• 一个离散信号序列能够很自然的表示成向量：$0_{}{}_{}<msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; <msup></msup>$
• 为什么要用向量表示信号因为更简单的数学表达和统一的信号处理框架
  1. 对不同类型的信号（四种：有限长、无限长、周期、有限支持）具有相同的处理框架
  2. 对连续信号具有相同的处理框架
• 在近似估计和压缩中非常有用
• 通讯系统设计中非常重要

• 常见的向量空间。例如有${}^{}$R3是二维和三维欧几里得空间
• ${}_{}$l2?(Z)：具有无限长度且平方可和的序列所构成的空间例如矩形序列
• ${}_{}$[a,b]上平方可积的函数所构成的空间（沒错，向量可以是函数）例如 ${}_{}$[?1,1]上平方可积
• 向量空间的基本性质和操作
  

• 内积是一个标量，内积用于衡量向量之间的相似度
• 两个向量的内積操作可以表示为：$$
• 如果两个向量的内积为0那么它们正交（相似度为0，$$
• ${}_{}$
• 向量的长度用内积定义：$\sqrt{}$
• 向量之间的距离用内积定义：$$d(x,y)=∥x?y∥唎如在二维空间中$\sqrt{0_{}{0}_{}{}^{}{}_{}{}_{}{}^{}}$
• 一组信号可以表示成一个向量：$0_{}{}_{}<msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; <msup></msup>$x[n]是一个复数，那么
  • 有限长度的信号的内积表示为：$0_{}^{}{}^{}$
  • 无限长度的信号的内积表示为：${}_{}^{}{}^{}$<x,y&;=∑?∞∞?x?[n]y[n]其内积可能会无穷大，因此我们要求这个无限长度的信号属于${}_{}$l2?(Z)空间即要求${}^{}$

• 任意一个向量都通过线性组合基向量来得到。下圖为二维空间的两个例子
  

• 基向量间要求线性无关否则无法表示整个空间的向量

• 0

• 一个无限长度的信号（向量）可以表示为：$0_{}^{}{}_{}{}^{}$

• h(k)(t)是一个基函数，例如傅里叶变换的基函数：$\sqrt{}$sin2πt…也就是说傅里叶变换其实是一种基的变化

• 0 0 v^{(k)是一组新的标准正交基如何求${}_{}$

• 向量子空间：2D平面是3D空间的一個子空间；偶函数是函数的子空间
• 用正交投影来做降维，将向量投影到子空间中得到向量的近似估计
s(k)是子空间S的一组标准基，那么向量$$
• 囸交投影的结果是“最好”的因为：
0

一个近似估计的例子：用多项式函数估计$$

PN?[?1,1]∈L2?[?1,1]，一个多项式可以表示为：$0_{}{}_{}{}_{}{}^{}$

s(k)=tk它不是标准正交嘚

1. 建立标准化的基。利用Gram-Smith方法可以标准化一组基Gram-Smith算法有两个步骤：
   

2. 做正交投影，求系数步骤如下：
   

用泰勒展开估计的结果为：$$

• 信号序列可以很自然的用向量来表示；用向量表示信号，在信号处理上有很大的方便
• 向量的内积用来衡量向量之间的相似度
• 向量可以用基向量的線性组合表示
• 可以用子空间来对向量正交投影对向量做近似估计

组卷网(zujuan.com)是一个依托百万量级的

创建的在线组卷系统试卷涵盖全国各地中小学学科教材版本，试题质量高、更新快是深受广大中小学教师喜爱的学科组卷平台，旗下有：数学组卷网、语文组卷网、英语组卷网、物理组卷网、历史组卷网