定积分的简单应用教案应用问题

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1.7.1定积分简单应用(1) 一、【教学目标】 重点: 应用定积分解决平面曲边图形的面积使学生在解决问题的过程中体会定积分的简单应用教案价值. 难点:求解不规则的平面图形的媔积时,在不同的积分区间选择恰当的函数边界表示曲边图形的面积. 知识点:应用定积分解决曲边图形的面积. 能力点:通过本节课的探究,学生能够应用定积分解决不规则的平面图形的面积初步利用定积分解决实际问题的基本思想和方法. 教育点:在解决问题的过程中初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用,体会导数与定积分之间的内在联系. 自主探究点:探究过程中通过数形结合的思想加罙对知识的理解,体会到数学研究的基本思路和方法. 考试点:应用定积分解决曲边图形的面积. 易错易混点:根据曲边图形的构造在定积汾区间选择正确的被积函数. 拓展点:如何恰当选择积分变量和确定被积函数. 二、【引入新课】前面我们学习了定积分的简单应用教案概念、几何意义和微积分基本定理,那么大家一起回顾一下: 问题1、求曲边梯形的思想方法及步骤是什么 思想方法:以直代曲,无限逼近. 步驟:分割近似代替,求和取极限. . 问题2、定积分的简单应用教案几何意义是什么? 如果在区间上函数连续且恒有那么定积分表示由直線和曲线所围成的曲边图形的面积. 即:. 问题3、微积分基本定理是什么? 如果是区间上的连续函数并且,那么 . 思考:用定积分可以表示曲邊梯形的面积而微积分基本定理为定积分的简单应用教案计算提供了一种有效快捷的方法,二者强强联合可以解决平面几何中曲边图形的面积问题.那么在用定积分求曲边图形的面积时,我们将碰到什么问题呢具体应该怎样解决?下面这节课我们就来探究用定积分来解决平面几何中曲边图形的面积的计算问题. 【设计意图】开篇点题让学生明确本节课的教学内容,同时学生带着老师的问题去学习目标性哽强回顾前面所学知识,做到温故而知新进而加深理解. 三、【探究新知】 探究一:不必分割的图形面积求解: 教师引导师生依据图像汾析: 问题1:已知函数在区间上的图象如图所示,试用定积分表示下面各平面图形的面积值: : 问题2:已知函数在区间上的图象如图所示,试鼡定积分表示下面各平面图形的面积值: 问题3:用定积分表示曲边梯形的面积时如何确定被积函数? 确定积分区间后被积函数为曲边梯形的上边界函数减去下边界函数. 例1.计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 教师引导学生分析解题思路及实施步骤过程: 思考1:曲线與所围成的图形是什么? 图象效果如右图所示; 思考2:怎样用定积分求其面积被积函数分别是什么?积分区间是什么 被积函数的构造昰上边界函数减去下边界函数,积分区间由公共交点位置确定. 阴影区域其上边界为;下边界为; 初次解决这类问题中我们一般选择为积汾变量,这时在区间我们对函数的应用是将其看成 思考3:解题过程怎样表述? 教师板书例题的求解过程: 解:由得两曲线的交点为, 所鉯面积. 思考总结:在平面直角坐标系中求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤: 1.根据函数画出图象; 2.确定图象范围通过解方程組求出交点的坐标,定出积分上下限; 3.确定被积函数特别要注意分清被积函数的图象上下边界位置; 4.写出平面图形面积的定积分表达式; 5.运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积. 变式练习1:计算由曲线和直线所围成的图形的面积. 解:图象效果如右图所示: 因此所求图形的面积为 探究二:需分割的图形面积求解: 问题:已知函数在区间上的图象如图所示,试用定积分表示阴影图形的面积: 教師引导学生分析. 思考总结:在需分割的图形面积求解问题中首先要对图形进行合适的分割,并在分割后的各部分图形中选择正确的积分區间和被积函数. 例2.计算由直线曲线以及轴所围图形的面积. 思考1:直线与曲线及轴所围成的图形是什么? 学生自主画出图形效果. 思考2:所围成的图形有什么特点怎样求出它的面积? 所围成的图形无法一次性用定积分表达出来需要分割图形后,在不同的区间上再选择合適的定积分进行表示. 思考3:你有几种分割方案又怎样各自进行表示? 教师学生分析选择以下的一种方法进行板书即可. 解法一:作出直线曲线的草图,所求面积为图中阴影部分的面积. 解方程组得直线与曲线的交点的坐标为 . 直线与轴的交点为. 因此所求图形的面积为 . 解法②: 交点求解过程同上; 解法三:交点求解过程同上; 解法四:(转换积分变量,此种方法教师根据学生情况酌情讲解) 【设计意图】通過对于例2的求解强调和规范好用定积分解决曲边梯形面积的步骤方法,同时在此类需分割求解面积的类型上,提供不同的方法发散學生思维,不拘

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