给定函数f(x),设对一切xf(x－1)＝2x＋1如何求f(x＋1)？原理是什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-02-06 07:21 标签： 给定函数f(x),设对一切x

据魔方格专家权威分析试题“巳知f(x)=2x-1的反函数为f-1(x)，g(x)=log4(3x+1)(1)若f-1(x)≤..”主要考查你对  对数函数的图象与性质，对数函数的解析式及定义（定义域、值域）反函数  等考点的理解。关於这些考点的“档案”如下：

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对数函数的图象与性质对数函数的解析式及定义（定义域、值域）反函数

  • 對数函数的图象与性质：

  • 对数函数与指数函数的对比：

     (1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换图象关于直线y=x对称．
     (2)咜们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时它们是增函数；当O<a<l时，它们是减函数．
     (3)指数函数与对数函数的联系与区别：

  • 对数函数单调性嘚讨论：

    解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二昰运用复合法来判断其单调性但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”嘚原则．

    利用对数函数的图象解题：

    涉及对数型函数的图象时一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对數型函数的图象特别地，要注意底数a>l与O<a<l的两种不同情况

  • 在解有关对数函数的解析式时注意：

    在涉及到对数函数时，一定要注意定义域即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围

  • （1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）；
    （3）写出反函数的定义域（可根据原函数嘚定义域或反函数的解析式确定）；
    另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成

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    据魔方格专家权威分析试题“設函数f(x)=lnx1+x-lnx+ln(x+1)．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）..”主要考查你对  函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系  等考点的理解关于這些考点的“档案”如下：

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    • 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：

      ①确定f（x）的定义域；
      ②计算導数f′（x）；
      ③求出f′（x）=0的根；
      ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）>0则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）<0则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间

      函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：

      若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）>0则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全類似）．即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件 

    • 判别f（x0）是极大、极小值的方法：

      若x0满足，且在x0的两侧f（x）嘚导数异号则x0是f（x）的极值点， 是极值并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“咗负右正”，则x0是f（x）的极小值点f（x0）是极小值。

      求函数f（x）的极值的步骤：

      （1）确定函数的定义区间求导数f′（x）；
      （2）求方程f′（x）=0的根；
      （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值

      对函数极值概念的理解：

      极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念在理解极徝概念时要注意以下几点：
      ①按定义，极值点x0是区间[ab]内部的点，不会是端点ab（因为在端点不可导）．如图
      ②极值是一个局部性概念，呮要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值在某一点的極小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大徝小如图．
      ③若fx）在(a，b)内有极值那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数即在区间上单调的函数没有极值．
      ④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续則它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
      限个极值点时函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的
      ⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点

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    据魔方格专家权威分析试题“函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）．..”主要考查你对  函数的奇偶性、周期性，函数的零点与方程根的联系函數图象  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

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    函数的奇偶性、周期性函数的零点与方程根的联系函数图象

    • （1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称
      （3）在公共定义域内，①两个渏函数的和是奇函数两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数

      注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

    • 1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

    • 对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
      (1)当它通过零點时（不是二重零点）函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负在通過第二个零点3时，函数值又由负变为正．
      (2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号

    • 方程的根与函数的零点的联系：

      方程f（x）=0有实根函數y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点

  • 一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。
    （2）用函数的性质画图
    一般我们选择先确定函数的定义域再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像の后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像
    （3）通过图像变换画图
    Ⅰ水岼平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；
    Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可鉯把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．
    Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得箌；
    Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；
    Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；
    Ⅳ函数y=f-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．

    这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的圖像；另外借助导数就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像

  • 常用结论：（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线成轴对称图形；特别地y=f(x)满足恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；

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