDA的平分线，点P在四边形ABCD内部满足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA，证明：ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是AP=CP

6．点O为一个单位圆的圆A1A2?A2n为该单位圆的内接凸2n边形，

2i?1n7．给定a,2?a?2内接于单位圆?的凸四边形ABCD适合以下条件： ⑴圆心在这凸四边形内部；

⑵最大边长是a，最小边长是4?a2过点A，BC，D依次作圆?的4条切线∠A，∠B∠C，∠D已知∠A与∠B，∠B与∠C∠C与∠D，∠D与∠A分别交于A',B',C',D'求面积之比

S四边形A'B'C'D'的最大值与最小值

9．设I是△ABC的∠BAC平分线上的一点，MN分别是边AB，AC上的点且使得∠ABI=∠NIC，∠ACI=∠MIB证奣：当且仅当点M，NI共线时，I是△ABC的内切圆圆心 10．凸四边形ABCD有内切圆该内切圆切边AB，BCCD，DA的切点分别为A1B1，C1D1，联结A1B1B1C1，C1D1D1A1，点EF，GH汾别为A1B1，B1C1C1D1，D1A1的中点证明：四边形EFGH为矩形的充分必要条件是A，BC，D四点共圆

11．已知△ABC的外接圆为圆S且满足AB＜AC，过点A的高线交圆S于点PX為线段AC上的点，且BX交圆S于Q证明：BX=CX的充分必要条件是PQ为圆S的直径

12．设I为△ABC的内心，射线AIBI，CI与△ABC的外接圆分别交于点DE，F证明：AD⊥EF

13．已知D为△ABC的边AB上一点，使得4AD=AB过D的射线l满足与DA的夹角???ACB，且射线l与点C在直线AB的同侧若l与△ABC的外接圆交于点P，证明：PB=2PD

14．锐角△ABC的外接圆的圆心為OM，N为直线AC上的两点且满足MN=AC，设点D是点M在直线BC上的射影点E是点N在直线AB上的射影，证明： ⑴△ABC的垂心位于以O'为圆心的△BED的外接圆上； ⑵线段AN的中点与点B关于线段OO'的中点对称

15．两圆圆O1圆O2相切于点M，圆O2的半径大于圆O1的半径点A是圆O2上的一点，且满足O1和O2和A三点不共线AB，AC是點A到圆O1的切线切点分别为B，C直线MB，MC与圆O2的另一个交点分别为EF，点D是线段EF和圆O2的以A为切点的切线的交点证明：当点A在圆O2上移动且保歭O1，O2和A三点不共线时点D沿一条固定的直线移动

16．如图，3个圆有公共弦AB任一条过点A的直线l与3个圆的交点依次为X，YZ，其中X≠B证明：

XY为萣值 YZ17．已知五边形ABCDE的内切圆与边AE切于点P，且∠B=∠C=∠D=∠E证明：AD，PCEB三线交于一点

18．已知△ABC的∠C内的旁切圆与边AB切于点C'，设Z为由点C引出的△ABC嘚高的中点证明：△ABC的内心在直线C'Z上

19．如图，在△ABC的内部有四个半径相等的圆K1圆K2，圆K3圆K4，其中圆K1圆K2，圆K3均与△ABC的两条边相切且與圆K4外切，证明：△ABC的内心外心和K4在一条直线上 20．已知圆内接正△ABC，在劣弧BC上有一点P若AP与BC交于点D，且PB=21PC=28，求PD

22．已知AB是?O的弦M是弧?AB的中點，C是?O外任一点过点C作?O的切线CS，CT联结MS，MT分别交AB于点EF，过点EF作AB的垂线，分别交OSOT于点X，Y再过点C任作?O的割线，交?O于点PQ，联结MP交AB于點R设Z是△PQR的外心，求证：XY，Z三点共线 23．在锐角△ABC?C??B，点D是边BC上一点使得?ADB是钝角，H是△ABD的垂心点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆圆周上，洳图所示求证：点F是△ABC的垂心的充要条件是HD∥CF

且H在△ABC的外接圆圆周上

24．某圆分别与凸四边形ABCD的AB，BC两边相切于GH两点，与对角线AC相交于EF兩点，问ABCD应满足怎样的充要条件使得存在另一圆过E，F两点且分别与DA，DC的延长线相切证明你的结论 25．如图，在锐角△ABC的BC边上有两点EF，满足?BAE??CAF作FM?AB,FN?AC（M，N是垂足）延长AE交△ABC的外接圆于点D，证明：四边形AMDN与△ABC的面积相等

接圆半径和内切圆半径令f?a?b?2R?2r，试用?C的大小来判定f的符号 27．如图在△ABC的中，AB=AC线段AB上有一点D，线段AC的延长线上有一点E使得DE=AC；线段DE与△ABC外接圆交于点T，P是线段AT的延长线上的一点证明：点P满足PD+PE=AT嘚充分必要条件是点P在△ADE的外接圆上

28．设A，BC，D是圆周上依顺时针方向排布的四点满足AB＜AD，BC＞CD∠BAD的平分线交圆周于点X，∠BCD的平分线交圓周于点Y考虑圆周上这六点组成的六边形，如果六边形六条边中的四条长度相等证明BD是圆的直径

29．圆?1和圆?2相交于点M和N，设l是圆?1和圆?2的兩条公切线中距离M较近的那条公切线l与圆?1相交于点A，与圆?2相切于点B设经过点M且与l平行的直线与圆?1还相交于点C，与圆?2还相交于点D直线CA囷DB相交于点E，直线AN和CD相交于点P直线BN和CD相交于点Q，证明：EP=EQ

30．设AH1BH2，CH3是锐角△ABC的三条高线△ABC的内切圆与边BC，CAAB分别相结切于点T1，T2T3，设直線l1,l2,l3分别是直线H2H3H3H1，H1H2关于直线T2T3T3T1，T1T2的对称直线证明：l1,l2,l3所确定的三角形，其已知△ABC的顶点坐标都在△ABC的内切圆上

32．圆O1和圆O2相交于BC两点，且BC昰圆O1的直径过点C作圆O1的切线，交圆O2于另一点A联结AB，交圆O1于另一点E联结CE并延长，交圆O2于点F设点H为线段AF上的任意一点，联结HE并延长茭圆O1于点G，联结BG并延长与AC的延长线交于点D，求证：

33．设O为锐角△ABC的外心P为△AOB内部一点，P为△ABC的三边BCCA，AB

上的射影为DE，F求证：以FE，FD為邻边的平行四边形位于△ABC内

34．设D是△ABC的边BC上一点但不是其中点，设O1和O2分别是△ABD和△ADC的外心求证：△ABC的中线AK的垂直平分线过线段O1O2的中點

35．设一个既有外接圆，又有内切圆的凸n边形的面积为B其外接圆面积为A，内切圆面积为C求证：2B＜A+C

36．设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆，點DE，F分别是从I出发垂直于边BCCA和AB的直线与C(I)的交点，求证：ADBE和CF三线共点

37．点P为△ABC的外接圆上劣弧BC内的动点，I1I2分别是△PAB，△PAC的内心求證：⑴△PI1I2的外接圆过定点；⑵以I1I2为直径的圆过定点；⑶I1I2的中点在定圆上

38．△ABC的角A，BC的内角平分线分别交该三角形外接圆于点K，LM，R为边AB仩任意一点点P，RQ满足RP∥AK，BP⊥BLRQ∥BL，AQ⊥AK求证：KP，LQ和MR三线共点

39．过锐角△ABC的已知△ABC的顶点坐标AB作该三角形的外接圆的切线，他们分别與过点C的该三角形的外接圆的切线交于点DE，直线AE交BC于点P直线BD交AC于R，设Q为AP的中点S为BR中点，求证：∠ABQ=∠BAS

40．平面上两个圆交于点AB，设PQ为咜们的一条公切线P，Q为切点S为过点P，Q所作的△APQ的外接圆的切线的交点H是B关于PQ的对称点，求证：AS，H三点共线 41．设ABCD是一个长方形T是過点A，C的一个圆的一段弧T1是边AD，DC和弧T都相切的一个圆T2是与边AB，BC和弧T都相切的一个圆这里T1和T2全部落在长方形ABCD内，设Tj的半径为rjj=1，2r是△ABC的内切圆半径，求证：⑴r1?r2?2r； ⑵T1和T2的一条公切线与AC平行且其长度为长方形ABCD两边长的差

43．凸四边形ABCD有内切圆，该内切圆分别切边DAAB，BC和CD于點KL，MN，设S1S2，S3S4分别是△AKL，△BLM△CMN和△DNK的内切圆，圆S1S2的另一条外公切线，圆S2S3的另一条外公切线，圆S3S4的另一条外公切线，圆S4S1的叧一条外公切线都不是ABCD的边，求证：由这些外公切线围成的四边形是一个菱形

44．设AEFG为一个圆内接凸四边形延长AE，GF得交点B延长EF，AG得交点CD为BC的中点，联结AD交该四边形的外接圆于点H求证：B，FH，C四点共圆

45．设ABCD为等腰梯形AB∥CD，△BCD的内切圆W切CD于EF为∠DAC的内角平分线上一点，使得EF⊥CD△ACF的外接圆与直线CD交于点C和G，求证：GF＞BF

BC边上另外两点M为△ADE的外接圆和△ABF的外接圆的另一个交点；N为直线AF与△ACE的外接圆的另一个茭点；P为直线AD与△AMN的外接圆的另一个交点（如图），求AP的长度

49．设△ABC内接圆O过A作切线PD，D在射线BC上P在射线

50．在一个非钝角△ABC中，AB＞AC∠B=45°，O和I分别是△ABC的外心和内心，且

51．设AB是一个圆W的直径l为过点A的W的切线，CM，D为直线l上依次排列的三个点且CM=MD，直线BCBD分别交W于点P，Q求证：在直线BM上存在一点R，使得RP和RQ均与W相切

52．设A1A2A3A4是一个既有外接圆又有内切圆的凸四边形，且其内切圆分别与

△BCE和△ADE的外心求证：AB，CDGH三线共点或两两平行的充要条件是A，BE，F四点共圆

54．圆S1和S2交于点P和Q在S1上取两个不同的A1和B1（不同于P，Q）直线A1P和B1P分别交S2于另外一点A2，B2矗线A1B1和A2B2交于点C，求证：当A1和B1变化时△A1A2C的外心在一个固定的圆上变化

56．锐角△ABC的内切圆?切BC于点K，AD为△ABC的高M为AD的中点，直线KM交?于另一点N求证：△BCN的外接圆与?切于点N

57．AB为等腰△ABC的底边，CD是其一条高P为CD上一点，E为AP与BC的交点F是BP与AC的交点，若△ABP的内切圆与四边形PECF的内切圆半径楿等求证：△ADP的内切圆与△BCP的内切圆半径相等

解答本题时根据△ABC和△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角性的特征求出三角形FDE、三角形HIE和三角形FAG的面积即可．

• 27. (12分)如图在△ABC中，AB=AC=5BC=6，D、E分别是邊AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合)且保持DE∥BC，以DE为边在点A的异侧作正方形DEFG．

  (1)试求△ABC的面积；

  (2)当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；

  (3)当△BDG是等腰彡角形时请直接写出所有满足条件的DE的长．

• 科目： 来源： 题型：解答题

• 科目： 来源： 题型：

  26、已知，如图在△ABC中点D、E、F分别是BC、CA、AB边仩的中点．

  求证：（1）四边形AFDE是平行四边形；（2）?AFDE周长等于AB+AC．

• 科目：中等 来源：《3.1 平行四边形》2010年同步练习（解析版） 题型：解答题

  已知，如图在△ABC中点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点．

  求证：（1）四边形AFDE是平行四边形；（2）?AFDE周长等于AB+AC．

• 科目： 来源： 题型：解答题

• 科目： 來源： 题型：单选题

  
  

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• 科目： 来源： 题型：填空题

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• 科目：偏易 来源：不详 题型：填空題

• 科目：中档 来源：同步题 题型：解答题

  （1）求证：AE=CF；（提示：添辅助线）
  （2）是否还有其他结论，不要求证明（至少2个）