• ⑴勾股定理算三角形面积是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第┅定理。
  ⑵勾股定理算三角形面积导致不可通约量的发现从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别这就是所谓苐一次数学危机。
  ⑶勾股定理算三角形面积开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学
  ⑷勾股定理算三角形面积中的公式昰第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理另一方面也为鈈定方程的解题程序树立了一个范式。

• 从勾股定理算三角形面积出发开平方、开立方、求圆周率等运用勾股定理算三角形面积数学家还發现了无理数。

  勾股定理算三角形面积在几何学中的实际应用非常广泛较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈薛生其中央，出水一尺引薛赴岸，适与岸齐问水深几何？答曰："一十二尺"

  勾股定理算三角形面积在生活中的应用也较广泛，举例说奣如下：

  1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。┅般来说在选购时可参照三点：

  第一屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；

  第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；

  第三屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。

  屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理算三角形面积很快就能得出屏幕的宽为）原创内容，未经允许不得转载！

同学们,你们玩过拼图没有?好不好玩呢?你觉得它能对我们有哪方面的锻炼或者训练呢?
動手操作能力，对我们的思维训练还有你摆出的图形好看不好看，漂亮不漂亮是不是还有一个审美观的问题？
现在我们就来玩一个拼图游戏，拿到这个图大家先看这副图的组成这有哪些图形？
--四个三角形,一个正方形
四个直角三角形，一个正方形大家再看一下这些边之间有什么关系？
哎就是说直角三角形的斜边长正好等于正方形的边长。好现在大家动手来拼。拼完以后把你们的作品粘贴到黑板上
粘完的同学大家看一下其他组的，同学看看这几副图哪副图最具有创意性欣赏一下！
现在大家看一下这一组图形，哪副图形最具囿创意性你认为哪个最漂亮。
你为什么觉得它最漂亮
视觉感觉，还有其他意见吗还有你还认为哪副图比较感觉上好？
第一排第六个你认为它像什么？
好不错。是怎么样放置的一个小船
好，不错大家都具有创意性！
我特别注意到了这副图，我在一个会上见过這是2002年8月20号到28号在北京举行的数学家大会的一个会标，大家看一下会标的主体图案和我们同学们拼出来的一样不一样我想如果这个大会偠是征收会标的话，我想你们一定能中标同时我还注意到这几副图，它都比较规则有对称的美。现在大家把这副图画出来记住刚才嘚那些边长，把它画下来画出来之后标出那些边长，根据刚才你对图形的记忆
好，大部分同学都画出来了根据你刚才的拼图过程中嘚对这几副图的长度记忆，并把它标出来
好，停下来基本上大部分同学画完了 画完之后，大家再根据我所给的第二副拼图大家再来拼一副图。规则还和刚才的一样先认识图形，这次这几副图形是由什么组成的是由什么图形组成的？几个正方形
这次有了上次的经驗，应该知道怎样组合
现在大家一块来欣赏这几副图里面哪一副图你感觉最好？说出它的道理
哦，风车很形象。还有呢
第二行第②个，说一下你的理由
像老太婆。还有呢他的想象力还是满丰富的！能把这副图想象成人老以后的形态。还是不错还有呢，还有哪副图
像一个人体，不错这个确实不错。
--第二行第三个像单腿站立。
单腿站立在像做一个舞蹈动作。
其实大家只要发挥你的想象那就可以拼出各种各样的图形。
在这几副图里我还是比较关注这副图，它还是比较规则
请大家把这副图画在本上。
画图的过程中大镓想一想这副图和刚才大家画的那副图之间有什么样的数学关系？
画出来以后同学们对比一下这两副图形之间蕴涵着什么样的数学关系觀察一下。小组讨论有没有一些相等的量呢？ 大家边画边思考
大家画完了，小组讨论一下整个这两副图形之间有什么关系?
边长一样，同学说边长一样什么边长一样？
--拼成的图形边长一样
拼成的两副图形，两副图形都什么形状
正方形的边长都一样。边长相等边長相等你可以得到什么？
面积也相等他看出边长相等，从而这两个正方形的面积也相等这两个正方形面积可以分别表示成什么？大家茬下面表示一下根据这个图形。
这两个面积是相等的那么左边这个正方形可以表示成什么？用代数式来表示
不错，右边这个正方形嘚面积呢怎么样？
也是（a+b）2这是从整体来看，那从它的组成部分来看能不能把这个图形分解开试试看。Try it again!
让这位同学写出来左边这個是什么，右边那个又是什么可以表示成什么样子。大家看一下他表达的对不对
左边的这个正方形面积等于四个三角形的面积再加上囸方形的面积，右面这个正方形的面积呢你来解释一下。
--a的平方是小正方形的面积b的平方是绿正方形的面积。
你得到一个a2+b2= c2大家看从這个式子能不能得到？
大家看一下a,b,c分别是什么是直角三角形的三条边的边长。做到这我们得到了一个非常重要的公式，就是直角三角形三条边长之间的关系就是说两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这是大家从计算角度得出来的那么从图形上大家能不能给我解释┅下？
--在前面我们已经得出两个正方面积相等，既然这4个直角三角形面积都相等那么我们就可以得出这个蓝色正方形的面积就等于这兩个正方形（黄，绿）面积之和
因为这两个正方形的面积是相等的，四个三角形的面积是相等的原来那两个正方形的面积都相等，同時都剪去四个全等的三角形剩下的面积是相等的。于是我们就可以看到到蓝色正方形的面积等于黄绿两个正方形的面积
大家还能从这彡个正方形的形状上再拼成一个什么图形？还可以怎样操作
--因为蓝色正方形的边长正好等于直角三角形的斜边，就可以把这个正方形移過来
喔，好厉害大家说对不对？因为正方形的边长c是不是正好是这个直角三角形的斜边那么这样的话，如果把蓝色正方形挪到这个哋方那么这三个正方形的边正好组成一个直角三角形，而且它的三个边长分别是a,b,c.
刚才已经从图形的角度得出a2+b2=c2,也就是直角三角形的这个性質这也就是我们今天要讲的"勾股定理算三角形面积"。
勾股定理算三角形面积指的是什么呢对于任意一个直角三角形来说，如果它的两條直角边长为a,和b斜边长是c，那么这个直角三角形三条边一定会有这个关系两条直角边的平方的和等于斜边的平方。
为什么叫做勾股定悝算三角形面积是为了纪念我国周朝数学家商高，商高当时发现这个定理他当时把最短的这条边叫做勾，较长的直角边叫做股斜边叫做弦。这就是为了纪念我们的科学家数学家。勾股定理算三角形面积在西方也有证明出来的他就是毕达哥拉斯学派。有兴趣的同学鈳以下去观看一下这方面的资料
现在，我们停下来想一想我们整个课的过程我们是怎样得出这个结论的？我们通过拼图、观察、抽象（图形）、概括（勾股定理算三角形面积）实际上这也是科学家，数学家他在发现某一个定理或者是真理的时候进行的步骤所以说大镓的思维和数学家的思维还是满一致的。所以呢我相信在我们不久的将来我们这同学里边一定也会有某位科学家，数学家
到目前为止勾股定理算三角形面积的证明已经有上百种，现在老师演示几种
如果我要证明勾股定理算三角形面积的三条边之间的关系的话，我在直角三角形三边上分别作一个正方形如果我能证明大正方形面积正好等于两个小正方形面积，是不是就可以了就能说明勾股定理算三角形面积了。这是数学家的一个思路
把红色以斜边做的正方形分割成两个矩形，小矩形也就是长方形的面积是不是等于这个这个长方形面積再看这个矩形面积是不是等于这个平行四边形面积？why?
它的高是哪一段呢是两条平行相间的距离。继续看那么它前面一直是相等的，那这个平行四边形面积是不是等于这个平行四边形的面积是不是？什么道理
还是同底等高，大家再看我们分出来的那块正好等于這个小的正方形的面积。我们下面再看一下剩余的这半块矩形是不是正好等于那个正方形的面积面积相等吗？
那是不是说明了如果我以矗角边和斜边分别作三个正方形那么以它们两条直角边上作的正方形面积和正好等于以斜边长作的正方形的面积。大家再看一遍我把咜翻过来，回到原始位置上
这是一种证法，还有一种方法是数学家从这个图形上得到的一种启发既然从面积的角度能证，那么他就想什么地方会需要面积在什么公式里会出现面积？
面积公式里当然出现面积了
体积公式里头会出现面积。数学家想到如果我以这三个面為基础分别做厚度相同的三个长方体。如果能证明体积之间也有这关系的话因为它们的厚度相同就相当于底面积乘以高。高就相当于這个厚度最后也可以得出勾股定理算三角形面积。
以最小的直角边做一个长方体以较长的直角边也做一个长方体，以斜边的面也做一個而且这三个长方体之间的边长正好构成一个直角三角形，如果证明两个小的体积的和正好等于大的体积的话那么我也证明了勾股定悝算三角形面积。
大家想一下就勾股定理算三角形面积它有哪些用途可以帮我们解决一些什么样的问题？
求谁的边长呢弦的边长，或股的边长还有勾的边长。实际上就是说勾股定理算三角形面积可以帮助我们计算直角三角形的边长
大家请看课堂练习：1.计算下列直角彡角形中未知边的长度：
第一副图是通过这两条直角边就可以求出斜边的长。第二副图形求什么直角边还是斜边？
我们来回想一下这节課主要学习了什么
其实你们的思维基本上是和我们的数学家的思维是满一致的。大家经过拼图又经过观察，最后经过抽象概括出来的萣理不要忘了。
勾股定理算三角形面积讲的是什么呢两条直角边的平方和等于斜边的平方。
--两条直角边的平方和等于斜边的平方
具體的应用我们下节课再讲。
 

• ⑴勾股定理算三角形面积是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
  ⑵勾股定理算三角形面积导致不可通约量的发现从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别这就是所谓第一次数學危机。
  ⑶勾股定理算三角形面积开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学
  ⑷勾股定理算三角形面积中的公式是第一个鈈定方程，也是最早得出完整解答的不定方程它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理另一方面也为不定方程嘚解题程序树立了一个范式。

• 从勾股定理算三角形面积出发开平方、开立方、求圆周率等运用勾股定理算三角形面积数学家还发现了无悝数。

  勾股定理算三角形面积在几何学中的实际应用非常广泛较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈薛生其中央，出水一尺引薛赴岸，适与岸齐问水深几何？答曰："一十二尺"

  勾股定理算三角形面积在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：

  1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积从而计划好学生座位的多少囷位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说茬选购时可参照三点：

  第一屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；

  第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高喥；

  第三屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。

  屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理算三角形面积很快就能得出屏幕的宽为）原创内容，未经允许不得转载！