首先介绍一下包括向量组的朗斯基行列式(Wronskian)、矩阵的范数、矩阵指数等定义的描述及性质的定义

a≤t≤b上的向量函数

${}_{}\begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\\ \\ {}_{}\end{array}<msub></msub>\; <mrow>\; <mtable>\; <mtr>\; <mtd>\; <mstyle>\; <mrow>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; </mrow>\; </mstyle>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mstyle>\; <mrow>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; </mrow>\; </mstyle>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mstyle></mstyle>\; </mtd>\; </mtr>\; <mtr>\; <mtd>\; <mstyle>\; <mrow>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; </mrow>\; </mstyle>\; </mtd>\; </mtr>\; </mtable>\; </mrow>$n个向量函数构成的行列式

${}_{}{}_{}<msub></msub>\begin{array}{cccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ {}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ & & & \\ {}_{}& {}_{}& & {}_{}\end{array}$

n维向量, 这是容易验证下面两个性质:

$\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}$1.∣∣AB∣∣∣∣Ax∣∣?≤∣∣A∣∣?∣∣B∣∣≤∣∣A∣∣?∣∣x∣∣?$\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}$2.∣∣A+B∣∣∣∣x+y∣∣?≤∣∣A∣∣+∣∣B∣∣≤∣∣x∣∣+∣∣y∣∣?

n×n常数矩阵, 我们定义矩阵指数$$expA为下面的矩阵级数的和

$\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}$m次幂. 这裏我们规定$0^{}0$

1. 0 ∵∣∣k!Ak?∣∣≤k!∣∣Ak∣∣?∴expA=∑k=0∞?k!Ak?≤∑k=1∞?k!∣∣Ak∣∣?=n?1+e∣∣A∣∣,即级数收敛

2. 0 t的任何有限区间上是一致收敛的.
   

   $\frac{{}^{}{}^{}}{}\frac{{}^{}{}^{}}{}\frac{{}^{}{}^{}}{}$∑k=0∞?k!∣∣A∣∣kck?是收敛的, 0

3. A,B是可交换的, 即$$

一种常见的一阶常微分方程如

$\begin{array}{}& \frac{}{}\end{array}$$$

首先将变量进行分离，即将等号两侧变量进行统一

$\frac{}{}$

$\frac{}{}$f(x)的某个原函数，而$$c则使得这两个原函数有意义

最后通过求解原函数即可求得变量分离方程的通解。

$\stackrel{}{}$c~是任意常数由对数定义，即有

现在讨论线性微分方程组

$\begin{array}{}& {}^{}\end{array}$

0 f(t)??≡0，则称上式为非齐线性的,如果$0$f(t)≡0则方程嘚形式为$\begin{array}{}& {}^{}\end{array}$x′=A(t)x(5)则称上式为齐线性的.，通常称${}^{}$

齐线性微分方程组的性质

n个线性无关的解则式(5)的任一解$$

${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$c1?,c2?,?,cn?是相应的确定常数 0

$\begin{array}{}& 0_{}{}_{}{}_{}{0}_{}{}_{}{}_{}{0}_{}{}_{}{}_{}{0}_{}\end{array}$c1?,c2?,?,cn?为未知量的线性代数方程组，该方程组的系数行列式就是$0_{}$W(t0?)??=0根据线性代数方程组的性质，方程组(6)有唯一解${}_{}{}_{}<msub></msub>$c1?,c2?,?,cn?构成向量函数${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$

$\begin{array}{}& 0_{}{}_{}{}_{}{0}_{}{}_{}{}_{}{0}_{}{}_{}{}_{}{0}_{}\end{array}$

n×n矩陣的每一列都是式(5)的解,我们称这个矩阵为式(5)的解矩阵. 如果其所有列在$$a≤t≤b上是线性无关的, 则称其为式(5)的基解矩阵.

基解矩阵具有如下性质:

1. Φ(t)為式(5)的基解矩阵, 那么式(5)的任一解$$

2. Φ(t)是基解矩阵的充要条件是 $0$

接下来讨论非齐线性微分方程组的性质及求解

非齐线性微分方程组的性质

Φ(t)是式5的基解矩阵, $\stackrel{}{}$φˉ?(t)是式(4)的某一解, 则式(4)的任一解$$