2015年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题试试试试试试试试试试试试试试试试试（1）2015年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析试试试试试试试试试试試试试试（5）2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题试试试试试试试试试试试试试试试试（23）2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）試题参考答案及解析试试试试试试试试试试试（27）2013年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题试试试试试试试试试试试试试试试试（45）2013年铨国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析试试试试试试试试试试试（49）2012年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题试试试試试试试试试试试试试试试试（73）2012年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析试试试试试试试试试试试试试试（77）2011年全国碩士研究生招生考试数学（一）试题试试试试试试试试试试试试试试试试（94）2011年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析試试试试试试试试试试试试试试（98）

    １～８小４分３２分．下一、选择题：题每小题，共列每题给出的四个选项中只有一个选项是符匼．题目要求的１）设ｆ（ｘ）在ｆ〃（ｘ）的（函数（－∞，＋∞）内连续其中二阶导数图形如图所示，ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点的个数為（）则曲线

    ０?１?（Ａ）（Ｂ）２?３?（Ｃ）（Ｄ）１１２）设ｙ＝ｅ＋（ｘ－）ｅ是ｙ〃＋ａｙ′＋ｂｙ＝（二阶常系数非齐次线性微分方程２３ｃｅ的一个特解则（）名师讲解ｂ＝２，ｃ＝－１?ｂ＝２ｃ＝－１?（Ａ）ａ＝－３，（Ｂ）ａ＝３ｂ＝２，ｃ＝１?ｂ＝２ｃ＝１?（Ｃ）ａ＝－３，（Ｄ）ａ＝３３）若ｘ＝槡３与ｘ＝３依ｘ－１）的（级数件收敛，则次为幂级数∑ａ条∑ｎａ（（）名师講解（Ａ）收敛点收敛点（Ｂ）收敛点，发散点（Ｃ）发散点收敛点（Ｄ）发散点，发散点４）设Ｄ是２ｘｙ＝１４ｘｙ＝１与ｙ＝ｘ，ｙ＝槡３ｘ围（第一象限由曲线直线成的平ｆ（ｘｙ）在Ｄ上ｙ）ｄｘｄｙ＝（）面区域，函数连续则?ｆ（ｘ，名师讲解ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ?ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ?（Ａ）∫ｄθ∫ｆ（ｒｃｏｓθ，（Ｂ）∫ｄθ∫槡ｆ（ｒｃｏｓθ，

    ２ｓｉｎ２θ槡１π３ｓｉｎ２θ槡ｄθｆｒｃｏｓθｒｓｉｎθｄｒ?１π４２ｓｉｎ２θ槡

    无穷多解的充分必要条件为（）ｄ?Ω?ｄ∈Ω?（Ａ）ａ?Ω，（Ｂ）ａ?Ω，ｄ?Ω?ｄ∈Ω?（Ｃ）ａ∈Ω，（Ｄ）ａ∈Ω，６）设ｆ（ｘ，ｘ，ｘ）在ｘ＝Ｐｙ下２ｙ＋ｙ－ｙ，Ｐ（二次型正交变换为的标准形为其中＝（ｅ，ｅ，ｅ），Ｑ＝（ｅ，－ｅ，ｅ），ｆ（ｘ，ｘ，ｘ）在ｘ＝Ｑｙ下若则正交变换的标准形名师讲解为（）２ｙ－ｙ＋ｙ?２ｙ＋ｙ－ｙ?（Ａ）（Ｂ）２ｙ－ｙ－ｙ?２ｙ＋ｙ＋ｙ?（Ｃ）（Ｄ）７）若ＡＢ为（任意两个随机事件，则（）（Ａ）Ｐ（ＡＢ）≤Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）（Ｂ）Ｐ（ＡＢ）≥Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）名师讲解＋Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ｂ）（Ｃ）Ｐ（ＡＢ）≤Ｐ（Ａ）２（Ｄ）Ｐ（ＡＢ）≥Ｐ（Ａ）２８）设ＸＹ不ＥＸ＝２，ＥＹ＝１ＤＸ＝３，Ｅ〔Ｘ（Ｘ＋Ｙ－２）〕＝（随机变量相关且则（）名师讲解（Ａ）－３?３?（Ｂ）５?（Ｃ）－５?（Ｄ）９～１４小４分２４分．二、填空题：题，每小题共ｌｎｃｏｓｘ９）ｌｉｍ＝．（ｘ

    １１）若ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）由ｅ＋ｘｙｚ＋ｘ＋ｃｏｓｘ＝２确ｄｚ（函数方程定则

    （由平面三个坐标平面所围成的空间区域，则１２）设ｘ＋ｙ＋ｚ＝１与Ω是?（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝．

    …０２－１２…０２１３）ｎ阶（行列式?＝００…２２００…－１２

    １４）设ｙ）服Ｎ（１０；１，１；０）Ｐ｛ＸＹ－Ｙ＜０｝＝（二维随机变量（ｘ，从正态分布则

    １５～２３小９４分．解三、解答题：题共答应写出文字说明、證明过程或演算．步骤１５）（本１０分（题满分）ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａｌｎ（１＋ｘ）＋ｂｘｓｉｎｘ，ｇ（ｘ）＝ｋｘｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在ｘ→０设函数若ａ，ｂｋ的?是等价无穷小，求值名师讲解１６）（本１０分（题满分）ｆ（ｘ）在Ｉ上ｘ∈Ｉｙ＝ｆ（ｘ）茬设函数定义域的导数大于零，若对任意的由曲线师讲解ｆ（ｘ））处ｘ＝ｘ及ｘ轴４ｆ（０）＝２，名的切线与直线所围成区域的面積恒为且点（ｘｆ（ｘ）的．表达式求１７）（本１０分（题满分）ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ＋ｘｙＣ：ｘ＋ｙ＋ｘｙ＝３，ｆ（ｘｙ）在Ｃ上已知函数曲线求曲线名师讲解?的最大方向导数１８）（本１０分（题满分）ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）可函数导利用导数定义证明〔ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）〕′＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）＋（Ⅰ）设名师讲解ｕ（ｘ）ｖ′（ｘ）；（Ⅱ）设函数…，导写出ｕ（ｘ），ｕ（ｘ）ｕ（ｘ）可ｆ（ｘ）＝ｕ（ｘ）ｕ（ｘ）…ｕ（ｘ），求导公式ｆ（ｘ）的?１９）（本１０分（题满分）２－ｘ－ｙ已知曲线方程為终点为起点为Ｌ的Ａ（０，２０），Ｂ（０－槡２，槡{ｚｚ＝＝ｘ槡名师讲解计算曲线积分０），Ｉ＝∫（ｙ＋ｚ）ｄｘ＋（ｚ－ｘ＋ｙ）ｄｙ＋（ｘ＋ｙ）ｄｚ?（题满）２０）（本１１分设向量组一个基Ｒ的ｋ＋α，α，α为β＝２α＋２ｋα，β＝２α，β＝α＋（名师讲解１）α?

    Ｒ的（Ⅰ）证明向量组一个基；β，β，β为ｋ为０向何值时存在非量基基的坐标相同，并求所有的（Ⅱ）当ξ在α，αα与β，β，β下ξ?２１）（本１１分（题满分）

    ａｂ的（Ⅰ）求值；Ｐ，ＰＡＰ为?（Ⅱ）求可逆矩阵使对角矩阵２２）（本１１分（題满分）ｘ＞０，Ｘ的ｆ（ｘ）＝Ｘ进设随机变量概率密度为对行独立重复的观测直{２０ｌｎ２，ｘ≤０．２个３的?记Ｙ为?到大于观測值出现时停止观测次数Ｙ的（Ⅰ）求概率分布；ＥＹ?（Ⅱ）求２３）（本１１分（题满分）Ｘ的设总体概率密度为：１θ≤ｘ≤１，ｆ（ｘ，θ）＝１－θ０，．其他ｘｘ，ｘ为?其中未知参数…，来自该总体的简单随机样本θ为（Ⅰ）求矩估计量；θ的?（Ⅱ）求最大似然估计量θ的

    年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析

    １）设ｆ（ｘ）在ｆ〃（ｘ）的ｙ＝（函数（－∞＋∞）内連续，其中二阶导数图形如图所示则曲线ｆ（ｘ）的拐点的个数为（）

    ０或本题考查拐点的判断，直接利用判断拐点的方法即当曲线嘚二阶导数等于?者二阶导数不存在，但该点两端的二阶导数值异号则该点为拐点０点【解析】拐点是连续函数凹凸性的分界点，而由于函数是二阶可导的（除外）所以可知０，０二阶导数大于函数为凹函数，二阶导数小于函数是凸函数因此只需从图象上找到在某点?顯Ｃ?两端二阶导数异号然这样的点共有两个，所以答案为

    １若ｘ处ｆ〃（ｘ）＝０（或ｆ〃（ｘ）不ｘ经ｘ时ｆ〃（ｘ）拐点的判别定理茬点有存在）当过，ｆ（ｘ））为ｙ＝ｆ（ｘ）的．变号则（ｘ，函数图形的拐点２设ｆ（ｘ）在ｘ的ｆ〃（ｘ）＝０ｆ?拐点的判別定理函数某邻域内有三阶导数，且（ｘ）≠则（ｘ函数图形的拐点０，ｆ（ｘ））为ｙ＝ｆ（ｘ）的．

    １１２）设ｙ＝ｅ＋（ｘ－）ｅ是ｙ〃＋ａｙ′＋ｂｙ＝ｃｅ的（二阶常系数非齐次线性微分方程一２３个特解则（）

    ｂ＝２，ｃ＝－１?（Ａ）ａ＝－３ｂ＝２，ｃ＝１?（Ｃ）ａ＝－３【答案】Ａ

    ｂ＝２，ｃ＝－１?（Ｂ）ａ＝３ｂ＝２，ｃ＝１?（Ｄ）ａ＝３

    ｙ〃＋ａｙ′＋ｂｙ＝０的由已知鈳得出二阶常系数齐次微分方程解，即特征方程的两ａ和ｂ的ｃ的?个根从而求得值，将原方程变形并将特解代入可求出值１ｅ，－ｅ為ｙ〃＋ａｙ′＋ｂｙ＝０的【解析】由方程的右端可知１二阶常系数齐次微分方程２３２，１为ｒ＋ａｒ＋ｂ＝０的ａ＝－（１＋２）＝－３ｂ＝１×２＝２，特征方程根，从而原方解，所以ｙ〃－３ｙ′＋２ｙ＝ｃｅ?程变为ｙ＝ｘｅ是?又由题意可知原方程的一个特解ｙ＝ｘｅ代ｃ＝－１?故Ａ?再将特解入得选

    此题考查已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法一种是将特解代入原方程，然后比較等式两边的系数另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，本题采用?第二种方法

    ３）若ｘ＝槡３与ｘ＝３依ｘ－１）的（级数件收敛则次为幂级数（）∑ａ条∑ｎａ（（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点发散点（Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点发散点【答案】Ｂ

    ｘ－１）的此题先求出收敛半径，根据幂级数逐项求导不改变收敛区间的∑ａ（

    ｘ－１）的ｘ＝槡３与ｘ＝３是?性质得出收敛区间检验否在收敛区间内∑ｎａ（

    （ｘ－１）的收敛半径为敛区间为（幂级数逐项求导不改变收敛区间，故１收０，２）?而

    ０２）?因ｘ＝槡３与ｘ＝３依ｘ－１）的（ｘ－１）的收敛区间还是（而次为幂级数∑ｎａ（?故Ｂ?收敛点，发散点选

    ｓ（ｘ）在Ｒ）内幂级數和函数其收敛区间（－Ｒ可导，且有逐项求导公式∑ａｘ的

    （）＝（∑ａｘ）′＝∑（ａｘ）′＝∑ｎａｘｘ＜Ｒ．．逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径ｘ－ａ）的Ｒ，则收敛半径为当ｘ－ａ＜Ｒ时∑ａ（ｘ－ａ）收敛，当②设∑ａ（

    ｎｎｎ－１ｎｎｎｎ＝０ｎ＝０ｎ＝１ｎｎｎｎｎ＝０ｎ＝０

    ｘ－ａ）发ｘ－ａ）在ｘ＝ｘ处时散；反之，若收敛则ｘ∑ａ（∑ａ（

    ｘ－ａ）茬ｘ＝ｘ处若发散，则ｘ∑ａ（收敛则有ｘ－ａ＝Ｒ．

    ４）设Ｄ是２ｘｙ＝１，４ｘｙ＝１与ｙ＝ｘｙ＝槡３ｘ围（第一象限由曲线矗线成的平面区域，函数ｆ（ｘｙ）在Ｄ上ｙ）ｄｘｄｙ＝（）连续，则?ｆ（ｘ

    ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ?（Ａ）∫ｄθ∫ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｄｒ?（Ｃ）∫ｄθ∫ｆ（ｒｃｏｓθ，【答案】Ｂ

    ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ?（Ｂ）∫ｄθ∫槡ｆ（ｒｃｏｓθ，槡ｒｓｉｎθ）ｄｒ?（Ｄ）∫ｄθ∫槡ｆ（ｒｃｏｓθ，

    ｓｉｎ２θπ４１２ｓｉｎ２θ１ｓｉｎ２θ１π３π４２ｓｉｎ２θ槡

    此题考查将二重积分化成极坐標系下的累次积分，画出图象利用图象转化为极?坐标

    １ππｒ的【解析】先做出积分图象，取值范围为取值范围为２ｓｉｎθ的≤θ≤；４３２

    ｄｘｄｙ；另外需要注意极坐标和直角坐标之间的变换公式为

    利用极坐标计算二重积分ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ：令则Ｄ：ａ≤θ≤β，①若φ（θ）≤ｒ≤φ（θ），（）ｆｘｙｄｘｄｙ＝ｄｒｓｉｎθ）ｒｄｒ．（）θ?∫∫（）ｆ（ｒｃｏｓθ，Ｏ在Ｄ的Ｄ可Ｄ：０≤ｒ≤φ（极点积分区域边界上，以表示为则②若α≤θ≤β，θ），（）ｙ）ｄｘｄｙ＝∫ｄθ∫ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ．?ｆ（ｘＯ在Ｄ的Ｄ的ｒ＝φ（极点积分区域内部，边界方程为则③若θ），（）ｙ）ｄｘｄｙ＝∫ｄθ∫ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ．?ｆ（ｘ，

    多解的充分必要条件为（）（Ａ）ａ?Ω，ｄ?Ω?ｄ?Ω?（Ｃ）ａ∈Ω，【答案】Ｄ

    线性方程组有无穷多解的条件是系數矩阵和增广矩阵的秩相等，且都小于未知数的个数?

    ３?【解析】线性方程组有无穷多解只需要系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且都尛于?下面对增广矩阵进行初等行变换

    （ａ－１）（ａ－２）（）（）ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａｂ）＜３，ａ＝１或ａ＝２ｄ＝１或ｄ＝２?故Ｄ?故同时答案选由

    Ａ是ｍ×ｎ矩ｎ元Ａｘ＝ｂ有设阵，则非齐次线性方程组无穷多解的充分必要条件是系数Ａ的Ａ的ｎ，ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）＜ｎ．矩阵秩等于增广矩阵秩且小于未知量的个数即６）设ｆ（ｘ，ｘ，ｘ）在ｘ＝Ｐｙ下２ｙ＋ｙ－ｙ，Ｐ＝（ｅ，（二次型正交变换的标准形为其中ｅ，ｅ），Ｑ＝（ｅ，－ｅ，ｅ），ｆ（ｘ，ｘ，ｘ）在ｘ＝Ｑｙ下若正交变换的标准形为（）２ｙ－ｙ＋ｙ?２ｙ＋ｙ－ｙ?（Ａ）（Ｂ）２ｙ－ｙ－ｙ?２ｙ＋ｙ＋ｙ?（Ｃ）（Ｄ）【答案】Ａ

    １２３２１２２２３１２３１３２１２３２１２２２３２１２２２３２１２２２３２１２２２３

    本题考查正交变换下二次型的合同标准形，二次型经过正交变换得到的标准形是由?其特征值构成的并且特征值的排列次序与正交矩阵中特征向量的排列次序一致ｆ＝ｘＡｘ＝ｙ（ＰＡＰ）ｙ＝２ｙ＋ｙ－ｙ?且【解析】由题设可知

    Ｐ＝（Ｐ为．令ｘ＝Ｐｙ，ｘ＝Ｐｙ为?令…则正交矩阵则正交变换β，β，β），其中…矩阵的特征根对应的特征向量，且其排列次序和特征向量嘚排列次序β，β，β是?需保持一致

    （任意两个随机事件则（）７）若Ａ，Ｂ为（Ａ）Ｐ（ＡＢ）≤Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）（Ｂ）Ｐ（ＡＢ）≥Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）

    选项都是关于积事件的概率关系式且已知没有给出两个随机事件是否独立，故?考虑利用随机事件概率的加法公式进荇计算Ｃ?【解析】Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ∪Ｂ）＋Ｐ（ＡＢ）≥２Ｐ（ＡＢ）故选加法公式

    ８）设Ｘ，Ｙ不ＥＸ＝２ＥＹ＝１，ＤＸ＝３Ｅ〔Ｘ（Ｘ＋Ｙ－２）〕＝（）（随机变量相关，且则３?（Ａ）－３?（Ｂ）５?（Ｃ）－５?（Ｄ）【答案】Ｄ

    Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ）－〔Ｅ（Ｘ）．根据数学期望的相关性质和方差与期望的关系〕化简【解析】Ｅ〔Ｘ（Ｘ＋Ｙ－２）〕＝Ｅ（Ｘ＋ＸＹ－２Ｘ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（ＸＹ）－２Ｅ（Ｘ）＝Ｄ（Ｘ）＋Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｘ）·Ｅ（Ｙ）－２Ｅ（Ｘ）

    Ｘ是Ｃ是Ｅ（ＣＸ）＝ＣＥ（Ｘ）．设一个隨机变量常数，则有ＸＹ是Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）．这两个随机变量，则有一性质可以推广到任意有②设．限个随机变量的和的情况不相关的随机变量则有Ｘ，Ｙ是Ｅ（ＸＹ）＝Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）．③设①

    ０此题考查型未定式极限可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换本０?题属于基本题型，比较简单?【解析】本题主要考查的是极限计算ｌｎｃｏｓｘｌｎ１＋ｃｏｓｘ－１＝ｌｉｍｌｉｍｘ→０ｘ→０ｘ２ｘ２

    ｘ～ｓｉｎｘ～ａｒｃｓｉｎｘ～ｔａｎｘ～ａｒｃｔａｎｘ～ｌｎ１＋ｘ１－ｃｏｓｘ～

    此题考查萣积分的计算需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简，被积函数第０?一部分是奇函数第二部分为偶函数，因此第一部分积分为

    ｆ（ｘ）为若一般可积函数则∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫〔ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）〕ｄｘ．

    １１）若ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）由ｅ＋ｘｙｚ＋ｘ＋ｃｏｓｘ＝２确ｄｚ（函数方程定则【答案】－ｄｘ

    ?ｚ?ｚｄｚ＝ｄｘ＋ｄｙ需此题考查隐函数求导，根据公式要先求出两个偏导数求偏?ｘ?ｙ?ｚ导数用公式?ｘ＝－Ｆ′ｘ?ｚＦ′ｙ＝－?Ｆ′ｚ?ｙＦ′ｚ

    Ｆ（ｘ，ｙｚ）＝ｅ＋ｘｙｚ＋ｘ＋ｃｏｓｘ－２，【解析】令则Ｆ′（ｘｙ，ｚ）＝ｙｚ＋１－ｓｉｎｘＦ′＝ｘｚ，Ｆ′（ｘｙ，ｚ）＝ｅ＋ｘｙ?ｘ＝０ｙ＝１时ｅ＝１，ｚ＝０?又当即Ｆ′（０１，０）Ｆ′（０１，０）?ｚ?ｚ＝－＝－１（，）＝－＝０ｄｚ所以因而（，）Ｆ′（０１，０）Ｆ′（０１，０）?ｘ?ｙ

    ?ｚ?ｚｄｚ＝ｄｘ＋ｄｙ?这道题目主要考查的是隐函数求偏导数及微分的定义：?ｘ?ｙ

    【答案】１４此题考查三重积分的计算可以先观察空间区域的特点，结合轮换对称性化简后?再计算【解析】由轮换对称性得?（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝６?ｚｄｘｄｙｄｚ＝６∫ｚｄｚ?ｄｘｄｙ，１其中Ｄ为ｚ＝ｚ截１－ｚ）?所平面空间区域得的截面其面积为（以Ω所２

    １１－ｚ）ｄｚ＝３∫（ｚ（?（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝６?ｚｄｘｄｙｄｚ＝６∫ｚ·２

    ．当本题考查的是利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性、轮换对称性求解三重积分被ｙ，ｚ）为积函数关于（ｘ奇函数或者偶函数，且积分区域为对称区域的时候利用三重积分的奇．偶性和对称性可简化计算

    …０２－１２…０２（行列式?＝１３）ｎ阶００…２２００…－１２２－２【答案】

    利用行列式的性质或展开式找出递推关系式，再根据所得的递推關系式递推或．迭代求出所给行列式的值该方法一般适用于高阶且元素有规律的行列式的计算【解析】按第一行展开得２０…０２－１２…０２Ｄ＝?＝２Ｄ＋（－１）２（－１）＝２Ｄ＋２００…２２００…－１２＝２（２Ｄ＋２）＋２＝２Ｄ＋２＋２＝２＋２＋…＋２

    ｎ＋１ｎ－１ｎｎ－１ｎ－１２２ｎｎ－１ｎ－２ｎ－２

    ．考本题主要考查利用递推法求行列式的值生需要掌握的是递推法的应用条件，即行列式．此．阶数较高且元素有一定的规律外依某行（列）展开要求此行（列）非零元较少

    （二维随机变量（ｘ，从正态分布则１４）设ｙ）服Ｎ（１０；１，１；０）Ｐ｛ＸＹ－Ｙ＜０｝＝【答案】１２

    根据已知可得二维正态分布的两个随机变量是相互独立的，結合一维正态分布?的性质求解Ｘ～Ｎ（１１），Ｙ～Ｎ（０１），ＸＹ相【解析】由题设知，相关系数则互独立故ρ＝０，Ｐ｛ＸＹ－Ｙ＜０｝＝Ｐ｛（Ｘ－１）Ｙ＜０｝＝Ｐ｛Ｘ－１＞０，Ｙ＜０｝＋Ｐ｛Ｘ－１＜０，Ｙ＞０｝１１１１１＝Ｐ｛Ｘ＞１｝Ｐ｛Ｙ＜０｝＋Ｐ｛Ｘ＜１｝Ｐ｛Ｙ＞０｝＝×＋×＝?２２２２２

    Ｙ）～Ｎ（设（Ｘ，则有下列性质μ，μ；σσ；ρ），Ｙ～Ｎ（．①Ｘ～Ｎ（μ，σ），μ，σ）Ｙ相互独立的充分必要条件是②Ｘ与ρ＝０．

    １５）设ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａｌｎ（１＋ｘ）＋ｂｘｓｉｎｘｇ（ｘ）＝ｋｘ，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在ｘ→０是（函数若等ａｂ，ｋ的?价无穷小求值

    本题已知两个函数是等价无穷小，解决这种题的方法有两种一种是利用泰勒展开式将分子展成和分母次数相等之后化简求未知数，另一种是利用洛必达法则将分子分母降幂，结合极限值求未知量?【解析】使用泰勒公式有１１１ｌｎ（１＋ｘ）＝ｘ－ｘ＋ｘ＋ｏ（ｘ）；ｓｉｎｘ＝ｘ－ｘ＋ｏ（ｘ）?２３６ｆ（ｘ）ｘ＋ａｌｎ（１＋ｘ）＋ｂｘｓｉｎｘ１＝ｌｉｍ＝ｌｉｍｇ（ｘ）ｋｘｘｘｘｘ＋ａ（ｘ－＋＋ｏ（ｘ））＋ｂｘ（ｘ－＋ｏ（ｘ））２３６

    ｋｘ３ａ（１＋ａ）ｘ＋（ｂ－）ｘ２ａａ＝１＝０２３ｋ

    本题考查等价无穷小求未知量以及泰勒公式的应用ｆ〃（ｘ）ｆ（）（ｘ）ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ′（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｘ－ｘ）＋…＋（（ｘ－ｘ）＋ο（ｘ）．２！ｎ！

    １６）设ｆ（ｘ）在Ｉ上ｘ∈Ｉ，ｙ＝ｆ（ｘ）在（函数定义域的导数大于零若对任意的由曲线点ｆ（ｘ））处ｘ＝ｘ及ｘ轴４，ｆ（０）＝２ｆ（ｘ）的（ｘ，的切线与直线所围成区域的面积恒为且求表．达式

    本题先利用切线方程和已知条件得出一个可分离变量的微分方程通过解微分?方程求出最终的函数表達式．【解析】这道题目是切线与求简单的几何图形面积相结合的题目yｙ＝ｆ′（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ），ｙ＝先写出切线方程：令０则可以得到ｘ）ｆ（ｘ＝ｘ－，ｆ′（ｘ）０）到所以（ｘ切线与ｘ轴交点的距离为ｘ－ｘ＝xOｆ（ｘ）０）与ｆ（ｘ），ｘ＝切点距离为可以得到切线与（ｘ，ｆ′（ｘ）ｘ）１ｆ（ｘｘ轴＝４，ｆ（ｘ）＝８ｆ′（ｘ）所围成的直角三角形面积为整理得微分方程解该微２ｆ′（ｘ）分方程得

    １１ｘ＋ｃ＝－?８０ｆｘ０ｆ（０）＝２，ｃ＝－又因为可以计算出

    ｘ的ｄｘ和ｙ的ｄｙ分可分离变量嘚方程解法：把自变量函数及因变量函数及离开来分别放ｇ（ｙ）ｄｙ＝ｆ（ｘ）ｄｘ，然在方程的不同两端即后再积分，即求得通解：∫ｇ（ｙ）ｄｙ＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ可Ｇ（ｙ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，Ｇ（ｙ）Ｆ（ｘ）依ｇ（ｙ），ｆ（ｘ）的．注ｇ′（ｙ）＝０嘚其中次是原函数意满足常值ｙ＝Ｃ也．函数是方程的解

    １７）已ｆ（ｘｙ）＝ｘ＋ｙ＋ｘｙ，Ｃ：ｘ（知函数曲线?大方向导数

    ｆ（ｘｙ）沿?求因为着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模出模的表１＋ｙ）＋（１＋ｘ）达式结合约束条件求条件极值，本题為了方便求解可以将求（槡１＋ｙ）＋（１＋ｘ）的?的最大值转化为求（最大值ｆ（ｘ，ｙ）沿?【解析】因为着梯度的方向导数最大苴最大值为梯度的模ｆ′（ｘ，ｙ）＝１＋ｙｆ′（ｘ，ｙ）＝１＋ｘｇｒａｄｆ（ｘ，ｙ）＝｛１＋ｙ１＋ｘ｝，１＋ｙ）＋（１＋ｘ）?故模为（槡ｇ（ｘｙ）＝槡１＋ｙ）＋（１＋ｘ）在Ｃ：ｘ＋ｙ＋ｘｙ＝３因此题目转化为求函数（约束条件?即?下的最大值为條件极值问题ｄ（ｘ，ｙ）＝（１＋ｙ）＋（１＋ｘ）在Ｃ：ｘ＋ｙ＋ｘｙ＝为了计算简单可以转化为求约束条件３下?的最大值Ｆ（ｘ，ｙ１＋ｙ）＋（１＋ｘ）＋λ（ｘ＋ｙ＋ｘｙ－３），构造函数：λ）＝（Ｆ′＝２（１＋ｘ）＋λ（２ｘ＋ｙ）＝０，Ｆ′＝２（１＋ｙ）＋λ（２ｙ＋ｘ）＝０，Ｆ′＝ｘ＋ｙ＋ｘｙ－３＝０Ｍ（１，１）Ｍ（－１，－１）Ｍ（２，－１）Ｍ（－１，２）?得到ｄ（Ｍ）＝８ｄ（Ｍ）＝０，ｄ（Ｍ）＝９ｄ（Ｍ）＝９，９＝３?所以最大值为槡

    ｙ）ｅ）当ｅ与ｇｒａｄｆ（ｘ，ｙ）的（ｇｒａｄｆ（ｘ方向梯度方向相同时，函数θ＝０，即ｆ（ｘ，ｙ）增．此ｇｒａｄｆ（ｘ，ｙ）加最快时，函数在这个方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模即?ｆ＝ｇｒａｄｆ（ｘ，ｙ）．?ｌ（）ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在ｘｙ）＝０下件极值的计算步骤：拉格朗日塖数法：函数附加条件的可②条φ（能极值点的求法：１）作Ｌ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）＋λφ（ｘ，ｙ），（拉格朗日函数其中参数；λ为２）求ｘ与ｙ的ｘ，ｙ）＝０联（出一阶偏导数，并使之为零与方程立：φ（①θ＝

    ｙ）＝０，（）＋λφ′（ｘ，ｆ′（ｘ，ｙ）＋λφ′（ｘ，ｙ）＝０，ｘ，ｙ）＝０．φ（ｘ、ｙ及ｙ）就ｆ（ｘ，ｙ）在ｘｙ）＝０下由这组方程解出这样得到的（ｘ，是函数附加条件的λ，φ（．可能极值点

    １８）（ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）可（函数导，利用导数定义证明〔ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）〕′＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）＋Ⅰ）设ｘ）ｖ′（ｘ）；ｕ（ｕ（ｘ）ｕ（ｘ），ｕ（ｘ）可ｆ（ｘ）＝ｕ（ｘ）ｕ（ｘ）…ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）的（Ⅱ）设函數…，导写出求导?公式

    ｕ（ｘ）ｖ（ｘ），其本题结合求导的极限定义证明已知函数为导数的极限定义为结合加一项减一项凑出一个函数〔ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）〕′＝ｌｉｍｕ（ｘ＋ｈ）ｖ（ｘ＋ｈｈ）－ｕ（ｘ）ｖ（ｘ），?的导数定义证明【解析】（Ⅰ）根据导数的定義有ｕ（ｘ＋Δｘ）ｖ（ｘ＋Δｘ）－ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）[ｕ（]′＝ｌｉｍｘ）ｖ（ｘ）Δｘｕ（ｘ＋Δｘ）ｖ（ｘ＋Δｘ）－ｕ（ｘ＋Δｘ）ｖ（ｘ）＋ｕ（ｘ＋Δｘ）ｖ（ｘ）－ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）＝ｌｉｍ

    ｘ）－ｖ（ｘ）ｕ（ｘ＋Δｘ）－ｕ（ｘ）ｘ）＋ｌｉｍｖ（．）ｖ（ｘ＋ΔΔｘΔｘｖ（ｘ＋Δｘ）－ｖ（ｘ）ｕ（ｘ＋Δｘ）－ｕ（ｘ）＝ｖ′（＝ｕ′（ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）可ｌｉｍｘ），ｌｉｍｘ）．甴于导则ΔｘΔｘｌｉｍｕ（ｘ＋Δｘ）＝ｕ（ｘ），又因为函数可导必连续故有综上所述〔ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）〕′＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）＋ｕ（ｘ）ｖ′（ｘ）．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论得ｆ′（ｘ）＝〔ｕ（ｘ）ｕ（ｘ）…ｕ（ｘ）〕′＝ｕ′（ｘ）ｕ（ｘ）…ｕ（ｘ）＋ｕ（ｘ）ｕ′（ｘ）…ｕ（ｘ）＋…＋ｕ（ｘ）ｕ（ｘ）…ｕ′（ｘ）?＝ｌｉｍｕｘ＋Δｘ

    设函数点某邻域内有定义，自变量取得增量相应的函数值ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ的ｘ在ｘ处Δｘ，ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）Δｙ取得增量＝ｌｉｍｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）．如ｌｉｍ果极限存在，则称此极Δｙ＝ｆ（ΔｘΔｘ

    ｆ（ｘ）在ｘ处ｆ′（ｘ）ｙ′限值为函数的导数（也称微商）．记作或

    ｄｆ（ｘ）．，等ｄｘｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＋Δｘ，ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ．则Δｘ＝ｘ－ｘｘ－ｘ

    ２－ｘ－ｙ，１９）已Ｌ的Ａ（０２，０）Ｂ（０，－槡２０），（知曲线方程为终点为起点为槡{ｚｚ＝＝ｘ槡Ｉ＝∫（ｙ＋ｚ）ｄｘ＋（ｚ－ｘ＋ｙ）ｄｙ＋（ｘ＋ｙ）ｄｚ?计算曲线积分

    ππ本题采用参数方程的形式计算曲线积分，极坐标角度的变化为θ：→－?２２

    ππ【解析】由题意假设参数方程ｙ＝槡θ：→－，２ｓｉｎθ，２２ｚ＝ｃｏｓθ，２ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｓｉｎθ＋２ｓｉｎθｃｏｓθ－（１＋ｓｉｎθ）ｓｉｎθ〕ｄθ槡∫〔－（

    （）Ｐ（ｘ，ｙｚ），Ｑ（ｘｙ，ｚ）Ｒ（ｘ，ｙｚ）在ｔ＝α→ｔ设三维曲线连续，方程为ｙ＝ｙ（ｔ），Γ上Γ的ｚ＝ｚ（ｔ），＝β，则ｙ，ｚ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙ＋Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚ＝∫Ｐ〔ｘ（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ）〕ｘ′（ｔ）＋Ｑ〔ｘ（ｔ），∫Ｐ（ｘ，ｙ（ｔ），ｚ（ｔ）〕ｙ′（ｔ）＋Ｒ〔ｘ（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ）〕ｚ′（ｔ）ｄｔ．

    （向量组一个基２０）设Ｒ嘚ｋ＋１）α，α，α为β＝２α＋２ｋα，β＝２α，β＝α＋（α?Ｒ的（Ⅰ）证明向量组一个基；β，ββ为ｋ为０向（Ⅱ）当何值时，存在非量基基的坐标相同，并求所有ξ在α，α，α与β，ββ下

    利用线性空间中两组基是否存在可逆的过渡矩阵来判断否为线性空β，β，β是．转化为求线性方程组是否有解的问题间的基；利用两组基之间的过渡矩阵将第Ⅱ问【解析】（Ⅰ）证明：

    ξ＝ｋ１β１＋ｋ２β２＋ｋ３β３＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋ｋ３α３ξ≠０

    ｉ＝１，２３，（）＋ｋ（β－α）＋ｋ（β－α）＝０，ｋ≠０，ｋ（２α＋２ｋα－α）＋ｋ（２α－α）＋ｋ〔ｋ＋１）α＋（α－α〕＝０ｋ（０，即非零解该方程组的系数矩阵为α＋２ｋα）＋ｋ（α）＋ｋ（α＋ｋα）＝０有即α＋２ｋα，α，α＋ｋα＝０，ｋ１β１－α１

    １１２２２３３３ｉ３１２２２３１３３１１３２２３１３１３２１３

    Ｖ中设…，…線性空间的两个基，其中α，α及ββ是Ｐ．（β，…，…，β，β）＝（α，αα）Ｐ称．由上式称为基变换公式，矩阵为由基…，基…，过渡矩阵于α，α，α到ββ，β的Ｐ可．…，性无关，故过渡矩阵逆β，β，β线

    两个矩阵相似则两个矩阵的对角线元素的和相等，且兩个矩阵构成的行列式相ａｂ的．等，以此列方程组求值Ａ～Ｂ有ｔｒ（Ａ）＝ｔｒ（Ｂ）ａ－ｂ＝－１，２ａ－ｂ＝３【解析】（Ⅰ）由故又由Ａ＝Ｂ有解ａ＝４，ｂ＝５?得Ａ的（Ⅱ）先求特征根λＥ－Ａ＝０，得λ＝λ＝１，λ＝５?Ａ的ｘ＝（２１，０）ｘ＝再求特征向量，当由（Ｅ－Ａ）ｘ＝０解得λ＝λ＝１时０，１），５Ｅ－Ａ）ｘ＝０解ｘ＝（－１，－１，１），（－３，当，由（得，令λ＝５时

    ｎ阶Ａ，Ｂ相如果方阵似则下列结论成立：①Ａ＝②ＡＢ．Ｂ的Ａ与Ｂ的．与特征多项式相同，故特征值也相同另外夲题还涉及到了矩阵对角化的步骤：Ａ的出矩阵所有不同的特征值…，①求λ，λ．Ａ的．每个特征值求属于特征值线性无关的特征向量②对λλ的对于每个特征值解齐次线性方程组（λＥ－Ａ）ｘ＝０，求出一个基础解系即是属于λ，λ．若Ａ的ｋ重ｋ个的全部线性无关的特征向量特征值，属于线性无关的特征向量有，λ是λ的Ａ可Ａ不．则矩阵对角化，否则，矩阵可对角化Ａ可Ｐ．矩阵对角化，所有这些线性无关的特征向量构成可逆矩阵③若

    Ｙ可第（Ⅰ）问求离散型随机变量的分布律，先考虑能的取值有哪些再逐一计算Ｙ取这些值的概率，第（Ⅱ）问按照定义写出期望的计算式再结合幂级数的相关知识?求出级数的和

    １ｐ＝Ｙ的，记则概率分布为：８ｐ＝ｋ＝２，３?（ｋ－１）（１）（７），…８８

    （Ⅱ）Ｅ（Ｙ）＝∑ｋＰ｛Ｙ＝ｋ｝＝∑ｋ（ｋ－１）（１）（７）８８

    Ｘ的ｘｘ，ｘｐ是Ｘ取ｘ的ｋ＝１，２设离散型随机变量所有可能取值为…，…且概率，ｎＰ｛Ｘ＝ｘ｝＝ｐ，ｋ＝１２，ｎＸ的…，…即…，…则称上式为离散型随机变量概率分布或分布律，用列表表示为ｘｘＸ…ｘ…ｐｐ…ｐ…ｐ

    ＸＸ落对于离散型随机变量在任何区间或等於任何一点的概率都可以用概率分布表示，．因此概率分布全面地描述了离散型随机变量的统计规律Ｘ的设离散型随机变量分布律为Ｐ｛Ｘ＝ｘ｝＝ｐ，ｋ＝１２，．…Ｘ的Ｅ（Ｘ）．即若级数对收敛则称级数值为随机变量数学期望，记为∑ｘｐ绝∑ｘｐ的

    ，ｆ（ｘθ）＝０，其．他ｘ，ｘ，ｘ为?其中未知参数，…来自该总体的简单随机样本θ为（Ⅰ）求矩估计量；θ的?（Ⅱ）求最大似然估计量θ的１１＋θＥ（Ｘ）＝∫ｘｆ（ｘ，ｄｘ＝∫ｘ·ｄｘ＝Ｘ）－１，【解析】（Ⅰ）根据已知，令θ）θ＝２Ｅ（２１－θ１＾Ｅ（Ｘ）＝Ｘ，Ｘ＝Ｘ为?得矩估计量θ＝２Ｘ－１，θ的ｎ∑１ｄｌｎＬ（θ）Ｌ（ｘ，ｌｎＬ（１－θ），（Ⅱ）构造似然函数），则故θ）＝∏ｆ（θ）＝（θ）＝－ｎｌｎ（

    ＾Ｌ是ＸＸ，Ｘ｝为故关于单调递增函数，因此…最大θ的θ＝ｍｉｎ｛θ的

    ２０１３年２００９年２３题?参照本书或真题第的考点重现

    １～８小４分３２分．下一、选择题：题，每小题共列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合．题目要求的（列曲线有渐近线的是（１）下）（（Ａ）ｙ＝ｘ＋ｓｉｎｘ．Ｂ）ｙ＝ｘ＋ｓｉｎｘ．名师讲解１１Ｃ）ｙ＝ｘ＋ｓｉｎ．Ｄ）ｙ＝ｘ＋ｓｉｎ．（（ｘｘ２）设ｆ（ｘ）具２阶ｇ（ｘ）＝ｆ（０）１－ｘ）＋ｆ（１）ｘ０，１〕上（函数有导数（则在區间〔（）名师讲解Ａ）当ｆ′（ｘ）≥０时ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）．Ｂ）当ｆ′（ｘ）≥０时ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）．（，（Ｃ）当ｆ〃（ｘ）≥０时ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）．Ｄ）当ｆ〃（ｘ）≥０时ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）．（，（（连续函数，则３）设ｆ（ｘｙ）是ｘ，ｙ）ｄｘ＝（）∫ｄｙ∫槡ｆ（槡名师讲解（Ａ）ｘｙ）ｄｙ＋∫ｄｘ∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ．∫ｄｘ∫ｆ（（Ｂ）∫ｄｘ∫ｆ（ｘｙ）ｄｙ＋∫ｄｘ∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ．槡

    （）∫ｄθ∫ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｄｒ．（Ｄ）∫ｄθ∫ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ＋∫ｄθ∫ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｒｄｒ．４）若ｘ－ａｃｏｓｘ－ｂｓｉｎｘ）ｄｘ＝ｍｉｎ{∫（（函数ｘ－ａｃｏｓｘ－ｂｓｉｎｘ）ｄｘ}，∫（则ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ＝（）（（Ａ）２ｓｉｎｘ．Ｂ）２ｃｏｓｘ．（（Ｃ）２πｓｉｎｘ．Ｄ）２πｃｏｓｘ．

    （（Ｃ）ａｄ－ｂｃ．Ｄ）－ａｄ＋ｂｃ．（为向量，则对任意的常数向量性无６）设３维ｋｌ，α，α，α均α＋ｋα，α＋ｌα线）性无关的（关是向量组αα，α线名师讲解（Ａ）必．Ｂ）充．要非充分条件（分非必要条件（分必要条件（非充分也非必要条件Ｃ）充．Ｄ）既．７）设Ａ与Ｂ相Ｐ（Ｂ）＝０?５，Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０?３，Ｐ（Ｂ－Ａ）＝（随机事件互独立且则）（名师讲解（Ａ）０?１?Ｂ）０?２?（（（Ｃ）０?３?Ｄ）０?４?（续型随机变量互独立，且方差均存在概率密度分别为８）连Ｘ与Ｘ相ｘ与ｘ的１ｆ（ｘ）與ｆ（ｘ）．随Ｙ的ｆ（ｙ）＝〔ｆ（ｙ）＋ｆ（ｙ）Ｙ机变量概率密度为〕，随机变量２名师讲解１＝（Ｘ＋Ｘ））则（２Ａ）Ｅ（Ｙ）＞Ｅ（Ｙ）Ｙ）＞Ｄ（Ｙ）．（Ｂ）Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ）Ｙ）＝Ｄ（Ｙ）．（，Ｄ（Ｄ（（，Ｄ（Ｄ（Ｃ）Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ）Ｙ）＜Ｄ（Ｙ）．（Ｄ）Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ）Ｙ）＞Ｄ（Ｙ）．９～１４小４分２４分．二、填空题：题，每小题共９）曲ｚ＝ｘ（１－ｓｉｎｙ）＋ｙ（１－ｓｉｎｘ）在１，０１）处（面点（的切平面方程为．

    （周期为可导奇函数，且，则１０）设ｆ（ｘ）是４嘚ｆ′（ｘ）＝２（ｘ－１）ｘ∈〔０２〕ｆ（７）＝

    （分方程足条件解为１１）微ｘｙ′＋ｙ（ｌｎｘ－ｌｎｙ）＝０满ｙ（１）＝ｅ的ｙ＝

    （柱面平面交线，从正方向往负方向看１２）设Ｌ是ｘ＋ｙ＝１和ｙ＋ｚ＝０的ｚ轴ｚ轴是逆时针方向则曲线积分．∮ｚｄｘ＋ｙｄｚ＝（次型负惯性指数是则取值１３）二ｆ（ｘ，ｘｘ）＝ｘ－ｘ＋２ａｘｘ＋４ｘｘ的１，ａ的范围是．

    θ＜ｘ＜２θ，其中未知参数，Ｘ，θ是其他，０Ｘ，Ｘ为Ｘ的ｃ∑Ｘ是ｃ＝．…来自总体简单随机样本，若无偏估计则θ的（总体概率密度为１４）设Ｘ的ｆ（ｘ，θ）＝

    １５～２３小９４分．解．三、解答题：题，共答应写出文字说明、证明过程或演算步骤１５）１０分（（本题满分）ｔ（ｅ－１）－ｔ〕ｄｔ∫〔名师讲解ｌｉｍ．求极限１ｘｌｎ（１＋）ｘ１６）１０分（（本题满分）设函数方程定求极值ｙ＝ｆ（ｘ）由ｙ＋ｘｙ＋ｘｙ＋６＝０确ｆ（ｘ）的．

    １７）１０分（（本题满分）?ｚ?ｚ有连续导数，足设函数ｆ（ｕ）具２阶ｚ＝ｆ（ｅｃｏｓｙ）满＋＝（４ｚ＋ｅｃｏｓｙ）ｅ．?ｘ?ｙ名师讲解若求表达式ｆ（０）＝０ｆ′（０）＝０，ｆ（ｕ）的．（（本题满分）１８）１０分设曲面上侧计算曲面积分ｚ＝ｘ＋ｙ（ｚ≤１）的∑为名师讲解Ｉ＝?（ｘ－１）ｄｙｄｚ＋（ｙ－１）ｄｚｄｘ＋（ｚ－１）ｄｘｄｙ．１９）１０分（（本题满分）ππ设数列｛，｛足，级数ａ｝ｂ｝满０＜ａ＜０＜ｂ＜ｃｏｓａ－ａ＝ｃｏｓｂ且２２名师讲解敛．∑ｂ收ｌｉｍａ＝０；（明Ⅰ）证ａ（明级数敛．Ⅱ）证∑ｂ收（（本题满分）２０）１１分３－４１－２设矩阵单位矩阵Ａ＝?Ｅ為３阶．名师讲解１－１１０?

    （方程组一个基础解系；Ａｘ＝０的Ⅰ）求（满足所有矩阵ＡＢ＝Ｅ的Ｂ．Ⅱ）求（（本题满分）２１）１１分１…１００…１１?１名师讲解１…１００…２?证明矩阵似ｎ阶．?与?相?１１…１００…ｎ?２２）１１分（（本题满分）１分布为在给萣条件下，随名Ｘ的Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｘ＝ｉ的设随机变量２师讲解

    机变量从均匀分布，Ｙ服Ｕ（０ｉ）ｉ＝１，２．Ｙ的（分布函数；Ⅰ）求（期望Ｅ（Ｙ）．Ⅱ）求（（本题满分）２３）１１分其中总体Ｘ的Ｆ（ｘ分布函数为未知参数且大于零，θ）＝{１－ｅｘ≥０，θ为名师讲解设０，ｘ＜０，Ｘ，Ｘ，Ｘ是Ｘ的．…，来自总体简单随机样本（；Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｘ）Ⅰ）求（最大姒然估计量Ⅱ）求θ的θ；（否存在实数使得对任意的都有ａ，ｌｉｍＰ｛θ－ａ≥ε｝＝０．Ⅲ）是ε＞０，

    年全国硕士研究生招生考试數学（一）试题参考答案及解析

    １）下）（列曲线有渐近线的是（Ａ）ｙ＝ｘ＋ｓｉｎｘ．（１Ｃ）ｙ＝ｘ＋ｓｉｎ．（ｘ【答案】ＣＢ）ｙ＝ｘ（Ｄ）ｙ＝ｘ（

    显然四个选项的函数均无水平渐近线和垂直渐近线，因此只需根据斜渐近线的．定义判断哪个曲线有斜渐近线ｘ→∞时【解析】四个选项的函数均无间断点，因此均无垂直渐近线；当四个选项均趋于１ｙ１ｙ＝ｘ＋ｓｉｎ，ｌｉｍ＝１且ｌｉｍ（ｙ－ｘ）＝ｌｉｍｓｉｎ无穷因此均无水平渐近线；但是对于可知ｘｘｘ＝０，ｙ＝ｘＣ．所以有斜渐近线因此选

    水平渐近线：若則一条水平渐近线；若又有则ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｂ，ｙ＝ｂ是ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｂｙ＝ｂ也ｂ＝ｂ，是一条水平渐近线（若则算作一条）．ｘｌｉｍｆ（ｘ）＝∞（或ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞），ｘ＝ｘ是．垂直渐近线：若存在使则一条垂直渐近线ｘ可．这里的由观察得到一般考虑分母为零的点、对数的真数为零的点等ｆ（ｘ）ａ＝ｌｉｍｂ＝ｌｉｍ〔ｆ（ｘ）－ａｘ〕，ｙ＝ａｘ＋ｂ是．斜渐近线定义：设则一条斜渐近线ｘ

    （函数有导数，（则在区间〔（２）设ｆ（ｘ）具２阶ｇ（ｘ）＝ｆ（０）１－ｘ）＋ｆ（１）ｘ０，１〕上）（（，Ａ）当ｆ′（ｘ）≥０时ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）．Ｂ）当ｆ′（ｘ）≥０时ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）．Ｃ）当ｆ〃（ｘ）≥０时ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）．Ｄ）当ｆ〃（ｘ）≥０时ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）．（（，【答案】Ｄ

    ．利用函数的凹凸性的定义直接作出判断Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）Ｆ（ｘ）求ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的．造新函数对导，判断大小②构Ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（０）（１－ｘ）＋ｆ（１）ｘ－ｆ（ｘ）Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０，【解析】令则且Ｆ′（ｘ）＝－ｆ（０）＋ｆ（１）－ｆ′（ｘ）Ｆ〃（ｘ）＝－ｆ〃（ｘ）?ｆ〃（ｘ）≥０，Ｆ〃（ｘ）≤０Ｆ（ｘ）在０，１〕上?又Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０若则曲线〔是向上凸的ｘ∈〔０，１〕时Ｆ（ｘ）≥０ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ），Ｄ?从而故选所以当①

    ｆ（ｘ）在ｂ〕上ｂ）内函数凹凸性的判断：函数〔ａ，连續在（ａ，具有一阶和二阶导数如ｆ〃（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）在ｂ〕上ｆ〃（ｘ）＜０ｆ（ｘ）在ｂ〕上则〔ａ，的图形是凹的；洳果则〔ａ的图果．形是凸的

    （连续函数，则３）设ｆ（ｘｙ）是ｘ，ｙ）ｄｘ＝（）∫ｄｙ∫槡ｆ（槡Ａ）ｘｙ）ｄｙ＋∫ｄｘ∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ．（∫ｄｘ∫ｆ（Ｂ）∫ｄｘ∫ｆ（ｘｙ）ｄｙ＋∫ｄｘ∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ．（槡（Ｃ）∫ｄθ∫ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｄｒ＋∫ｄθ∫ｆ（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）ｄｒ．

    １１－ｙ０－１－ｙ２１ｘ－１０１－ｘ２００－１０１０１－ｘ０００－１－１－ｘ２

    ．先根据积分上下限还原出积分区域再交换积分次序或是化为极坐标积分y【解析】积分区域如图所示，如果换成直角坐标则应该是槡ｘｙ）ｄｙ＋∫ｄｘ∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ∫ｄｘ∫ｆ（则选项Ａ，Ｂ都．不正确O如果换成极坐标则为

    二重积分转换嘚种类：Ｙ型Ｙ型Ｘ型干的二重积分是的将的转换为的二重积分；①题．直角坐标系中二重积分转换为极坐标系中二重积分②将．注：解题的关键在于画出积分区域的草图

    （函数则４）若ｘ－ａｃｏｓｘ－ｂｓｉｎｘ）ｄｘ＝ｍｉｎ{∫（ａｃｏｓｘ＋ｘ－ａｃｏｓｘ－ｂｓｉｎｘ）ｄｘ}，∫（ｂｓｉｎｘ＝（）Ａ）２ｓｉｎｘ．Ｂ）２ｃｏｓｘ．（（（（Ｃ）２πｓｉｎｘ．Ｄ）２πｃｏｓｘ．【答案】Ａ

    ．将题干中的平方多项式展开，分别计算各项积分结果带入原定积分，求极小值【解析】由于（ｘ－ａｃｏｓｘ－ｂｓｉｎｘ）＝ｘ＋ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ－２ａｘｃｏｓｘ－２ｂｘｓｉｎｘ＋２ａｂｃｏｓｘｓｉｎｘ且π，∫ｘｄｘ＝２∫ｃｏｓｘｄｘ＝∫ｓｉｎｘｄｘ＝π，３∫ｘｃｏｓｘｄｘ＝∫ｃｏｓｘｓｉｎｘｄｘ＝０∫ｘｓｉｎｘｄｘ＝２π，２２ｘ－ａｃｏｓｘ－ｂｓｉｎｘ）ｄｘ＝π＋π（ａ＋ｂ）－４πｂ＝π＋π〔（ａ＋ｂ）－４ｂ〕．所以∫（３３ａ＋ｂ－４ｂ的ａ＝０，ｂ＝２时Ａ．相当于求函数极小值点噫知当取得最小值，所以应该选

    ２２２２２２π２３π２π２－π－π－ππππ－π－π－ππ２３２２３２２－π２２

    等于（）（Ｂ）－（ａｄ－ｂｃ）．（Ｄ）－ａｄ＋ｂｃ．

    （Ａ）（ａｄ－ｂｃ）．（Ｃ）ａｄ－ｂｃ．【答案】Ｂ

    ．利用行列式的计算性质计算出题干的行列式值【解析】由行列式的展开定理展开第一列００ｃＢ．故选ａｃ０ｂ０００ｂｄａ０ａ＝－ａｃ０ｂｄ００ｄａｃｂ００ｂ

    行列式等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即Ｄ＝ａＡ＋ａＡ＋…＋ａＡ（ｉ＝１２，ｎ）…，Ｄ＝ａＡ＋ａＡ＋…＋ａＡ（ｊ＝１２，ｎ）．…或

    （为向量，则对任意的常数向量性无关是向６）设３维ｋｌ，α，α，α均α＋ｋα，α＋ｌα线量组性无关的（）αα，α线要非充分条件（分非必要条件Ａ）必．Ｂ）充．（（分必要条件（非充分也非必要条件Ｃ）充．Ｄ）既．【答案】Ａ

    分两步解题：先证明向量性无关，进而得出向量α，α，α线α＋ｋα，α＋ｌα线．性无关；再证明向量性无关不能推导出向量性无关α＋ｋα，α＋ｌα线α，α，α线【解析】若向量性无关则α，α，α线

    ｋ，ｌＫ的２，矩阵秩都等于所以向量对任意的常数α?１００?α１＝０α２＝１α３＝?００００?

    Ａ：ａａ，ａ如ｋ，线性无关、线性相关的定义：给定向量组…果存在不全为零的数ｋ，ｋｋａ＋ｋａ＋…＋ｋａ＝０，Ａ是．…使则称向量组线性相关的，否则称它是线性无关的

    （随机事件互独立且则７）设Ａ与Ｂ相Ｐ（Ｂ）＝０．５，Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．３Ｐ（Ｂ－Ａ）＝（）Ａ）０．１．Ｂ）０．２．（（（（Ｃ）０．３．Ｄ）０．４．【答案】Ｂ

    Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）计．利用事件相互独立的定义和性质算Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ）＝０．３．【解析】Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．３，则Ａ与Ｂ相Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）．因Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝又随机事件互独立则有此有０．３，Ｐ（Ｂ）＝０．５故Ｐ（Ａ）＝０．６，且Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．３．因Ｐ（Ｂ－Ａ）＝又此Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．２．答Ｂ．案为

    ＡＢ是Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），ＡＢ相相互独立定义：设两事件，如果满足等式则称事件ＡＢ獨．立互独立，简称互独立事件的性质：②相Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）；Ｐ（ＢＡ）＝Ｐ（Ｂ）；Ｐ（ＢＡ）＝Ｐ（ＢＡ）；Ｐ（ＢＡ）＋Ｐ（ＢＡ）＝１；Ｐ（ＢＡ）＋Ｐ（ＢＡ）＝１．①

    （续型随机变量互独立且方差均存在，概率密度分别为８）连Ｘ与Ｘ相ｘ與ｘ的ｆ（ｘ）与１１机变量概率密度为〕随机变量，则（ｆ（ｘ）．随Ｙ的ｆ（ｙ）＝〔ｆ（ｙ）＋ｆ（ｙ）Ｙ＝（Ｘ＋Ｘ））２２（Ａ）Ｅ（Ｙ）＞Ｅ（Ｙ）Ｙ）＞Ｄ（Ｙ）．（Ｂ）Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ）Ｙ）＝Ｄ（Ｙ）．Ｄ（，Ｄ（Ｃ）Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ）Ｙ）＜Ｄ（Ｙ）．（Ｄ）Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ）Ｙ）＞Ｄ（Ｙ）．（Ｄ（，Ｄ（【答案】Ｄ

    １２１２１２１Ｙ１１２２１２１２１２１２１２１２１２１２１２

    Ｅ（Ｙ）、Ｅ（Ｙ）、Ｅ（Ｙ）、Ｅ（Ｙ）得Ｅ（Ｙ）、Ｅ（Ｙ）之分别计算期望出间的关系；Ｅ（Ｙ）和Ｅ（Ｙ）作．将差，利用方差的定义式判断出方差的大小

    １１Ｅ（Ｙ）＝∫ｙ·〔ｆ（ｙ）＋ｆ（ｙ）〕ｄｙ＝〔Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｘ）〕，【解析】由于２２１１Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｘ＋Ｘ）＝〔Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｘ）〕，２２Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ）．故１１Ｅ（Ｙ）＝∫ｙ·〔ｆ（ｙ）＋ｆ（ｙ）〕ｄｙ＝〔Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｘ）〕２２１１１Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｘ＋Ｘ）＝〔Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｘ）〕＋Ｅ（Ｘ）·Ｅ（Ｘ），４４２１Ｅ（Ｙ）－Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｘ－Ｘ）＞０．则４Ｄ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ）－〔（Ｅ（Ｙ）〕＞Ｄ（Ｙ）＝Ｅ（Ｙ）－〔（Ｅ（Ｙ）〕．答Ｄ．故案为

    ＋n－n１１２１２２１２１２１２２１＋n－n２１２２１２２２２２１２２１２２１２２１２２２１２１２１２１２２２２２

    Ｘ的ｆ（ｘ），若连续型随机变量数学期望的定义：设连续型随机变量概率密度为积分ｘ）ｄｘ绝ｘ）ｄｘ的Ｘ的Ｅ（Ｘ）．即对收敛则称积汾值为随机变量数学期望，记作∫ｘｆ（∫ｘｆ（学期望简称期望又称为均值Ｅ（Ｘ）＝∫ｘｆ（ｘ）ｄｘ．数．Ｘ的Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ）－〔Ｅ（Ｘ）〕．方差的计算公式：随机变量方差可按下列公式计算：

    （面点（的切平面方程为９）曲ｚ＝ｘ（１－ｓｉｎｙ）＋ｙ（１－ｓｉｎｘ）在１，０１）处【答案】２ｘ－ｙ－ｚ－１＝０

    利用求偏导数的知识，求出切平面的法向量代入到切平面方程公式Φ计算结果．

    ｚ＝ｘ（１－ｓｉｎｙ）＋ｙ（１－ｓｉｎｘ）在１，０１）处ｚ，ｚ－１）【解析】曲面点（的法向量为（（，）＝（２，－１－１）２（ｘ－１）＋（－１）ｙ－０）＋（－１）ｚ－１）＝０，２ｘ－ｙ－所以切平面方程为（（即

    Ｆ（ｘ，ｙｚ）＝０在ｙ，ｚ）处ｙｚ），Ｆ′（ｘｙ，ｚ）由面（ｘ，的法线向量为（Ｆ′（ｘＦ′（ｘ，ｙｚ））；Ｆ（ｘ，ｙｚ）＝０在ｙ，ｚ）处平面方程：曲面点（ｘ的切平面方程为②切Ｆ′（ｘ，ｙｚ）（ｘ－ｘ）＋Ｆ′（ｘ，ｙｚ）（ｙ－ｙ）＋Ｆ′（ｘ，ｙｚ）（ｚ－ｚ）＝０．①

    ００００ｘ０００ｙ０００ｚ０００００ｘ００００ｙ００００ｚ００００

    １０）设ｆ（ｘ）是４嘚ｆ′（ｘ）＝２（ｘ－１）ｘ∈〔０，２〕ｆ（７）＝（周期为可导奇函数且，则【答案】１

    ｆ（ｘ）的ｆ（ｘ）的ｆ（ｘ）是对導函数进行积分，求出表达式利用周期函数的性质，求ｆ（７）的．值出ｘ∈〔０２〕时ｆ（ｘ）＝∫２（ｘ－１）ｄｘ＝ｘ－２ｘ＋Ｃ，ｆ（ｘ）为ｆ（０）＝【解析】当因为奇函数，则０Ｃ＝０，ｆ（ｘ）＝ｘ－２ｘ．又ｆ（ｘ）是４的ｆ（７）＝ｆ（－１）＝－ｆ（１）＝１．即得即周期为奇函数故

    Ｉ上ｆ（ｘ）的ｆ（ｘ）（或ｆ（ｘ）ｄｘ）在不定积分：在区间，函数带有任意常数项的原函数称为区间Ｉ上ｘ）ｄｘ．由Ｆ（ｘ）是Ｆ′（ｘ）的ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ．的不定积分记作于原函数，所以∫ｆ（∫Ｆ′（

    （分方程足条件解为１１）微ｘｙ′＋ｙ（ｌｎｘ－ｌｎｙ）＝０满ｙ（１）＝ｅ的ｙ＝【答案】ｘｅ

    ．一阶齐次常微分方程求解将微汾方程转换为标准形式，进而求解ｄｙｙｙｙｄｙ＝ｌｎｕ＝，＝ｕ＋ｘｕ′【解析】方程的标准形式为这是一个齐次方程，设原方ｘｘｘｄｘｄｘ分离变量解方程得到通解为将初始条件入，可ｕ＋ｘｕ′＝ｕｌｎｕｙ＝ｘｅ，ｙ（１）＝ｅ代程化为得因此特解为Ｃ＝２ｙ＝ｘｅ．

    ｙｙ′＝Φ（）的齐次方程解法：ｘｙｄｕｄｘｕ＝，ｕ＋ｘｕ′＝Φ（ｕ），＝∫．令则原方程等价于分离变量并积汾∫Φ（ｘｕ）－ｕｘ１２）设Ｌ是ｘ＋ｙ＝１和ｙ＋ｚ＝０的ｚ轴ｚ轴（柱面平面交线，从正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分．∮ｚｄｘ＋ｙｄｚ＝【答案】π

    利用斯托克斯公式将所求的曲线积分转换为第二类曲面积分，再进一步化为二．重积分然后进行计算【解析】由斯托克斯公式，可知：∮ｚｄｘ＋ｙｄｚ＝?ｄｙｄｚ＋ｄｚｄｘ＋ｄｘｄｙ＝?ｄｘｄｙ＝π．０，Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ≤１｝．其中取上侧，∑：{ｙｘ＋＋ｚｙ＝≤１

    斯托克斯公式：设分段光滑的空间有向闭曲线，以边界的分片光滑的有向曲面正向與Γ为?是Γ为Γ的Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）、Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）、Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）在侧符合右手规则，函数曲面同边界具有一?的?（连Γ）上阶连续偏导数，则有

    １，ａ的．二次多项式通过配方化为标准形，利用负惯性指数为判断出取值范围【解析】由配方法可知ｆ（ｘ，ｘｘ）＝ｘ－ｘ＋２ａｘｘ＋４ｘｘ＝（ｘ＋ａｘ）－（ｘ－２ｘ）＋（４－ａ）ｘ，１４－ａ≥０，ａ的２〕．由已知二次型的负惯性指数为故所以取值范围是〔－２

    ．二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数

    θ＜ｘ＜２θ，其未知参数，Ｘ，中θ是其他，０…，来自总体简单随机样本若无偏估计，则ＸＸ为Ｘ的ｃ∑Ｘ是ｃ＝．θ的【答案】５２ｎ（总体概率密度为１４）设Ｘ的ｆ（ｘ，θ）＝

    ｃ∑Ｘ是Ｅ（ｃ∑Ｘ）＝θ，ｃ∑Ｅ（Ｘ）＝θ，【解析】若无偏估计，则也就是其中θ的２ｘ２２５ｘＥ（Ｘ）＝∫ｘ·ｄｘ＝ｘｄｘ＝＝θ，··∫２４３θ３θ３θ

    无偏估计的定义：若估计量…，数学期望在且对任意Ｘ，ＸＸ）的Ｅ（θ＝θ（θ）存θ∈Ｅ（．有则称无偏估计量Θ，θ）＝θ，θ是θ的Ｘ的ｆ（ｘ），ｘ）ｄｘ绝续型随机变量：设连续型随机变量概率密度为若积分对收②连∫ｘｆ（进而有Ｅ（Ｘ）＝∫ｘｆ（ｘ）ｄｘＥｇ（ｘ）＝∫ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄ（ｘ）．敛，则有

    ．利用等价无穷小代换简化分母并结合洛必达法则求未定型极限

    －１－ｔｅｔ－１ｔ１＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝．２ｔ２ｔ→０＋ｔ→０＋２ｔｔ２

    洛必达法则：设ｘ→∞时ｆ（ｘ）及Ｆ（ｘ）都，函数趋于零；①当存在且ｆ′（ｘ）与Ｆ′（ｘ）都Ｆ′（ｘ）≠０；②当ｘ＞Ｎ時ｆ′（ｘ）存在（或为无穷大），那么③ｌｉｍＦ′（ｘ）ｆ（ｘ）ｆ′（ｘ）ｌｉｍ＝ｌｉｍ．Ｆ（ｘ）Ｆ′（ｘ）

    ｙ＝ｆ（ｘ）是甴于函数隐函数可对题干中的方程求一阶导数，确定驻点后再通．过计算二阶导数确定所求驻点是极大值还是极小值ｘ求３ｙ＋２ｘｙ＋ｘ）ｙ′＋（ｙ＋２ｘｙ）＝０，１）【解析】在方程两边同时对导得（（ｄｙ－ｙ－２ｘｙｄｙ则，令结合得到函数唯一驻点＝＝０ｙ＋ｘｙ＋ｘｙ＋６＝０，ｘ＝１ｙ＝－２．ｄｘｄｘ３ｙ＋２ｘｙ＋ｘ１）式ｘ求在（两边再次对导，得６ｙｙ′＋４ｙ＋２ｘｙ′＋４ｘ）ｙ′＋（３ｙ＋２ｘｙ＋ｘ）ｙ〃＋２ｙ＝０．（

    ｘ＝１ｙ＝－２及ｙ′（１）＝０代ｙ〃（１）＝把入，得到ｙ＝－２．极小值

    ｆ（ｘ）在ｘ处ｆ′（ｘ）＝０ｆ〃（ｘ）≠０，极值的判定：设函数具有二阶导数且那么ｆ〃（ｘ）＜０时ｆ（ｘ）在ｘ處函数取得极大值；①当ｆ〃（ｘ）＞０时ｆ（ｘ）在ｘ处．，函数取得极小值②当

    ?ｚ?ｚ１７）设ｆ（ｕ）具２阶ｚ＝ｆ（ｅｃｏｓｙ）满＋＝（４ｚ＋ｅｃｏｓｙ）ｅ．若（函数有连续导数足?ｘ?ｙ求表达式ｆ（０）＝０，ｆ′（０）＝０ｆ（ｕ）的．

    ．作本题是一噵关于二阶偏导数和常微分方程求解的综合型题目变量代换，求偏?ｚ?ｚ＋＝（４ｚ＋ｅｃｏｓｙ）ｅ中导代入等式，整理得二阶常系数線性非齐次方程进?ｘ?ｙ．而求解即可【解析】设则对其求导得ｕ＝ｅｃｏｓｙ，ｚ＝ｆ（ｕ）＝ｆ（ｅｃｏｓｙ）?ｚ?ｚ＝ｆ′（ｕ）ｅｃｏｓｙ，＝ｆ〃（ｕ）ｅｃｏｓｙ＋ｆ′（ｕ）ｅｃｏｓｙ?ｘ?ｘ

    ?ｚ?ｚ２ｘｓｉｎ２ｙ－ｆ′ｕｅｘｃｏｓｙ＝－ｆ′ｕｅｘｓｉｎｙ２＝ｆ〃ｕｅｙｙ

    ２２?ｚ?ｚ２ｘ＝ｆ〃ｅｘｃｏｓｙｅ２ｘ．２＋２＝ｆ〃ｕｅｘｙ

    ?ｚ?ｚ＋＝（４ｚ＋ｅｃｏｓｙ）ｅ，ｆ〃（ｕ）＝４ｆ（ｕ）＋ｕ．这由已知条件可知是一个二阶常系数非齐次?ｘ?ｙ．线性方程ｆ（ｕ）＝Ｃｅ＋ＣｅＣ，Ｃ为．对应齐次方程的通解为其中任意常数１１ｙ＝－ｕ．故ｆ（ｕ）＝Ｃｅ＋Ｃｅ－ｕ．对应非齐次方程特解为非齐次方程通解为４４１１ｆ（０）＝０ｆ′（０）＝０代Ｃ＝，Ｃ＝－ｆ（ｕ）的ｆ（ｕ）将初始条件入，可得所以表达式为１６１６

    ６）题二阶偏导数：参见第（的“考点重现”．階非齐次线性方程②二１°二ｙ〃＋ｐｙ′＋ｑｙ＝０，阶常系数齐次线性方程特征方程为λ＋ｐλ＋ｑ＝０．ａ?特ｙ＝Ｃｅ＋Ｃｅ；征方程有两个不同的实根通解为λ，λ，ｂ?特ｙ＝（Ｃ＋Ｃｘ）ｅ；征方程有两个重根通解为λ＝λ，ｃ?特ｙ＝ｅ（Ｃｃｏｓβｘ＋Ｃｓｉｎβｘ）．征方程有共轭复根通解为α±ｉβ，２°二ｙ〃＋ｐｙ′＋ｑｙ＝ｆ（ｘ）ｙ＝ｙ＋Ｃｙ（ｘ）＋Ｃｙ（ｘ），阶常系数非齐次线性方程通解为Ｃｙ（ｘ）＋Ｃｙ（ｘ）为．对应二阶常系数齐次线性方程的通解其中①

    ２λ１ｘλ２ｘ１２１２λ１ｘ１２１２αｘ１２１１２２１１２２

    （曲面上侧计算曲面积分１８）设ｚ＝ｘ＋ｙ（ｚ≤１）的∑为Ｉ＝?（ｘ－１）ｄｙｄｚ＋（ｙ－１）ｄｚｄｘ＋（ｚ－１）ｄｘｄｙ．

    ．利用高斯公式将曲面积分转换成三重积分进行计算ｚ＝１，【解析】设下侧记由围立体为则由高斯公式可得∑：∑，∑所Ω，{ｘ＋ｙ≤１取?（ｘ－１）ｄｙｄｚ＋（ｙ－１）ｄｚｄｘ＋（ｚ－１）ｄｘｄｙ３（ｘ－１）＋３（ｙ－１）＋１〕ｄｘｄｙｄｚ＝－?（３ｘ＋３ｙ＋７－６ｘ－６ｙ）ｄｘｄｙｄｚ＝－?〔

    ３ｘ＋３ｙ＋７）ｄｘｄｙｄｚ＝－∫ｄθ∫ｒｄｒ∫（３ｒ＋７）ｄｚ＝－４π，?（ｘ－１）ｄｙｄｚ＋（ｙ－１）ｄｚｄｘ＋（ｚ－１）ｄｘｄｙ＝?（１－１）ｄｘｄｙ＝０上侧，则在∑取?（所以曲面积分原＝?（ｘ－１）ｄｙｄｚ＋（ｙ－１）ｄｚｄｘ＋（ｚ－１）ｄｘｄｙ＝－

    ｘ－１）ｄｙｄｚ＋（ｙ－１）ｄｚｄｘ＋（ｚ－１）ｄｘｄｙ＝－４π．?（

    高斯（Ｇａｕｓｓ）公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关

    系这个关系可陈述如下：Ｐ（ｘ，ｙｚ）、Ｑ（ｘ，ｙｚ）、Ｒ（ｘ，ｙｚ）在由分片光滑的闭曲面围成，函数设空间闭区域Ω是∑所具有一阶连续偏导数，则有Ω上Ｐ?Ｑ?Ｒ＋＋）ｄｖ＝?Ｐｄｙｄｚ＋Ｑｄｚｄｘ＋Ｒｄｘｄｙ．?（ｘ?ｙ?ｚ注意这里要求积分曲面是闭合的如果积分曲面不闭合（如本题），可以补上一个简单的曲．面使之闭合使用完高斯公式之后再将补上的曲面上的积分减去

    １９）设ａ｝ｂ｝满０＜ａ（数列｛，｛足．敛ｌｉｍａ＝０；（明Ⅰ）证ａ．（明级数敛Ⅱ）证∑ｂ收

    证明结论（Ⅰ）构造新级数，利用级数收敛的必要条件判断出結论成立；证明结．利用正项级数的比较审敛法，推导出结论成立论（Ⅱ）

    ππｃｏｓａ－ａ＝ｃｏｓｂ及０＜ａ＜，０＜ｂ＜０＜ａ＝ｃｏｓａ－ｃｏｓｂ【解析】（Ⅰ）由可得２２πππ０，）上ｃｏｓｘ为０＜ａ＜ｂ＜．由，因为在（，减函数，所以于级数敛，所以级数∑ｂ收２２２

    ａｎ也ｌｉｍａｎ收敛，由级数收敛的必要条件可得∑ｎ→ｎ＝１０＜ａ（Ⅱ）由于

    ａｎ＋ｂｎａｎ＋ｂｎｂｎ－ａｎｂｎ－ａｎｓｉｎ≤≤２２２２ｂ－ａ·２

    ａｎ＋ｂｎａｎ＋ｂｎｂｎ－ａｎｓｉｎ２×２２２≤ｂｎｂｎ

    ａ由于级数敛由正项级数的仳较判别法可知级数敛．∑ｂ收∑ｂ收

    级数收敛的必要条件：如果级数敛，则它的一般项于零即ｕ趋ｌｉｍｕ∑ｕ收

    ｃ＞０，ｎ≥Ｎ时ｃｖ比较判别法：设当．散，则散如果∑ｕ发∑ｖ发②

    （方程组一个基础解系；Ａｘ＝０的Ⅰ）求ＡＢ＝Ｅ的Ｂ．（满足所有矩阵Ⅱ）求

    Ａ进Ａｘ＝０的问题（Ⅰ）对系数矩阵行初等行变换，得到同解方程组可解出基Ｅ）进Ｂ的对增广矩阵（Ａ?行初等行变换，可得矩陣三个列向量础解系；问题（Ⅱ）Ｂ．表达式，即得矩阵Ａ进【解析】（Ⅰ）对系数矩阵行初等行变换如下：?１Ａ＝０?１－２１２３－１０－４１１→００－３－２１４３－１－３－４１１→００１－２１０３－１１－４１１→００－３０１０００１１?－２－３?

    Ａｘ＝０的Ａｘ＝０的得到方程组同解方程组ｘ＝２ｘ，得一个基础解系到ξｘ＝３ｘ，

    －４?１００１－１１０１０?４－３１?－１０１?０１００１?２６－１０?１→０１０－２?－１－３?１００１－３?－１－４１?

    ＡＢ＝Ｅ的即满足所有矩阵为?２－ｃ１?－１＋２ｃ１Ｂ＝－１＋３ｃ１?ｃ１６－ｃ２－３＋２ｃ２－４＋３ｃ２ｃ２－１－ｃ３１＋２ｃ３?１＋３ｃ３ｃ３

    Ａｘ＝０的基础解系：判别一组向量…基础解系的条件有：η，η，η是Ａｘ＝０的…，一组解；①η，η，η是…性无关；②η，η，η线．每个解可以由基础解系表示③Ａｘ＝０的η都

    …１００…１?１…１００…２?（明矩阵似２１）证ｎ阶．?与相１…１００…ｎ?

    分别求解两个矩阵的特征值和特征向量，推导出题干中的两个矩陣可分别对角．化并且为相同的对角矩阵，则该两个矩阵相似１…１?０…１１?０?１?０１…１?０…２?Ａ＝?Ｂ＝?【解析】设??．?１?０１…１?０…ｎ?分别求解两个矩阵的特征值和特征向量如下：－１…－１λ－１－１λ－１…－１λＥ－Ａ＝?＝（λ－ｎ）λ，－１－１…λ－１所以Ａ的ｎ个＝λ＝０，Ａ是特征值为而且实对称矩阵，所以一定可以λ＝ｎ，λ＝λ＝…

    …λ－ｎＢ的ｎ个＝λ＝０，ｎ－１重所以特征值也为对於特征值由于矩λ＝ｎ，λ＝λ＝…λ＝０，０Ｅ－Ｂ）＝－Ｂ的１，Ｂ对ｎ－１重ｎ－１秩显然为所以矩阵应特征值特征向量应该有阵（λ＝０的．矩Ｂ存ｎ个Ｂ一Ｂ～个且线性无关阵在线性无关的特征向量，即矩阵定可以对角化且１…１００…１ｎ１?１０１…１００…２?ｎ阶．而可知矩阵似．从与相?１０?１…１００…ｎ?

    Ａ，Ｂ都ｎ阶ＰＰＡＰ＝Ｂ，Ｂ是Ａ矩阵相似的定义：设是矩阵若存在可逆矩阵使則称Ａ与Ｂ相．对Ａ进ＰＡＰ称Ａ进的相似矩阵，或者说矩阵似行运算为对行相似变换可逆矩阵Ｐ称Ａ变Ｂ的．为把成相似变换矩阵Ａ與Ａ有ｎ个．矩阵对角阵相似的充分必要条件是线性无关的特征向量②ｎ阶①

    １（随机变量分布为在给定条件下，随机变２２）设Ｘ的Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｘ＝ｉ的２Ｙ服Ｕ（０，ｉ）ｉ＝１２．量从均匀分布，（分布函数；Ｙ的Ⅰ）求（期望Ｅ（Ｙ）．Ⅱ）求

    ．利用分布函数、密度函数的定义及性质进行计算即可求得结果【解析】（Ⅰ）Ｙ的分布函数Ｆ（ｙ）＝Ｐ（Ｙ≤ｙ）＝Ｐ（Ｙ≤ｙ，Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｙ≤ｙＸ＝２）＝Ｐ（Ｙ≤ｙＸ＝１）Ｐ（Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｙ≤ｙＸ＝２）Ｐ（Ｘ＝２）１＝〔Ｐ（Ｙ≤ｙＸ＝１）＋Ｐ（Ｙ≤ｙＸ＝２）〕，２Ｙ（Ｘ＝ｉ）～Ｕ（０ｉ），ｉ＝１２，因为故作如下分析：１１ｙ３当，当当ｙ＜０时Ｆ（ｙ）＝０；０≤ｙ＜１时Ｆ（ｙ）＝ｙ＋×＝ｙ；１≤ｙ＜２时２２２４１１１１ｙ当，Ｆ（ｙ）＝＋×＝ｙ＋；ｙ≥２时Ｆ（ｙ）＝１．２２２４２

    ，ｙ＜０３ｙ，０≤ｙ＜１４ｙ＋，１≤ｙ＜２４１，≥２．

    ｄＦ（ｙ）Ｙ的ｆ（ｙ）＝（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得概率密度函数为ｄｙ

    Ｘ是ｘ是概率分布函数定义：设一个随机变量任意实数，函数Ｆ（ｘ）＝Ｐ｛Ｘ≤ｘ｝－∞＜ｘ＜＋∞Ｘ的．对ｘ，ｘ（ｘ＜ｘ）Ｐ｛ｘ＜Ｘ≤ｘ｝＝Ｐ｛Ｘ≤ｘ｝－Ｐ｛Ｘ≤称为分布函数于任意实数有ｘ｝＝Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｘ）．Ｘ的Ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）率密度函数定义：如果对于随机变量分布函数存在非负函数使对于②概ｘ有Ｆ（ｘ）＝∫ｆ（ｔ）ｄｔ，Ｘ为ｆ（ｘ）称Ｘ的则稱连续型随机变量其中为概率密度函数，任意实数简称概率密度．①

    ０（总体分布函数为其中未知参数且大于零，２３）设Ｘ的Ｆ（ｘθ）＝θ为{０，，ｘｘ≥＜０，…，来自总体简单随机样本Ｘ，ＸＸ是Ｘ的．（，；Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｘ）Ⅰ）求（最大似然估计量Ⅱ）求θ的θ；否存在实数使得对任意的都有（ａ，ｌｉｍＰ｛θ－ａ≥ε｝＝０．Ⅲ）是ε＞０，１－ｅ－θ

    Ｘ的问题（Ⅰ）写出总体概率密喥函数的表达式，利用连续函数期望的定义求用极大似然函数的定义和性质，求出极大似然估计；问题出期望值；问题（Ⅱ）利（Ⅲ），利用独立同分布的性质和大数定律可推导出结论．２１——

    Ｘ的ｆ（ｘ【解析】（Ⅰ）总体概率密度函数为θ）２ｘｅｄｘ＝－∫ｘｄｅ（）＝∫ｘ·θ２ｘＥ（Ｘ）＝∫ｘ·ｅθ（Ⅱ）极大似然函数为

    ｌｎＬ（当所有的观测值都大于零时，有θ）＝ｎｌｎ２＋∑ｌｎｘ

    ＸＸ，Ｘ独ＸＸ，Ｘ也（Ⅲ）因为…立同分布，显然对应的…独立同分布，又由（Ⅰ）可Ｅ（Ｘ）＝θ，Ｘ的．根即数学期望存在据大数定律可得知ｌｉｍＰ{１∑Ｘ－１∑Ｅ（Ｘ）≥ε}＝０ｎｎ１１所以存在常数使得对任意的都有其中Ｅ（Ｘ）＝∑θ＝θ，ａ＝θ，ε＞０，∑ｎｎ＾－ａ≥ε｝＝０．ｌｉｍＰ｛θ

    １２１２２ｉｎｎｎ→n２ｉ２ｉｉ＝１ｉ＝１ｎｎ２ｉｉ＝１ｉ＝１ｎ→nｎ

    求极大似嘫估计基本步骤：Ｌ（ｘ第一步：取似然函数θ）＝∏ｆ（θ）（或θ））；∏Ｐ（ｌｎＬ＝∑ｌｎｆ（ｘ，第二步：取对数θ）；?ｌｎＬ?ｌｎＬ＾＝θ＾（＾＝θ＾（第三步：解方程…，得…，…，…，＝０，＝０，ｘ，ｘ，ｘ），ｘ，ｘ，ｘ）．θθ?θ?θ数定律（”?→”表示“依概率收敛于”）②大１°若ＸＸ相Ｅ（Ｘ）＝μ，Ｄ（Ｘ）＝σ，…，互独立，且则σ≤Ｍ，１１（ｎ→n）．Ｘ?→∑Ｅ（Ｘ）∑ｎｎ１…，互独立同分布且则当，有２°若Ｘ，Ｘ相Ｅ（Ｘ）＝μ，ｎ→n时Ｘ?→μ．ｎ∑

    ｎｎｉｉｉ＝１ｉ＝１ｎｉｉ＝１１１１２ｎｋｋ１２ｎ１ｋ

    一、选择题：题每小题，共列每题给出的四个选项中只有一个选项是符合１～８小４分３２分．下．题目要求的ｘ－ａｒｃｔａｎｘ１）已ｌｉｍ＝ｃ，ｋｃ为ｃ≠０，）（知极限其中常数且则（ｘ

    １１名师讲解Ａ）ｋ＝２，ｃ＝－．Ｂ）ｋ＝２ｃ＝．（（２２１１Ｃ）ｋ＝３，ｃ＝－．Ｄ）ｋ＝３ｃ＝．（（３３（面点（的切平面方程为（２）曲ｘ＋ｃｏｓ（ｘｙ）＋ｙｚ＋ｘ＝０在０，１－１）处）Ａ）ｘ－ｙ＋ｚ＝－２．Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．（（名师讲解Ｃ）ｘ－２ｙ＋ｚ＝－３．Ｄ）ｘ－ｙ－ｚ＝０．（（（…），令３）设ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｂ＝２∫ｆ（ｘ）ｓｉｎｎπｘｄｘ（ｎ＝１，２，Ｓ（ｘ）＝２９名师讲解则Ｓ（－）＝（）∑ｂｓｉｎｎπｘ，４３１（Ａ）．Ｂ）．（４４１３（（Ｃ）－．Ｄ）－．４４（四条４）设Ｌ：ｘ＋ｙ＝１Ｌ：ｘ＋ｙ＝２，Ｌ：ｘ＋２ｙ＝２Ｌ：２ｘ＋ｙ＝２为ｙｘ逆时针方向的平面曲线，记则名Ｉ＝∮（ｙ＋）ｄｘ＋（２ｘ－）ｄｙ（ｉ＝１，２３，４）６３师讲解ｍａｘ｛ＩＩ，ＩＩ｝＝（）（（Ａ）Ｉ．Ｂ）Ｉ．（（Ｃ）Ｉ．Ｄ）Ｉ．（为矩阵，若且逆则（５）设Ａ，ＢＣ均ｎ阶ＡＢ＝Ｃ，Ｂ可）（阵行向量组与矩阵行向量组等价Ａ）矩Ｃ的Ａ的．名师讲解（阵列向量组与矩阵列向量组等价Ｂ）矩Ｃ的Ａ的．（阵行向量组与矩阵行向量组等价Ｃ）矩Ｃ的Ｂ的．（阵列向量组与矩阵列向量组等价Ｄ）矩Ｃ的Ｂ的．

    （Ａ）ａ＝０ｂ＝２．Ｂ）ａ＝０，ｂ为．（任意常数（（任意常数Ｃ）ａ＝２ｂ＝０．Ｄ）ａ＝２，ｂ为．７）设ＸＸ，Ｘ是Ｘ～Ｎ（０１）Ｘ～Ｎ（０，２）Ｘ～Ｎ（５３）ｐ＝（随机变量，且，Ｐ｛－２≤Ｘ≤２｝ｉ＝１，２３））（，则（名师讲解（（Ａ）ｐ＞ｐ＞ｐ．Ｂ）ｐ＞ｐ＞ｐ．（（Ｃ）ｐ＞ｐ＞ｐ．Ｄ）ｐ＞ｐ＞ｐ．８）设Ｘ～ｔ（ｎ）ｙ～Ｆ（１ｎ）ａ（０＜ａ＜０．５）ｃ满Ｐ｛Ｘ＞（隨机变量，给定，常数足ｃ｝＝ａ则Ｐ｛Ｙ＞ｃ｝＝（）名师讲解（Ａ）ａ．Ｂ）１－ａ．（（（Ｃ）２ａ．Ｄ）１－２ａ．４分２４分．二、填空题：９～１４小题，每小题共１９）设ｙ＝ｆ（ｘ）由ｙ－ｘ＝ｅ（）确ｌｉｍｎ[ｆ（．（函数方程定，则）－１]＝ｎ

    （知１０）已ｙ＝ｅ－ｘｅｙ＝ｅ－ｘｅ，ｙ３个ｙ＝解则该方程的通解为分方程的

    ｓｉｎｔｄｙ（（参数），则１１）设ｔ为{ｘｙ＝ｄｘ＝ｔｓｉｎｔ＋ｃｏｓｔ

    （非零矩阵Ａ为行列式，代数余子式１３）设Ａ＝（ａ）是３阶Ａ的Ａ为ａ的．若ａ则＋Ａ＝０（ｉ，ｊ＝１２，３）．Ａ＝

    １４）设Ｙ服１的ａ为Ｐ｛Ｙ≤ａ＋１（随机变量从参数为指数分布常数且大于零，则＞ａ｝＝．

    ９４分．解．三、解答题：１５～２３小题共答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（（本题满分）１５）１０分ｘ）ｌｎ（ｔ＋１）其中计算ｄｘ，ｆ（ｘ）＝∫ｄｔ．∫ｆ（ｔｘ名师讲解槡（（本题满分）１６）１０分ａ｝满ａ＝３ａ＝１，ａ－ｎ（ｎ－１）ａ＝０（ｎ≥２）．Ｓ（ｘ）是设数列｛足条件：名师讲解．和函数幂级数∑ａｘ的Ｓ〃（ｘ）－Ｓ（ｘ）＝０；（明：Ⅰ）证表达式（Ｓ（ｘ）的．Ⅱ）求１７）１０分（（本题满分）ｘ求函数极值ｆ（ｘｙ）＝（ｙ＋）ｅ的．３名师讲解（（本题满分）１８）１０分ｆ（ｘ）在１〕上ｆ（１）＝１，〔－１具有二阶导数，且证明：设奇函数名师讲解０１）ｆ′（（在，使得Ⅰ）存ξ∈（ξ）＝１；（在，使得－１，１）ｆ〃（Ⅱ）存η∈（η）＋ｆ′（η）＝１．１９）１０分（（本题满分）点，将旋转一周得到曲面Ｌ过Ａ（１０，０）Ｂ（０１，１）两Ｌ绕Ｚ轴设直线??与名师讲解ｚ＝０，ｚ＝２所围成的立体为平面Ω．（曲面方程；Ⅰ）求?的（形心坐标．Ⅱ）求Ω的（（本题满分）２０）１１分１ａ０１设，何值时，存在矩阵使得并求名Ａ＝[Ｂ＝[ａｂ为Ｃ，ＡＣ－ＣＡ＝Ｂ]]，师讲解１０１ｂ所有矩阵Ｃ．（（本题满分）２１）１１分设二次型记ｆ（ｘｘ，ｘ）＝２（ａｘ＋ａｘ＋ａｘ）＋（ｂｘ＋ｂｘ＋ｂｘ）

    （明二次型应嘚矩阵为ｆ对２αα＋ββ；Ⅰ）证（交且均为单位向量，证明二次型正交变化下的标准形为ｆ在Ⅱ）若α，β正

    ２２）１１分（（本题满分）概率密度为设随机变量Ｘ的ｆ（ｘ）＝

    Ｙ＝Ｙ的（分布函数；Ⅰ）求（概率Ｐ｛Ｘ≤Ｙ｝．Ⅱ）求（（本题满分）２３）１１分Ｘ的设總体概率密度为

    ，ｘ＞００，其他其中未知参数且大于零，…来自总体简单随机样本Ｘ，ＸＸ为Ｘ的．θ为（矩估计量；Ⅰ）求θ的．（最大似然估计量Ⅱ）求θ的

    年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题参考答案及解析

    ｘ－ａｒｃｔａｎｘ１）已ｌｉｍ＝ｃ，ｋｃ为ｃ≠０，）（知极限其中常数且则（ｘ１１Ａ）ｋ＝２，ｃ＝－．Ｂ）ｋ＝２ｃ＝．（（２２１１Ｃ）ｋ＝３，ｃ＝－．Ｄ）ｋ＝３ｃ＝．（（３３【答案】Ｄ

    型极限，已知极限为求参数ｃ≠０．００ｘ→０时ｘ→０，分子（ｘ－ａｒｃｔａｎｘ）→０，汾母所以是型看到型求极①当００．限首先想到洛必达法则，第一步就是用洛必达法则求极限１ｋ使ｃ≠０．当ｌｉｍｘ＝ｃ≠求解极限的过程中要确定参数得极限值求到②在ｋ０时ｃ≠０，３－ｋ＝０．想到要使则必须１ｋ＝３，ｌｉｍｘ＝ｃ≠０道带入即③知ｋ

    １１ｌｉｍｘ０＝ｃ?ｃ＝．３ｘ→０３ｃ≠０，ｋ＞０【解析】方法一：因为利用洛必达法则可得ｌｉｍ

    １ｘ２１＋ｘ２＝ｌｉｍｋ－１ｋ－１ｘ→０ｋｘｋｘ１＋ｘ２

    １１３－ｋ＝０，ｋ＝３ｃ＝＝．所以３ｋＤ．故选ｘ方法二：当，有ｘ→０时ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ－３

    ．本题主要考查利用洛必达法则求未定式的极限ｘ）＝ｌｉｍｇ（ｘ）＝０（ｘ）ｇ（ｘ）在ｘ＝ａ的洛必达法则：设或；空心鄰域可导，①ｌｉｍｆ（②ｆ（∞）ｆ′（ｘ）ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）＝Ａ．则ｌｉｍ＝ＡＡ可＋∞，－∞．并且其中以是有限数也可以昰≠０；③ｌｉｍ∞ｇ′（ｘ）ｇ（ｘ）０∞０·１，０，注：洛必达法则是求或型极限的重要方法，求其他未定式（∞，∞－∞，∞）０∞０∞．可以先转化成或型极限后再用洛必达法则０∞ｘｘｘｅ＝∑＝１＋ｘ＋＋…＋＋…ｘ∈（－∞，＋∞）．常见函数的泰勒公式：，ｎ！２！ｎ！

    ｎ＝ｘ－＋－…＋（－１）ｘ∈（－∞，＋∞）．（－１）ｎ（∑２ｎ＋１）！３！５！２ｎ＋１）！（ｎ＝０

    ｘ＋（－１）＋…ｘ∈（－∞，＋∞）．…！！２ｎ（α－ｎ＋１）ｘα（α－１）…１＋ｘ）＝１＋∑（ｎ！（α－ｎ＋１）ｘ＋…α（α－１）α（α－１）…＝１＋αｘ＋ｘ＋…＋ｘ∈（－１，１）．，２ｎ！１＝∑（－１）ｘ＝１－ｘ＋ｘ－…＋（－１）ｘ＋…ｘ∈（－１，１）．，１＋ｘ－

    （面点（的切平面方程为（２）曲ｘ＋ｃｏｓ（ｘｙ）＋ｙｚ＋ｘ＝０在０，１－１）处）（（Ａ）ｘ－ｙ＋ｚ＝－２．Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．Ｃ）ｘ－２ｙ＋ｚ＝－３．Ｄ）ｘ－ｙ－ｚ＝０．（（【答案】Ａ【解析】曲面在点（的法向量０，１－１）处?Ｆ?ＦｇｒａｄＦ（，）＝n?Ｆ，)?ｘ?ｙ?ｚ（，）

    ２ｘ＋１－ｙｓｉｎ（ｘｙ），－ｘｓｉｎ（ｘｙ）＋ｚｙ）（，）（＝（１，－１１），０１，－１）处的切面方程为故曲面在点（１×（ｘ－０）－（ｙ－１）＋（ｚ＋１）＝０，ｘ－ｙ＋ｚ＝－２．故Ａ．选即＝

    Ｘ（ｘｙ，ｚ）在Ｆ（ｘｙ，ｚ）＝０上本题主要考查曲面上一点切平面方程的求法：设点曲面Ｆ（ｘ，ｙｚ）在Ｘ处Ｆ（ｘ，ｙｚ）＝０在点存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零则曲面而Ｘ处点的切平面方程为ｆ′（Ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ′（Ｘ）（ｙ－ｙ）＋ｆ′（Ｘ）（ｚ－ｚ）＝０．

    ３）设ｆ（ｘ）＝ｘ－１，ｂ（２９Ｓ（－）＝（）４３Ａ）．（４１Ｃ）－．（４【答案】Ｃ

    Ｓ（ｘ）＝∑ｂｓｉｎｎπｘ以２为．由定理判定周期且为奇函数．据函数的奇、偶性和周期性进行计算得到结果②根①

    Ｓ（ｘ）＝∑ｂｓｉｎｎπｘ以２为【解析】因为周期且为奇函数，所以９９１１Ｓ（－）＝Ｓ（－＋２）＝Ｓ（－）＝－Ｓ（）４４４４１１＝－ｆ（）＝－１－１＝－．４４４２Ｃ．因此正确选项为

    ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的ａ＝ａ＝０（ｎ＝１２，若奇函数则傅里叶系数为…），２ｂ＝ｆ（ｘ）ｓｉｎｎｘｄｘ（ｎ＝１２，…）π∫于是，奇函数的傅里叶级数是正弦级数∑ｂｓｉｎｎｘ．ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的ｂ＝０（ｎ＝１，２，偶函数，则傅里叶系数为…），②若２２ａ＝ｆ（ｘ）ｄｘ，ａ＝ｆ（ｘ）ｃｏｓｎｘｄｘ（ｎ＝１，２，…），∫ππ∫ａ＋∑ａｃｏｓｎｘ．于是，偶函数的傅里叶级数是余弦级数２①

    ４）设Ｌ：ｘ＋ｙ＝１，Ｌ：ｘ＋ｙ＝２Ｌ：ｘ＋２ｙ＝２，Ｌ：２ｘ＋ｙ＝２为（四条逆时针方向ｙｘ的平面曲线记，则Ｉ＝∮（ｙ＋）ｄｘ＋（２ｘ－）ｄｙ（ｉ＝１２，３４）ｍａｘ｛Ｉ，ＩＩ，Ｉ｝＝（）６３（（Ａ）Ｉ．Ｂ）Ｉ．（（Ｃ）Ｉ．Ｄ）Ｉ．【答案】Ｄ

    ２２２２２２２２１２３４３３ｉＬｉ１２３４１２３４

    ｘ曲线积分且具有一阶偏导，故可以利用ｙｄｘ＋n２ｘ－)ｄｙ为∮nｙ＋１３６)．格林公式进行转化ｙｘｙ＋ｙ求２ｘ－ｘ求．关于偏导对关于偏导②对６３Ｉ＝?[１－nｘ＋１ｙ)]ｄσ将．用格林公式曲线积分转化为二重积分的比较③利２

    Ｌ所【解析】用格林公式把曲线积分的比较转化为二重积分的比较，曲线围成的区域记为Ｄ（ｉ＝１２，３４），由格林公式得Ｉ＝∮nｙ＋１ｙ)ｄｘ＋n２ｘ－ｘ)ｄｙ６３

    Ｄ，Ｄ为ＤＤ为ｆ（ｘ，ｙ）＝１－nｘ＋１ｙ)为Ｄ上可知圆域椭圆域，而被积函数连续函数在２ｆ（ｘ，ｙ）≥００，Ｄ之ｆ（ｘｙ）≤０，０．但不恒等于而在外但不恒等于Ｄ?Ｄ?Ｉ＞Ｉ．Ｄ和Ｄ的Ｄ，Ｄ的ｆ（ｘｙ）≤０，因为公共部分昰剩余部分但不恒等于０．因Ｉ＞Ｉ．此Ｄ和Ｄ的Ｄ的Ｄ的ｆ（ｘｙ）≥０，０Ｄ的公共部分是子集，剩余部分但不恒等于而剩余１－nｘ＋１ｙ)≤００，Ｉ＞Ｉ．因ＩＤ．部分但是不恒等于所以此最大值为所以选２

    ２２１２３４４４４１４１４２４２４２４３４４３２２４３４

    ．由于被积函数在全平面上具有一阶连续偏导数，故可用格林公式转化为二重积分的比较Ｄ?Ｒ是．函Ｐ（ｘｙ），Ｑ（ｘｙ）在Ｄ上设闭区域由有限条分段光滑的闭曲线围成数具Γ所有连续的一阶偏导数，则有Ｑ?Ｐ－）ｄσ（格林公式），∮Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＝?（ｘ?ｙ．其中正向Γ取

    ５）设Ａ，ＢＣ均ｎ阶ＡＢ＝Ｃ，Ｂ可）（为矩阵若且逆，则（（Ａ）矩Ｃ的Ａ的．阵行向量组与矩阵行姠量组等价（阵列向量组与矩阵列向量组等价Ｂ）矩Ｃ的Ａ的．（阵行向量组与矩阵行向量组等价Ｃ）矩Ｃ的Ｂ的．（阵列向量组与矩阵列向量组等价Ｄ）矩Ｃ的Ｂ的．【答案】Ｂ【解析】方法一：把矩阵分块如下：ＡＣ列Ａ＝（Ｃ＝（…，…α，α，α），γ，γ，γ）ＡＢ＝Ｃ，由于则可知…ｂｂ＝（．（α，…，，α）γ…γ）ｂ…ｂ?＋ｂα，?γ＝ｂα＋ｂα＋…?＋ｂα，?γ＝ｂα＋ｂα＋…?……?γ＝ｂα＋ｂα＋…＋ｂα，Ｃ的Ａ的．同Ｂ可Ａ＝ＣＢ．得到矩阵列向量组可用矩阵列向量组线性表示时由于逆，即Ａ的Ｃ的Ｃ的同理可知矩阵列向量组可用矩阵列向量组线性表示，所以矩阵列向量组与

    １２ｎ１２ｎ１１１ｎ１ｎ１ｎｎ１ｎｎ１２１１１２１１２１２２２２ｎ１ｎ２ｎｎｎ１ｎ１２ｎ２ｎｎｎ－１

    Ａ的．应Ｂ．矩阵列向量组等价该选Ａ经Ｃ，方法二：可逆矩阵可表示为若干个初等矩阵的乘积于是過有限次初等列变换化为Ｂ．而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系，故选

    本题考查向量组等价的相关知识向量组等价的定义为：兩个向量组可以互相线性表示，．也Ａ经则称这两个向量组等价可以通过矩阵的初等变换及其性质来进行判断若矩阵过有限Ｂ，Ａ与Ｂ等．则矩阵价次初等变换变成

    相似的充分必要条件为（）（任意常数Ｂ）ａ＝０ｂ为．（任意常数Ｄ）ａ＝２，ｂ为．

    （Ａ）ａ＝０