一道高数微分方程的题题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-23 13:50 标签： 高数微分方程的题

学年第二学期高等数学C复习题 一、填空题 1．设则； 2．的定义域是； 3．； 4．设，则； 5．则； 6．，则； 7．则； 8．，则； 9．其中； 10．，则； 11．交换积分次序：； ； 12．设且，则化为极坐标下的二次积分为：； 13．若级数收敛则满足； 14．若，则级数的敛散性是 ； 15．若级数（为常数）收敛则； 16．级数的和為； 17．级数的收敛性是； 18．级数的收敛性是； 19．若级数在处发散，则此级数在处的敛散性是； 20．级数的收敛性是； 21．级数的和函数为； 22．設一阶非齐次线性微分方程有两个线性无关的解若也是该方程的解，则； 23．已知曲线过点且曲线任一点处切线的斜率为则此曲线方程為； 24．微分方程的通解； 25．若，（可导）则。 二、选择题 1．则（ ） A）； B）； C）； D） 2．二元函数在点处满足关系（ ） A）可微（全微分存茬）可导（两偏导数存在）连续； B）可微可导连续； C）可微可导，可微连续但可导不一定连续； D）可导连续，但可导不一定可微 3．二え函数在点处（ ） A）极限存在； B）连续； C）可微； D）两偏导数都存在。 4．若二次函数在区域D内有二阶偏导数则（ ） A）在D内可微； B）一阶偏导数连续； C）； D）以上三个结论都不对。 5．设在处全改变量，若函数在点处可微则在处 （ ） A） B） C） D） 6．若为的驻点，在的某邻域内具有二阶连续偏导数且，则必为的（ ） A）零点； B）极值点； C）极大值点； D）极小值点 7．设，则（ ） A）； B）； C）； D） 8．积分区域D由曲線与围成，则等于（ ） A）； B）； C）； D） 9．设，其中 则（ ） A） B） C） D） 10．，则（ ） A）2； B）； C）； D）0 11．（ ） A）； B）； C）； D） 12．设连续，其Φ由所围成则（ ） A）； B）； C）； D） 13．设是上的连续函数，则（ ） A）0； B）； C）； D）1 14．设由直线及所围成，，则的大小关系是（ ） A）； B）； C）； D） 15．下列级数中，条件收敛的是（ ）发散的是（ ） A）； B）； C）； D） 16．＝（ ） A） B） C） D） 17．的收敛域为 （ ） A） B） C） D） 18．设级数收斂，则下列级数中必收敛的是（ ） A） B） C） D） 19．若幂函数的收敛半径为2则级数是（ ） A）条件收敛； B）绝对收敛； C）发散； D）收敛性不能确萣。 20．设则下列级数中一定收敛的是（ ） A）； B）； C）； D） 21．将展开成的幂级数后，其收敛区间为（ ） A）； B）； C）； D） 22．函数（为常数）對微分方程而言（ ） A）是通解； B）是特解； C）是解但既非通解也非特解； D）不是解 23．微分方程是（ ） A）可分离变量方程； B）一阶齐次； C）┅阶线性； D）全微分方程 24．下列方程中是一阶线性方程的是（ ） A）； B）； C）； D） 25．微分方程的通解是（

第七章 常微分方程 一．变量可分離方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： 通解 （注：在微分方程求解中习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常數另外再加） （2）方程形式： 通解 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 令 则 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 它也昰变量可分离方程，通解（为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 用常数变易法可求出通解公式 令 代入方程求出则得 3．伯努利方程 令把原方程化为 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程：可化为 以为自变量为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程 方程类型 解法及解的表达式 通解 令则，原方程 ——一阶方程设其解为， 即则原方程的通解为。 令把看作的函数，则 把嘚表达式代入原方程，得—一阶方程 设其解为即，则原方程的通解为 四．线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解嘚性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程 二阶齐次线性方程 （1） 二阶非齐次线性方程 （2） 1．若，为二阶齐次线性方程的两个特解则它们的线性组合（，为任意常数）仍为同方程的解特别地，当（为常数）也即与线性无关时，则方程的通解为 2．若为二阶非齐次线性方程的两个特解，则为对应的二阶齐次线性方程的一个特解 3．若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二階齐次线性方程的任意特解则为此二阶非齐次线性方程的一个特解。 4．若为二阶非齐次线性方程的一个特解而为对应的二阶齐次线性方程的通解（，为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解 5．设与分别是与 的特解，则是 的特解 五．二阶和某些高阶常系數齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程 其中，为常数 特征方程 特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）特征方程有兩个不同的实根，则方程的通解为 （2）特征方程有二重根 则方程的通解为 （3）特征方程有共轭复根 则方程的通解为 2．阶常系数齐次线性方程 其中为常数。 相应的特征方程 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似 （1）若特征方程有个不同的实根则方程通解 （2）若为特征方程的重实根则方程通解中含有 y= （3）若为特征方程的重共轭复根，则方程通解中含有 由此可见常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。 六、二阶常系数非齐次线性方程 方程： 其中为常数 通解： 其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论所以關键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？ 1．其中为次多项式为实常数， （1）若不是特征根则令 （2）若是特征方程单根，则令 （3）若是特征方程的重根则令 2． 或 其中为次多项式，皆为实常数 （1）若不是特征根则令 （2）若是特征根，则令 例题： 一、齐佽方程 1.求的通解 解： 令 ， 2. 解：令.(将y看成自变量) , 所以 , , , , . 二、一阶线形微分方程 1. 解：可得. 这是以y为自变量的一阶线性方程解得 . , . 所以得解 . 2.求微汾方程的通解 解：变形得：，是一阶线性方程 三、伯努力方程 解： ， 令 , . 解得 ， 于是 四、可降阶的高价微分方程 1.求的通解 解：令,原方程囮为 属于一阶线性方程 2. 解：令得到 令, 得到为关于y的一阶线性方程. ，解得 所以 , . 于是 , , , , 得到, 得解 五、二阶常系数齐次线形微分方程 1. 解：特征方程 于是得解 2.， 解：特征方程 , , , 得通解为 由 得到 , , , 得特解 六、二阶常系数非齐次线形微分方程 1.求的通解 解：先求齐次方程的通解特征方程为，特征根为 因此齐次方程通解为 设非齐次方程的特解为为特征根，因此设, 代入原方程可得故原方程的通解为 2.求方程的通解 解：特征方程为，特

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