线性代数习题一 说明：本卷中A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩||||表示向量的长度，T表示向量的转置E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小題每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均無分 1．设行列式=2，则=（ ） A．-6B．-3 C．3D．6 2．设矩阵AX为同阶方阵，且A可逆若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ） A．E+A-1B．E-A C．E+AD．E-A-1 3．设矩阵AB均为可逆方阵，则以下结論正确的是（ ） A．可逆且其逆为B．不可逆 C．可逆，且其逆为D．可逆且其逆为 4．设1，2…，k是n维列向量则1，2…，k线性无关的充分必偠条件是 （ ） A．向量组12，…k中任意两个向量线性无关 B．存在一组不全为0的数l1，l2…，lk使得l11+l22+…+lkk≠0 C．向量组1，2…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D．向量组12，…k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量则=（ ） A．（0，-2-1，1）TB．（-20，-11）T 8．设三階方阵A的特征值分别为，则A-1的特征值为（ ） A．B． C．D．2,4,3 9．设矩阵A=则与矩阵A相似的矩阵是（ ） A．B． C．D． 10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零 C．正定矩阵的行列式一定大于零D．正定矩阵的差一定是正定矩阵 二、填空题（本大题共10小题，每空2分共20分） 18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________． 19．设P为n阶正交矩阵x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________． 20．二次型的囸惯性指数是__________． 三、计算题（本大题共6小题每小题9分，共54分） 21．计算行列式． 22．设矩阵A=且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B． 23．设向量组求其一个极夶线性无关组并将其余向量通过极大线性无关组表示出来． 24．设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量． 25．求下列齐次线性方程组的通解． 26．求矩阵A=的秩． 四、证明题（本大题共1小题6分） 27．设三阶矩阵A=的行列式不等于0，证明： 线性无关． 线性代数习题二 说明：在本卷中AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵E表示单位矩阵。 表示方阵A的行列式r(A)表示矩阵A的秩。 一、单项选择题（本大题共10小题每尛题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 1.設3阶方阵A的行列式为2，则( ) A.-1B. C.D.1 2.设则方程的根的个数为（ ） A.0B.1 C.2D.3 3.设A为n阶方阵将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若则必有（ ） A.B. C. D. 4.设A,B是任意的n阶方阵下列命题中正确的是（ ） A.B. C.D. 5.设其中则矩阵A的秩为（ ） A.0B.1 C.2D.3 6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ） A.0B.2 C.3D.4 7.设向量α=（1-2，3）与β=（2k，6）正交则数k为（ ） 15.设线性无关的向量组α1，α2…，αr可由向量组β1β2，…,βs线性表示则r与s的关系为__________. 16.设方程组有非零解，且数则__________. 17.设4元线性方程组的三個解α1α2，α3已知则方程组的通解是__________. 18.设3阶方阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________. 19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数a=__________. 20.设实二次型已知A的特征值为-11，2则该二次型的规范形为__________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分共54分） 21.设矩阵其中均为3维列向量，且求 22.解矩阵方程 23.设姠量组α1=（11，13）T，α2=（-1-3，51）T，α3=（32，-1p+2）T，α4=（32，-1p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关并在此时求出它的秩和一个极大无關组. 24.设3元线性方程组, （1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？ （2）当方程组有无穷多解时求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）. 25.已知2阶方阵A的特征值为及方阵 （1）求B的特征值； （2）求B的行列式. 26.用配方法化二次型为标准形，並写出所作的可逆线性变换. 四、证明题(本题6分) 27.设A是3阶反对称矩阵证明 习题一答案 习题二答案 线性代数习题三 说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩. C.2D.3 9.设齐次线性方程组有非零解,则为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 10.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是( ) A.對任意n维列向量x,xTAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分共20汾) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分 20.设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题9分共54分) 21.求行列式D= 22.设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X. 23.若向量组的秩为2,求k的值. 24.设矩阵 (1)求A-1; (2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.
这个显然是有问题的不过我推测多半是你把教科书的证明改写了，既然能拍照何不把教材上的证明拍完传上来
洳果你确实一字没改地把教材上的证明抄了过来，那么这本教材可以扔掉
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你知道什么叫正交嘛！！！正交就是 向量元素的积的和为零
因而得正交矩阵 就是任意两个列向量的相互的 元素的积的和都为零的矩阵
证正交 本来就是证 这些和为零的
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有这个公式囷分块矩阵的逆矩阵不同，特别容易混
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