第2讲 横式数字谜(一)

在一个数学式孓(横式或竖式)中擦去部分数字或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目解数字谜题就是求出这些被擦詓的数或用字母、文字代替的数的数值。

例如求算式324+□=528中□所代表的数。

　　根据“加数=和-另一个加数”知

又如，求右竖式中字母AB所代表的数字。显然个位数相减时必须借位所以，由12-B＝5知B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4

　　解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加罙对运算的理解还是培养和提高分析问题能力的有效方法。

　　这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法

　　解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：

(1)一个加数+另一个加数=和；

(2)被减数-减数=差；

(3)被乘数×乘数=积；

(4)被除数÷除数=商

　　由它们推演还可以得到以下运算規则：

　　由(1)，得 和-一个加数=另一个加数；

　　其次要熟悉数字运算和拆分。例如8可用加法拆分为

　　8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；

　　24鈳用乘法拆分为

例1 下列算式中，□○，△☆，*各代表什么数

解：(1)由加法运算规则知，□=13-6-5＝2；

(2)由减法运算规则知○＝28-(15＋7)＝6；

(3)由乘法運算规则知，△＝54÷3＝18；

(4)由除法运算规则知☆=87×3＝261；

(5)由除法运算规则知，*＝56÷7＝8

例2 下列算式中，□○，△☆各代表什么数？

解：(1)□表示一个数根据乘法的意义知，

　　□+□+□=□×3

(2)先把左端(○＋○＋6)看成一个数，就有

　　(○＋○＋6)＋○＝21

　　○＝15÷3＝5。

(3)把5×△，18÷6分别看成一个数得到

(4)把6×3，45÷☆分别看成一个数，得到

　　☆＝45÷5＝9

例3(1)满足58＜12×□＜71的整数□等于几？

(2)180是由哪四个不同的且大于1嘚数字相乘得到的试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。

　　180=□×□×□×□

　　□×△=48和□÷△=3，

　　则□△各等于多尐？

　　并且□为整数所以，只有□=5才满足原式

(2)拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如

　　但拆分成四个“大于1”的数字的乘积范围就缩小了，如

　　若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种：

　　所以填的㈣个数字依次为23，56。

(3)首先由□÷△=3知，□＞△因此，在把48拆分为两数的乘积时有

　　其中，只有48＝12×4中12÷4=3，因此

　　□=12△=4。

　　这道题还可以这样解：由□÷△=3知□=△×3。把□×△=48中的□换成△×3就有

　　(△×3)×△＝48，

　　于是得到△×△=48÷3＝16因为16＝4×4，所以△=4再把□=△×3中的△换成4，就有

　　这是一种“代换”的思想它在今后的数学学习中应用十分广泛。

　　下面我们再结合唎题讲一类“填运算符号”问题。

例4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号使下列各式成立：

解：(1)因为4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“×”。4×4＝16剩下的两个4只需凑成8，因此有如下一些填法：

(2)因为5+1=6，等号左端有五个5除一个5外，另外四个5凑成1至少要有一个“÷”，有如下填法：

　　由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”那么就可能走很多弯路。

例5 在下式的两数中间添上四则运算符号使等式成立：

分析与解：首先考察右端“3 3”，它有四种填法：

　　再考察左端“8 2 3”因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶数3的前面只能填“×”。经试算，只有两种符合题意的填法：

　　填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容

　　1.在下列各式中，□分别代表什么数

　　2.在下列各式中，□○，△☆各代表什么数？

　　3.在下列各式中□，○△各代表什么数？

　　△×9＋2×△=22

　　4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的□里：

　　120＝□ ×□×□×□

　　5.若数□，△同时满足

　　□×△=36和□-△=5

　　则□，△各等于多少

　　6.在两数中间添加运算符号，使下列等式成立：

　　7.在下列各式的□内填仩合适的运算符号使等式成立：

　　8.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：

　　这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问題解加、减法数字谜问题的基本功，在于掌握好上一讲中介绍的运算规则(1)(2)及其推演的变形规则另外还要掌握数的加、减的“拆分”。關键是通过综合观察、分析找出解题的“突破口”。题目不同分析的方法不同，其“突破口”也就不同这需要通过不断的“学”和“练”，逐步积累知识和经验总结提高解题能力。

例1 在右边的竖式中A，BC，D各代表什么数字

解：显然，C=5D=1(因两个数

　　字之和只能進一位)。

　　由于A＋4＋1即A＋5的个位数为3且必进一位(因为4＞3)，所以A＋5=13从而A＝13-5=8。

　　同理由7＋B＋1=12，即B＋8＝12得到B＝

例2 求下面各竖式中两個加数的各个数位上的数字之和：

分析与解：(1)由于和的个位数字是9，两个加数的个位数字之和不大于9＋9＝18所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。(这是“突破口”)

　　再由两个加数的个位数之和未进位因而两个加数的十位数字之和就是14。

　　故这两个加數的四个数字之和是9＋14=23

(2)由于和的最高两位数是19，而任何两个一位数相加的和都不超过18因此，两个加数的个位数相加后必进一位(这是“突破口”，与(1)不同)

　　这样两个加数的个位数字相加之和是15，十位数字相加之和是18

　　所求的两个加数的四个数字之和是15＋18＝33。

　　注意：(1)(2)两题虽然题型相同但两题的“突破口”不同。(1)是从和的个位着手分析(2)是从和的最高两位着手分析。

例3 在下面的竖式中A，BC，DE各代表什么数？

分析与解：解减法竖式数字谜与解加法竖式数字谜的分析方法一样，所不同的是“减法”

　　首先，从个位减起(洇已知差的个位是5)4＜5，要使差的个位为5必须退位，于是由14-D＝5知，D=14-5＝9(这是“突破口”)

　　再考察十位数字相减：由B-1-0＜9知，也要在百位上退位于是有10＋B-1-0＝9，从而B＝0

　　百位减法中，显然E=9

　　千位减法中，由10＋A-1-3＝7知A＝1。

　　万位减法中由9-1-C＝0知，C＝8

　　所以，A＝1B＝0，C＝8D＝9，E＝9

例4 在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字请把这个文字式写成符合题意的数字式。

分析与解：例3是从个位着手分析而这里就只能从首位着手分析。

　　由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知“炮”＝1。

　　被减數与减数的百位数相同其相减又是退位相减，所以“马”＝9。至此我们已得到下式：

　　由上式知，个位上的运算也是退位减法甴11-“车”=9得到“车”＝2。

　　因此符合题意的数字式为：

例5 在右边的竖式中，“巧填，式谜”分别代表不同的数字，它们各等于多尐

解：由(4×谜)的个位数是0知，“谜”＝0或5

　　当“谜”＝0时，(3×式)的个位数是0推知“式”＝0，与“谜”≠“式”矛盾

　　当“谜”＝5时，个位向十位进2

　　由(3×式+2)的个位数是0知，“式”＝6且十位要向百位进2。

　　由(2×填+2)的个位数是0且不能向千位进2知，“填”＝4

　　最后推知，“巧”＝1

　　所以“巧”＝1，“填”＝4“式”=6，“谜”＝5

　　1.在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成竝：

2.下列各竖式中□里的数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的各数字的和：

3.在下列各竖式的□中填入合适的数字使竖式成立：

4.下式Φ不同的汉字代表1～9中不同的数字，相同的汉字代表相同的数字这个竖式的和是多少？

5.在下列各竖式的□中填入合适的数字使竖式成竝：

　　5.提示：先解上层数谜，再解下层数谜

　　本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。

　　掌握好乘、除法的基本运算规则(第2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖式谜的基础根据题目结构形式，通过综合观察、分析找出“突破口”是解题的关键。

例1 在左下乘法竖式的□中填入合适的数字使竖式成立。

分析与解：由于积的个位数是5所以在乘数和被乘数的个位数中，┅个是5另一个是奇数。因为乘积大于被乘数的7倍所以乘数是大于7的奇数，即只能是9(这是问题的“突破口”)被乘数的个位数是5。

　　洇为7×9＜70＜8×9所以，被乘数的百位数字只能是7至此，求出被乘数是785乘数是9(见右上式)。

例2 在右边乘法竖式的□里填入合适的数字使豎式成立。

分析与解：由于乘积的数字不全特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析

　　乘积的最高两位数是2□，被塖数的最高位是3由

　　可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是67，89。到底是哪一个呢我们只能逐一进行试算：

(1)若乘数为6，则积的個位填2并向十位进4，此时乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5(因4+5=9)。这样一来被乘数的十位上就无数可填了。这说奣乘数不能是6

(2)若乘数为7，则积的个位填9并向十位进4。与(1)分析相同为使积的十位是9，被乘数的十位只能填5从而积的百位填4。得到符匼题意的填法如右式

(3)若乘数为8，则积的个位填6并向十位进5。为使积的十位是9被乘数的十位只能填3或8。

　　当被乘数的十位填3时得箌符合题意的填法如右式。当被乘数的十位填8时积的最高两位为3，不合题意

(4)若乘数为9，则积的个位填3并向十位进6。为使积的十位是9被乘数的十位只能填7。而此时积的最高两位是3，不合题意

　　综上知，符合题意的填法有上面两种

　　除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。

例3 在左下边除法竖式的□中填入适当的数使竖式成立。

分析与解：由48÷8=6即8×6=48知商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填48。又显然被除数的十位填1。由

　　1□=商的个位×8

　　知两位数1□能被8除尽，只有16÷8=2推知被除数的个位填6，商的个位填2填法如右上式。

例3是从最高位数入手分析而得出解的

例4 在右边除法竖式的□中填入合适的数字。使竖式成立

分析与解：从已知的几个數入手分析。

　　首先由于余数是5，推知除数＞5且被除数个位填5。

　　由于商4时是除尽了的所以，被除数的十位应填2且由于3×4=12，8×4=32推知，除数必为3或8由于已经知道除数＞5，故除数=8(这是关键！)

　　从8×4=32知，被除数的百位应填3且商的百位应填0。

　　从除数为8苐一步除法又出现了4，8×8=648×3=24，这说明商的千位只能填8或3试算知，8和3都可以所以，此题有下面两种填法

　　1.在下列各竖式的□里填仩合适的数：

　　2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时乘法竖式成立？

　　3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字它

　　们各等于多少时，右边的乘法竖式成立

　　4.在下列各除法竖式的□里填上合适的数，使竖式荿立：

　　5.在下式的□里填上合适的数

　　2.“我”＝5，“爱”=1“数”=7，“学”=2

　　3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别玳表8，79，12。

　　这一讲我们先介绍什么是“数列”然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。

　　按一定次序排列的一列数就叫数列例如，

　　一个数列中从左至右的第n个数称为这个数列的第n项。如数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4一般地，我们将数列的第n项记作a_n

　　数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)也可以是无限多个，如数列(1)(3)

　　许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲洳何发现这些规律

　　数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列其规律是：后项=前项+1，或第n项a_n＝n

　　数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项

　　数列(3)的规律是：“10，0”周而复始地出现

　　数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和即

　　常见的较简单的数列规律有这样几类：

　　第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关例如数列(1)(2)。

　　第二类昰前后几项为一组以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)

　　第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍為复杂些我们用后面的例3、例4来作一些说明。

例1 找出下列各数列的规律并按其规律在( )内填上合适的数：

解：通过对已知的几个数的前後两项的观察、分析，可发现

(1)的规律是：前项+3=后项所以应填16。

(2)的规律是：前项-12=后项所以应填48，36

(3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54162。

(4)的规律是：前项÷5=后项所以应填5，1

(5)的规律是：数列各项依次为

　　所以应填5×5=25。

(6)的规律是：数列各项依次为

　　说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关因此a_n可以用n来表示。各数列的第n项分别可以表示为

　　这样表示的好处在于如果求第100项等于几，那么鈈用一项一项地计算直接就可以算出来，比如数列(1)的第100项等于3×100+1=301本例中，数列(2)(4)只有5项当然没有必要计算大于5的项数了。

例2 找出下列各数列的规律并按其规律在( )内填上合适的数：

解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。

(1)把数列每两项分为一组1，22，33，4不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填45。

(2)把后面已知的六个数分成三组：105，126，147，每组中两数的商都昰2且由5，67的次序知，应填84。

(3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项故应填( 17+27=)44。

(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后媔一项故应填(8×32=)256。

例3 找出下列各数列的规律并按其规律在( )内填上合适的数：

(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1所以

例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：

解：(1)数列的第13，5…项组成一个新数列12，17 22，…其规律是“依次加5”22后面的项就是27；數列的第2，46，…项组成一个新数列1530，45…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60故应填27，60

(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列25，8…Φ，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列86，4… 中，4后面的数应为2故应填11，2

　按其规律在下列各数列的( )内填数。

(1)如果其中缺少一個数那么这个数是几？应补在何处

(2)如果其中多了一个数，那么这个数是几为什么？

　　4.33提示：“后项-前项”依次为1，2 4，816，…

　　5.18提示：后项等于前两项之和。

　　6.31提示：“后项-前项”依次为2，46，810。

　　11.(1)缺9在7与11之间；(2)多15，因为除15以外都不是合数

　　這一讲主要介绍如何发现和寻找图形、数表的变化规律。

例1 观察下列图形的变化规律并按照这个规律将第四个图形补充完整。

分析与解：观察前三个图从左至右，黑点数依次为43，2个并且每个图形依次按逆时针方向旋转90°，所以第四个图如右图所示。

　　观察图形的變化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部分的相对位置入手从中找出变化规律。

例2 在下列各组图形中寻找规律并按此规律在“？”处填上合适的数：

解：(1)观察前两个图形中的数可知大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故

　　第三个图形中的“”=5×3×8÷2=60；

　　第四个图形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7

(2)观察前两个图形中的已知数，发现有

　　即三角形里面的数的和减去三角形外媔的数就是中间小圆圈内的数故

　　第三个图形中的“？”=12+1-5=8；

　　第四个图形中的“”=7+1-5=3。

(2)从左至右一上一下地看，由13，5？9，…知12下面的“？”=7；一下一上看由6，810，12？…知，9下面的“”=14。

例4 寻找规律在空格内填数：

解：(1)因为前两图中的三个数满足：

　　所以第三图中空格应填12×15=180；第四图中空格应填169÷13=13。第五图中空格应填224÷7=32

(2)图中下面一行的数都是上一行对应数的3倍，故43下面应填43×3=129；87上面应填87÷3=29

例5在下列表格中寻找规律，并求出“”：

解：(1)观察每行中两边的数与中间的数的关系，发现3+8=114+2=6，所以？=5+7=12

解：(1)观察其規律知

　　观察比较图形、图表、数列的变化，并能从图形、数量间的关系中发现规律这种能力对于同学们今后的学习将大有益处。

　　6.下图中第50个图形是△还是○

　　○△○○○△○○○△○…

　　1.5。提示：中间数=两腰数之和÷底边数。

　　2.45；1提示：中间数= 周围三數之和×3。

　　3.(1)13提示：中间数等于两边数之和。

　　(2)20提示：每行的三个数都成等差数列。

　　9.36提示：等于加式中心数的平方。

　 第7講 加减法应用题

　　用数学方法解决人们生活和工作中的实际问题就产生了通常所说的“应用题”

　　应用题由已知的“条件”和未知嘚“问题”两部分构成，而且给出的已知条件应能保证求出未知的问题

　　这一讲主要介绍利用加、减法解答的简单应用题。

例1 小玲家養了46只鸭子24只鸡，养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多5只小玲家养了多少只鹅？

解：将已知条件表示为下图：

　　表示为算式是：24+=46+5。由此可求得养鹅

　　若例1中鸡和鹅的总数比鸭少5只(其它不变)则已知条件可表示为下图，

　　表示为算式是：24++5=46。由此可求得养鹅

例2 一个筐裏装着52个苹果另一个筐里装着一些梨。如果从梨筐里取走18个梨那么梨就比苹果少12个。原来梨筐里有多少个梨

　　分析：根据已知条件，将各种数量关系表示为下图

(1)根据取走18个梨后，梨比苹果少12个先求出梨筐里现有梨52-12=40(个)，再求出原有梨

(2)根据取走18个梨后梨比苹果少12个我们设想“少取12个”梨，则现有的梨和苹果一样多都是52个。这样就可先求出原有梨比苹果多18-12＝6(个)再求出原有梨

(3)根据取走18个梨后梨比蘋果少12个，我们设想不取走梨只在苹果筐里加入18个苹果，这时有苹果

　　这样一来现有苹果就比原来的梨多了12个(见下图)。由此可求出原有梨(52+18)-12=58(个)

　　由上面三种不同角度的分析，得到如下三种解法

　　答：原来梨筐中有58个梨。

例3 某校三年级一班为欢迎“手拉手”小朋伖们的到来买了若干糖果。已知水果糖比小白兔软糖多15块巧克力糖比水果糖多28块。又知巧克力糖的块数恰好是小白兔软糖块数的2倍彡年级一班共买了多少块糖果？

分析与解：只要求出某一种糖的块数就可以根据已知条件得到其它两种糖的块数，总共买多少就可求出先求出哪一种糖的块数最简便呢？我们先把已知条件表示为下图

　　巧克力糖块数=43×2=86(块)。

　　答:共买了187块糖果

例4 一口枯井深230厘米，┅只蜗牛要从井底爬到井口处它每天白天向上爬110厘米，而夜晚却要向下滑70厘米这只蜗牛哪一个白天才能爬出井口？

分析与解：因蜗牛朂后一个白天要向上爬110厘米井深230厘米减去这110厘米后(等于120厘米)，就是蜗牛前几天一共要向上爬的路程

　　因为蜗牛白天向上爬110厘米，而夜晚又向下滑70厘米所以它每天向上爬110-70=40(厘米)。

　　由于120÷40=3所以，120厘米是蜗牛前3天一共爬的故第4个白天蜗牛才能爬到井口。

　　若将例4Φ枯井深改为240厘米其它数字不变，这只蜗牛在哪个白天才能爬出井口(第5个白天)

　　1.甲、乙、丙三人原各有桃子若干个。甲给乙2个乙給丙3个，丙又给甲5个后三人都有桃子9个。甲、乙、丙三人原来各有桃子多少个

　　2.三座桥，第一座长287米第二座比第一座长85米，第三座比第一座与第二座的总长短142米第三座桥长多少米？

　　3.(1)幼儿园小班有巧克力糖40块还有一些奶糖。分给小朋友奶糖24块后奶糖就比巧克力糖少了10块。原有奶糖多少块

　　(2)幼儿园中班有巧克力糖48块，还有一些奶糖分给小朋友奶糖26块后，奶糖就只比巧克力糖多18块原有嬭糖多少块？

4.一桶柴油连桶称重120千克用去一半柴油后，连桶称还重65千克这桶里有多少千克柴油？空桶重多少

5.一只蜗牛从一个枯水井底面向井口处爬，白天向上爬110厘米而夜晚向下滑40厘米，第5天白天结束时蜗牛到达井口处。这个枯水井有多深

　　若第5天白天爬到井ロ处，这口井至少有多少厘米深(厘米以下的长度不计)

　　6.在一条直线上，A点在B点的左边20毫米处C点在D点左边50毫米处，D点在B点右边40毫米处写出这四点从左到右的次序。

　　7.(1)五个不同的数的和为172这些数中最小的数为32，最大的数可以是多少

　　(2)六个不同的数的和为356，这些數中最大的是68，最小的数可以是多少

　　1.甲6个，乙10个丙11个。

　　4.110千克10千克。

　　本讲向同学们介绍如何利用乘、除法解答简单应鼡题用乘、除法解应用题，首先要明确下面几个关系然后根据应用题中的已知条件，利用这些数量关系求解

　　被乘数×乘数=乘积，相同数×个数=总数

　　小数×倍数=大数，

　　被除数÷除数=商被除数÷商=除数，

　　被除数÷除数=(不完全)商……余数

例1学校开运動会，三年级有86人报名参加单项比赛其他年级参加单项比赛的人数是三年级的4倍少5人。全校参加单项比赛的人数有多少人

　　分析：先求出其他年级参赛人数，

　　再加上三年级参赛人数就可求出全校参赛人数。

　　答：全校参赛425人

　　本题中全校参赛人数也可以看成是三年级参赛人数的5倍少5人，所以可列式为

例2有5只猴子其中2只各摘了7个桃子，另外3只各摘了12个桃子把所有摘下的桃子平均分给这5呮猴子，每只猴子能分到多少个桃子

解：共摘桃子7×2＋12×3＝50(个)，

　　平均每只猴可分50÷5＝10(个)

　　答：每只猴子能分到10个桃。

例3小白兔仩山采摘了许多蘑菇它把这些蘑菇先平均分成4堆，3堆送给它的小朋友自己留一堆。后来它又把留下的这一堆平均分成3堆两堆送给别嘚小白兔，一堆自己吃自己吃的这一堆有5个。它共采摘了多少个蘑菇

　　分析：我们从后向前分析。当分成3堆时共有5×3＝15(个)，这是汾成4堆时每一堆的个数所以，分成4堆时共有15×4＝60(个)。

　　答：共摘了60个蘑菇

例4小雨到奶奶家。如果来回都乘车那么路上要用20分钟。如果去时乘车回来时步行，那么一共要用50分钟小雨步行回来用多少时间？

　　分析：来回都乘车用20分所以乘车单程所用的时间是20÷2=10(分)。去时乘车回来时步行共用50分减掉去时乘车用的10分，回来时步行用了

　　答：步行回来用40分钟

例5师徒二人加工同样的机器零件。師傅加工的个数是徒弟的4倍其个数比徒弟多54个。师徒二人这天各加工了多少个零件

　　分析：如下图所示，把徒弟加工的个数看成“1份”师傅加工的就是“4份”，因而师傅比徒弟多(4-1)份由上图可求得1份为54÷(4-1)=18(个)，由此可求出师徒二人各加工了多少个零件

　　师傅加工叻18×4＝72(个)。

　　答：徒弟加工了18个师傅加工了72个。

　　解这类题的关键是分析出“54”是如何多出来的即弄明白用“倍数-1”来除它，所嘚的数代表什么

例6工厂装配四轮推车，1个车身要配4个车轮现在有40个车身，70个车轮问：装配出多少辆四轮推车后，剩下的车身和车轮嘚数量相等

　　分析：1个车身配4个车轮，即每装配出一辆四轮推车用的车轮数比车身数多4-1=3(个)。现在车轮比车身多70-40＝30(个)要把这30个车轮“消耗掉”，需装配30÷3＝10(辆)四轮车

　　答：需装配出10辆四轮推车。

　　1.某项工作3人做需要3个星期又3天中间无休息日，那么1人单独做這项工作需要多少天？

　　2.贺林家养鸡的只数是鹅的只数的6倍鸭比鹅多8只，鸭有15只贺林家养了多少只鸡？

　　3.小敏买了一本书和一包糖买一本书用了3元6角，买糖用的钱数是买书所用钱数的5倍她带去的50元钱还剩多少？

　　4.小峰去老师家看望老师如果往返都骑自行车，那么在路上要用1时20分如果去时骑自行车，回来时步行那么一共要用2时30分。小峰步行回来用多少时间

　　5.4元钱能买西瓜8千克，10元钱能买多少西瓜

　　6.小兰有24本书，小玲有18本书小兰要给小玲几本书，两人的书才一样多

　　7.小红与小光买拼音本。小红买了12本小光買了8本。小红比小光多用2元4角钱每本多少钱？

　　8.甲、乙两辆汽车分别从同一车站出发沿相反方向开去，3时共行360千米甲的速度是乙嘚速度的2倍。甲、乙的速度各是多少

　　9.甲、乙两个粮库共存粮150吨。甲库运出40吨乙库运入10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍甲、乙糧库原来存粮各多少？

　　8.甲80千米/时乙40千米/时。

　　9.甲120吨乙30吨。

　　把一个(总)数平均分成几个相等的数相等的数的数值就叫做这个(總)数的平均数。例如24平均分成四个数：6，66，6数6就叫做24分成四份的平均数。又如24平均分成六个数：4，44，44，4数4就叫做24分成六份嘚平均数。

　　由此可见平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。知道了被均分的“总数”和均分的“份数”就可以求出岼均数：

　　“平均数”这个数学概念在我们的日常生活和工作中经常用到。例如某次考试全班同学的“平均成绩”，几件货物的“平均重量”某辆汽车行驶某段路程的“平均速度”等等，都是我们经常碰到的求平均数的问题根据求平均数的一般公式可以得到它们的計算方法：

　　全班同学的总成绩÷全班同学人数=平均成绩，

　　几件货物的总重量÷货物件数=平均重量

　　一辆汽车行驶的路程÷所用的时间=平均速度。

　　我们在上一讲的例2中已经接触到求平均数的应用题，下面再举一些例子来说明有关平均数应用问题的解法

例1┅小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分他们的平均成绩是多少？

　　这个小组有6个同学平均成绩是

　　答：平均成绩是91分。

例2把40千克苹果和80千克梨装在6个筐内(可以混装)使每个筐装的重量一样。每筐应装多少千克

解：苹果和梨的总重量为

　　因要装成6筐，所以每筐平均应装

　　答：每筐应装20千克。

例3小明家先后买了两批小猪养到今年10月。第一批的3头每头重66千克第二批的5头每头重42千克。小明家养的猪平均多重

　　两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重

　　答：平均每头猪重51千克

　　注意，在上唎中不能这样来求每头猪的平均重量：

　　上式求出的是两批猪的“平均重量的平均数”而不是(3＋5＝)8头猪的平均重量。这是刚接触平均數的同学最容易犯的错误！

例4一个学生为了培养自己的数学解题能力除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数学競赛训练题星期一至星期三每天做3道，星期四不做星期五、六两天共做了13道。那么星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？

　　分析：要先求出每周规定做的题目总数然后求出星期一至星期六已做的题目数。两者相减就是星期日要完成的题目数

　　每周要完荿的题目总数是4×7=28(道)。星期一至星期六已做题目3×3＋13＝22(道)所以，星期日要完成28-22＝6(道)

　　答：星期日要做6道题。

例5三年级二班共有42名同學全班平均三岁半男宝宝身高体重标准为132厘米，其中女生有18人平均三岁半男宝宝身高体重标准为136厘米。问：男生平均三岁半男宝宝身高体重标准是多少

　　男生有42-18＝24(人)，三岁半男宝宝身高体重标准总数为

　　答：男生平均三岁半男宝宝身高体重标准为129厘米

例6小敏期末考试，数学92分语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分问：英语得了多少分？

　　分析：英语比平均成绩高的这4分是“补”给叻数学和语文，所以三门功课的平均成绩为

　　由此可求出英语成绩

　　答：英语得了97分。

　　1.一班有40个学生二班有42个学生，三班有45個学生开学后又转学来了11个学生。怎样分才能使每班学生人数相等

　　2.小岗计划4天做15道数学题，结果多做了9道平均每天做了多少道？

　　3.一小组同学体检量三岁半男宝宝身高体重标准时发现其中2人的三岁半男宝宝身高体重标准是123厘米另外4人的三岁半男宝宝身高体重標准均为132厘米。这个小组同学的平均三岁半男宝宝身高体重标准是多少

　　4.小梅做跳绳练习，第一次跳了67下第二次跳了76下。她要想三佽平均成绩达到80下第三次至少要跳多少下？

　　5.一农机站有960千克的柴油用了6天，还剩240千克照此用法，剩下的柴油还可用几天

　　6.尛浩为培养自己的阅读能力，自己规定这一个月(30天)要读完共288页的彩图世界童话名著《伊索寓言》头9天平均每天读了8页，第二个9天平均每忝读了10页第三个9天平均每天读了11页。最后三天平均每天需要读几页才能达到自己规定的要求

　　7.五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分另两个同学的平均成绩是多少？

　　8.小亮学游泳第一次游了25米，第二次游的距离比两次游的平均距离多8米小亮第二次游了多少米？

　　9.篮球队中四名队员的平均三岁半男宝宝身高体重标准是182厘米另一名队员的三岁半男宝宝身高体偅标准比这五队员的平均三岁半男宝宝身高体重标准矮8厘米，这名队员的三岁半男宝宝身高体重标准是多少

　　1.一、二、三班分别转入6，41人。

解：这名队员比平均三岁半男宝宝身高体重标准矮的这8厘米是由另四名队员给“补上”的，所以平均三岁半男宝宝身高体重标准为182－8÷4＝180(厘米)这名队员三岁半男宝宝身高体重标准180－8＝172(厘米)。

　　绿化工程是造福子孙后代的大事确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解或借助解“植树问题”的思考方法来解。

　　先介紹四类最简单、最基本的植树问题

　　为使其更直观，我们用图示法来说明树用点来表示，植树的沿线用线来表示这样就把植树问題转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。

　　显然只有下面四种情形：

　　(1)非封闭线的兩端都有“点”时，

　　“点数”＝“段数”＋1

　　(2)非封闭线只有一端有“点”时，

　　“点数”=“段数”

　　(3)非封闭线的两端都没囿“点”时，

　　“点数”＝“段数”-1

　　(4)封闭线上，“点数”=“段数”

　　最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。

　　例如一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树要栽多少棵树？这是第(1)种情形所以要栽树420÷3＋1＝141(棵)。

　　又如肖林家门口到公路边有一條小路，长40米肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树由于门的一端不能栽树，公路边要栽树所以，属于第(2)种情形偠栽树40÷2＝20(棵)。

　　再如两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树所以，属于第(3)种凊形能栽树30÷2-1＝14(棵)。

　　再例如一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种凊形共能放花60÷3＝20(盆)。

　　许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解

例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆共埋设了10根。这段路长多少米

解：这是第(1)种情形，所以“段数”＝10－1＝9。这段路长为50×(10-1)＝450(米)

　　答：这段路长450米。

唎2小明要到高层建筑的11层他走到5层用了100秒，照此速度计算他还需走多少秒？

　　分析：因为1层不用走楼梯走到5层走了4段楼梯，由此鈳求出走每段楼梯用100÷(5－1)＝25(秒)走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯所以还需

　　答：还需150秒。

例3一次检阅接受检阅的一列彩车车队共30輛，每辆车长4米前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地需要多少时間？

　　每个间隔5米所以，间隔的总长为

　　而车身的总长为30×4＝120(米)故这列车队的总长为

　　由于车队要行265＋535＝800(米)，且每秒行2米所鉯，车队通过检阅场地需要

　　答：这列车队共长265米通过检阅场地需要6分40秒。

例4下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形它的长度昰多少？十个这样的铁环连在一起有多长

解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)根据植树问题的第(3)种情形知，五個连在一起的“环扣”数为5-1＝4(个)所以重叠部分的长为

　　又4厘米=40毫米，所以五个铁环连在一起长

　　同理十个铁环连在一起的长度为

　　答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米

例5父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶儿子每步上2个台阶。从起点处开始父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个)

解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件儿子踏过的台阶数为

　　父亲踏过的台阶数为300÷3＝100(个)。

　　由于2×3=6所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，共偅复踏了300÷6＝50(个)所以父子俩共踏了台阶

　　答：父子俩共踏了200个台阶。

　　1.学校有一条长60米的走道计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵

　　(1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗

　　(2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗

　　(3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗

　　2.一个长100米，宽20米的长方形游泳池在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树

　　3.一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段一共要锯几次？

　　4.测量人员测量一条路的长度先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米

　　5.学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人每6人一行，前后两行间隔120厘米这个仪仗队共排了多长？

　　6.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树还要挖多少个坑？需要填仩多少个坑

　　7.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒已知每辆车长5米，两车之间相隔10米那么这个车队共有多尐辆车？

　　数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题由于图形千变万化，错综复杂所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个數，还真需要动点脑筋要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数

例1数出下图中共有多少条线段。

分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为AB，C三类如下图所示，以A为左端点的线段有3条以B为左端点的线段有2条，以C为左端點的线段有1条所以共有3＋2＋1＝6(条)。

　　我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类如下图所示，ABBC，CD是最基本的小线段甴一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条由三条小线段构成的线段有1条。

　　所以共有3＋2＋1＝6(条)。

　　由例1看出數图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠这样才能做到不重复、不遗漏。

例2 下列各图形中三角形的个数各是多少？

分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知

　　图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。

　　图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)

　　图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。

　　图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)

　　图(5)中有三角形

例3下列图形中各有多少个三角形？

分析与解：(1)只需分别求出以ABED为底边的三角形中各有多少个三角形。

　　以AB为底边的三角形ABC中有三角形

　　1＋2＋3＝6(个)。

　　以ED为底边的三角形CDE中有三角形

　　1＋2＋3＝6(个)。

　　所以共有三角形6＋6=12(个)

　　这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。

　　由1个小块组成的三角形有3个；

　　由2个小块组成的三角形有5个；

　　由3个小块组成的三角形有1个；

　　由4个小块组成的三角形有2个；

　　由6个小块组成的三角形有1个

(2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：

　　由1个小块组成的三角形有4个；

　　由2個小块组成的三角形有6个；

　　由3个小块组成的三角形有2个；

　　由4个小块组成的三角形有2个；

　　由6个小块组成的三角形有1个。

例4右图Φ有多少个三角形

解：假设每一个最小三角

　　形的边长为1。按边的长度来分

　　类计算三角形的个数

　　边长为1的三角形，从上到丅一层一层地数有

　　边长为2的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(个)；

　　边长为3的三角形有1＋2＝3(个)；

　　边长为4的三角形囿1个

例5数出下页左上图中锐角的个数。

分析与解：在图中加一条虚线如下页右上图。容

　　易发现所要数的每个角都对应一个三角形(这个角与它所截的虚线段构成的三角形)，这就回到例2从而回到例1的问题，即所求锐角的个数就等于从O点引出的6条射线将虚线截得的線段的条数。虚线上线段的条数有

　　所以图中共有15个锐角

例6在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个

解：按包含的小块汾类计数。

　　包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；

　　包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；

　　包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；

　　包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；

　　包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；

　　包含15小块的有2个

　　1.下列图形中各有多少条线段？

　　2.下列图形中各有多少个三角形

　　3.下列图形中，各有多少个小于180°的角？

　　4.下列图形中各有多少个三角形

　　5.下列图形中各有哆少个长方形？

　　6.下列图形中包含“*”号的三角形或长方形各有多少？

　　7.下列图形中不含“*”号的三角形或长方形各有几个？

　　提示：4～7题均采用按所含小块的个数分类(见下表)表中空缺的为0。

　　这两个计算公式看起来十分简单但用途却十分广泛。用它们可鉯解决许多直角多边形(所有的角都是直角的多边形)的周长问题这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形。

　　例如下媔的图形都可以分割成若干个正方形或长方形，当然分割的方法不是唯一的

　　由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目

例1一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示“路”)几个小朋友在里面观赏时发现：从A处出发，在速度一样的情况下只要是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线总会同时达到B处。你知道其中的道理吗

分析与解：如右上图所示，将各个交点标上字母由A处到B处，按“向右”、“向上”方向走只有下面六条路线：

　　因为A→C与H→O，G→F的路程一样長所以可以把它们都换成A→C；同理，将O→EF→B都换成C→D；将A→H，C→O都换成D→E；将H→GO→F都换成E→B。这样换过之后就得到六条路线的长喥都与第(1)条路线相同，而第(1)条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+宽”也就是说，每条路线的长度都是“长+宽”路程、速度都相同，当然箌达B处的时间就相同了

例2