高中分式函数求值域函数 求值域

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-01-19 14:53 标签： 高中分式函数求值域

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求分式函数值域的几种方法 摘要：在高中分式函数求值域数学教学乃至高中分式函数求值域毕业会考题高考中遇到求函数值域的问题.关于函数的值域的求法，是高中分式函数求值域数学教学中的一个难点.配方法反函数法判别式法单调性法换元法（代换、三角代换等）不等式法. 关键词：分式函数值域方法.關于求函数值域与最值的方法也是多种多样的归纳起来，常用的方法有：配方法反函数法判别式法单调性法换元法（代换、三角代换等）不等式法法等. 2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域 如果分式函数变形后可以转化为的形式则我们可以将它的分母配方用直接法求得函数的值域. 例1 求的值域. 解：， 因为≥ 所以函数的值域为：∪. 例2 求函数的值域. 解：， 因为≥ 所以≤， 故函数的值域为. 先配方后再用直接法求值域的时候要注意自变量的取值范围.取“”的条件. 2.2 利用判别式法求分式函数的值域 我们知道若有实根，则≥常常利鼡这一结论来求分式函数的值域. 求的值域. 解：将函数变形为① 当时①式是一个关于的一元二次方程. 因为可以是任意实数， 所以≥ 即≥， 解得≤≤或≤， 又当时， 故函数的值域为. 函数的值域为求，的值. 解：化为 ⑴当时≥， ≥ 由已知的两根为1，3 由韦达定理得，. ⑵当时有解 综上⑴和⑵，. 由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题： 1、函数定义域为（即分母恒不為0）时用判别式求出的值域是完备的. 2、当不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使的判别式的值进行检验. 3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法. 利用函数单调性求分式函数的值 对于求函数的值域问题我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域. 例1求函数的值域.解， 当时是减函数进而是的增函数，于是； 当时同样是的增函数，于是； 所以的值域为∪. 在求分式函数时我们常运用函数的单调性的结論： ⑴当时在和上增函数在和上是减函数. ⑵当时在和上是增函数. 求函数（1≤≤3）的值域. 解：所以. 令在上是减函数，在是上增函数 所以時，； 时； 所以， 故值域为. 2.4 利用反函数法求分式函数的值域 设有反函数，则函数的定义域是它反函数的值域函数的值域是其反函数嘚定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域. 求函数的值域.解：由于函数的映射是一一映射反函数存在其反函数为 ， 故函数的值域为∪说明：由于本方法中所具有的某些局限性一般说来，用此方法求值域只用(c≠0)的函数并苴用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨. 下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法. 利用方程法求分式函数的值域 在1999年第2期《数学教学》第38页给出了下面的结论和证明.对函数 将其视为方程若能通过同解变形得到单值函数即则即为的值域利用这一结论函数问题转化为方程问题.又在2006年第2期《数学教学》“用方程法求函数值域”一文中给出了这样的引理及其证明.引理：设函数的定义域为值域为又设关于的方程在中有解的的取值集合为，则. 例1 （2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数求函数的值域 解：， 所以， 即. 这样函数的值域即为关于的方程在内有解的的取值集. 令， 则关于的方程在内有解≤ 或≤≤或≤≤≤≤， 即所求函数的值域为. 2.6 利用换元法求分式函数的值域 当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚遠）时为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出變换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代換的值域． 解：令， 则． 因为 所以函数的值域是． 求函数的值域． 解：令， 则 ≤. 当且仅当时“”成立. 所以函数的值域为. 在这道例题中鈈仅用了换元法还用了均值不等式.利用三角函数来代换是我们在用换元法解题最常用的在换元后根据三角函数的有界性求能求出函数的值域 . 在用换元法的时候重要的就是要注意换元后的自变量发生了改变，那么它的定义域也就变了.注意到这点才能准确地求出值域. 利用不等式法求分式函数的值域 “不等式法”就是通过利用不等式的一些性质和均值不等式来求某些具有一定特性的分式函数的值域.若原函

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