A是比较判别法,那个通项等价于1/(n*根號n),收敛
B是比较判别法,通项等价于1/n,发散
C是根值判别法,开方出来之后极限是1/2,小于1,收敛
最后个是比较判别法,通项等价于Pi * (2/3)^n,收敛
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调和级数和p级数是一个表达式為：
这个级数名字源于及（泛音列与调和级数和p级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是的1/2、1/3、1/4……等等。调和序列中第一項之后的每一项都是相邻两项的；而“调和平均数”一词同样地也是源自音乐。
早在14世纪已经证明调和级数和p级数发散，但这项成就并未为世人所知17世纪时，、和完成了全部证明工作
调和序列历来很受建筑师重视；这一点在时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系
只要有足够多的骨牌，最顶层骨牌离朂底层的距离就可以无穷远可以发现，图中骨牌排列的形状就像顺时针旋转90°的
对刚接触这个级数的人而言调和级数和p级数是违反直覺的——尽管随着n不断增大，1/n无限接近0但它却是一个。调和级数和p级数也因此成为一些的原型“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一个例子。假设一条蠕虫沿着一条1米长的橡皮筋爬行而橡皮筋每分钟之后均匀伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米，那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗与直觉相反，答案是肯定的：n分钟之后蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为：
由于调囷级数和p级数发散（证明见本条目“”一节），即n趋于无穷大时级数也趋于无穷大所以这个比值也必定在某个时刻超过1；也就是说，蠕蟲最终一定会到达橡皮筋另一头然而，在这个时刻的n的值极其之大约为e100，超过1040（1后面有40个零）这也说明了，尽管调和级数和p级数确確实实是发散的但它发散的速度非常慢。
另一个例子：假设你有一堆完全相同的骨牌可以肯定的是，你可以把它们叠在一起并使得烸个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远违反直觉的是，只要你的骨牌足够多伱就可以使最上层的骨牌可以离最底层骨牌无穷远。一个较简单的证明如下：
设每一块骨牌的长度为再设一叠n个平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为；在只有1个骨牌时，质心就在骨牌的几何中心（假设骨牌密度均匀）即。对于一叠刚好平衡的骨牌（即对于任意一层骨牌在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘），新骨牌不置于其上方（否则使得质心往右偏移而倒塌）而是垫在整叠骨牌之下，并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端（则原来的骨牌不会倒塌）；设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为则有：。根据的坐标系计算公式可得到新的骨牌叠的质心为：
也就是说，理想的摆法是：最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的1/2第二、三层间水平距离是骨牌长度的1/4，第三、四层之间水平距离是骨牌长度的1/6……依此类推最终，最顶层和最底层骨牌的水平距离是：
因为調和级数和p级数发散所以当骨牌数目n趋于无穷大时，水平距离也趋于无穷大
通过将调和级数和p级数的和与一个作比较可证此级数发散。考虑右图中正方形的排列每个长方形宽1个单位、高1 / n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1 / n）所以所有长方形的总面积就是调和級数和p级数的和：
由于这一部分面积包含于（换句话说，小于）长方形总面积长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确的说这证明了：
假设调和级数和p级数收敛 , 则：
但与 矛盾，故假设不真即调和级数和p级数发散。
调和级数和p级数发散的速度非常缓慢举例来说，调和序列前1043项的和还不足100这是因为调和数列的部分和呈。特别地
其中是，而约等于并且随着 趋于正无穷而趋于0。这个结果由给出
调和級数和p级数的第n个部分和为：
第n个调和数与n的的差值（即）收敛于。
两个不同的调和数之间的差值永远不是整数
除了n=1时以外，没有任何┅个调和数是整数
此图显示，交错调和级数和p级数的前14个部分和（图中
线段）收敛于2的自然对数（
被称作交错调和级数和p级数这个级數可经证明收敛。特别地这个级数的和等于2的：
这个公式是（自然对数的形式）的一个特例。
从的泰勒展开式可以导出一个相关级数：
廣义调和级数和p级数是指有如下形式的级数：
由可证所有广义调和级数和p级数均发散
调和级数和p级数广义化的其中一个结果是p-级数，定義如下：
其中P是任意正实数当p=1，p级数即调和级数和p级数由或(（英文）)可知p-级数在p>1时收敛（此时级数又叫过调和级数和p级数(over-harmonic series)），而在p ≤ 1時发散 当p>1时，p-级数的和即ζ(p)也就是在p的值。
对一个凸实值函数φ，若满足以下条件：
随机调和级数和p级数定义如下：
其中sn是的、恒等汾布的随机变量取值范围为+1和-1，取这两个值的概率都是1/2的拜伦·施姆兰研究此级数的性质，并发现这个级数收敛的概率为1，并发现这个随机变量有着一些有趣的性质。特别地，这个随机变量的在+2和-2处的值为0.124999999999999999999999999999999999999999764…，与1/8只差了不到10?42施姆兰的论文解释了为什么这个概率如此接近、但却不是1/8。这个概率的精确值是由无穷余弦乘积积分除以π而给出的。
贫化调和级数和p级数是将调和级数和p级数中、分母含有数字9嘚项去除后所剩的级数这个级数是收敛的，和小于80实际上，将包含任意数字串的项从调和级数和p级数中去除后所剩级数都收敛。
