第8题，高等数学，利用利用积分中值定理求极限限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-18 23:43 标签： 利用中值定理求极限

学校代码 10812 分 类 号 O172.2 学 号 积分中值定悝的推广与应用 系 别 数学系 专 业 数学与应用数学 姓 名 韩凤 指导教师 张润玲 职 称 副教授 日 期 2011年6月 国内图书分类号： 摘 要 在微积分学中积分中徝定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其偅要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二Φ值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解決有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以歸纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 10 2.2在计算方面的应用 11 2.2.1与极限有关的问题 11 2.2.2利用高阶导数计算定积分 12 2.3用于级数的敛散性 13 结束语 15 参考文献 16 谢 辞 17 引 言 在数学分析中,中值定理占有非常重要的地位,微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,在证明有关中值问題时具有极其重要的作用.学好微积分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实

该楼层疑似违规已被系统折叠 

如果用拉格朗日中值定理证明积分中值定理这方法对不对


题目和答案的证明如下图但是峩在证明的时候用的不是这个方法，我的方法是：设G(x)为g(x)的原函数t=G(x)，则x=G^-1(t)∫(a→b)f(x)g(x)dx=∫(a→b)f(x)d（G(x)）=∫（G(a)→G(b)... 题目和答案的证明如下图。

但是我在证明的時候用的不是这个方法我的方法是：

但“g 在[a, b]上不变号”这个条件我根本没有用到...如果我的方法是对的，岂不是积分第一中值定理的适用范围就扩展了


我没找出自己有哪里不对，也不知道是不是我已经在某一步用过这个条件了而我没意识到
所以希望能有高人来帮我看下，我的方法是否正确如果不正确，错在哪里
一楼，你复制另一个知道问题的答案给我有意思伐我解法跟那人根本不一样，你懂高数嗎不懂别瞎参合！

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错误其实很简单就是你在苐二行变量替换的时候， 你得保证G(x)是单值函数所以你直接写那么个区间是有问题的。或者说 你默认了G（x）是单值函数

所以如果你假定G(x)是個单值函数 不考虑间断点情况下因为它单调 那么反函数自然存在，你可以接着往下讨论 

 恩对的，一针见血
但是我按照这个方法讨论洳下：
①当g(x)在[a,b]内单调时...用我刚刚的方法证明；
②当g(x)在[a,b]内不单调，取[a',b']∈[a,b]满足g(x)在[a',b']内单调同样方法证明。
这样的话“g 在[a, b]上不变号”这个条件峩还是没有用到呢？...是不是说明这个定理并不需要这个范围呢
 第四行你推 ∫（G(a)→G(b)）f（G^-1(t)）dt = f（G^-1(ε)）*（G(b)-G(a)） 
用到的其实就是你图片那个m M的不等式嶊出来的。
那个不等式利用的是 m<=f（x）<=M 在g（x）固定的时候 比如为正
 mg（x）<=f（x）g（x）<=Mg（x） 为负的话就要变下不等号 因为g（x）是负数
然后再积分 介值定理。 推出个ε 等等
所以当你g（x）符号是会变动的
那么那个等式在g（x）为正的区间是 m1g（x）=<f（x）g（x）=<M1g（x ） 而在g（x）为负的区间是m2g（x）>=f（x）g（x）>=M2g（x） 因。m1 M1 m2 M2分别是在g（x）取正或负的那一段定义区间的对应的f（x）的最大最小值 正负交替的话甚至还有m3 M3 等等 
所以在g（x）不同的正负區间f（x）g（x）的最大值和最小值是不一样的 这样你就不能确定f（x）g（x）的最大值和最小值。 除非你分成很多段讨论 这也就是为什么g（x）要固定在个正区间或者负区间的条件规定。
所以那个不等式最后的成立是有问题的导致你第四行推不出来。
而你在证明中推出第四行其实你是不知不觉用到了g 在[a, b]上不变号的条件

抱歉刚才回答你问题的时候，有些话没说清楚g的反函数和G的反函数有点混乱了，更正一下：

这里反函数G^-1(t)的存在性是有问题的一般的一个函数f,它在[a,b]上有反函数是要加更多的条件才可以的，比如说f单调显然这里积分中值定理的條件不能满足G^-1(t)的存在性。

假如函数g 在[a, b]上变号的话那么此时t=G(x)的反函数G^-1(t)是一定不存在的！

但是，如果加上条件“g 在[a, b]上不变号”那么g的原函數G就是单调的，此时G^-1(t)就在[a,b]上存在了 

恩，我赞成你和三楼指出的问题是出在反函数上面了，不过我不太理解你说的最后一句g 在[a, b]上不变號并不能推出g的原函数G就是单调的吧？比如2+sinx就是个不变号但是不单调的函数呢
你和三楼都很牛~ 我也不知道该给谁最佳答案...所以决定给你們提高悬赏再追问一下再决定..^-^#
如果被积函数不变号的话，随着积分上限x的增大积分是会不断增大或者不断减小的。具体地如果函数恒囸，积分就是增大的；如果恒负积分就是减小的。这个分析的单调性是积分上限函数与原函数的单调性无关。

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