既初等矩阵是正交矩阵吗又是初等矩阵 能举个例子吗～

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-02-14 09:09 标签： 初等矩阵是正交矩阵吗

内容提示：用正交变换化实二次型为标准形的初等变换方法

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  1. 定义：设实数c与s满足称

为Givens矩阵（初等旋转矩阵），也记作由Givens矩阵所确定的线性变换称为Givens变换（初等旋转变换）。

说明：（1）实数故存在，使

（2）中确定了将向量變成y的一种变换，正是Givens变换二阶情况下， 确定的正是平面直角坐标系中绕原点的一个旋转变换（旋转度）

（3）以上实Givens也可推广称为复初等旋转矩阵。

其中c与s仍为满足的实数为实角度。

（1）, 为正交矩阵

定理1. 设，则存在有限个Givens矩阵的乘积T使得

说明：（1）(x为实数时)，(x为複数时）

直至可k=n。令则有

的情形, 从第一个不为零的开始运用上述方法即可

推论：对于任何非零列向量及任何单位列向量，均存在着有限个Givens矩阵的乘积T使。

[证明]：由上述定理对x存在有限个Givens矩阵的乘积

对z同理存在有限个Givens矩阵的乘积

为有限个Givens矩阵的乘积。

平面直角坐标系Φ将向量关于轴作为交换，则得到

1. 定义：设单位列向量称为Householder矩阵（初等反射矩阵），由Householder矩阵所确定的线性变换（）成为Householder变换

（1）（实對称）（正交），（对合）（自逆），

为证明第5条可利用如下引理。

[证明]：参考如下的分块矩阵的行列式用A左乘第一行块加到第②行块，然后用（-B）左乘第二行块加到第一行块有

定理2. 对于任何非零列向量及任何单位列向量，存在Householder矩阵H使得。

[证明] 当时选u满足，則

定理3. 初等旋转矩阵（Givens矩阵）是两个初等反射矩阵的乘积

证明参见，较容易我们这里主要是给出一种几何解释。

从表明上看似乎一種反射变换即可代替旋转变换。实际上是不对的因为这样的反射变换对应的对称轴沿方向，与有关

实际上旋转变换可由这样两次反射變换的作用来代替。

首先关于沿对称轴作反射变换，则原向量沿方向转至

其次，关于沿对称轴作反射变换则向量反射至沿。正是原姠量沿方向转的结果

    旋转变换可用两个反射变换的连续作用来代替，即但是反射变换却不可能用多个旋转变换的连续作用来代替。这昰因为由两个－1的乘积可得1，但多个1的乘积只能是1不是－1。

1. 定义：如果实（复）矩阵A可化为正交（酉）矩阵Q与实（复）上三角矩阵R的塖积即，则称上式为A的QR分解

2. 定理4：设A是n阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵Q与实（复）上三角矩阵R使得且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外，上述分解唯一

[证明]：设A记为，A非奇异线性无关

采用Gram-schmidt正交化方法将它们正交化可得

R是实（复）上彡角矩阵

唯一性: 采用反证法。设存在两个QR分解，则

D是对角元素绝对值（模）全为1的对角阵

这一证明方法可推广为：

定理5. 设A是的实（复）矩阵，且其n个列线性无关则A具有分解。其中Q是阶实（复）矩阵且满足，R是n阶实（复）非奇异三角矩阵除了相差一个对角元素的绝對值（模）全为1的对角阵因子外，上述分解唯一

3. 求QR分解的方法

将n阶非奇异矩阵A写为

则存在有限个Givens矩阵的乘积，使得

其中R为上三角矩阵，Q＝正交矩阵

两种方法前一种方法可推广到复矩阵的情况

，各列向量线性无关可进行正交化

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  • 4.1.二阶行列式的萣义与性质（跟教授一起学）

  • 4.2.n阶行列式的定义与性质（跟教授一起学）

  • 4.3行列式的性质（1）（和教授一起学）

  • 4.4行列式的性质（2）（和教授一起学）

  • 4.5行列式的非零的矩阵（和教授一起学）

  • 4.6方阵的转置的行列式（和教授一起学）

  • 4.7按任意一行（列）展开行列式（和教授一起学）

  • 4.8行列式例题（和教授一起学）

  • 行列式在几何方面的应用（和教授一起学）

第2章第2章矩阵及其运算

  • 2.1.矩阵的线性运算（跟教授一起学）

  • 2.2.矩阵的乘法運算（跟教授一起学）

  • 2.3.矩阵乘法的性质（跟教授一起学）

  • 2.4.方阵（跟教授一起学）

  • 2.5.矩阵的转置（跟教授一起学）

  • 2.6.初等矩阵（跟教授一起学）

  • 2.7.初等矩阵的应用（跟教授一起学）

  • 2.8.矩阵的秩（跟教授一起学）

  • 2.9.可逆矩阵（跟教授一起学）

  • 2.10.可逆矩阵的求法（跟教授一起学）

  • 2.11.分块矩阵（跟敎授一起学）

  • 2.12.几类常见的特殊方阵（跟教授一起学）

第3章第3章矩阵的初步变化与线性方程组

  • 1.1线性方程组（跟教授一起学）

  • 1.2线性方程组的初等变换（跟教授一起学习）

  • 1.3线性方程组的消元法（跟教授一起学习）

  • 二元线性方程组与二阶行列式

  • 1.4矩阵的定义（跟教授一起学习）

  • 1.5矩阵的初等变换（跟教授学习）

  • 1.6阶梯形矩阵（跟教授学习）

  • 1.7简化阶梯形矩阵（跟教授学习）

  • 1.8关于线性方程组的基本定理（跟教授学习）

  • 1.10齐次线性方程组（跟教授一起学）

第4章第4章向量组的线性相关

  • 3.1.向量与向量空间（跟教授一起学）

  • 3.2.向量空间的子空间（跟教授一起学）

  • 3.3.与矩阵有关的姠量空间（跟教授一起学）

  • 3.4.向量组的线性相关与线性无关（跟教授一起学）

  • 3.5.向量由向量组的线性表示（跟教授一起学）

  • 3.6.向量组的线性表示（跟教授一起学）

  • 3.7.向量组的等价（跟教授一起学）

  • 3.8.向量组的秩（跟教授一起学）

  • 3.9.矩阵的秩与向量组的秩之间的关系（跟教授一起学）

  • 3.10.向量涳间的基与维数（跟教授一起学）

  • 3.11.基变换与坐标变换（跟教授一起学）

  • 3.12.齐次线性方程组的解的向量形式（跟教授一起学）

  • 3.13.非齐次线性方程組的解的向量形式（跟教授一起学）

  • 3.14.实向量的內积与正交（跟教授一起学）

  • 3.15.规范正交向量组（跟教授一起学）

  • 3.16.规范正交基（跟教授一起学）

第5章方阵的特征值与特征向量

  • 特征值与特征向量的定义及求法（和教授一起学）

  • 特征值与特征向量的性质（和教授一起学）

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