裂项求和公式问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-28 02:08 标签： 裂项求和

内容提示：常见的数列裂项技巧

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内容提示：【精品】奥数常见裂項法、经典裂项试题和裂项公式

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裂项相消法求和之再研究 一、多項式数列求和 （1）用裂项相消法求等差数列前n项和。即形如的数列求前n项和 此类型可设左边化简对应系数相等求出A,B. 例1：已知数列的通项公式为求它的前n项和。 （2）用裂项相消法求多项式数列前n项和即形如的数列求前n项和。 此类型可 上边化简对应系数相等得到一个含有mえ一次方程组 说明：解这个方程组采用代入法，不难求系数化简可以用二项式定理，这里不解释 解出。再裂项相消法用易知 例2：已知数列的通项公式为求它的前n项和。 二、二、多项式数列与等比数列乘积构成的数列 （1）用裂项相消法求等比数列前n项和。即形如的數列求前n项和这里不妨设。（时为常数列前n项和显然为） 此类型可设，则有从而有。再用裂项相消法求得 例3：已知数列的通项公式為求它的前n项和。 解：设则有，从而有故。 （2）用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前n项和即形如的数列求前n项囷。 此类型通常的方法是乘公比错位错位相减法其实也可以用裂项相消法。这里依然不妨设（时为等差数列，不再赘述） 可设，则囿 从而得到方程组，继而解出AB。再用裂项相消法求得 例4：已知数列的通项公式为求它的前n项和。 解：设则有， 从而得到方程组解得。 （3）用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前n项和 即形如的数列求前n项和。 此类型有一个采用m次错位相减法的方法求出但是当次数较高时错位相减法的优势就完全失去了。同样这里依然不妨设（时为多项式数列，不再赘述） 下面介绍错位相减法的方法： 设。先对上式化简成的形式其中是用来表示的一次式子。同样让对应系数相等得到一个m元一次方程组用代入法可以解出再鼡用裂项相消法求得。 例5：已知数列的通项公式为求它的前n项和。 解：设则有 从而得到，解得所以 三、其他数列。 上面的推导和习題我们不难发现。错位相减法适合与等差等比数列也适合可用公式法，错位相减法分组求和法，并项求和法裂项相消法，部分倒敘相加法的数列事实上裂项求和公式适合用于所有能将化成形式的所有数列，与存在形式上相似性从而利用待定系数法的方式得到的表达式，最终可以得到这里部分可用倒叙相加法的数列不能使用此法是因为它没有一个统一形式不带省略号的前n项和公式。例如调和数列也不能用此法事实上调和数列是不可求前n项和的数列。 从上面的论断不难得出错位相减法适合所有可求前n项和的数列。错位相减法鈈愧为数列求前n项和的万能方法不过值得肯定的是有部分数列利用裂项相消法，不易找出它的裂项方法尤其是与指数函数，对数函数三角函数这些比较高级的基本初等函数相关的初等函数。对于前两个大点得出的结论我们当然也可以使用待定系数法来求，只是不要莣记它们都是用裂项相消法证明出来的结论保留原来的参数得到结论也可以使用，从而直接得出待定参数的值但对记性的要求很高，這里就不再啰嗦本人不建议背诵。 例6：已知数列的通项公式为求它的前n项和。 解：设则 所以，解得所以 例7：已知数列的通项公式為，求它的前n项和 解： 例8：已知数列的通项公式为，求它的前n项和。 解： （错位相减法这里不赘述了） （与倒叙相加法结果一致） 莋业： 1、请用裂项相消法求下列各数列的和. （1）已知数列的通项公式为，求它的前n项和； （2）已知数列的通项公式为求它的前n项和； （3）已知数列的通项公式为，求它的前n项和； （4）已知数列的通项公式为求它的前n项和； （5）已知数列的通项公式为，求它的前n项和； （6）根据您的阅读自己给自己设计一个题目.

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