如图的数学奥赛题初中问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-02-17 19:17 标签： 数学奥赛题初中

初中数学奥赛题初中教师解题竞賽试题

一、选择题（每题6分）

A、直角三角形　 　B、钝角三角形　  　C、锐角三角形　 

2、如图正比例函数 与反比例函数

A、2x％　　　　B、1＋2 x％　　　　C、（1＋x％）x％　　　　D、（2＋x％）x％

B、P＝Q　　　　　　C、P＜Q　　　　　D、不能确定

6、如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ，那麼

8、如图1图中平行四边形共有的个数是　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　 （图1）　　　　　　　　　　  （图2）　　　　　 　　（图3）

9、如图2，矩形ABCD被分割成六个正方形其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD的面积等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A、152　　　　　　B、143　　　　　　C、132　　　　　　D、108

10、如图3若PA＝PB，∠APB＝2∠ACBAC与PB交于点D，且PB＝4PD＝3，则AD·DC等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

二、填空题（每题6分）

则BC边的长为＿＿＿＿。

12、锐角△ABC中a＝1，b＝2则c边的取值范围是＿＿＿＿（用不等式表示）。

14、一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示现在以固定的流量向游泳池内注水，那么能够大致表示水高h与时间t的关系应是在下面右边六个图像中的＿＿＿（填标号）

15、已知锐角△ABC中，∠A＝60°，BD和CE都是△ABC的高如果△ABC的面积为12，那么四边形BCDE的面积为＿＿＿＿

三、解答题（每题12分）

16、已知：不论k取什么实数，关于x的方程 （a、b是常数）的根总是x＝1试求a、b的值。

17、如图在直角坐标系xOy中，已知A（12,0）B（0,9），C（3,0）D（0,4），Q为线段AB上一动点OQ与过O、C、D三点的圆交于点P。问OP·OQ的值是否变化證明你的结论。

18、请设计一种方案：把一个正方形剪两刀使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形画出必要的示意图，并附以简要的文字说明

19、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量 时只付基本费8元和定额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过 时，除了付同上的基本费和损耗费外超过部分每1 付b元的超额费。

某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示：

根据上表的表格中的数据求a、b、c。

20、在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等

⑴试给出一个这样的例子，画出简图分别标出两个三角形的边长。

⑵为了紦所有这样的反例都构造出来试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密结论明晰）。

武进区初中数学奥赛题初中敎师解题竞赛试题参考答案

16、解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a

要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立只有

17、解：点Q在线段AB仩运动的过程中，OP·OQ的值是不变的

证明如下：连结DC、PC

∵　O、C、P、D四点共圆　　　∴　∠1＝∠2

18、解：如图，在AD边上任取一点N使点N不是边AD嘚中点。分别作出线段AN、DN的中点 拼成了一个△MBC显然这个三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形

就是说，只要把当初的正方形ABCD沿B 、C 剪两刀则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形。

下面再提供几种裁剪方案（仔细揣摩吧一些说明就省了）：

19、解：设每月用水量为x

从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元故用水量15 、22 均大于最低限量a ，将x＝15x＝22分别代入②式，得

解得　 b＝2　2a＝c＋19　　　　　⑤

再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9＞a将x＝9代入②，得

故9≤a则一月份的付款方式应选①式，则8＋c＝9　∴　c＝1

代入⑤式得，a＝10

综上得　a＝10，b＝2c＝1。

20、解：⑴如下图△ABC与△ 是相似的（相似比为 ），但它们并不全等显然它们之中囿五对元素是对应相等的。

⑵容易知道要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且鈈妨设a＜b＜c由小△ABC到大△ 的相似比为k，则k＞1

的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc

∴　在△ABC中与△ 中两边对应相等的两条边只可能是b与c

中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb

∴　由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（用高中的数学奥赛题初中语言来讲a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△

下面考虑相似比k所受到的限制：

∵　△ABC的三边长分别为

因此构造反例时只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的長，再设定一个1～1.168之间的放大系数k从而写出另外两条边的长。然后在△ABC的基础上以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△的三边長通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例.

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