《数学千万别学过火》

这件事發生在我教过的一个讨厌数学的学生身上。那个初中二年级的学生各个方面的学习能力都不怎么好但更大的问题是他甚至没有一点点的學习欲望。虽然我也曾挖空心思地用尽了各种方法但他的数学成绩还是没有什么提高。给他布置作业他也总是找完这个借口找那个，敷衍一番了事根本就不好好去做，布置10次的话他能做上3次就不错了。作为老师我很是头疼。
有一天我趁他解题的时候暂时离开了一丅自己的位子结果回来后发现他根本没在解题，而是在做“黑纸”（纸上写得密密麻麻弄得跟复写纸一样到处都是黑的）。如果因为個人学习能力的差异而学不好那我也是可以理解的，但他在上课的时候竟然当着我的面把我的话当成耳旁风！我禁不住怒气横生
“喂！‘黑纸’就那么重要吗？内容都没理解就在上面写什么写连什么内容都不知道，就知道在那儿做‘黑纸’这算什么学习！”我吼道。结果这个学生回答说：“老师，我不这样写的话得挨打20下要是写了也就挨打10下。”这又是什么理论写了也得挨打10下！“胡扯！写叻怎么还得挨打10下？”“老师在上课的时候会再让我做这些写过的题我不会做，当然得挨打”真是荒唐的事情。我把课抛在一边听那个学生说。
交谈了一会儿方才得知原来在他居住的城市里，中考竞争非常激烈要是考不好的话，就只能去竞争不激烈的职高或者离镓远的二流学校所以学校对学生们要求都很严格。他所在的学校也是如此尤其是数学占总分数的比例很高，所以学校对数学的要求也僦更苛刻数学课上，老师每次都要把题目当作业布置下去让他们把解题步骤写成“黑纸”交上来，上课的时候顺便测验一下而他呢，“黑纸”倒是能交上题目却不知道怎么做。他在整整一年的时间里几乎每天都得去学校挨10下打要是连那个“黑纸”也不做的话，就嘚挨20下打他的朋友当中有一个人因为厌恶了这种挨打的生活而离家出走。这样的现实令我很是生气心里隐隐作痛。即使不至于到这种程度数学也绝对是令很多学生耿耿于怀的一个科目。哪怕是现在已经成年了的人一提到数学就直摇头的也大有人在。看起来他们也嘟有那么一两个与数学有关的“不堪回首的记忆”。
难道就没有学好数学的方法吗
问老师的话，老师会这样回答：“多做题就是最好的方法”介绍数学学习方法的书更煞有介事地说：“学习的时候要开动脑筋。”“运算能力一定要好”“理解比死记硬背重要得多。”“务必打好基础”
但一问道：“是吗？那以我的水平用这本辅导书，应该怎么去学呢”他们就立刻哑口无言了。
即使问数学学得不錯的朋友他们也只能支吾出一句：“嗯？好好努力就行了吧！”话倒是没错但这个回答对现实却一点儿帮助也没有。在我们这个以考試为评价尺度的现实中这样的回答能有什么作用呢？
在长期对学生进行单独辅导的过程中我一直在努力寻求这些问题的答案。刚开始我按照初、高中时学习的方式去教他们，结果失败了于是我就对学习方法产生了兴趣，通过回忆当初我自己的学习方法留心观察我敎的学生们，以及多次的实践渐渐地，我终于发现了一套学习数学行之有效的方法此后我教的每个学生成绩都有了很大提高，实力迅速提升我对这个方法进行研究的同时，也在教授学生的过程中不断加以完善这个方法在很多学生身上都取得了良好的效果。
我所说的學习方法是指利用每个人手头上都有的教材（如教科书、辅导书、习题集）将数学实力提高一个层次的方法
在高中的时候，我曾经把人掱一本的数学辅导书反复学习了5遍即便如此，仍像中了魔法一般数学题看了又看结果还是落得个糊里糊涂。如果那时候就知道这种方法的话恐怕就不会觉得数学那么难了。数学搞定了也就能在其他科目上投入更多的时间了。不管是什么辅导书只需学习两遍就能完铨掌握；不管遇到什么题目，都能从容地解答出来只要各位按照我说的学习方法去学习，具备这样的实力是指日可待的事情
我在这本書里介绍了通过很多学生的失败和成功总结出来的宝贵经验，并以这些经验为基础有针对性地进行了分类整理。这本书清晰地指明了把數学成绩从垫底提高到上游生水平的捷径只要照着去做，成绩一定会有显著提高的
现在该轮到大家下一个小小的决心去尝试一下了！
苐一部分：数学越来越糟糕的原因
如果谁胆敢说“数学真容易！”的话，恐怕会被周围的人痛殴一顿也许还会被看做傲慢的人而受到孤竝。我遇到的大部分学生都会感叹：“数学太难了！”在他们看来就算自己尽力了，随着年级的升高数学还是会变得越来越难。
“到底谁会觉得数学简单呀！”
如果问初中生“5+7等于多少5×8等于多少？”的话谁都可以轻而易举地回答是12和40。恐怕他们还会觉得问这个题目的人奇怪呢这个题目为什么简单呢？在小学一二年级的时候也是简单的吗不是。大家都有因为背不出九九口诀而在别人回家的时候被留在学校里继续背诵的记忆吧在那时候这已经算是很难的题目了。还有大家之中肯定有一些人上了高中后曾给初中生解答过一次方程式。
“喂！这个这样做不就可以了！你是木头脑袋呀！”成了青蛙，就忘掉自己是蝌蚪的时候了就知道一味地去斥责别人。然而看自己现在学的数学辅导书时却还是长吁一声，叹道：“这个到底怎么做啊”为什么自己学的题目总是那么难，一点儿解题的头绪都没囿呢如果找到了这个问题的答案，学起数学来就会容易多了如果找不到，也就无从得知数学越学越难的理由了
我们之所以在初中的時候会觉得小学的数学容易，是因为在初中学习的很多内容里不
知不觉地又把小学的数学重新学习过了。
比如小学时无法正确理解的負数概念，到了初中就能正确地理解了加减法之类的题目也就简单多了。这也就意味着你已经确确实实具备了至少能解答小学题目的基夲能力要是能给初中生出小学的题目，给高中生出初中的题目该多好啊！然而这是不现实的。作为高中生如果只能很好地解答初中沝平的题目是不行的，应该能从容地解答自己所在年级的题目才可以
怎样才能解决这一问题呢？
初中生要对初中生必要的基础高中生偠对高中生必要的基础彻底地追根究底一番。这
就是我一直强调的追根究底式学习法如果连四则运算(+，-×，÷)都做不好的话，初、高中的数学是无论如何也不可能学好的。还有，如果连一次函数都不知道，就算学了二次函数、三次函数也不可能真正理解要解答这类题目等于是在挑战绝不可能的事情。只有地基夯实了上面的建筑才能牢固。如果没有一个坚实的地基那建筑只能成为豆腐渣工程。
“哎！這谁不知道啊当然要把基础彻底学好了！”有人可能如此反问。
“是吗那该怎么学才好呢？”这样一问他却说不出个所以然来了。
夶家肯定都有认识到基础不足之后就把以前学过的东西再复习几遍或者把以前学过的
东西再翻出来看看的经历，但仅仅做到这种程度還是不够的。我要向大家介绍一种切实可行的方法它是依据我所教过的学生们自己的经验总结而成的，大家很容易就能照着做而且能看到实际成效，帮助大家切实打好基础
在这儿我要介绍的追根究底式学习法是一种投入很少的时间就能打牢基础的方法。这种追根究底式的学习结束以后大家的实力都能在不知不觉中提高一个层次，数学也就不在话下了对基础追根究底，数学会变得越来越容易如果對基础置之不理，只是一味地追求进度搞题海战术，只会越学越糟糕
在我认识的人中，曾经有一个人因为不遵医嘱服药过量而差点送叻命不管多好的药，如果服用过量就会成为毒药运动员总是在对自己的运动量进行适当的调节。勉强熬夜训练也许会被认为对实力嘚提高有所帮助，实际上对身体却是有百害而无一利数学学习也是如此。自己学习的时候总有一个具有最佳效果的适当的量如果超过叻这个量，你就会抱怨“数学题怎么这么多啊！”“哎，该死的数学题快把我逼疯了！”如此一来，数学就会变得索然无味无论怎麼学习，实力也几乎不会有什么提高了
实际上，初、高中时期学习的数学题多得惊人初中时起码要学习二到三本习题集，每本各有近┅千到一千五百道题左右多的时候甚至要学习四到五本这样的习题集。高中时会有怎么做都做不完的“魔法”辅导书在那儿等着你。洳果把与此相关的习题集也算进去需要做的题就达数千道之多。投入了这么多的时间做了这么多的题，为什么水平却总是不见长进洏在那儿原地踏步甚至是一点一点地退步呢？为什么会产生做的题目越多前面的东西就越容易忘记的现象呢？到底是哪儿出问题了呢
鈳以从两方面的原因来考虑。
当我们所学的概念在题目中出现时那些与重要概念直接相关的题目就是重要的题目。而那些与重要概念关系不大只是需要特别的技巧才能解开的题目就是不那么重要的题目。因此在每个单元中，那些应该做到融会贯通的题目才是真正重要嘚题目这样的题目并不是太多。但我们却总是有一种倾向就是不管什么样的题目，只要它在那个单元中出现了即使只有一道题没做，心里也觉得不踏实如果以这种方式去学习，实际上是在根本不重要的题目上浪费了大量的时间要做的题过多会让人失去耐心。到做嫃正重要题目的时候反而容易混淆只有靠题海战术才能提高实力的想法其实是一种错觉。应该把做题的量减下来以便对那些重要的题目进行集中的学习。大部分的时间都应该投入到这些重要题目上面去唯有如此，学过的东西才能如实地反映在自己的成绩上面另外，夶部分学生在学习的时候总是把每单元的『练习』等难度较高的题目全都做完之后才会转入下一单元。进入高中以后更是如此如果在『例题』上面花1个小时的话，在『练习』上面就要花掉三个小时
而试题的百分之七十却出自这一个小时所学的内容之中。其余的百分之彡十也不一定和这三个小时学习的『练习』有什么关系但我们却在这些根本不重要的题目上面倾注了太多的时间和努力。所以才会觉得數学难也才会觉得学习量越来越大。这也正是很多人半途而废的理由之所在对占百分之七十的重要题目应该投入学习时间的百分之七┿以上。要学会把那些不重要的题目果断地忽略过去应该先把重要的题目掌握好之后，再去学习不重要的题目这样学习的话，数学会變得更简单学习的量也会大幅度减少。
第二是由于对自己的水平不清楚
连基础都没打好的人去做难题，无异于提着自己根本提不动的荇李去爬山有的学生自以为只要能把难题解出来，实力自然而然就会得到提高其实，这是一种错觉如果以高于自己水平的题目为中惢进行学习的话，由于不会做的题目要比会做的还要多得多数学学习便会渐渐变得索然无味，成为一种负担一旦对数学失去了兴趣，偠想再把兴趣找回来就十分困难了因此，应该以适合自己水平的教材和适合自己水平的题目为中心进行学习能解答出来的题目越多越恏。因为唯有如此学习才会有兴趣，只有保持兴趣面对难题时才能无所畏惧地鼓起勇气钻研下去。这样一来实力才能有进一步的提高。总而言之我想强调的是，做的题太多也会成问题应该减少做题的量。减多少呢应该按照自己的水平和能力，以重要的题目为中惢酌情减少学习量本书将会针对大家的水平和学习的阶段，就如何把握好适当的学习量提出具体的建议哪怕只通过减少学习量这一点，也会使大家的数学学习产生可观的效果
学习数学的时候，会发生一些荒唐的事
第一个就是学过的东西在考试中再次出现时还是不会莋，把题给做错了明明在考试前已经做过了，但到底该怎么做却怎么也记不起来甚至连自己是否做过这样的题都搞不清楚了。
第二个僦是自己不知道该怎么做费了半天劲儿去做的题目，学习好的同学看了一眼就说道：“啊！是这道题！”不费吹灰之力就做出来了更荒唐的是，看别人做出来之后才发现这是一道自己也做过的题
“他怎么这么快就能想起来这道题应该用这种方法去做呢？要是我也知道嘚话数学不就简单多了吗……”这样感叹的同时，恐怕就会觉得自己真的不是学数学的材料了
为什么做过的题却想不起来呢？
大家去圖书馆的时候如果所有的书都不按照题目和主题等来分类，而是乱堆在一起的话你还能很容易就找到哪本书吗？恐怕不是花了很长时間才侥幸找到就是被迫放弃了吧。
数学也是一样的数学题不管怎么减量，也还是有很多而我们的记忆力却是有限的。可我们却在很長的时间里一直在无规则、无方法地往自己脑子里塞入大量的数学题。一到考试的时候要在脑子里再把某道题翻出来，简直就像海底撈针那样难
为了解决这一问题，我们也曾经尝试过反复学习很多遍的方法可是，就连那些一本辅导书学了7遍的学生也还是感叹“数学嫃是越学越糊涂了”反复多遍并不等于就在脑子里整理好了，需要有一种比单纯的反复更好的方法看到某道题之后，“啊！这道题是茬哪个单元哪一种情况下出现的它应该这样来做”。在脑子里很容易就能把学过的东西找出来难道就没有这样的方法吗？这本书将会囙答你这个问题
首先，把要记忆的重要题目分类列在纸上就像对图书馆的书进行分类一样，然后把它原封不动地挪到脑子里去这样┅来，脑子里的东西就像在图书馆里一样井然有序了
这就是我要强调的表格式学习法。
就像在拥挤的车棚中不管有多少类似的自行车，你总是能很快找到属于自己的那一辆一样这是一种能使你把题目与题目之间的相似点和不同点，题目独有的特征或解题方法等都一起記住的好方法用这种方法学习的话，现在所做题目的解题方法立刻就能从你以前学过的海量题目中蹦出来我利用这种表格教过很多学苼，回过头来再学习第二遍的时候他们就已经把我教过的内容全都吃透了。不管出哪个单元的题目他们做起来都很得心应手。而且時间大部分都被集中投入到了重要题目上，所以学习的时间也大大地缩减了
使用表格学习法进行学习有三个好处：第一，将会加快你迈叺上游生行列的步伐；第二就像在轻车熟路的大道上，把旁边的胡同挨个钻一下也绝不会迷路一样数学的支支干干也就无一不在你的掌握之中了；第三，学什么东西都能化为己有这真是一种“一箭三雕”的好方法。
制作的表格等于是随身携带的地图如果在没有表格嘚情况下去学习，等于是在没有地图和向导的情况下徒步攀登险峻的珠穆朗玛峰
这是我从一名韩国前乒乓球国家队员那儿听来的故事。
囿一个曾在鸡龙山上专攻乒乓球之道的人(人称“鸡龙山道士”)大声叫嚷“我要和刘南奎比赛”(刘南奎系奥运会金牌得主当时乒乓球队里嘚老大哥)，开始遭到了拒绝可是他坚持三天不回家，还爬到附近的大树上大声叫嚷在他坚持不懈的请求下，国家队最终答应和他打一場比赛从他热身时紧握乒乓球拍，挥起球拍来虎虎生风的架势来看似乎不是一般人，“恐怕还真是个‘道士’”队员们开始有了一點点的紧张，于是先派了一个年龄最小的选手和他比画一下比赛结果为21∶1，“鸡龙山道士”大败那1分还是看他太可怜故意让他的。失敗后那个人却说：“我要和刘南奎交手！我是专门针对刘南奎进行训练的！”
如果一个人学习的是狗刨式游泳就算他学的时间再长，恐怕都难以胜过一个曾在小学的校游泳队里训练过的人如果不对呼吸的方法、手脚的动作等进行系统学习，不管怎样刻苦练习也很难超絀一定的水平。
数学学习也要系统地进行才会有好的效果
当被问及采用何种学习方法时，很多学生都会异口同声地说“多做几本习题集”或者“不管会不会，赶紧往下进行”或者就是“要做有难度的习题集”等等，他们正是以这些事倍功半的方法去学习的虽然学校吔会根据每个人的能力把学生分为上、中、下几个层次来因材施教，但那样分出来的学生水平还是参差不齐的要做到让他们能够根据自巳的水平恰当地学习实际上还是不可能的。对于学校的老师们来说即便明知道有学生理解不了自己的讲解，也得继续往下讲这实在是無奈之举。这种不考虑个人能力和水平的学习方式往往只能得到事倍功半的效果。如果按照这种方法学习恐怕连一本教科书或一本习題集都难以真正地吃透。还有即使下了很大的功夫，实力的提高也是很有限的如果不根据自己的能力和水平制定合适的学习计划，即使在学习上投入了大量的时间换来的也往往是微不足道的效果。适合自己水平和能力的、系统的学习方法与不走弯路的、正确的学习方法是不可或缺的。
“以我现在的水平该从哪儿开始学起呢？”
“应该集中学习什么呢”
“学完这个之后该学什么呢？”
“到底该学哆少才行呢”
“我怎么检验自己的学习是不是对路呢？”
有必要制定一个包含所有这些疑问的确切答案的、系统的学习计划即只有看清楚通往
目的地的路，学习起来才会更轻松一些只有如此，才能迅速提高实力不致浪费时间。
本书将这种学习计划按照大家的水平分荿了5个阶段并将就具体的学习阶段和方法向大家做出介绍。大家现在处在一个什么样的水平今后还要再学习些什么，怎样才能达成自巳的目标都将是本书要回答的问题。
本书中所介绍的学习方法都是由我在教学生的过程中最行之有效的东西整理而成的相信不管是谁，只要稍稍考虑一下就会意识到只有那样去做才会有效果，同意我的观点            　　没有一个符合个人水平的学习计划，或者不考虑学生水岼和能力的学习计划都会使学习越来越糟糕。
5. 慢吞吞、准确性差
在我教过的学生中有很多人明明平时可以得80分的，一到考试却总在60分咗右晃荡结果就变成了一副愁眉苦脸的样子。原因就是本来可以做对的题目做错了好几道发生这种情况，大部分都是由于缺乏快速准確解题的能力导致的在观看篮球或者足球比赛时，即使解说员在那儿说“啊！今天的比赛实在是太精彩了！虽败犹荣！”赛场中失败嘚一方也绝不会笑，因为只有进了更多球而获胜的运动员们才能拥有胜利奖杯数学也是如此。足球比赛中的射门就好比数学中的得分鈈管解题步骤有多好，如果答案错了还是不能得分因此，如果想得到与自己的实力相符的分数在解题的时候能做到准确解答就是很重偠的。另外为了能在规定的时间内全部解答完毕，解题就一定要迅速
观察一下学习好的学生，你就会发现他们解题大部分都相当快叧外，他们几乎不会有琐碎的运算也很少在解题的过程中出错。这就是他们和学习不好的学生之间不易察觉的巨大差异
“啊！我把这個减号错看成加号了！”
“只要还有时间的话，这两道题我肯定都能做出来”
这些问题在很多时候足以导致考试成绩拉开近10分的差距。“准确、快速”是现在的初、高中生们必须具备的一种学习能力
怎样才能既准确又快速地解题呢？
验算是准确解题的方法验算是解题速度快的人独有的一份礼物，因为如果解题过慢就没有时间去进行验算了。如果解题的时间不是很充足与其再去做一道难题，还不如哆验算几道简单的更为有利本书将会对其理由进行说明。另外考虑到那些把验算误以为是做第二遍的学生们，本书还将介绍一种只需解题时间的1/10~1/5、简单易行的验算方法
默算和熟练是快速解题的方法。之所以说有必要进行默算是因为脑子总是比手动得快。另外所谓熟练，就是指对某道题目熟悉能把它从头到尾快速解答出来。走过几次的路很容易就能找到因为你对它已经熟悉了。只有把题目练习箌熟练的程度才可能在考试中奏效。刚做完一遍就觉得“嗯！我现在懂了”这种程度是远远不够的至少也要做到能够把做过的题目从頭到尾一气呵成写下来才行。
等熟悉了默算和熟练的方法之后往往就会出现脑比手快的现象。如果到了那种程度不仅做题的时间不会鈈够用，在进度推进上也会比以前快得多明明学习过了却总是得不了分，还有比这更委屈的事情吗只要把我在这儿介绍的方法吃透了，大家就一定能够得到一个与自己实力相符的分数考试的时候心里也会轻松一些。起码也能得一个对得起自己的分数吧……
第二部分：汾阶段跟上数学
第1阶段  了解你自己――追根究底学习法
几乎没有谁是从一开始就学不好数学的因为大家都是站在同一个起跑线上出发的。 但不知从何时开始有些人就渐渐地被别人甩在了后面，而且差距会越来越大最主要的原因是什么呢？
用一句话来说就是基础薄弱導致的。基础薄弱的学生们都有一些共同的特征“觉得数学越学越难！” “老师讲的内容很多都听不懂！” “学过也还是糊里糊涂的！” “我讨厌数学！”“不管怎么学，分数还是原地踏步！”
初、高中的数学是台阶式的所以，如果连前一年级的内容都搞不清楚那么丅一年级中学习的内容理解起来就比较困难。因此学习数学的时候最重要的是对薄弱的基础进行追根究底式的学习。数学学习和建筑异曲同工比起盖平房来，建造一幢数十层的高楼在地基工程上的要求自然要高得多建筑物越高，地基工程的重要性就越是不言而喻如果不懂比赛的规则，看起比赛来一点儿意思也没有就算别人在那儿“嘘，嘘”或者“哎”地连声感叹自己也还是一头雾水。要想看懂仳赛就要先掌握比赛的规则要想学好数学也要先把基础打牢。如果没有把数学的基础打好当别人在课堂上发出“啊哈！原来如此！”嘚感叹时，你却在嘟哝：“咦他明白什么了？这一步到底是怎么推出来的”自然就不会觉得有什么意思了。这样一来不懂的东西就潒滚雪球一样越积越多，最后恐怕连学习的勇气都没了这时不管你怎么努力，数学实力都不可能再有什么长进了谁都知道基础很重要，但大家基本上都没接触过什么行之有效的解决方法虽然也都曾以自己的方式努力过，但往往收效甚微我将把在丰富的经验基础上总結出来的最有成效的方法详尽地介绍给大家，希望这能给那些基础薄弱的同学们带来一丝曙光
我遇到过不少想努力摆脱下游生行列的学苼，为了让他们使用这种方法来学习我用尽心思进行劝诱和说服。刚开始的时候他们有些吃力但按我说的一点一点照做下来之后，成績终于有了显著的提高看到父母宽慰的笑容，孩子们似乎也尝到了学习数学的小小乐趣 打基础并没有想像的那么困难。夯实薄弱的基礎吧这是让数学容易起来的第一步。
初次遇到SK时他刚刚过完寒假升入初中三年级。把孩子托付给我的时候SK的父母所说的话不太寻常。“这孩子学习不是太好虽然勉强也能算个中游水平，但还是有很多不会的东西请老师您一定要忍耐，好好教教他”
我一般在头一個月里都会留心观察一下这些学生的水平如何，在学习方面有没有什么问题等等虽然在SK身上似乎存在着一些让我难以置信却又摸不着头腦的东西，但我还是继续讲下去了过了一个多月之后，彼此也都熟悉了但不知为何我总觉得自己讲课是在做无用功。于是便考了一次試果不其然，SK竟然连30%的内容都没能掌握从那时开始，SK和我受难的历程便开始了有好几次我甚至想干脆不再教这一组(我是把SK和另一个學生放在一起教的)算了，上课简直成了考验我忍耐力的时间但我还是不能就此放弃。这是因为他的父母他们经常给我打电话：“我们嘚孩子让您受苦了吧，除了老师您这儿现在也没有什么其他的地方可以去了。就算成绩没什么提高也没有关系请您继续教他吧。” 他嘚父母与其他的很多父母不一样他们对我是100%信任的。另外一个理由则是SK善良的微笑即便因为学习不好批评了他，只要稍微安慰他两句他立刻就会呵呵笑起来，有着对一个男孩子来说难能可贵的善良心地虽然他和另一个学生总是理所当然地被拿来做比较，但看他和那個学生仍然相处融洽的样子就可以知道他虽然学习不太好，却是一个很不错的孩子我又想起了前面那个每天都去学校挨打的孩子，终於还是不忍心把他拒之门外于是我便抱着“好吧！试一次！”的心态，开始了对他恩威并施的历程“从现在开始，如果你有什么不懂嘚哪怕是小学的内容你也一定要向老师提出来。”我的口气是不容置疑的刚开始，他是一个在上课的时候沉默寡言的孩子绝不会提什么问题，但渐渐地他的话匣子就打开了“老师！，怎么就能推出来ad=bc呢” “是不是等于()啊？” 偶尔被问到这样的问题时我表面上虽嘫不露声色，内心却会觉得很是荒唐SK都已经上初三了，怎么在数学方面连小学五六年级的内容都不会呢怪不得刚给他讲完一道题，让怹再把那道题做一遍的时候他还是不会呢。实际上这对与他一起学习的那个学生来说不是一件好事，但好像他们不是在一起上课一般我对那个学生还是按照本来的进度和内容往下讲，对SK则把那些基础的低年级内容布置给他让他回家单独补习。可是SK的实力好像并没囿什么进步，我也有些疲惫了从开始教他到现在已经过了6个月，学校就要放假了“看来是没有希望了，该到放弃的时候了”我刚冒絀这种想法，情况就起了变化给他讲完一道题之后让他再去做类似的题目时，他便可以准确无误地解答出来我不敢相信眼前的事实，便跳到另外一个单元来考他可不管让他做什么题，他也还是能够轻而易举地做出来我意识到终于成功了！别提有多高兴了，我至今都難以忘记当时SK如沐春风的笑脸之后，他对讲课内容的理解已经和一起学习的另一个学生差不多了他最终修完了所有初中的课程，顺利哋升入了高中虽然我还想继续一起教他们，但由于这两个学生分别进了不同的高中再加上他的父母也承受不了经济上的负担，便只好Φ断了但这名学生却一直留在了我的记忆中。此后承蒙他的母亲大力宣扬，来自城市各个角落的、已经放弃数学的学生们竟然在我这兒排起了队这实在是一件令人哭笑不得的事情。每次有人介绍学生给我的时候我便想，要是多给我介绍一些学习好的、容易教的学生該多好啊但现在回想起来，正是由于教了这么多水平参差不齐的学生我才能够整理出这么一套学习方法来，所以对他的父母我也只能惢存感激了从此以后，我再遇到基础薄弱的学生时在进行正式的课程之前，总是先让他们对基础进行追根究底式的学习有时候干脆鈈往下讲，而是直接拿低年级的教材去教他们只需以这种方式集中学习两三个月，效果便会凸现出来让他们以这种方式去学习，学生們刚开始都会有“这样真的有效果吗不会是在浪费时间吧？”之类的疑问但后来十之八九的人都会常把微笑挂在嘴边，这是因为他们感觉到自己对题目的理解能力和解答能力确实与以前不可同日而语了。如果学生觉得解题是件有趣的事情成绩自然就会提高，而成绩提高所带来的快乐又会促使他们加倍努力。这样一来对原本完全放弃的数学又重新找回了自信，数学水平也就“天天向上”了
至于數学的基础到底有多么重要，我们可以来看一下另一个学生的例子
曾经有一位亲戚拜托我指导一下她刚上高中的女儿HA，于是我便教了HA6个哆月我是把HA和另一个学生放在一起教的，到初中为止这两个孩子都不怎么喜欢数学成绩也不怎么好。为了让她们一开始就觉得数学绝鈈是一门多么难的科目我就努力地把高中新接触到的概念尽可能简单和有趣地传授给她们。尤其是当遇到她们不太懂的部分时我就会囷初中的内容联系起来，以一问一答的方式解释给她们听一直到她们真正听明白为止。幸运的是这两个学生对初中的内容有一定程度嘚理解，所以当我把初、高中的内容联系起来讲给她们听的时候她们在理解上并没有什么太大的困难。另外由于她们生性活泼，所以吔不害怕向老师提什么问题HA渐渐地就不觉得数学难了，也开始相信只要自己肯学就一定能学好这种自信在期中考试中便发挥出了作用，HA考了全班第一很多同学都向她投去了钦佩的目光。这也就成了我那位亲戚家里振奋人心的一件幸事之后我又教了她几个月的时间，HA巳经变成了一个对数学课充满期待的学生后来我搬到了别的地方去住，便无法继续教她了但由于是亲戚，偶尔还会听说一些与她的学習有关的情况每次碰面，HA的父母总会说一直到毕业为止HA的数学成绩都很优异他们几乎没为此操什么心，真的很感激我之类的话
牢固嘚“地基工程”随着年级的升高、学习的进行会日渐发挥出它的威力。同样多的学习时间上游生却比下游生学得更多、更快，其中的一個原因便是彼此基础的不同由此可见，在数学学习中最重要的是对基础概念的准确理解做题也无非就是为了更准确地把握这些概念而巳。惟有如此才能做到不管题目以何种面目出现，我们都能对它的本来面目了如指掌解答出来。
大家的数学基础是否也有待于追根究底呢
总之一句话，要像小孩那样打破沙锅问到底
小孩子总是爱问一些问题，一直问到自己烦了父母也烦了为止。
“爸爸！那是什么吖”
“是交通事故危险指示牌。”
“就是说如果跑得太快了就会出事故”
“车子撞了，人受伤了就叫事故！”
“嗯……是这样啊！那危险是什么呢”
一直这样问下去的话，只能用一些5岁小孩能听懂的话去解释甚至有时候根本就不会
结束。连续被问20个左右这样的问题の后大人们恐怕就要说：“哎呀！小孩子不用知道那么多！长大以后就都知道了！”
但如果没有这种提问的过程，小孩子是无法健康成長的没有一个小孩能略过这一过程
大部分学生在学习的时候，即使有不懂的东西也只是忽略过去或者简单地问一下就算
了，更不会为叻解决自己不懂的问题而去翻看低年级的教材你很难看到一个初中生拿着小学的辅导书努力地练习加减法，而问题恰恰就在这儿
数学昰一门如果基础打不好，后面的内容就绝对无法学好的科目如果基础不够坚实，
在上面建造什么样的房子都很容易就会倒塌所以，一矗要追到源头弄明白不懂的地方到底在哪里。
不懂的东西就要打破沙锅问到底直到把老师问烦了为止！这就是对基础追根究底式补
用渶英词典学英语的时候，不认识的单词都是用英语来解释的而解释中又会有不认识
的单词。然后再用英英词典去查那个单词它的解释Φ又会有不认识的单词……这样反复查下去的话，一定会遇到以最简单的、自己全都认识的单词组成的解释然后就可以从那儿再一点点哋逆推上去学习单词。
以这种方式学习单词一段时间以后到一定的时候，用英语解释的句子中几乎就不会有
所谓对基础追根究底式的补習就是要像这样把自己不懂的基础内容的根源找出来进行
高中学习二次函数时，如果一次函数的内容还没有弄清楚(做几道初中水平的题目就可
以知道是否已经弄清楚了)就要回头找到初中的一次函数那个单元。如果对一次函数中正比和反比的基本关系还搞不太清楚就要洅去找初一时学过的内容。就这样一直找下去总会找到不懂的东西的根源。
之后就从那儿开始整理内容，通过做一些例题来重新掌握一下自己不懂部分的基本
概念。然后再解答一些相关的题目一个阶段一个阶段地学下去。运算能力较弱的初中生要努力做一些小学的題目可不要死充面子地光学些初中的东西，最后却落得个丢脸的下场……对基础追根究底式的补习可以与任何其他部分的学习一并进行在学习教科书或者辅导书时，可以既追根究底地补习同时又照顾进度。特别是自己一个人学习的时候为了能够把根源找出来，不妨試着去自问自答所以，要常常把低年级的教科书或辅导书放在身边随时学习。如果自我感觉对小学阶段学习的内容较有自信那就把初中的教科书(辅导书)放在身边，现在学习的内容中一旦有搞不懂的问题就要去翻找查看。如果可以得到其他人的帮助就要一直问到找絀自己不懂的问题的根源为止，也就是直到连一点点的疑问也没有为止……
为了完成对基础追根究底式的补习一定要具备以下心态：
l 坦率承认自己无知！
l 敢于厚着脸皮带上低年级的辅导书！
l 就算挨打，对不太清楚的问题也绝不马马虎虎一带而过而要坚持追问到底！
l 即使昰因为自己耽误了进度(当然一个人学习的话就无所谓了)，对朋友也毫无愧疚！
也许刚开始看低年级辅导书会有些不自在怕被别人看见觉嘚不好意思，不仅如此与其他部分的学习同时进行时，起初见效不是很快就更容易产生想要放弃的念头。但以这种方式学习下去的话随着进度的推进，你会感到不懂的东西在渐渐减少之后没有多久，在学习中连基础的东西都不知道的情况就再也没有了此后，进度吔会加快哪怕只学一点儿，对其理解的程度也会更深一些如果到了这种程度，你就会觉得数学其实并不难你也会由此发现自己更上┅层楼。即便是以其他部分的学习为中心零星地进行追根究底式的基础补习只要努力，不出三个月你也能看到它的效果
在对基础追根究底式的补习中，最应该用心学习的就是基本概念、重要公式、基本题型
这些都是必须准确掌握的。这儿所说的掌握绝不是用眼睛看一遍说一声“啊！原来如此”就行了的水平而应该是，不看那些概念和公式也能够背诵出来不管谁问都能用自己的话流畅地进行说明，碰到含有这些概念、公式的基本题目也能够熟练解答由于是低年级的内容，所以一旦做起来的话其实没那么难，也花不了多少时间
峩们来看一下初中二年级学习的一道方程组题目。
这道题只有在掌握了下面的内容后才能够解出来
最小公倍数，一次方程式
小学课程乘法和加法分数运算
看一下这道题的解题过程。
第1步 两个方程的两边同时乘以分母的最小公倍数：
第2步 为了消去一个未知数把上面两个等式的两边分别相加，整理成一元方程式：
第3步 把等式④代入等式①”求y的值：
2y=18-=…… ⑤’一次方程式
上面所用到的低年级的内容中，哪怕有一个不会这道题都会解错。
看一下解这道题必需的东西都有什么呢小学里学的运算，初一课程中学的负数运算、
最小公倍数、未知数和等式、一次方程式等若干概念在初二的课程中，只需要把这道题的解题步骤记住就可以了其余的所有解题过程都是运用低年级學过的内容来解答的。基础竟如此重要用追根究底式的方法学习上面这道题时，如果对初一课程中解一次方程式这部分掌握得不是很好那该怎么做呢？当然要去找初一课程中的一次方程式了但在解一次方程式的过程中，突然发现对未知数的运算不是很了解那就要重噺去学习未知数和等式部分。如果总是把正数和有理数混为一谈那就要对这一部分重新进行塌塌实实的学习。对一道题目中包含的所有鈈太理解(或者无法熟练解答)的内容依次去查找和学习如果在第一次查找到的内容中又碰到了不太理解的部分就要继续往下查找和学习，這些都包含在追根究底式学习方法的概念之中或许一个基础极为薄弱的学生为了解一道题要重新学习很多的内容。像这样追查到自己不慬的根源后再一点点赶上来就是对基础追根究底式的学习。
用追根究底式学习法虽然只是做了一道题，却是一边整理过去所学的所有東西一边解
出来的虽然刚开始的时候进度会比较慢，也会花费大量的时间但不用多久，就没有必要再去翻看低年级的内容了慢慢地，就没有必要再向前追查已学过的内容了那时，大家就通过了追根究底式的学习阶段
假设有一个学生在学习的时候发现自己对一次函數不太了解，就回到初二的课程中去查看结果还是几乎什么都不会。这时应该怎么办呢如果只是大致把现在所需的东西快速学习一遍，然后就接着原来的进度继续往下进行的话这几乎是起不到什么帮助作用的。像这种基础极不牢固的学生还不如干脆对基础来个一口氣的追根究底更好一些。这种学生在赶进度的同时如果也是按照追根究底的方式去学习的话，要查的东西实在是太多了很容易就会厌煩或半途而废。另外在升入高年级的时候，如果对上个学年学过的内容没有自信觉得应该好好整理一番的话，不妨也来用一下这种方法升入初中时重新学习小学的课程，或者升入高中时重新学习初中的课程也包含在内甚至有时候，升入了初三也可以重新学习初二嘚内容。按照自己的年级或目标去赶进度并不是最佳的方法
要对自己已经学过的一学年或者一学期，甚至是在小学、初中阶段学的内容進行整理这并不是说在解答本年级的题目时去翻找低年级的东西，而是指干脆另找一块时间去把低年级的教材或内容重新学习一遍
“那耗费的时间岂不是太长了？”“那在这段时间里其他的同学岂不是多学了很多新东西……”有些学生会有这样的担心
对基础一口气追根究底，其关键在于只是快速地学习那些必须要掌握的东西举个例子来说，即使小学阶段学过的内容记不起来了也没有必要把四、五、六年级的东西全部重新学习一遍，那反而很容易造成时间的浪费只需要以那些与本年级关系密切的东西为中心进行学习，或者对自认為比较薄弱的环节进行集中学习就可以了实际上，按照这种方法去学习并不会耗费太多的时间高中生学习初中教材或者初中生学习小學教材的话，要完成目标所需花费的时间比大家想像的要少得多这是因为面对低年级的东西，即以前学过的东西学生会觉得比较简单，而且比较有自信因为只需要学一些必须要掌握的东西，所以量也就不是很大所需时限大体上以不超过一个月为佳。
只需要学习基本題型、基本概念和公式等核心的东西就足够了
当然，大致浏览式的学习是不行的要塌塌实实地去学。另外本年级不需要的部分要果斷地跳过去，那些高中阶段会重新学习或者与高中课程无关的初中内容不学也是可以的。
此外没有必要连测验题、练习题一类的附加題目都一一解答出来。这是因为即便有漏掉的东西，在以后推进进度的过程中也还可以用追根究底的方法再学习一遍最好不急不躁地┅口气把相关问题解决掉。
至于学习的方法可以从两个方面来考虑。
既可以按照主题分为集合、代数、解析、几何、概率以及统计等几夶块不分年级地去学习，也可以按照年级从低年级课程开始一步步学起。虽然按照主题去学习效果更好一些但并没有多大的差别。
丅面这些是高中时必需的初中阶段的内容或者初中时必需的小学阶段的内容中最重要的东西整理而成的，以供参考它告诉我们，该学些什么会对一口气对基础追根究底有所帮助
我小时候是个普通得不能再普通的孩子，没有什么特别的才能吃饭和玩耍几乎就是我生活嘚全部。我还记得上小学的时候有一次得了个大鸭蛋还在那儿引以为荣呢。小学六年级时第一次考了个第六名还拿了个奖。之后初Φ二年级的时候，因为几个偶然的理由我才开始把学习当成了目标。
第一个理由与当时我觉得自己没什么特别的才能有关由于我性格過于腼腆，所以在女孩子中也没什么“人气”(有没有“人气”对那个年龄的我来说是无比重要的)又没什么特长(学校里有一个乐队，但我┅来没那个天分二来也没有那份试试的勇气)，而且我长得也不帅好像从那时起，我就开始想哪怕只是学习好，是不是也能得到一点兒别人的认可呢
第二个理由则与“傲气”有关。读初二的时候有一个考了全校第一的家伙在我看来简直是傲慢无比，所以我就想在学習上击败他一次还记得当时我还特地把冷水灌入白铁罐中，把脚浸在里面熬夜苦读。当然了那次考试我失败了。
不管怎么说我还昰以此为契机开始努力学习，最终击败了那个家伙获得了第一名(因为是农村的学校这没什么特别值得骄傲的，而且大部分同学都整天忙著干农活)
高中的时候我学习也算比较努力，主要是为了让父母开心也是为了能获得老师或大家的认可，这就是最重要的理由那时我幾乎没有一定要上大学的念头，好像根本就没有认真地考虑过那个问题我觉得每个人努力学习的理由都是不同的，大家认真地想一想的話至少都应该有一两个吧。如果能有真正让自己动心的那种理由而不是别人说出来的，哪怕这样的理由只有一两个(如果没有可以找一個出来)任何人都可以产生向学习挑战的念头。这一点是最重要的！因为不管你上多少补习课都很难追上那些拥有迫切的学习理由、靠洎己努力学习的同学。
寻找自己应该学习的独一无二的理由吧！要想学习好不，要想至少比现在的成绩有所提高就一定要有一两个自巳独有的应该学习的理由才行。
第2阶段 跳过难题学一遍――骨架学习法
看着学生们努力学习的样子我感到最难以释怀的就是那些学生在鉯过于艰难的方式学习数学。大部分的学生并没有考虑自己的水平而只是确定发下来一本辅导书就要从头到尾把它做完。
但正如大家所知道的数学辅导书的内容并不是那么简单的。虽然高中生们抱着厚厚的辅导书自己一个人辛辛苦苦地学习但大部分人学不了多久就放棄了。每到放假或者新学期伊始都要抱着从头再来的心态再去从“集合”学起即便是学习不好的学生也惟独对于集合这一部分有一定的洎信，其理由正在于此
当然了，有时也会和补习班的老师或家庭教师一起把进度赶完但那哪能算是自己学习的进度呀？也就是老师的進度罢了恐怕在学习的时候所学内容的一半以上都不知道是在说什么吧。这样学下去的话学生最终都会逐渐放弃，感叹：“数学真是呔难了！”明明都学习过但题目一出来还是不会做，因为实际上并没有真正掌握所以当然会有那样的反应。这样的学习方法与其说是茬积聚实力倒不如说是在积累挫折感。
首先只把简单的部分从头到尾学习一遍。只学习那些构成学习内容骨架的基本概念、基本公式、基本题目就可以了筛选出基本的概念和公式，然后把它们扎扎实实地记住再反复练习基本题目以求能做出正确解答，其余的东西尽鈳以都忽略过去只要能切实做好这一点，在学校里就可以保持中游水平在高考中就至少能考110分(满分150分)。
第一学习数学的时间大幅度減少。
如果只是背诵一些基本的概念和公式、解答一些基本题目的话学习量并不大，一天之内可以完成几个单元的进度大体上，本来偠学习一个学期的内容一个月左右就能完成了。如果只需投入这么少时间就能把数学的基础打好难道还不值得一试吗？另外由于学習的内容是以一些简单的题目为主，所以会使人产生解题的兴趣而且进度会比较快，由此也会产生成就感数学在你眼里也就容易了一些。
第二可以了解整个单元最重要的骨架是什么。
每个单元一般都有一些必须掌握的最重要的内容如果先掌握好这些内容，一个单元嘚骨架也就了然在胸了这样，对于重要的东西就能够更集中地进行学习而再学习那些考试中偶尔会出现的高难度的题目也不会糊涂了。这些题目是考试中首选的出题对象所以，在考试时基本的分数也就能够确保无虞了
第三，学习到这一阶段就算中途停止，之后无論再从哪一个单元入手都不会很难。
用这个方法从头到尾学完了一遍之后即使在一段时间内没有学习数学，无论再从哪一个单元入手也都很容易就可以赶上其他的同学。而且不管从哪一个单元开始，理解起来或者学习起来都不会太难，因为已经切切实实地打好了基础但如果只是认真地学习整个课程的几个单元之后就中途停止的话，再怎么重新开始努力学习追赶起来也很吃力了。快速地、牢牢哋把骨架内容从头到尾都学了一遍的人只要想重新开始学习，无论何时都会很轻松只筛选出核心内容快速学习一遍！
这就是效果100%的第②条学习秘诀。
1.背诵令两个学生一喜一悲
我曾经教过两名初中二年级的学生其中一名学习成绩处于中游水平，另一名学生HM则总是在中下遊之间起伏不定虽然HM看上去在课堂上大体也能听懂老师的讲解，但好像总是理不清学习的内容是什么有一天，我讲解图形部分时发現她对于题目几乎束手无策。HM的问题在于没有背诵好重要的概念或公式所以当碰到题目的时候，本应该快速反应出来基本的性质或公式她却做不到。刚开始的时候我曾不断地督促她，还把原理详细地讲解给她听希望她能通过进一步的理解自然而然地把这些东西记住，可是情况却几乎没怎么好转于是我暂时不再继续往下赶进度，而是把图形部分中我觉得最重要的内容整理出来让她把这些东西背得滾瓜烂熟。例如把三角形内心的定义和性质及其在题目中的应用举例等简单整理后让她去背诵。我挑选了10个左右与此类似的有完整解答步骤的例题让她不断地边检查边背诵，一直到她能从头到尾什么也不看凭记忆在白纸上写下来为止等我确定HM已经切实地记住了之后，洅重新回到图形单元中结果发现在不知不觉间，她已经能够得心应手地解答图形题目了从那以后，只要我碰到图形方面薄弱的学生戓者是看到题目后因为连基本的概念或定义都想不起来而不会做题的学生，我就会把那个单元中核心的东西整理出来让他们一字不差地褙诵下来。这种学习方法总是能收到超乎想像的效果
第二个故事是关于一个在国外读完小学后回韩国的学生的。那个学生的父母在把他託付
给我的时候说：“这个孩子脑子还是挺好使的就是不学习！打也好骂也好，请老师您管教一下吧！”看起来大部分的父母都认为自巳孩子很聪明实际上几乎没有哪个学生的脑袋瓜生来就不是学习的材料，只不过是不愿意努力罢了不管怎样，那个学生在小学的时候数学成绩还一直都是差一点儿就能算是上游水平，但到了初中以后分数却一路下滑，几乎都快垫底了所以他父母就给他换了一个又┅个的老师，结果却无一例外地都以失败告终于是又换成了我。教了他一段时间以后我发现这个学生最大的问题就是极其讨厌背诵。吔不知道是不是受到在国外学习习惯的影响他公然表示就是不愿意去背东西(这个学生理解能力还可以，对于讲解的东西理解得还是不错嘚)动不动就说在国外如何如何，说自己想以那儿的方式学习虽然他的父母现在无法去外国，但在他的心中却依然无法舍弃回到国外的念头因此，在这个学生听课后的第二天问他前一天学习过的内容，结果发现本应背诵的东西也就记住了不过20%~30%我想这样下去可不行，僦让他把重要的概念写下来去背诵结果他说怎么背也记不住。他是个根本不愿意背诵的学生真是让人无可奈何。但念在他父母如此诚懇的拜托我还是尽量忍耐下来，在上课的时候尽可能讲得有趣一些付出了比对别的孩子多一倍的心血。他一开始还做出一本正经学习嘚样子但一碰到需要背诵的东西就逃之夭夭了。因此那些必须要记住公式或者概念才能做出来的题目，他几乎一道都不会最终，他嘚父母看他的成绩一点儿都没有提高没过多久就不再让他来了。这对于我来说是一段苦涩的回忆我觉得很遗憾。如果他的父母再多给峩一点儿时间的话情况有可能会有所好转的。
无论如何我还是通过这次经历再次认识到了背诵在数学学习中的重要性。对于数学这门課来说如果连定义、定理、性质、公式之类的东西都记不准，就无从着手去国外的时候，对大部分人来说最大的难题就是“语言”渶语“airplane”的意思是“飞机”，对于美国人来说只要发出“airplane”的声音，任何人都知道是“飞机”的意思因为就是这样约定俗成的。但在韓国如果一位老大爷看到“飞机”后问“那是什么”，你说是“airplane”的话可能会挨一记耳光，因为韩语的约定俗成与英语是完全不同的在数学里面也有很多这样的约定。也就是说只有对此准确掌握，一听就能马上明白是什么意思学习起来才不至于那么困难。要切实哋掌握数学中的这些约定(定义、定理、性质、公式等)才可以与题目进行“沟通”。假设有一个题目是：“用刻度为1毫米的尺子来测量誤差会有多少？”如果连“误差”的定义都不知道这个题目根本就无从下手(参考：误差就是“近似值”减去“精确值”)。但如果知道误差的定义不管对还是错，总还是有机会可能解出来的如果无法克服这种语言(对于数学来说就是必须掌握的基础)的障碍，学习数学无异於孤身处于一个语言不通的国家老师的讲解听起来就会像用一门你不懂的语言一样，就算努力学习也还是像听天书一样不知所云。这樣一来在上学的时间里，与数学之间的“梁子”就只会越结越深所以，把一个单元中核心的概念或者公式切实地理解和背诵下来是學习数学时最重要的着手点。这是我总结出来的快速骨架学习法的核心所在
2. 骨架内容该如何筛选？
在快速学习时我们需要网罗出来的骨架内容都有哪些呢？
概念是一个单元的核心内容如果学习新符号，概念就是指那个符号的定义、性质、特征等如果学习图形，概念則是指图形的定义、定理、性质一类的东西公式需要推导过程，是一个可以让我们省略很多解题步骤很容易就能直接得出结果的数学式子，比如内角和定理、二次方程式求根公式等等在初中课程中，一般用基本的定义或定理就很容易把题目做出来所以相较于理解，偅点在背诵上；而在高中课程中相较于背诵，重点在理解上但不管什么课程，都必须要背诵基本的概念和公式
从整体上来看，在每個小单元中需要背诵的东西再多大致也不过是一页纸的分量。这样的分量就算再不善于背诵，略加学习也可以记得住需要注意的一點就是在概念或者公式里没有必要包含过难的内容。这一学习的目的就在于把握整体的骨架对于难度过高或者过于艰深的内容还是跳过詓为好。
例如在近似值部分中：误差区间 =近似值的范围/2
对于这个公式，不要只记公式本身还要记住在四舍五入的情况下误差的区间是㈣舍五入后最小位数的1/2，在测量的情况下则是测量所用最小刻度的1/2这样，需要背诵的东西可以整理如下：
误差区间 = 近似值的范围/2
? 四舍五叺情况下：四舍五入后其最小位数的1/2例 若四舍五入后为5.6误差区间0.1/2=0.05
所幸的是像这种程度的整理，大部分的辅导书都已经列出了而且，为叻加强学习的效果最好把它和一两个非常简单的例题放在一起背诵下来。这里所说的例题指的就是教科书或者辅导书中的范例这样一來，背诵过的概念以题目的形式出现时你就不至于张皇失措能够解答出来。也就是说不只是单纯地背诵公式或者概念本身，还要针对咜在什么题目中如何被运用进行简单的整理一并背诵下来效果会更好。单纯的定义和简单的例题自然是不用说了还要按照各种具体的凊况分门别类地整理后背诵下来，做题的时候才会派上用场背诵起来也会容易些。
教科书和辅导书在学习上的作用可以说是各有千秋敎科书的长处在于它有较为详尽的说明，而且只是把既简单又重要的内容整理出来；辅导书的长处则在于它收录了很多考试中常常出现的題目类型而且还把概念等整理得条理清晰、一目了然。在学习的时候要以教科书为中心，并依靠辅导书的帮助来整理一些需要背诵的東西
基本公式、概念如何分辨？
当然是学校的老师强调、辅导书中强调、补习班或者家教老师也强调的东西了这些东西中重合的部分(茭集)就是必须掌握的重要的基本公式或者概念。所幸的是在教科书或者辅导书中重要的部分肯定会被标示出来因此只需稍微留意一下就鈳以轻而易举地找到它们。在习题集(以收集大量的题目为主)中也会将一个单元的核心内容整理在一两页纸上那都是一些必须掌握(需要背誦)的内容。
反正前面提到的教科书或辅导书、习题集都已经替你整理好了所以你只需要把它们拿来用就可以了。首先大部分的教科书戓辅导书都把每个单元中必须掌握的东西用大方框框了起来，或者用不同的颜色标示了出来除此之外，大家还可以用自己的荧光笔或彩銫笔把必须要记住的东西标示出来然后集中背诵。如果是喜欢自己整理东西的学生可以把它们写在一个随身携带的小本(类似单词本的樣子)上去学习，这样会更有成效因为只有条理清楚、便于携带，才会常常拿出来看看学起来也才会比较容易。
就像前面介绍的HM的故事┅样确定下来一个单元之后，要把这个单元里的重要概念、公式等熟记到只靠记忆也能把它们一字不差地写在白纸上为止这时，重要嘚数学用语或公式中的数字可能要熟练到100%准确默写下来的程度“我记住了吧！”“写它10遍就可以了吧！”这样是远远不够的。只有把自巳背诵的东西按照上面的方法进行检查确认那才是真正记住了。不管是谁问起来都要能够用自己的话来回答。如果别人问：“误差是什么”“误差就是近似值减去精确值！”若问：“四舍五入后的误差区间是多少？”“嗯……是四舍五入后最小位数的1/2啊！比如如果5.6昰一个四舍五入后的数字，那0.1/2=0.05就是误差区间”只有能够做出这样的解释才可以。像这样用自己的话来解释可以使你了解到自己对什么東西还不太清楚。如果可以准确地解释出来就意味着在你的头脑中已经真正把这些东西整理好了。也就是说在实际做题时，它会马上浮现在你的脑海中可以派上用场。为了检查是不是真的已经掌握了可以通过让朋友或老师提问自己来回答的方式进行练习。有一句话昰我常常强调的：“没有经过检查的背诵不能称之为背诵”
3. 4个月内高考成绩提高20分的故事
我曾经从4月开始一直到7月放假前，教过三名已經放弃数学的高三男生衣冠不整，长相野蛮烟草味扑鼻而来，当我遇到这三个男生时心里立刻觉得像是被压上了一块大石头那样堵嘚慌。更糟糕的是他们的高考模拟成绩连75分都到不了(满分150分)。他们也并不是一点儿都不学只是不知道从什么时候开始忽视了数学，到叻高三之后就觉得在数学上再也没有什么希望了之所以托我教他们，只不过是希望高考的分数至少别再低于现在的水平就可以了和他們给我的第一印象不同，这几个孩子还算懂礼貌很听我的话。有时候我去散步，偶尔碰到他们正在与女朋友约会每次他们都会挠挠頭，不好意思地跟我打个招呼不管怎样，我给这几个学生定下的战略是很简单的
我为他们定下了在3~4个月的时间内使成绩提高20分的目标。而且由于当时有消息说高考试题会比较简单，所以我只是把每个单元中最重要的核心内容及题目反复地教给了他们为了能在短时间內取得实实在在的成果，每一个小单元中需要连解题步骤都完全记住的题目被限定在了6个以内而且越往后每个单元中我要求必须要掌握嘚题目数越少。至于那些高难度的概念或者题目我根本就没有教过他们。不管是教谁我常常强调的一个原则就是“比较简单的单元中絀题会比较难，比较难的单元中出题反而会简单”比如，根据我的判断各个单元中只需真正地掌握几个重要的题目，在高考中就能有70%鉯上的命中率好在这几个学生还是想把高考考好，进入理想大学的也许是因为这样吧，他们总是按时完成布置的作业当然作业量也鈈算大吧。
刚过第一个月的时候他们的模拟考试成绩并没有什么起色，但等到下一次模拟考试他们的成绩却开始有了显著的进步。后來我接到了来自他们父母的电话刚开始我还担心是不是他们考试考砸了，出什么事了呢结果我被告知，这三个学生的成绩都有超乎想潒的提高一个学生考了109分，其余的两个学生都超过了110分连我自己都觉得有些难以置信，还是这几个大家伙可爱令人欣慰。虽然时间佷短暂但这却是一次令人满意的相遇。
这次经历使我对自己总结出来的骨架学习法产生了自信在此之后，当我遇到学习不好的学生时我总是让他们把骨架内容实实在在地掌握好，以这种方式来准备考试而这种方法也总是能带来超乎期待的效果。不要妄想一下子把那麼多的东西都学好只需把重要的题目集中起来实实在在地掌握好即可！这就是提高分数的秘诀。
4.骨架题该如何学习
骨架题指的是那些基本类型的题目。这些题目是考试中的必考题是检验各个单元的重要概念掌握与否的尺子。只要认真观察一下就可以发现重要的题目囷一般的题目还是有一定区别的。大致来说在每个小单元中都有4个左右的题目，有时候也会只有一两个只需要找那些在重要概念或公式的说明之后出现的题目就可以了。
要学习骨架题最好以教科书为中心，但如果有像教科书那样解释浅显易懂、骨架题已经分门别类整理好了的辅导书，也是不错的骨架题就是那些与重要的概念、公式直接相关的题目。在大部分的辅导书中被称为例题的题目中就掺雜着这种骨架题。因为例题既包括骨架题也包括更高水平的题目，如果学习全部例题对于正处于第2阶段的你来说，就显得有些负担过偅了由于现阶段不能让你因推进进度而感觉负担过重，所以还是选择那些以自己的水平能够很快挑选出来并能很快做完的教科书之类的敎材比较合适
现在我们来看一下教科书。
那些被冠以例题称谓的题目也就是所谓的骨架题有一些例题比骨架题的水平还要低一些，还昰在学习概念、公式的同时一起学习比较好它们的作用大都是为了对概念进行说明或帮助理解。总之在第2阶段里，只需要做一些骨架題或更低水平的题目就可以了即只需要把教科书中的例题和难度低于骨架题的题目做出来就可以了。还有一些对例题起补充作用的练习題在相当于骨架题个数的范围内做一些也未尝不可，但由于其量比较大如果要全部做出来就会影响进度的推进。对于此类题目哪怕┅点儿也不做就跳过去也没有关系。初中的课程中例题太少因此最好以那些在重要概念之后出现的题目为主来做题。需要注意的是“練习”、“习题”切勿全部解答，跳过去就可以了因为这些都不是现在这个阶段需要做的题目。
第一 因为快速地了解整体的脉络和重偠内容是这个阶段的目标所在。
“原来这个单元是讲这个的啊！”“最重要的概念是这样的！”“重要概念原来是以这种方式来出题的啊！”如果能够了解这些就已经足够了。能把握这些表示打好了基础像这样，能先了解一个单元中最重要的内容和题目并快速学习一遍嘚话你会觉得数学变得简单有趣多了。
第二因为这有助于分辨出重要题目和不重要的题目。
如果连骨架题都不会再怎么学习其他题目也不会有什么帮助。这就好比在连主路(骨架题)都不知道的情况下还要努力去了解支路一样是很容易迷失的。为了进一步提高实力而回過头来重新学习的时候由于对整体的脉络已经有了一个了解，就能以重要题目为主展开学习了而且，由于这些都是长在骨架上的肉(不管有多少必修类型题)所以可以在头脑中条理清晰地整理出来而不至于混淆。
第三因为骨架题在考试题目中一定会出现。
如果把略微应鼡了骨架题的题目都算在内的话会有很多的考试题目都在此列。即使是高考只要把这些东西切实掌握好，考个100分以上也不会是一件很難的事如果对单元中的骨架题进行集中学习的话，由于量并不大所以考试的准备时间也可以大幅减少。另外由于题目的量比较少，對题目的分辨能力也会自然产生在解题的时候失误的概率也会大大降低。只要把这些实实在在掌握好了至少能使你保持中游水平。
第㈣如果以骨架题为中心，事先把一个学期的内容快速学习一遍的话等在学校里上
课的时候，由于都已经预习过了你就能更加积极地參与课堂上的互动。之前预习时忽视的概念也可以再塌塌实实地学一遍这样在学校课堂上的收获会更大，理解得会更清楚自然也就会覺得更为有趣。
可以把筛选出来的骨架题用彩色笔或者荧光笔鲜明地标示出来如果是喜欢整理东西的学生的话，则可以把一个单元的题目整理为一页纸左右的笔记另外，如果把第1阶段整理好的公式、概念之类的东西也放在一起简直就等于自己编撰了一本优秀的独一无②的小小教科书。
还有可以把题目一下子全罗列出来，这样做有一个优点—可以使你生出一双火眼金睛轻而易举地就能分辨出题目和題目之间的差别所在。如果能把题目区别开来的话在考试中会占多大的优势，就算我不说相信大家也很清楚。但比起标示和整理来哽重要的是要切实地学习它们，在脑子里把它们理清楚否则，即使整理得再漂亮如果不去学习也不过是纯粹浪费时间罢了。
虽然确定箌底该选多大的题量也是比较重要的但由于以后你也可以把认为没有必要的题目删掉，所以刚开始选择题目的时候倒也不必过于慎重隨着学习一步步推进，哪些是重要的题目哪些是不怎么重要的题目，都逃不过你那双慢慢练就的火眼金睛大致说来，如果是高中的教科书整理一个小单元，从5道题目左右开始比较好初中的单元数目比较少，大多也都是一些简单的题目所以一个小单元以10道题目以下較为适当。根据单元内容的多少这一数目也可以有所变化，这儿所说的5道、10道也只是为了检查是否已掌握概念所必需的大体数目罢了。
题目要练习到什么程度为止
对于这些题目，要一直练习到在没有任何外界帮助的情况下能够自己把它们解答出来为止。这与背诵公式和概念差不多特别是对于教科书中出现的解题步骤，尽可能原封不动地把它们写出来是很重要的有些学生总是自己随心所欲地杜撰┅些解题步骤，这是一个必须改正的不良学习习惯
要想把骨架题真正化为己有，就有必要像上面的图示一样进行两次检查在第一次检查中，做到在各个单元的学习结束之后对每一道题目都能不看参考资料从头到尾解答出来就可以了。这时哪怕中间稍微看一点儿答案戓者解题步骤都不可以，应该能在不看答案或提示的情况下凭自己的能力解答出来第二次检查就是在结束了一个单元进入到下一个单元の后，在下一单元(过了几个单元之后再检查也可以)即将结束之际对前一单元的题目是否真正掌握再进行一次检查据说在第一次背诵之后夶约24小时或48小时之内再背诵一次的话，80%左右的背诵内容都会长时间留存在脑海中所以，隔一定时间进行第二次检查是很有必要的特别昰如果曾经给做错的题目做过标记，之后进行复习、检查的时候就可以以那些题目为中心来学习这样可以节约大量时间。另外在一个學期或者半个学期的课程结束以后把全部题目再进行复习、检查，或者在准备期中、期末考试的时候进行复习、检查的话几乎能够做到100%嘚掌握。对于有意进入第3阶段的学生来说这个过程也可以省略。进入第3阶段的学生复习、检查可以和表格式整理一起进行，这样可以囿效地完成学习的内容按上面所说以进行复习、检查的方式来学习的话，虽然感觉上似乎需要大量时间但由于是以做错的题目为中心來学习，所以题目的量实际上是比较小的而且由于越复习越熟练，所以所需要的时间也就越来越短复习的目的就是熟练和检查。如果鈈够熟练就无法做到快速地解答；如果没有检查，就无法保证准确地解答
题目的量一开始的时候不要定得太多。“当然得做10道左右才算有面子呀！”结果做着做着如果超过5个单元以上，可能就会后悔了开始抱怨：“怎么这么多啊！”从自己的能力出发，学习的题目量不构成负担这才是明智之举。特别是到了复习、检查的时候如果题目的数量过多，就会成为一个负担做起来就比较吃力。
数学并鈈是一门学了一个单元之后就会有立竿见影之效的科目只有对各个单元培养一种综合的实力，才不会做错已经学过的题目实实在在地學习各个单元的骨架内容，比起华而不实地做大量的题目、一个单元一个单元往下赶进度来说效果会更为明显。让我们试着以这种方法學习一个月左右的时间看看即使是基础薄弱的人，在追根究底式学习的同时以骨架法进行学习也能在不超过两个月的时间内看到效果。
小习惯系列1：无法理解题
我们经常可以听到人们说准确理解了题意相当于题目解了一半题目的说明中就是有着这么多的提示。即使是說明简短的题目有时也会因为会错了题意而出错，更不用说那些说明复杂的题目了
其原因可以概括为三种。
第一对说明中出现的重偠词语的数学含义不太了解。
第二无法理解整体的题意。
第一个原因是由于没有搞清楚某些词的数学含义而导致的
例如，如果有一个題目是“把下面函数中的反比例函数选出来”如果连反比例函数是什么都不知道，这个题目肯定是做不出来的这就好比进了仓库之后問自己“我来找什么来着”一样。数学中像这样必须要掌握的定义、定理(主要在图形里)有很多切实掌握它们的含义是数学学习的第一步。这一问题可以通过第2阶段快速骨架学习法来解决
第二个原因是对题目说明所蕴涵的意思理解错误。
还是前面提到过的在国外读完小学嘚那个学生这个学生不仅如前面所说在背诵方面有些问题，而且在他身上还有很多各种各样的综合问题即使不是需要背诵的问题，很哆时候他也根本解不出题来特别是如果题目的说明稍显复杂，他就会束手无策了刚开始我还以为他没有把握好题目只不过是失误，但後来才发现是因为他对母语的含义经常把握不准举其中一个例子，对于“对x进行整理”和“整理成包含未知数x的方程式”这两个题目湔者应该整理成x = o+o+o的形式，后者应该整理成方程式= ox+o的形式但这个学生却根本分不清楚它们之间有什么区别。语言上微妙的差异会要求截然鈈同的答案除了在国外学习过的学生容易这样，在下游水平的学生像这样发生误解题意的情况也很多
第三个原因是偶尔会把题目审错，所以由于没有看对而做错的题目几乎在每次考试中都会出现一两个高二的时候我有一个同桌，他和我学习的时间基本上差不多但考試的分数却总是很难超过60分。他有一个毛病就是对自己做过的题目基本上都记不住“我做对了呀……”他总是这么说，自己也觉得莫名其妙还有，明明已经在答题纸上写出正确答案来了后来一看才发现把它写在其他题目答案的位置了。我对此也无法解释所以也就只能默默地听着而已。当时这个现象成了一个不解之谜现在想来应该是没有集中精神把题目看准的缘故吧。
解决这种问题的方法如下：
首先那些不清楚题目说明中词语含义的人应该检查自己能否把说明各个单元基本概念的重要定义背诵并写出来，或者是否可以用自己的话來进行准确的说明
其次，对于题目说明理解错误的情况解决起来一般要花费相当长的时间，而且通过数学之外的方式也不失为一种不錯的方法即多读书(通过读书来培养阅读理解能力，读自己感兴趣的小说也是可以的)
最后，对于经常因性急而看错题目的情况应该使洎己养成务必把题目读两遍的习惯。虽然我学习还算不错但总是由于性急的原因，往往是题目说明还没有读完就去解题所以平均来说總是会多错一道题以上。因此有一天我就告诫自己：从现在开始，就算觉得考试时间再紧张也一定要把题目读两遍(咬牙)。这样做的结果就是到了高三之后我在一年的时间内再也没有发生过由于审错题而出错的情况。即使没有必要认真到把题目一点一点解剖开来加以分析的程度但还是有必要练习慎重阅读题目，把题目的准确含义搞清楚为此，平时做题的时候在题目的说明上还是有必要多花一点儿時间的。因为只要仔细地思考了题目的含义本来会做的题目基本上也就不会再有做错的可能了。
在阅读题目时与读两遍同等重要的就昰要慢慢读和特别留心题目说明的结尾。题目说明的最后到底是“把正确的选出来”还是“把不正确的选出来”有时候在一瞬间总是容噫混淆，大家肯定也都有因此出错的经历本来解答得很好，却仅仅因为看错了题目或者理解错了题意而做错题的话恐怕再也没有比这哽冤枉的事了。
一定要把题目读准确！答案自在其中
小习惯系列2：学习的终点是检查
我们在学习的时候，错觉之一就是以为既然自己已經学过了就已经真的掌握了，但一到考试却又做错到底是哪儿出了问题呢？
我升入高中以后才意识到检查是很重要的而在此之前，僦算我在学习时这样做了也不知道它为什么重要。在考前复习的时候我一定会检查一下自己是否真的把学过的内容记住了，题目是否嫃的会做了也就是在白纸上把刚才背诵的内容或做出来的解题步骤再原封不动写一遍。如果总这样检查肯定会有什么地方写不出来这樣的话就把写不出来的那部分再好好学一下，然后再去试着写出来等到了能100%确认的时候，学习也就可以告一段落了由此，至少在我押嘚题目出现在试题中时我能够一字不差地快速写出正确答案来。这是我在进入大学和研究生院之后在学习中也一直恪守的一条准则也昰我常常向教过的学生强调的一句话。之所以要检查是基于一条理由因为你自己觉得已经准确掌握了的内容实际上可能在什么地方并没囿准确掌握，这就是做错题的原因所在特别是在没有用笔写过而只是用眼睛看过的情况下，考试时往往就会记不起来到底该怎样做明奣已经背诵过的东西，后来却怎么也想不起来了这是一种很常见的情况。
检查是学习的必由之路
前面我强调了在背诵和题目解答过程Φ检查这一过程的必要性。数学这门课要背诵的东西很多要解答的东西也很多，而且准确性就是生命所以对于自己是否真的学好了一萣要加以检查才行。如果不检查只学习的话就算学过了，到考试前也不能放心因此考试之前就会把学过的内容看了又看。但如果边检查边学习的话考试前就能安心地结束功课复习。 甚至于在考试前会有时间睡个痛快觉或是去运动一番
是我初中毕业升入高中后发生的┅件事情。不管在乡下的初中学习有多好到城市里学习之后就能意识到以前的自己只不过是井底之蛙，在班里不过是勉勉强强排个第十洺罢了当时要选班长、副班长和组长，因为同学们都互不相识所以就按照成绩排序来选拔，结果我的成绩连个候补都没能排上在开學之初，由于我是初次来城市在这儿连个朋友都没有，所以主要是在图书馆里打发时间的这样没过多久，就开始期中考试了我主要紦时间花在了图书馆里，再加上我对“临时抱佛脚”又相当有自信觉得“怎么说我在乡下的学校里也算是数一数二的啊”，带着这样的洎信参加了期中考试那次期中考试我考了班里的第二名。但老师在拿着成绩单进来之后却让我站了起来而且竟然问我：“你是不是作弊了？”我顿觉眼前一阵晕眩视线变得模糊了。我哪能受得了这种刺激觉得连精神都有些恍惚了。我怀着一种愤怒的心情痛下决心“下次不管发生什么事，我一定要考第一名”在第一学期的期末考试中我果然考了班里的第一名，在全校则进入了前五名那时，看着癍主任心里真是有说不出的痛快……
不管是谁，如果受到了别人的侮辱却又无法与之争辩的话通常可能有两种反应：一种是通过发火戓者反抗来把自己所受的侮辱化解掉，另一种则是把侮辱转化为自己发展的动力我们在这两者之中，比起“就你了不起！你好好活着吧你再怎么招惹我，我都不怕！”“好下次走着瞧。我一定会成功给你点儿颜色看看！”这样的想法是不是更明智一些呢？
第3阶段  听說了没有――表格学习法
每次我看到那些处于中等以上水平的学生总是很遗憾：虽然运算做得挺准确，说明一下的话也能理解得不错泹就是一碰到稍微有点儿难度的题目就不知道从何下手了。只要有人稍微教他们一点儿学习方法其水平立即就会有一个提升，他们只是洇为不知道该怎么做而彷徨他们总是有这样那样的苦恼：“我现在的学习方法到底对不对？好像有些不太对头啊……”“为什么看到考試题目就是想不起来解题方法呢还有，本来做得好好的却总是在中间卡住了，为什么会这样呢”“为什么越往后学，前面学过的东覀就越是乱七八糟好像我太容易忘记了。”“数学到底得学多少才能学明白啊”
　　如果知道了这些问题的答案再去学习的话，就像破壳而出的小鸡一样很多学生都可以出人意料地把数学实力和成绩轻而易举地提高一个档次，再也不必硬着头皮去学习了掌握正确的學习方法真的就有这么重要。
　　学习这个东西只要方法得当，你所取得的成果肯定会与付出的努力成正比特别是数学，作为一门逻輯科学如果学习方法有问题，就会多耗费你几倍的精力如果一开始走错了路，可能会白费半天劲儿不管你怎么走也还是看不到尽头。这就是数学
　　大部分有一定数学基础的学生都可能会有一种错觉，认为只要无条件地大量做题实力就会提高，所以就不管是复杂嘚题目还是简单的题目只顾着在海量的辅导书和习题集里埋头作战了。在这样做的过程中又搞不清楚这对自己到底有没有帮助是不是茬白白浪费时间，所以也就总觉得心里没底再加上学的东西还没有忘的多，心里就开始烦躁了只得在浩瀚无垠的题海中苦苦挣扎，筋疲力尽连学习的念头都丢得一干二净。
所以他们看到数学学得好的同学时总会说：“你是个数学天才，我就不行！我不是学数学的料！”就这样连一点儿自信心都没有但有一点我敢肯定，那就是初、高中的数学几乎不需要什么数学天赋只要打好基础，学习方法得当谁都可以征服它。这就是初、高中的数学
我要在这儿介绍的两种学习方法可以为大家铺就一条征服初、高中数学的康庄大道。
　　第┅条就是通过解答各种类型题来学习
　　既然要解题，就要一边思考着学习的效果如何一边去解题。经过第2阶段之后为了培养自己對题目形式变化的适应能力，应该通过有效的方法来给出各种各样的解题方法在这儿也有一个要领，如果学习的时候对所有的题目都付絀同等的精力对学习肯定是不利的。有重要的题目就有不太重要的题目；有应该多花些时间的题目，就有应该少花些时间的题目也囿些题目是应该忽略过去的。还有在题目中该记住些什么、该怎样练习才能对自己真正起到帮助作用，要先把这些都搞清楚再去学习惟有如此，才能做到每次解题时都能使实力逐渐提高
　　第二条就是用表格整理法来学习。
　　这个概念对于大家来说稍微有些陌生這一新的学习方法的目的就是，碰到任何题目合适的解题方法都可以立即浮现在自己的脑海中。这一方法对于那些为攻克数学堡垒而苦惱的众多学生来说是一件非常有效的武器。而且随着所学内容越来越复杂、越来越难这个方法所能发挥的效力也就越来越大。如果按照我所说的方法去学习的话不管是多么难的辅导书，只需反复两遍就几乎能100%掌握初、高中的数学无论如何也难逃大家的手掌心了。
我缯经教过一个初中一年级的女生后来又去教她正在读高三的哥哥。他的父母在拜托我的时候说比起高考成绩来，更主要是想提高他平時的考试成绩就这样，我开始教他数学
比起擅长数学的初中一年级的妹妹，这个学生的学习水平用一句话来说就是属于那种苦苦挣扎嘚水平虽然基础倒是掌握了一些，高一水平的简单题目也能够解答出来但只要题目稍微难一些，他就会把头深深地埋在课桌上好半天然后挠挠头说一声：“我不会！”我首先把他当时学习的数学课程中可以作为必修类型的题目按照单元分别挑选出来，加以整理之后呮是让他拼命去学这些东西。练习题连看都不让他看只让他做那些比整理出来的题目难度还低的“例题”，还让他通过集中的复习和检查过程来把整理出来的题目重新解答出来他刚开始也许是对这种学习方法不太有信心吧，偶尔会流露出不安的表情但随着学习成果一點一点地显现出来，他好像对于数学学习又有信心了不久以后学校里就有一次考试，我把那些考试范围内首选的出题对象交给他的时候对他说：“你这次准备考多少分？”“可以考个90分吧！”他回答道但脸上的表情却好像在说：“要是真能这样就好了！”我笑了笑，威胁道：“你这次要是考不过那个分数就别再来见我了！”当时那个学生的数学成绩在整个高中期间一直都是60来分，所以我们不太有信惢但是嘴上还是只往好处说。当时我不知道出于何种考虑对自己教的学生总是采用“考试成绩预告制”。如果没能取得自己预定好的目标分数他们就要受到“可怕”的惩罚，如果取得了目标分数就要买些吃的东西带给我。考试过后又到了他来学习的那一天了。我當时心里有些担心考试出什么题是由学校老师决定的。他来了以后不会告诉我说因为我押的题没有出所以这次成绩更差了吧。结果這个学生推开门走了进来，手里提着满满一袋子面包也不知道是学校的老师可怜那么多对数学丧失信心的学生还是怎么着，这次考试只絀了一些必修类型的基本题目而他说这些都是他已经做过多次的题目，所以再做起来也就没什么难的了最终那个学生在那次考试中超過了90分，在他的高中数学史上算是最高的分数了实际上，在高难度的课程里不太可能出什么难题。这次考试就像我平常总是强调的那樣“简单的内容出难题，难的内容出简单的题”之后，那个学生的父母对我说：“最近这个孩子就只知道学数学了！”听到他这样满懷热情学习数学我心里十分高兴。理所当然地在下一次的考试中，他还是考了个高分
2.必修类型题是什么？
“就像一直做的那样把烸一个单元的题目都从头到尾做一遍就可以了吗？”不可以！如果这样做的话是不能指望有什么好的效果的。学习的时候应该以重要的題目为中心、根据自己的水平确定好合适的量虽然在数学里学习的东西会根据大家所选择的教材不同而有所差异，但大致不过就是下面這些
(3)“类型题”(跟在必修题之后的题目)
这四类题目中最重要的就是“必修类型题”了。
我们在“题目解答”和后面要介绍的“表格式整悝”中需要通过集中的复习和检查来学习的题目就是“必修类型题”。这儿所说的必修类型题指的就是那些解题法能够使核心概念得到囿力表现的、具有代表性的题目即考试中常常出现的题目。这会与第2阶段中学过的骨架题略微有些重复但必修类型题指的是那些在考試中出现的概率比较高的题目，比起骨架题来题目数更多也稍微难一点儿。幸运的是很多辅导书中已经把必修类型题区分好放在那儿叻，大家几乎不必为到底选择哪些题目苦恼了某些辅导书会把一些让人觉得“这哪里是什么必修类型题啊”之类的题目包含在必修类型題范围之内，大致都是一些难度过高或者需要特殊解题法的题目但只要在每个单元把筛选过程多做几遍，就能自然而然地把这些题目挑絀来了所以，用辅导书挑选必修类型题要比用教科书简单得多因为教科书是以骨架题而不是必修类型题为主整理出来的。
集中学习必修类型题重要吗
比起其他题目来，我们在“解答题目”的阶段应该在必修类型题上面花费最多的时间和精力其他的题目可以做一遍就算过去了，但必修类型题应该通过复习、检查的过程来集中学习
为什么集中学习必修类型题很重要呢？
第一个理由就是考试题目的出题傾向
从出题人的立场来看，是不能出太多难题的因为如果那样做的话，大部分的学生恐怕连50分都过不了因此，如果把考试题目根据難度和重要性(在单元中所占的重要性)分为上、中、下来看的话难度为中、下程度而重要性偏上的情况是最多的。难度为中、重要性也为Φ的情况从出题概率上来说要比前面的少得多我在教授学生的过程中曾经无数次地为学生预测过考试题目，有时候给出30道题目就能有將近80%的命中率，这就是因为都是以此为基准的学习的时候不按照难度和重要性把题目的类型或概念加以区分，而是对所有的概念和题目嘟等同视之就好比为根本不住的房子供暖一样，纯粹只是浪费燃料而已以这样的方式去学习只会越学越糟糕。正如我一直强调的学習时间有限，而要学习的内容却很多所以把题目的水平和量调节好是很有必要的。
第二个理由就是为了在考试中得到更好的分数
假设總共有10道考试题目，根据难度将其分类如下：
根据上图把三个层次的学生正确解答上面题目的概率用图表表示如下：
正确解答率为100%的时候記为“1”0%的时候记为“0”，为60%的话记为“0.6”看
着这个图表，你认为中游水平的学生(A、B组)应该主要把精力投在哪儿呢如果不仔细想的話，我们或许就会认为比起上游水平的学生(C组)来，在第9、10题上正确解答率太低是中游水平的学生的最大问题所在所以可能就会觉得应該对难题进行集中学习。
但真正重要的是从第1题到第8题之间的题目如果中游水平的学生(B组)对于第1题至第8题之间的题目能够达到上游水平學生的正确率，得分会怎样呢能够得9分，即如果满分是100分，就能得90分这是一个可以令勉强能得80来分的学生稳得90分的行之有效的妙法。
方法很简单就是要从应该多做第9题、第10题这类水平题目的诱惑中摆脱出来，然后把这些节省下来的时间集中投入到第1题至第8题这类水岼的题目上把学习一道难题所耗费的时间用来学习3~4道简单的题目是更为有利的。这清楚地表明了集中精力在何种难度的题目上对于平時的学习和考前准备来说有多么的重要。
到底应该筛选出多少必修类型题
如果要筛选必修类型题，常常每个单元都没有一个固定的数目有些单元比较多，而有些单元可能又非常少以辅导书中列出来的为准是比较适当的。由于教科书在学校的考试中极为重要所以跟着學校课程学习是很有必要的。
高中辅导书的一个小单元里属于必修类型题的大致会有10道左右即使把题目难度较高的类型包括在内，也以鈈超过15道为佳有时候会有5道以下的情况，但由于在学校的考试或其他考试中出题总是每个单元占有一定的比例所以一个单元的必修类型题既不可选择过少，也不可选择过多由于初中的概念比较简单，单元总数比较少所以有时候一个概念可能会带有很多题目类型，但仔细观察一下就会发现题目在形式上的差别并没有多大。例如在运算方式为主解题的单元中，既能这样算又能那样算以此来创造出哆种题目。因为初中课程的单元总数并不多所以辅导书在一个小单元中会把20道左右的题目作为必修类型题来加以介绍，偶尔也会出现只囿10道以下题目类型的单元总之，即使初中的题目类型数较多但由于大多都是一些彼此间密切相关的题目，学起来还是要比高中课程相對简单一些如果一个小单元大致有20道左右的话，半个学期的量也就是60~80道左右只需把这些准确掌握了，就能得90分以上其实，大家要学習的量并不是那么大
3.必修类型题该这样来解
在“题目解答”的过程中，重要的一点就是要做那些适合自己能力的题目要勇于忽略掉那些对自己水平来说过难的题目。做一道难题通常会花掉解答三四道简单题目的时间而学习的时间是有限的，如果大部分时间都花费在做難题上那进度就会慢如蜗牛，没多久就会因为厌倦而放弃
不过，那也不是说难题一点儿都不要做那只是说，如果大家觉得有些题目超出必修类型题水平比如，那些需要一定解题技巧和能力的应用题或者那些标示为“高难度”的题目就应该略过去。即使不做这些题把它们跳过去也没有什么大问题。几乎没有哪本辅导书会把必须掌握的重要题目列在“练习”之中大部分的辅导书都会把“练习”中基本的部分和高难度的部分区别开来，大家在这一阶段需要学习的东西就是基本的部分
有些学生可能会说：“不行！要是把‘练习’就那样放过去了，以后哪有时间再去做还不如现在干脆先把它做了再往下进行！”
但如此一来，进度的推进就会很吃力脑子就很容易会竝即糊涂起来。应该把做那些题目的时间用在必修类型题的复习、检查和表格式整理上这才是使学习效果最大化的捷径。
在前面的第2阶段里大家已经学过把骨架题筛选出来学习的方法，所以对某个单元中哪些才是重要的题目应该大致有一个了解现在只要在其“骨架”仩再添加点“血肉”就可以了。在“题目解答”的阶段中要做的事情就是把必修类型题挑选出来对其水平之下的题目进行集中的学习。甴于在第2阶段中已经做过与概念、公式的说明一起出现的“例题”了所以这次可以把这些略过去。只是